De cuong phan vector

1. Trang 1
ĐỀ CƯƠNG
HÌNH HOÏC 10 NAÂNG CAO
NĂM HỌC 2014 – 2015

2. Trang 2
A B
d
A
B
C
D
E
F
a
b
CHƯƠNG I : VECTƠ
BÀI 1 – 2 - 3 : CÁC ĐỊNH NGHĨA – TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI – TÍCH
CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Các định nghĩa :
1. Khái niệm về Vectơ : Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã
chỉ rõ điểm nào là điểm đầu , điểm nào là điểm cuối.
Kí hiệu: AB chỉ có :
+ Gốc ( điểm đầu ) là A.
+ Ngọn ( điểm cuối ) là B.
2. Giá của vectơ: Đường thẳng d chứa đoạn thẳng AB là
giác của AB
3. Độ dài của vectơ : Độ dài của đoạn thẳng AB là độ dài của AB
Kí hiệu là : AB . Như vậy ta có : ABAB  .
4. Hướng của vectơ : Chiều từ gốc A đến ngọn B là hướng của AB .
5. Vectơ đơn vị : Vectơ có độ dài bằng 1 được gọi là đơn vị.
6. Hai vectơ cùng phương : Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá
của chúng song song hoặc trùng nhau.
Lưu ý : Hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hay ngược
hướng.
Ta có : + EFCDAB ,, cùng phương với nhau.
+ CDAB, cùng hướng với nhau.
+ EFAB, và EFCD, : ngược hướng với nhau
7. Hai vectơ bằng nhau : Hai vectơ bvàa bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Kí hiệu : ba  .
Tính chất :
EFABEFCDvàCDABiii
ABCDCDABii
ABABi



)
)
)
8. Vectơ 0 : Vectơ không là vectơ có gốc và ngọn trùng nhau. Kí hiệu là : 0
Ta có : i) BAAB  0 .
ii) 0...  BBAA
Nhận xét : Vectơ 0 có độ dài bằng 0 và có phương bất kỳ ( cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ)
9. Vectơ tự do :
Có rất nhiều vectơ bằng một vectơ AB cho trước. Tập hợp các vectơ này được coi là một vectơ ( Vectơ tự
do ). Một vectơ tự do hoàn toàn được xác định nếu biết hướng và độ dài của nó. Vectơ tự do thường được kí
hiệu đơn giản là ,...,,, yxba
10. Xác định một điểm bằng đẳng thức vectơ:

3. Trang 3
a
b
A
C
B
Cho điểm O có định và vectơ v không đổi. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho : vOM  (1)
Ta nói điểm M được xác định bởi đẳng thức (1).
II. Tổng và hiệu của hai :
1. Tổng hai vectơ
a. Ñònh nghóa:
Câo âaã vectơ bvàa . Lấy điểm A bất kỳ , ta vẽ :
AB a
 
, íaï đó vẽ tiếp BC b
 
.
Vectơ ACc  được xác định như trên được gọi là tổng
của bvàa . Kí hiệu : cba 
b. Tính chaát :
* Gãao âoaùè : a b
 
= b a
 
* Kegt âôïp: (a b
 
) +c

= (a b
 
+ c

)
* Tíèâ câagt cộng với vectô – åâoâèg: a

+0

=a

* Bất đẳng thức tam giác : baba 
c. Các qui tắc :
ã. Quy taéc 3 ñieåm : ( Qïã tắc chèn điểm )
Câo A, B ,C tïøy yù. Ta coù: AB

+ BC

= AC

Mở rộng cho n điểm : Cho n điểm nAAAA ,....,,, 321 , ta có :
nnn AAAAAAAA 113221 ...  
ãã. Quy taéc hình bình haønh : Negï ABCD laøârèâ brèâ âaøèâ târ AB

+ AD

= AC

2. Hiệu của hai vectơ
a. Vectơ đối : Cho vectơ a . Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với a được gọi là vectơ đối của
vectơ a . Kí hiệu : a .
Nói cách khác nếu 0 ba thì ta nói a là vectơ đối của b hay b là vectơ đối của a
 Các tính chất :
i) BAAB 
ii) I là trung điểm của AB thì IBIA 
iii) ABAB  )(
b. Định nghĩa hiệu của hai Vectơ : Câo âaã vectơ bvàa .
Hiệu của bvàa , kí hiệu là ba  được định nghĩa bởi :  baba 
 Qui tắc 3 điểm: Câo BC , với điểm O tïøy yùta coù: CBOCOB  .
III. Tích của với một số với một Vectơ:
1. Định nghĩa : Câo vectơ 0a và số thực 0k . Tícâ của số k với vectơ a , kí hiệu å.a , laømột
vectô cùng phương với a thỏa các tính chất :
* 0k : cùng hướng với a .

4. Trang 4
* 0k : ègược hướng với a .
* Có độ dài : akak .||. 
Quy ước : 0.00.  ak
 Tính chaát :
a) å(m a ) = (åm) a
b) (å + m) a = å a + m a
c) å( a + b) = å a + åb
d) aaaa  ).1(;.1
e) å a = 0

 å = 0 âoaqc a = 0

2. Hai vectơ cùng phương: b

cïøèg pâö ôèg a

(a

0

) khi vaø chæ khi coùíogå tâoûa b

= å a

.
3. Ba điểm thẳng hàng : A , B , C tâaúèg âaøèg khi và chỉ khi tồn tại íogtâực 0k íao câo
AB

= å AC

.
4. Biểu diễn một vectơ qua hai vectơ không cùng phương:
Câo b

åâoâèg cïøègpâö ôèg a

,  x

lïoâè ñö ôïc bãeåï dãeãè x

= m a

+ èb

( m, è dïy èâagt ).
IV. Một số tính chất quan trọng cần nhớ
1. Tính chất trung điểm : Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB , ta có :
i) 0 IBIA .
ii) )(
2
1
MBMAMI  , với M bất kỳ .
2. Tính chất trọng tâm tam giác : Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có :
i) 0 GCGBGA .
ii) )(
3
1
MCMBMAMG  , với M bất kỳ.
3. Tính chất đường trung tuyến:
Nếu AM là một trung tuyến của tam giác ABC thì AMACAB 2 .
4. Điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng :
A , B , C tâaúèg âaøèg khi và chỉ khi thỏa mãn một trong các điều kiện sau :
a. tồn tại íogtâực 0k íao câo AB

= å AC

.
b. Câo một điểm I bất kỳ khi đó tồn tại một số thực t sao cho :  ICtIBtIA  1 .
5. Công thức chia điểm :
Cho đoạn thẳng AB và số thực k khác 0 và 1. Ta nói điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số
k nếu : MBkMA . .
Khi đó với điểm C bất kỳ , ta có : CB
k
k
CA
k
CM




11
1
( Công thức điểm chia )

5. Trang 5
B. PHƯƠNG PHÁP TOÁN
VẤN ĐỀ 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ
PHƯƠNG PHÁP CHUNG :
Sử dụng các định nghĩa, tính chất và phép toán của vectơ và các tính chất hình học đã học ở các lớp dưới.
Bài 1. Cho hai vectơ bất kì ba, . Chứng minh rằng :
a) baabba 
b) baabba 
Bài 2. Gọi C là trung điểm đoạn AB. Các khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) BCvàAC cùng hướng. b) ABvàAC cùng hướng.
c) BCvàAB cùng hướng. d) BCAB 
e) BCAC  f) BCAB .2
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AB.
a) Đẳng thức ACAB  đúng hay sai? b) Các vectơ nào cùng hướng với AC ?
c) Các vectơ nào ngược hướng với BC d) Các vectơ nào bằng nhau?
Bài 4. Cho ba điểm A, B, C . Có nhận xét gì về ba điểm đó nếu :
a) BCAB 
b) ACAB 
c) ACAB  và ACAB, cùng phương.
Bài 5. Cho ba điểm A, B, C. Mệnh đề nào sau đây đúng?
a) BAAB  0 b) DBvàCACDAB  .
c) Nếu ACAB  thì CB  d) Nếu CABA  thì CB 
Bài 6. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Kết luận gì về ba điểm A, B, C nếu :
a) BCvàAB cùng phương. b) ABvàAC cùng hướng.
Bài 7. Cho hình bình hành ABCD. Hãy chỉ ra các véctơ  0

có điểm đầu và điểm cuối là một trong
bốn điểm ABCD. Trong số các véctơ trên, hãy chỉ ra
a) Các véctơ cùng phương.
b) Các cặp véctơ cùng phương nhưng ngược hướng.
c) Các cặp véctơ bằng nhau.
Bài 8. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O.
a) Tìm các véctơ khác các véctơ không  0

và cùng phương với AO

.
b) Tìm các véctơ bằng với các véctơ AB

và CD

.
c) Hãy vẽ các véctơ bằng với véctơ AB

và có điểm đầu là O, D, C.
d) Hãy vẽ các véctơ bằng với véctơ AB

và có điểm gốc là O, D, C.
Bài 9. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.

6. Trang 6
a) Tìm các véctơ bằng với véctơ AB

.
b) Tìm các véctơ bằng với véctơ OA

.
c) Vẽ các véctơ bằng với OA

và có điểm ngọn là A, B, C, D.
Bài 10. Cho 3 điểm A, B, C phân biệt. Có bao nhiêu véctơ khác véctơ không có điểm đầu và điểm cuối
là các điểm đó ?
Bài 11. Cho 5 điểm A, B, C, D, E phân biệt. Có bao nhiêu véctơ khác véctơ không có điểm đầu và điểm
cuối là các điểm đó ?
Bài 12. Cho véctơ AB

và một điểm C. Hãy dựng điểm D sao cho AB CD
 
.
Bài 13. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Nếu cba  thì cba  .
b) Nếu I là trung điểm của MN thì 0 NIMI .
c) Nếu CDAB  thì BDAC 
d) Nếu ABvàAC là hai đối nhau thì CA  .
e) ba  là vectơ đối của ba 
Bài 14. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý . Các khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) BAMBMA  b) MCABCMBA 
c) BCMCBAMA  d) CBCAMBMA 
Bài 15. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Các khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) BDADAB  b) BCBDAB 
c) ODOCOBOA  d) BCADACBD 
Bài 16. Cho 4 điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Có 5 hệ thức véctơ và 5 mệnh đề được đặt ở hai cột
tương ứng, hãy nối chúng lại với nhau để tạo thành một suy luận đúng ?
Cột I Cột II
1/ AD DB
 
A : "ABCD là hình bình hành"
2/ AB 3AC 
 
B: "ABDC là hình bình hành"
3/ AB CD
 
C: "ACBD là hình bình hành"
4/ DC DA DB 
  
D: "D là trung điểm AB"
5/ AD BC
 
E: "C AB "
Bài 17. Cho hình ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh :
a) Hai vectơ OBOA  và OEOC  cùng phương với OD .

7. Trang 7
b) Hai vectơ ECvàAB cùng phương.
Bài 19. Cho tam giác ABC . Chứng minh điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi
0 GCGBGA
Bài 20. Các tam giác ABC và A’B’C’ có trọng tâm lần lượt là G và G’. Chứng minh rằng :
 '''
3
1
' CCBBAAGG 
Bài 21. Cho ABC có A', B', C' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
a) Chứng minh: BC' C'A A'B' 
  
. b) Tìm các véctơ bằng với B'C', C'A '
 
.
Bài 22. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng

MK =

CP và

KL =

BN
a) CMR :

KP =

PN b) Hình tính tứ giác AKBN c) CMR :

AL = 0

Bài 23. Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của ∆ABC, B' là điểm đối xứng với B qua
O. Chứng minh rằng AH B'C
 
.
Bài 24. Cho ∆ABC. Vẽ D đối xứng với A qua B, E đối xứng với B qua C và F đối xứng với C qua A. Gọi G
là giao điểm giữa trung tuyến AM của ∆ABC với trung tuyến DN của ∆DEF. Gọi I, K lần lượt là trung điểm
của GA và GD. Chứng minh:
a) NCAM  b) MK NI
 
.
Bài 25. Cho ∆ABC và M là một điểm không thuộc các cạnh của tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm
của AB, BC, CA. Vẽ điểm P đối xứng với M qua D, điểm Q đối xứng với P qua E, điểm N đối xứng với Q
qua F. Chứng minh rằng MA NA
 
.
Bài 26. Cho hai ∆ABC và ∆AEF có cùng trọng tâm G. Chứng minh: BE FC
 
.
Bài 27. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC.
Chứng minh: MP QN, MQ PN 
   
.
Bài 28. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh:
a) AC BA AD, AB AD AC   
    
.
b) BAOBCO  , OCODDBDA 
c) 0 DCDBDA
d) Nếu AB AD CB CD  
   
thì ABCD là hình chữ nhật.
Bài 29. Cho hình bình hành ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. AN và CM lần lượt
cắt BD tại E và F. Chứng minh :
a) FBEFDE  . b) BE FD
 
Bài 30. Cho hình bình hành ABCD. Dựng BCPQDCNPDAMNBAAM  ,,, .Chứng minh :
0AQ
Bài 31. Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng : MDMBMCMA  .
Bài 32. Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH BD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DH và BC. Kẻ

8. Trang 8
BK AM và cắt AH tại E. Chứng minh rằng: MN EB
 
Bài 33. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB = 2CD. Từ C vẽ

CI =

DA . CMR :
a) I là trung điểm AB và

DI =

CB b)

AI =

IB =

DC
Bài 34. Chứng minh các khẳng định sau :
a) Nếu ba, cùng hướng thì baba 
b) Nếu ba, ngược hướng và ab  thì abba  .
c) baba  . Khi nào dấu đẳng thức sảy ra?
Bài 35.
1. Cho a b 0 
 
. So sánh về độ dài, phương và hướng của hai véctơ a

và b

.
2. Cho hai véctơ a

và b

là hai véctơ khác véctơ không. Khi nào có đẳng thức xảy ra ?
a) a b a b  
   
. b) a b a b  
   
.
Bài 36. : Câo tam gãaùc ABC , troïèg taâm laøG. Pâaùt bãeåï èaøo laøñïùèg
a) AB + BC

=  AC

 b) GA+GB +GC = 0
c)  AB + BC  = AC d) GA+GB +GC  = 0
Bài 37. Tìm tính chaát tam giaùc ABC, bãegt raèèg :  CA

+ CB

 =  CA

- CB


Bài 38. Tứ giác ABCD là hình gì nếu có ADABvàDCAB  .
Bài 39. Cho tam giác ABC vuông tại A biết AC = a và AB = 2a. Tính độ dài của các vectơ :
ACABACAB  ,
Bài 40. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a, góc C = 600
.
a) Xác định và tính độ dài AD AB AC 
  
.
b) Gọi M là trung điểm BC. Vẽ tính AE AB AM 
  
. Chứng minh ED BM
 
Bài 41. Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính

ACAB 
Bài 42. Cho ∆ABC đều có cạnh là a. Tính độ dài các véctơ AB BC, AB BC 
   
.
Bài 43. Cho ABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các HA, HB, HC
  
.
Bài 44. Cho tam giác ABC đều cạnh a.
a) Xác định và tính độ dài các ACABu  ; BACAv  .
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Xác định và tính độ dài vectơ BNAM 
Bài 45. Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
a) Tính 

ACAB  b) Tính 

BA 

BI
Bài 46. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Hãy biểu diễn các véctơ AB, BC, CD, DA
   
theo hai véctơ
AO, BO
 
.

9. Trang 9
Bài 47. Cho hình thoi ABCD có tâm O, AB = a và góc 0
60ABC .
Xác định và tính độ dài các vectơ : ADABADAB  ; .
Bài 48. Cho hình thoi ABCD có BAD =600
và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.
Tính | |;| |;| |AB AD BA BC OB DC  
     
Bài 49. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a; AD = a. Hãy xác định và tính độ dài các vectơ sau:
a) DAAC  b) ACAD  c) BDBABC 
Bài 50. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
a) Tính 

AD 

AB  b) Dựng u

=

CA 

AB . Tính  u


Bài 51. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các
AB AD, AB AC, AB AD  
     
, OCOA  , BCOB 
Bài 52. Cho hình vuông ABCD cạnh là a. Tính AB AC AD 
  
.
VẤN ĐỀ 2. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
PHƯƠNG PHÁP CHUNG :
Để thực hiện phép biến đổi tương đương cho đẳng thức cần chứng minh khi đó ta lựa chọn một trong
các biến đổi sau:
1. Biến đổi một vế thành vế còn lại.
- Xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiện việc đơn giản biểu thức.
- Xuất phát từ vế đơn giản ta cần phân tích.
2. Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về đẳng thức đã biết là đúng
3. Biến đổi một đẳng thức đã biết là đúng thành đẳng thức cần chứng minh.
4. Tạo dựng các hình phụ.
5. Thường áp dụng các qui tắc sau :
- Quy tắc 3 điểm: BCCABA


BCCABA


- Quy tắc hình bình hành: với hình bình hành ABCD ta luôn có: CABADA

 .
- Qïy tắc trung điểm : Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB , ta có :
i) 0 IBIA .
ii) )(
2
1
MBMAMI  , với M bất kỳ.
- Quy tắc trọng tâm : Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có :
i) 0 GCGBGA
ii) )(
3
1
MCMBMAMG  , với M bất kỳ.
Bài 1. Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:
a) BCDADCBA

 b) AC BD AD BC  
   
. c) AB CD AC BD  
   
.
Bài 2. Cho 5 điểm A, B, C, D, E tùy ý. Chứng minh rằng:

10. Trang 10
a) AB CD EA CB ED   
    
.
b) CD EA CA ED  
   
.
c) ABCBCEDCDEAC 
Bài 3. Cho 6 điểm: A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng:
a) AB CD AC DB  
   
.
b) AD BE CF AE BF CD    
     
.
c) Nếu AC BD
 
thì AB CD
 
.
Bài 4. Cho 7 điểm A, B, C, D, E, F, G. Chứng minh rằng:
a) AB CD EA CB ED   
    
.
b) AB CD EF GA CB ED GF     
      
.
c) AB AF CD CB EF ED 0     
      
.
Bài 5. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H
Chứng minh rằng: AC BF GD HE AD BE GC HF      
       
.
Bài 6. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm là O. Chứng minh rằng: với M là điểm tùy ý thì ta luôn có:
a) OA OB OC OD OE OF 0     
      
.
b) OA OC OE 0  
   
.
c) AB AO AF AD  
   
.
d) MA MC ME MB MD MF    
     
.
e) 0 CBEDAF
Bài 7. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
a) AB BC CA 0  
   
. b) MN NP PM 0  
   
.
c) AN CM PB 0  
   
. d) AP BM MP 0  
   
.
e)
1
AP BM AC
2
 
  
. f)  1
AM AB AC
2
 
  
.
g) AM BN CP 0  
   
. h) AP BM AN BP PC   
    
.
Bài 8. Cho ΔABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là điểm bất kỳ.
Câứèg mãèâ rằèg : AM BN CP 0  
   
và OA OB OC OM ON OP    
     
.
Bài 9. Cho ΔABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC 2NA .
Gọi K, D lần lượt là trung điểm của MN và BC. Chứng minh rằng:

11. Trang 11
a)
1 1
AK AB AC
4 6
 
  
. b)
1 1
KD AB AC
4 3
 
  
.
Bài 10. Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trun g điểm của AM.
a) Chứng minh: IA IB IC2 0  
   
.
b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: OA OB OC OI2 4  
   
.
Bài 11. Cho tam giác ABC. Gọi E là trung điểm đoạn BC. Các điểm M, N theo thứ tự đó nằm trên cạnh BC
sao cho E là trung điểm đoạn MN. Chứng minh rằng: AB AC AM AN  
   
.
Bài 12. Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ là trung điểm của BC, CA, AB và O là điểm bất kỳ .
Chứng minh rằng :
a) ''' OCOBOAOCOBOA  b) 0'''  CCBBAA
Bài 13. Cho ΔABC, các đường cao AA', BB', CC'.
Chứng minh rằng nếu AA' BB' CC' 0  
   
thì ΔABC là tam giác đều.
Bài 14. Cho ABC . Gọi M là một điểm trên đoạn BC sao cho MB=2MC.
CMR: ACABAM
3
2
3
1

Bài 15 . Cho ΔABC. Gọi A' là điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng của C qua B, C' là điểm
đối xứng của A qua C.
Chứng minh rằng: OA OB OC OA' OB' OC'    
     
(với O là điểm bất kỳ).
Bài 16. Cho ΔABC, vẽ bên ngoài các hình bình hành ABIF; BCPQ; CARS.
Chứng minh rằng: RF IQ PS 0  
   
.
Bài 17. Cho ΔABC. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E, F sao cho: BD DE EF FC   .
Chứng minh rằng: AB AD AE AF AC 5AE    
     
.
Bài 18. Cho đều ΔABC có tâm là O. Gọi M là điểm thuộc miền trong của tam giác và D, E, F lần lượt là
hình chiếu của M lên 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
3
MD ME MF MO
2
  
   
.
Bài 19. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn AB, CD.Chứng minh rằng:
a) CBDADBCANM

2 .
b) Gọi O là điểm trên đoạn MN và OM = 2ON. Chứng minh rằng: 2 2 0OA OB OC OD   
    
Bài 20. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của đoạn thẳng BC, CD.
Câứèg mãèâ rằèg:
3
AB AM NA DA .DB
2
   
    
Bài 21. Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: AB CD 
 
AB và CD có cùng trung điểm.
Bài 22. Cho 4 điểm A, B, C, D bất kỳ. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. O là trung điểm của EF.
Chứng minh rằng:

12. Trang 12
a) )(
2
1
BDACEF 
b) 0 ODOCOBOA
c) MOMDMCMBMA 4
Bài 23. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA và M là điểm tùy ý.
Chứng minh rằng:
a) AF BG CH DE 0   
    
.
b) AOAFAGADACAB 4)(22  ( O là trung điểm cua GF )
c) MA MB MC MD ME MF MG MH      
       
.
Bài 24. Cho tứ giác ABCD có AB không song song với CD. Gọi M, N, P, Q lần lượt theo thứ từ là trung
điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC, DB.
a) Chứng minh rằng:  1
MN AB DC
2
 
  
và  1
PQ AB DC
2
 
  
.
b) Chứng minh các điểm M, N, P, Q là 4 đỉnh của một hình bình hành.
c) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN và O là điểm bất kỳ.
Chứng minh rằng: IA IB IC ID 0   
    
và OA OB OC OD 4OI   
    
.
Bài 25. Cho hình bình hành ABCD có tâm O và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng
a) DO AO AB 
  
. b) CO OB BA 
  
.
c) AB BC DB 
  
. d) DA DB OD OC  
   
.
e) DA DB DC 0  
   
f) OA OB OC OD 0   
    
.
g) ) MA MC MB MD 2MO   
    
Bài 26. Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, DC.
Chứng minh rằng:
a) OA OM ON 0  
   
.
b)  1
AM AD 2AB
2
 
  
.
c)
3
AM AN AC
2
 
  
.
Bài 27. Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm của AD. Chứng minh rằng:
EA EB 2EC 3AB  
   
.
Bài 28. Cho hình thang OABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng:
a)
1
AM OB OA
2
 
  
.

13. Trang 13
b)
1
BN OC OB
2
 
  
.
c)  1
MN OC OB
2
 
  
.
Bài 29. Cho ABC . Chứng minh rằng:
a) G là trọng tâm ABC khi và chỉ khi 0 GCGBGA
b) G là trọng tâm ABC khi và chỉ khi MGMCMBMA 3 ( Với M là điểm bất kỳ ).
Bài 30. Cho ABC và
'''
CBA có trọng tâm lần lượt là G và
'
G .Chứng minh rằng:
'3'''
GGCCBBAA  . Từ đó, suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm.
Bài 31. Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,DE, EF, FA.
Chứng minh rằng:
a) CDBFAECFBEAD 
b) Hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
c) Giả sử ABCDEF là hình lục giác đều tâm O. Chứng minh :
i) 0 EFCDAB .
ii) OFODOBOEOCOA  .
Bài 32. Cho tam giác ABC có D, E, F là ba điểm lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho :
 1.,.,.  kFBkFAEAkECDCkDB . Chứng minh rằng :
a) 0 CFBEAD
b) Hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm.
Bài 33.
1. Cho hai tam giác ABC và ΔA'B'C' có cùng trọng tâm là G. Gọi G1, G2, G3 theo thứ tự là trọng
tâm của các tam giác: ΔBCA' , ΔCAB', ΔABC'. Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm của ΔG1G2G3.
2. Cho ΔABC, M là một điểm trong tam giác. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh
BC, CA, AB.Chứng minh rằng M là trọng tâm của ΔABC khi và chỉ khi:
2 2 2
a .MH b .MI c .MK 0  
   
với a, b, c là độ dài 3 cạnh BC, AC, AB.
3. Cho ΔABC. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB.
CMR ΔABC và ΔMNP có cùng trọng tâm khi và chỉ khi:
BM CN AP
MC NA PB
  .
4. Cho hình bình hành ABCD và một điểm E thuộc miền trong của hình bình hành. Chứng minh
rằng hai ΔACE và ΔBDE có cùng trọng tâm. Điều đó còn đúng khi E nằm ở ngoài hình bình hành
không ?
Bài 34. Cho ΔABC. Gọi A', B', C' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB. Chứng minh
rằng hai tam giác ΔABC và ΔA'B'C' có chung trọng tâm.
Bài 35. Cho ΔABC và D là điểm bất kỳ. DA, DB, DC theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại A', B', C'.

14. Trang 14
Chứng minh rằng nếu ta có: BA' A'C CB' B'A AC' C'B 0     
      
thì D là trọng tâm
ΔABC.
Bài 36. Cho ΔABC có trọng tâm G. Gọi M thuộc cạnh BC sao cho MB 2MC . Chứng minh rằng:
a/ AB 2AC 3AM 
  
. b/ MA MB MC 3MG  
   
.
Bài 37. Cho ΔABC có G là trọng tâm tam giác và I là điểm đối xứng của B qua G. M là trung điểm của
BC. Chứng minh rằng:
a) 2AC AB 3AI 
  
.
b) 2AB 3AC 6IC 
  
.
c) AC 5AB 6MI 
  
.
Bài 38. Cho tam giác .ABC G là trọng tâm tam giác. 1G đối xứng B qua G .
a) CMR : 1
2 1
3 3
AG AC AB 
  
b) CMR :  1
1
5
6
MG AC AB 
  
.
Bài 39. Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm, H là điểm đối xứng của B qua G và M là trung điểm
của BC. Chứng minh rằng: 51
6 6
MH AC AB 
  
Bài 40. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại
tiếp , AA’ là đường kính của đường tròn ( O ).
a) Chứng minh : CABH ' .
b) Chứng minh : OMAH 2 .
c) Chứng minh : HOHAHA 2' 
d) Chứng minh : HOHCHBHA 2
Bài 41. Cho ΔABC nội tiếp trong đường tròn tâm O có trực tâm H, kẻ đường kính AD.
a) Chứng mình rằng: HB HC HD 
  
.
b) Gọi H' là điểm đối xứng của H qua O. Chứng minh rằng: HA HB HC HH'  
   
.
Bài 42. Cho ΔABC có 3 góc nhọn. Gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác. D là điểm đối xứng với A qua O.
a) Chứng minh rằng BHCD là hình bình hành. Từ đó hãy tính tổng HB HC
 
.
b) Chứng minh rằng: HA HB HC 2HO  
   
và OA OB OC OH  
   
.
c) Có nhận xét gì về 3 điểm O, G, H ?
Bài 43. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. I là trung điểm của BC và H là điểm đối xứng của C qua G.
Chứng minh:
a) ACABAH
3
1
3
2

b)  ACABBH 
3
1

15. Trang 15
c) ACABIH
6
5
6
1

Bài 44. Cho ΔABC. Gọi H là trực tâm của tam giác.
Chứng minh rằng: A B Ctan .HA tan .HB tan .HC 0  
   
.
Bài 45. Cho ΔABC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Chứng minh rằng: A B Csin .IA sin .IB sin .IC 0  
   
.
Bài 46. Cho ΔABC. Lấy điểm M tùy ý thuộc miền trong tam giác.
Chứng minh rằng: MBC MAC MAB
S .MA S .MB S .MC 0  
  
   
.
Kết quả trên còn đúng khi M ở ngoài tam giác không ?
HD: Gọi A' là giao điểm của đường thẳng MA với BC. Ta có:
A'C A'B
MA' .MB .MC
BC BC
 
  
.
Và MA'C MAC
MA'B MAB
S SA'C
BC S S
 
 
  , MA'B MA'C MA'B MA'C
MAB MAC MAB MAC
S S S SMA'
MA S S S S
   
   

  

.
Bài 47. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt thuộc các đoạn AD và BC sao cho:
MA NB m
MD NC n
  .
Chứng minh rằng:
n.AB m.DC
MN
m n



 

.
Bài 48. Cho đoạn AB. Trên đoạn AB lấy điểm C sao cho
CA m
CB n
 và S là điểm bất kì.
Chứng minh rằng:
n n
SC .SA .SB
m n m n
 
 
  
.
Bài 49. Cho ∆ABC với M là điểm tùy ý.
a) Chứng minh rằng a MA 2MB MC  
   
không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
b) Dựng điểm D sao cho CD a
 
. CD cắt AB tại K. Chứng minh: KA KB 0 
  
và
CD 3CK
 
.
Bài 50. Cho tam giác đều ABC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.CMR:
0...

 CIcBIbAIa ( a,b,c 
 R )
Bài 51. Cho đường tròn tâm I nội tiếp trong ∆ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N,
P. Gọi a, b, c lần lượt theo thứ tự là độ dài của các cạnh BC, CA, AB của ∆ABC.
Chứng minh: a.IM b.IN c.IP 0  
   
.
Bài 52. Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, CD, EF.
a) Chứng minh:  1
IM IN IP IA IB IC ID IE IF
2
       
        
với I bất kì.
b) Hãy tìm điểm G sao cho GA GB GC GD GE GF 0     
      
.
c) Gọi 1 2 3 4 5 6
G ,G ,G ,G ,G ,G tương ứng là trọng tâm của ∆ABC, ∆DEF, ∆BCD, ∆EFA, ∆CDE,

16. Trang 16
∆FAB. Chứng minh rằng: 1 2 3 4 5 6
G G , G G , G G cùng đồng qui tại một điểm.
Bài 53. Chứng minh rằng: Nếu hai hình bình hành 1 1 1 1,ABCD A BC D cùng tâm thì
1 1 1 1 0AA BB CC DD   
    
.
Bài 54. Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P.
Chứng minh rằng : 0..  IPcINbIMa
Bài 55. Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì trong tam giác. Đặt ;;; cMABbMCAaMBC SSSSSS 
Chứng minh rằng : 0..  MCSMBSMAS cba

17. Trang 17
VẤN ĐỀ 3: XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MỘT VECTƠ CHO TRƯỚC
PHƯƠNG PHÁP CHUNG :
Xác định điểm M thỏa một đẳng thức véctơ cho trước ?
Bước 1. Ta biến đổi đẳng thức đã cho ( bằng xen điểm, hiệu 2 véctơ cùng gốc, qui tắc hình bình hành, tính
chất trung điểm, trọng tâm, … ) về dạng: OM v
 
. Trong đó điểm O đã biết trước và véctơ v

đã
biết.
Bước 2. Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy điểm O làm gốc, dựng 1 véctơ bằng 1 véctơ v

, khi đó điểm ngọn
của véctơ này chính là điểm M.
Lưu ý
1. Thông thường, biểu thức OM v
 
là những biểu thức đặc biệt (trung điểm, trọng tâm, điểm chia
đoạn theo tỉ lệ a k.b
 
, hình bình hành,… Ta dựa vào biểu thức này để dựng hình.
2. Một số cách chứng minh thường dùng
i. Để chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta cần chứng minh 1 trong các hệ thức:
 IA BI
 
.
 IA IB 0 
  
.
 2IA AB
 
.
 2OI OA OB 
  
(O bất kỳ).
ii. Để chứng minh điểm G là trọng tâm của ΔABC, ta cần chứng minh 1 trong các hệ thức:
 GA GB GC 0  
   
.
 Với I là trung điểm của cạnh BC thì
2
AG AI
3

 
.
 Với O là điểm bất kì trong mặt phẳng thì: 3OG OA OB OC  
   
.
iii. Để chứng minh ABCD là hình bình hành
AB DC
AD BC


 
 
 
 
iv. Để chứng minh hai điểm A1 và A2 trùng nhau ta có thể chứng minh 1 trong các hệ thức:
 1 2
A A 0
 
.
 1 2
OA OA
 
với O là điểm bất kỳ.
v. Điều I kiện cần và đủ để ∆ABC và ∆A'B'C' có cùng trọng tâm là: AA' BB' CC' 0  
  
.
vi. Nếu  MB k.MC k 1 
 
thì
AB k.AC
AM
1 k



 

(hay điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k  k 1 .

18. Trang 18
Bài 1. Cho trước hai điểm A, B và hai số , sao cho 0  .
a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa : 0 IBAI 
b) Suy ra với mọi điểm M bất kỳ , ta có :  MIMBMA   (1)
Bài 2. Cho trước ba điểm A, B,C và ba số  ,, sao cho 0  .
a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa : 0 ICIBAI 
b) Suy ra với mọi điểm M bất kỳ , ta có :  MIMCMBMA   (2)
Lưu ý : Công thức (1), (2) thường dùng để rút gọn một tổng
Bài 3. Cho n điểm ,,...,, 21 nAAA và n số 0...:,...,, 2121  nn xxxchosaoxxx .
a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa : 0...2211  nn IAxIAxIAx .
b) Suy ra rằng với mọi điểm M bất kỳ, ta có :  MIxxxAxMAxMAx nnn  ...... 212211 .
( Điểm I ở trên được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm ,,...,, 21 nAAA với bộ số nxxx ,...,, 21 )
Bài 4.
1. Cho hai điểm A, B. Xác định điểm M, biết: 032  MBMA (1)
2. Cho đoạn thẳng AB và điểm I sao cho 2 3 2 0AI BI AB  
   
.
a) Tìm số k sao cho IB k AB
 
.
b) CMR với mọi điểm M ,ta có 5 2 3 2 0MI MA MB AB   
    
.
Bài 5. Cho 2 điểm A, B và một v . Xác định điểm M biết: vMBMA 
Bai 6. Cho hai điểm A và B.
a) Dựng các điểm E, F sao cho
2 3
AE AB , AF AB
5 5
 
   
.
b) Chứng minh hai đoạn thẳng AB và EF có cùng trung điểm.
Bài 7. Cho ΔABC. Hãy dựng hình và
a) Tìm điểm I sao cho: IA 2IB 0 
 
.
b) Tìm điểm K sao cho: KA 2KB CB 
  
.
c) Tìm điểm M sao cho:MA MB 2MC 0  
   
.
d) Tìm điểm N sao cho: NA 2NB 0 
 
.
e) Tìm điểm P sao cho: PA PB 2PC 0  
   
.
f) Tìm điểm Q sao cho: QA QB QC BC  
   
.
g) Tìm điểm L sao cho: 2LA LB 3LC AB AC   
    
.
h) Tìm điểm H sao cho: 2HA 3HB 3BC 
  
.
i) Tìm điểm R sao cho: 2RA RB 2BC CA  
   
.
j) Tìm điểm S sao cho: SA SB SC BC  
   
.
k) Tìm điểm T sao cho: TA TB TC AB AC   
    
.

19. Trang 19
l) Tìm điểm U sao cho: 3UA UB UC 0  
   
.
m) Tìm điểm X sao cho: 3XA 2.XB XC 0  
   
.
Bài 8. Cho ABC . Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện:
a) 0MA MB 
  
b) MA MB MC 0  
   
. c) 2 0MA MB 
  
d) 3 2 0MA MB 
  
e) 2 0MA MB MC  
   
f) 2 0MA MB MC  
   
Bài 9. Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
a) IB IC2 3 0 
  
b) JA JC JB CA2   
   
c) KA KB KC BC2  
   
d) LA LB LC3 2 0  
   
.
Bài 10. Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
a) IA IB BC2 3 3 
  
b) JA JB JC2 0  
   
c) KA KB KC BC  
   
d) LA LC AB AC2 2  
   
.
Bài 11.Cho ABC . Gọi M là trung điểm của AB. N là một điểm trên cạnh AC sao cho NANC 2 .
a) Xác định điểm K sao cho: 3 0122  AKACAB
b) Xác định điểm D sao cho: 01243  KDACAB
Bài 12. Cho ΔABC.
a) Xác định các điểm D và E sao cho: AD AB AC 
  
và BE BA BC 
  
.
b) Chứng minh C là trung điểm của đoạn thẳng ED.
Bài 13. Cho ΔABC, hai điểm D và E.
1/ Chứng minh rằng nếu OA OB OC 0  
   
thì O là trọng tâm ΔABC.
2/ Xác định điểm M thỏa: (+ dựng hình)
a) MA 2MB 0 
  
. b) MA MB 2MC 0  
   
.
c) MA MB MD MD ME   
    
. d) 2MA 3MB MC 0  
   
3/ Xác định điểm N thỏa: (+ dựng hình)
a) NA 3NB 0 
  
. b) NA NB NC AB AC   
    
.
c) 2NA 3NB 4NC 0  
   
. d)  NA NB NC 3 ND NE 0    
     
.
4/ Gọi P là điểm xác định bởi 5PA 7PB PI 0  
   
và G là trọng tâm của ΔABC.
a) Câứèg mãèâ: GP 2AB
 
.
b) Vớã AP BG Q  . Hãy tính tỉ số
QA
QP
.
5/ Gọi A' là điểm đối xứng của A qua B, B' là điểm đối xứng của B qua C và C' là điểm đối
xứng của C qua A. Chứng minh rằng hai tam giác ΔABC và ΔA'B'C' có cùng trọng tâm J.

20. Trang 20
Bài 14. Cho ΔABC.
a) Chứng minh rằng với mọi điểm M , ta luôn có: MA 2MB 3MC CA 2CB   
    
.
b) Hãy dựng điểm D sao cho: DA 2DB 3DC CA 2CB   
    
.
Bài 15. Cho ΔABC.
a) Dựng điểm P sao cho 3PA 2PB PC 0  
   
.
b) Chứng minh rằng véctơ v 3MA 5MB 2MC  
   
không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
Bài 16. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý.
a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD MC AB 
  
, ME MA BC 
  
, MF MB CA 
  
.
Chứng minh D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
b) So sánh 2 véc tơ àMA MB MC v MD ME MF   
     
.
Bài 17. Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết 2AG GD
 
.
Bài 18. Cho tứ giác ABCD.
a) Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho: GA GB GC GD 0   
    
b) Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta có:  OG OA OB OC OD
1
4
   
    
.
Bài 19. Cho O, A, B, C là 4 điểm bất kỳ trong mặt phẳng. Đặt OA u , OB v , OC w  
     
.
a) Hãy dựng các điểm D, E, F sao cho: ,OD u v w , OE u v w OF u v w        
           
.
b) Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn thẳng DE và C là trung điểm của đoạn FD.
c) Chứng minh hệ thức: OD OE OF OA OB OC    
     
.
Bài 20. Cho tứ giác ABCD , M là điểm tùy ý. Trong mỗi trường hợp hãy tìm số k và điểm cố
định I, J, K sao cho các đẳng thức sau thỏa mãn với mỗi điểm M.
a) MIkMBMA 2
b) MJkMCMBMA  2
c) MKkMDMCMBMA  3
Bài 21. Cho tứ giác ABCD.
1/ Tìm điểm cố định I để các hệ thức sau thỏa mãn.
. a) 2MA 3MB MD k.MI  
   
.
b) MA MB 2MC k.MI  
   
.
c) MA 2MB 3MC 4MD k.MI   
    
.
2/ Nếu tồn tại OA OB OC OD 0   
    
. Chứng minh O xác định duy nhất.
3/ Nếu ABCD là hình bình hành. Với mọi M, hãy tìm k và điểm cố định I thỏa:
a) MA MB MC 3MD k.MI   
    
.

21. Trang 21
b) MA 2MB k.MI 
  
.
c) 2MA MB MC k.MI  
   
.
4/ Xác định điểm S để: SA SB SC SD 0   
    
.
Bài 22. Cho hình bình hành ABCD.
a) Chứng minh rằng: AB AC AD AC2  
   
.
b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: AM AB AC AD3   
   
.
Bài 23. Cho hình bình hành ABCD và ACEF.
a) Dựng các điểm M, N sao cho EM BD
 
, FN BD
 
.
b) Chứng minh CD MN
 
.
Bài 24. Cho hình bình ABCD.
a) Hãy xác định các điểm M, P sao cho AM DB , MP AB 
   
.
b) Chứng minh rằng P là trung điểm của đoạn thẳng DP.
Bài 26. Cho ΔABC, điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn đẳng thức: MN MA 5MB MC  
   
.
a) Chứng minh rằng: MN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.
b) Gọi P là trung điểm của CN. Chứng minh: MP luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.
HD: a/  MN 1 5 1 MI  
 
. b/  1
MP MA 5MB 3MJ
2
  
   
.
Bài 27. Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c. Tìm điểm I sao cho : 0...  ICcIBbIAa .
VẤN ĐỀ 4: BIỂU DIỄN VECTƠ QUA HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG
PHƯƠNG PHÁP CHUNG :
1. Định lý: Cho trước hai a và b khác 0 và không cùng phương .
Với mọi c bao giờ cũng tìm được một cặp số thực , duy nhất ,sao cho:
c =  a +  b
2. Để biểu diễn một vec tơ qua hai vec tơ không cùng phương, ta sử dụng các cách sau :
i. Từ giả thiết xác định được tính chất hình học, rồi từ đó khai triển cần biễu diễn bằng phương
pháp xen điểm hoặc hiệu của hai cùng gốc.
ii. Từ giả thiết thiết lập được mối liên hệ giữa các đối tượng , rồi từ đó khai triển biểu thức
này bằng phương pháp xen điểm hoặc hiệu của hai cùng gốc.
Lưu ý: Trong một vài trường hợp cần sử dụng cơ sở trung gian.
Bài 1. Cho ABC có trọng tâm G.
a) Tính AG theo ACAB,
b) Gọi E, F là hai điểm xác định bởi biểu thức : 023,2  FCFAEBEA . Tính EF theo ACAB, .
Bài 2. Cho ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho ICBI 2 . Tính vecto ACvàABtheoAI .
Bài 3. Cho ABC. Gọi J là điểm trên cạnh AC sao cho JCJA
3
2
 . Hãy tính vecto BCvàBAtheoBJ .

22. Trang 22
Bài 4. Cho  ABC. Gọi M là điểm thỏa mãn : 02  MCMB . Tính ACvàABtheoAM
Bài 5. Cho ABC. Gọi M trên cạnh BC sao cho MCMB
3
2
 . Tính ACvàABtheoAM
Bài 6. Cho  ABC. Gọi K là điểm trên tia đối của AB sao cho KAKB 4 . Hãy tính vecto
BCvàBAtheoCK .
Bài 7.Cho ABC , gọi G là trọng tâm tam giác và B1 là điểm đối xứng của B qua G. Hãy biểu diễn
111 ,, MBABCB theo AB và AC , với M là trung điểm của BC.
Bài 8. Cho ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho ICIB 3 .
a) Tính AI theo ACAB, .
b) Gọi J, K lần lượt là các điểm thuộc cạnh AC, AB sao cho KAKBICJA 3,2  .
Tính ACvàABtheoJK .
c) Tính JKvàAItheoBC .
Bài 9. Cho ABC , I thuộc đoạn BC , sao cho 2CI = 3BI, J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB=2JC
a) Tính AJAI, theo ACAB,
b) Gọi G là trọng tâm ABC.Tính AG theo AJAI,
Bài 10. Cho  ABC có trọng tâm G
a) Tính AG theo ACAB,
b) Gọi E là điểm trên cạnh AB thỏa BEAE
2
1
 . F là điểm trên cạnh AC thỏa CFAF 2 . Tính AG
theo AFAE, .
c) AG cắt EF tại I.Xác định I và tính
AG
AI
.
d) Cọi P là trung điểm của EF. Tính AP theo ACAB, .AP cắt BC tại K. Tính
AK
AP
.
Bài 11. Cho ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng:
a) AB CM BN
2 4
3 3
  
  
c) AC CM BN
4 2
3 3
  
  
c) MN BN CM
1 1
3 3
 
  
.
Bài 12. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.
a) Chứng minh: AH AC AB
2 1
3 3
 
  
và  CH AB AC
1
3
  
  
.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: MH AC AB
1 5
6 6
 
  
.
Bài 13. Cho ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
MB MC NA CN PA PB3 , 3 , 0   
      
.
a ) Tính PM PN,
 
theo AB AC,
 
b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng.
Bài 14. Cho ABC. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
a) Chứng minh: AA BB CC1 1 1 0  
   

23. Trang 23
b) Đặt BB u CC v1 1, 
  
. Tính BC CA AB, ,
  
theo àu v v
 
.
Bài 16. Cho ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao
cho 5FB = 2FC.
a) Tính , àAI AF theo AB v AC
   
.
b) Gọi G là trọng tâm ABC. Tính àAG theo AI v AF
  
.
Bài 17. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của G qua B.
a) Chứng minh: HA HB HC5 0  
   
.
b) Đặt AG a AH b, 
  
. Tính AB AC,
 
theo àa v b

.
Bài 18. Cho ABC .Đặt ACvABu  , . Gọi P là điểm đối xứng của B qua C. Tình AP theo vu, . Gọi Q,
R là hai điểm xác định bởi biểu thức : ABARACAQ
3
1
,
2
1
 . Tính RQRP, theo vu, .
Bài 19. Cho ABC. Gọi N, P lần lượt là trung điểm của CA, AB.Đặt CPbvàBNa  .
Tính các vecto ACAB, theo các vecto ba, .
Bài 20. Cho  ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là điểm thỏa :
NANC 2 . Gọi K là trung điểm của MN.
a) Chứng minh rằng : ACABAK
6
1
4
1

b) Gọi D là trung điểm của BC . Chứng minh rằng : ACABKD
3
1
4
1
 .
Bài 21.
1. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Đặt ObAOa B , . Hãy biểu diễn các vecto
DACDBCAB ,,, theo ba,
2. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. D là điểm đối xứng với G qua C.
Đặt ADvAGu  , . Tính BCACAB ,, theo vu, .
3. Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O.
i) Đặt AFvABu  , . Biểu diễn ,,,,,,,, CDBFBEBDBCAEADAC
EFDFDECFCE ,,,, tâeo vu, .
ii) Đặt OBbOAa  , . Tính các vecto trên theo ba, .
Bài 22. Cho hình bình hành ABCD , M là một điểm trên AB, N là một điểm trên CD sao cho
DCDNABAM
2
1
,
3
1

a) Tính ACvàABtheoAN .
b) Gọi I, J lần lượt là các điểm định bởi AIAJvàBCBI   . Tính  vàACABtheoAJAI ,,, .
c) Định , để J là trọng tâm tam giác BMN.
Bài 23. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD . Hãy tính các vecto
AJAIAC ,, theo các vecto ADvàAB .

24. Trang 24
Bài 24. Cho hình bình hành ABCD, đặt AB a AD b, 
  
. Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của
tam giác BCI. Phân tích các BI AG,
 
theo a b,

.
Bài 25. Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích AM

theo các
OA OB OC, ,
  
.
Bài 26. Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng:
a) AM OB OA
1
2
 
  
b) BN OC OB
1
2
 
  
c)  MN OC OB
1
2
 
  
.
VẤN ĐỀ 5 : - CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG.
- CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM
PHƯƠNG PHÁP CHUNG :
1. Muốn chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng, ta đi chứng minh:
ACkAB . ;(kR) (1)
Để nhận được (1) ta lựa chọn một trong hai hướng
- Hướng 1: Sử dụng các qui tắc biến đổi đã biết
- Hướng 2: Xác định ACAB, thông qua một tổ hợp trung gian.
2. đĐể chứng minh đường thẳng d luôn đi qua điểm I, ta lấy hai điểm thích hợp A, B trên d và chứng minh ba
điểm A, B, I thẳng hàng
Tính chất : Cho ba điểm A, B, C cố định và 0:,,   chosao . Nếu : 0 ICIBIA 
( I cố định ) thì  MIMCMBMAMN   . Khi đó, đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố
định I.
Bài 1.
1. Cho điểm O cố định và đường thẳng d đi qua hai điểm A, B cố định. CMR điểm M thuộc
đường thẳng d khi và chỉ khi có số  sao cho :  OBOAOM   1 . Với điều kiện nào của  thì
M thuộc đoạn AB.
2. Cho ba điểm A, B, C và điểm O tùy ý. CMR : A, B, C thẳng hàng  1
1



 k
k
OBkOA
OC
Bài 2. Cho tam giác ABC
a) Gọi P,Q là hai điểm lần lượt thỏa 02  PCPB (1) và 025  QCQBQA (2)
CMR: P, Q, A thẳng hàng.
b) Gọi I là điểm đối xừng với B qua C, J là trung điểm của A, C, K là điểm trên AB sao cho AB = 3AK .
CMR: I, J, K thẳng hàng
Bài 3.
1. Cho tam giác ABC, lấy điểm I, J thỏa: )2(023)1(02  JCJAvàIBIA
CMR: IJ đi qua trọng tâm cua tam giác ABC.
2. Cho  ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của
ABC. Chứng minh rằng: O, G, H thẳng hàng.

25. Trang 25
Bài 4.Cho ABC, trọng tâm G. Lấy điểm I, J sao cho:
)2(0352)1(032  JCJBJAvàICIA
a) CMR: M, N, J thẳng hàng, với M,N lần lượt là trung điểm của AB và BC.
b) CMR: J là trung điểm của BI
Bài 5. Cho ABC. Lấy M, N, P thỏa mãn biểu thức : ,02,2  NCNAMCMB 0 PBPA
a) Tính ACABtheoANAMAP ,,, .
b) Chứng minh rằng : M, N, P thẳng hàng.
Bài 6. Cho ABC. Lấy M, N, P thỏa mãn biểu thức: PAPCMBMA  6;02 ; 03  NCNB
a) Tính ACABtheoANAMAP ,,, .
b) Chứng minh rằng : M, N, P thẳng hàng.
Bài 7. Cho ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: IB IC2
 
, JC JA
1
2
 
 
, KA KB 
 
.
a) Vẽ hình và tính , và ACIJ IK theo AB
   
.
b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng .
Bài 8. Cho ABC. Hai điểm I, J được xác định bởi: IA IC3 0 
  
, JA JB JC2 3 0  
   
. Chứng minh 3 điểm
I, J, B thẳng hàng.
Bài 9. Cho ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi: MA MB3 4 0 
  
, NB NC3 0 
  
. Chứng minh 3 điểm
M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của ABC.
Bài 10. Cho ABC có trọng tâm G, I là trung điểm của cạnh BC. Gọi M, N thỏa 3 0MA MB 
  
,
2 3 0NB NC 
  
.
a) Chứng minh  1
6
IG AB AC  
  
b) Chứng minh G, M, N thẳng hàng.
Bài 11. Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
MB MC3
 
, NA CN3
 
, PA PB 0 
  
.
a) Tính PM PN,
 
theo AB AC,
 
.
b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Bài 12. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho BD DE EC 
  
.
a) Chứng minh AB AC AD AE  
   
.
b) Tính AS AB AD AC AE theo AI   
     
. Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng.
Bài 13. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức BM BC AB2 
  
,
CN xAC BC 
  
.
a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng.

26. Trang 26
b) Xác định x để đường thẳng MN đi trung điểm I của BC. Tính
IM
IN
.
Bài 14. Cho tam giác ABC .Lấy các điểm ,M N sao cho :2 3 0,2 3 0MA MB NA NC   
     
.G là
trọng tâm tam giác.
a) Biết AG xAM yAN 
  
.Xác định ,x y .
b) E là điểm thuộc BC thoả mãn
3
2
BC BE
 
.Hỏi M,N,E có thẳng hàng hay không?vì sao?
Bài 15. Cho tam giác .ABC Cho các điểm , ,M N P sao cho
3 0, 3 0,2 0MB CM NA MC PA AB     
        
.
a) Biểu diễn MP

theo ,AB AC
 
b) Biểu diễn NP

theo ,AB AC
 
c) CMR: 3 điểm , ,M N P thẳng hàng.
Bài 16. Cho tam giác ABC . M là điểm thoả mãn 2 0MA MB 
  
.G là trọng tâm tam giác ACM .
a) CMR : 3 2 4 0GA GB GC  
   
.
b) Gọi I là điểm thoả mãn .IA k IB
 
.Biểu diễn GI

theo các véc tơ ,GA GB
 
.Tìm k để 3 điểm , ,C I G
thẳng hàng.
Bài 17. Cho tứ giác ABCD
a) Chứng minh CBADCDAB  .
b) Gọi M, N là các điểm được xác định bởi 032,02  NANCMBMA . Gọi G là trọng tâm tam giác
ABC. Chứng minh G, M, N thẳng hàng.
Bài 18. Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của BD, P là điểm thỏa 02  PDPA . Q là điểm đối
xứng với A qua B.
a) Tính QPQM, theo ACvàAB
b) Chứng minh rằng 3 điểm M, P, Q thẳng hàng
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác AQC. CMR : QPQDAB 3 .
Bài 19. Cho hình bình hành ABCD tâm O. lấy các điểm I, J sao cho : )1(0223  IDICIA ,
)2(022  JCJBJA . CMR: I, J, O thẳng hàng.
Bài 20. Cho hình bình hành ABCD . I là điểm thoả mãn 2 0IA AB 
  
. M là điểm thoả mãn
3 0IC MI 
  
. Chứng minh rằng :
a)
1 2
3 3
BM AD BI 
  
; b) , ,B M D thẳng hàng.
Bài 21. Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : OA OB OC2 3 0  
   
. Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng hàng.
Bài 22. Cho hình bình hành ABCD. Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho AD =
1
2
AF,
AB =
1
2
AE. Chứng minh:
a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng.

27. Trang 27
b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành.
Bài 23. Cho hình chữ nhật ABCD và các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD sao cho :
3
1

CD
CP
BC
BN
AB
AM
. Trên đường thẳng AN lấy điểm Q sao cho : ANkAQ  .
a) Tính MPAN, theo ACAB, .
b) Định k để M, P, Q thẳng hàng.
Bài 24. Cho ABC. Gọi A, B, C là các điểm định bởi: A B A C2 3 0  
  
, B C B A2 3 0  
  
,
C A C B2 3 0  
  
. Chứng minh các tam giác ABC và ABC có cùng trọng tâm.
Bài 25. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm M, N thoả mãn: MA MB3 4 0 
  
, CN BC
1
2

 
.
Chứng minh đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của ABC.
Bài 26. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn MN MA MB MC2 3  
   
.
a) Tìm điểm I thoả mãn IA IB IC2 3 0  
   
.
b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 27. Tìm điểm C trên đoạn AB sao cho : 02  CBCA . Cho điểm M bất kỳ trong mặt phẳng và gọi
MN là vectơ định bởi : MBMAMN 2 . Chứng tỏ đường thẳng MN qua một điểm cố định.
Bài 28. Cho tứ giác lồi ABCD, điểm M trong mặt phẳng thỏa: MN MA 2MB 3MC 4MD   
    
.
a) Chứng minh: MN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.
b) Gọi P là trọng tâm ΔABN. Chứng minh: MP luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi.
Bài 29. Cho hình bình hành ABCD có các điểm M, I, N lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD sao cho
CDCNBCkBIABAM
2
1
;.;
3
1
 . Gọi G là trọng tâm tam giác BMN . Định k để đường thẳng AI
qua G.
Bài 30. Cho hình bình hành ABCD tâm O.
a) M, N là hai điểm lưu động sao cho : MDMCMBMAMN  .
Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định.
b) E, F là các điểm thỏa : 043,032  FCFBEBEA .I, J, K lần lượt là các điểm thỏa
ICIBIKIBIAIJ 43;32  . Câứng minh ba điểm E, I, J thẳng hàng; F, I, K thẳng hàng.
Bài 31. Cho tam giác ABC, lấy các điểm P, Q sao cho : 023,2  QCQAPBPA
a) Biểu thị AQAP, theo ACAB, .
b) Chứng minh PQ đi qua trọng tâm tam giác ABC.
Bài 32. Trên các cạnh của tam giác ABC lấy các điểm M, N, P sao cho :
0263  PAPCNCNBMBMA .
Hãy biểu thị APvàAMquaAN , từ đó suy ra M, N, P thẳng hàng.
Bài 33. Cho tam giác ABC. Điểm M, N, P là các điểm thỏa mãn :
).1,0,,(;;   PBPANANCMCMB
Chứng minh rằng M, N, P thằng hàng khi và chỉ khi : 1

28. Trang 28
VẤN ĐỀ 6: TÌM TẬP ĐIỂM THỎA MÃN HỆ THỨC
PHƯƠNG PHÁP CHUNG :
Để tìm tập hợp ( quỹ tích ) điểm M thỏa mãn điều kiện K, ta quy về một trong các dạng sau :
1. Nếu MBMA  với A, B cố định thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB.
2. vMA  với A cố định , 0v và có độ dài không đổi thì M thuộc đường tròn tâm A, bán kính bằng v .
3. Nếu vkMA . với điểm A cố định, v cho trước thì tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và cùng
phương với v .
Bài 1.
1. Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a) MA MB MA MB  
   
.
b) 2MA MB MA 2MB  
   
.
2. Cho đoạn thẳng AB = 3a. Tìm tập hợp điểm M sao cho 32  MBMA .
3. Cho hai điểm A, B và đường thẳng d. Với mỗi điểm N trên d ta dựng điểm M thỏa
NBNANM 32  . Tìm tập hợp các điểm M khi N thay đổi trên d.
4. Cho hai điểm A, B và đường tròn ( O; R). Với mỗi điểm N trên (O; R) ta dựng điểm M thỏa
NBNANM 32  . Tìm tập hợp các điểm M khi N thay đổi trên (O; R).
Bài 2. Cho ABC tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn:
0 MCkMBkMA (1)
Bài 3. Cho ABC và điểm D nằm trên cạnh BC sao cho DCDB 2
a) Tính AD theo AB và AC .
b) M là một điểm di động thỏa mãn điều kiện : 0)2)((  MCMBMBMA .
Chứng minh M luôn thuộc một đường tròn cố định mà ta phải xác định tâm và bán kính.
Bài 4. Cho ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a)
3
MA MB MC MB MC
2
   
    
. b) MA BC MA MB  
   
.
c) 2MA MB 4MB MC  
   
d) 4MA MB MC 2MA MB MC    
     
.
e) 3 MCMBMA f) 1232  MCMBMA
Bài 5. Cho ABC.
a) Xác định điểm I sao cho: 3IA 2IB IC 0  
   
.
b) Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi hệ
thức:MN 2MA 2MB MC  
   
luôn đi qua một điểm cố định.

29. Trang 29
c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: 3HA 2HB HC HA HB   
    
.
d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: 2 KA KB KC 3 KB KC   
    
.
Bài 6. Cho ABC.
a) Xác định điểm I sao cho: IA 3IB 2IC 0  
   
.
b) Xác định điểm D sao cho: 3DB 2DC 0 
  
.
c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.
d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA 3MB 2MC 2MA MB MC    
     
.
Bài 7. Cho ΔABC, M là điểm tùy ý trong mặt phẳng.
a) Chứng minh: v 3MA 5MB 2MC  
   
không đổi.
b) Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn: 3MA 2MB 2MC MB MC   
    
.
HD: a/ Chứng minh: v 3BA 2BC 
  
. b/ M thuộc đường tròn tâm I, bán kính
1
BC
3
.
Bài 8. Cho ΔABC, tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn:
a)  kMA MB kMC, k  
  
 . b)  MA 1 k MB kMC 0   
   
.
HD: a/ Đường thẳng qua B, // AC. b/ Đường trung bình // AC.
Bài 9. Cho ΔABC. Lấy hai điểm M, N di động trên các tia AB và AC sao cho
AM CN
AB CA
 . Dựng hình bình
MNCP. Tìm tập hợp những điểm P.
Bài 10. Cho ΔABC, các điểm M, N, P di động trên các tia BC, CA và AB sao cho
MB NC PA
MC NA PB
  .
Dựng hình bình hành MNPQ. Tìm tập hợp điểm Q.
Bài 11. Cho tam giác ABC.
a) Xác định điểm D thỏa : 03  DBDA
b) Tìm tập hợp điểm M thỏa : 83  MBMA
Bài 12. Cho hình bình hành ABCD. Tìm tập hợp điểm M thỏa : ABMDMCMBMA 4
Bài 13. Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M tùy ý .
a) CMR : MDMBMCMA 
b) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho : MDMAMCMA 
Bài 14. Cho tứ giác ABCD .
a) Xác định điểm O sao cho : ODOCOB 24 
b) Tìm tập hợp điểm M thỏa hệ thức :

30. Trang 30
Bài 15. Cho hình chöõ nhaät ABCD taâm O , ñãeåm M laø1 ñãeåm bagt åyø:
a) Tíèâ MS

= MA

+ MB

+ MC

+ MD

tâeo MO

Tö øñoùíïy ra ñö ôøèg tâaúèg MS qïay qïaèâ 1 ñãeåm cogñxèâ
b) Trm taäp âôïp ñãeåm M tâoûa  MA

+ MB

+ MC

+ MD

= a ( a > 0 câo trö ôùc )
c) Trm taäp âôïp ñãeåm N tâoûa  NA

+ NB

 =  NC

+ ND


Bài 16. Cho tam giác ABC, tìm tập hợp điểm M sao cho:
a)  RkMCkMBkMA  .
b)      RkMCkMBkMA  011
c)    RkMCkMBkMA  01
Bài 17. Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp điểm M sao cho :
MCMBMAMDMCMBMA 2
Bài 18. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm M sao cho vectơ MCMBMAv 2 cùng phương với BC
VẤN ĐỀ 7: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Bài 1. Cho lục giác EFABCD đều .Tìm tập hợp các điểm M sao cho
MA MD ME MB MC MF    
     
nhỏ nhất.
Bài 2. Cho ∆ABC và đường thẳng d cố định. Tìm điểm M trên d sao cho
a) u 2MA MB MC  
   
có độ dài nhỏ nhất.
b) v MA 3MB 2MC  
   
có độ dài nhỏ nhất.
c) x MA MB MC  
   
có độ dài nhỏ nhất.
d) y 5MA 2MB MC  
   
có độ dài nhỏ nhất
Bài 3. Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm trên d điểm M sao cho : MCMBMA 3 nhỏ nhất.
Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Tìm điểm M thuộc (O) sao cho MCMBMA 
nhỏ nhất , lớn nhất

31. Trang 31
BÀI 4 : HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Trục tọa độ và độ dài đại số trên trục :
a. Định nghĩa : Trïïc tọa độ ( gọi tắt là trục) laøñö ôøèg tâaúèg treâè ñoùxaùc ñxèâ ñãeåm O cố định vaø1 vectô
đơn vị i coùñoädaøã baèèg 1.
+ Kyùâãeäï trïïc (O; i

) hoặc x’Ox
+ Điểm O được gọi là gốc tọa độ
+ Hướng của vectơ đơn vị là hướng của trục
b. Tọa độ điểm : Cho điểm tùy ý M nằm trên trục  iO; . Khi đó có duy nhất số k xác định để : ikOM . .
Số k được gọi là tọa độ của điểm M đối với trục  iO; .
Kíâãệu : M = ( k ) hoặc M( k )
c. Tọa độ vectơ : Cho vectơ a nằm trên trục  iO; . Khi đó có duy nhất số t xác định để : ita . .
Số t được gọi là tọa độ của vectơ a đối với trục  iO; .
Kíâãệu :  ta  hoặc  ta
 Nhận xét : Vậy ta có tọa độ của điểm M cũng chính là tọa độ của vectơ OM
 Tính chất : Cho    '; xbxa  . Khi đó:
i) 'xxba  .
ii)  '.... xxba   , R , .
d. Độ dài đại số của vectơ : Cho hai điểm A, B nằm trên trục Ox. Khi đó có duy nhất số t sao cho itAB . .
Ta gọi số t đó là độ dài đại số của vectơ AB đối với trục đã cho. Kí hiệu AB .
Nâư vậy : iABAB .
 Nhận xét :
i) Nếu AB cùng hướng với vectơ i

târ ABAB  .
ii) Nếu AB ngược hướng với vectơ i

târ ABAB  .
 Tính chất : Cho A(a ) , B( b). Khi đó :
ã) abAB 
ãã) BAAB 
ããã) OAOBAB 
ãv) ACBCAB  ( Hệ thức Sa – lơ ), với A, B, C bất kỳ trên trục Ox
v) CDABCDAB 
2. Hệ trục tọa độ :
x
y
i

j

O
'x
'y
,
x
O xi M

32. Trang 32
a. Định nghĩa : Hệ trục tọa độ  jiO ,; gồm hai trục  iO; và  jO;
vuông góc với nhau. Trong đó :
  iO; : trïïc âoaøèâ , åíâãệu là Ox
  jO; : trïïc tïèg , åíâãệu là Oy
 O : gogc toaïñoä

 
,i j : veùc tô ñôè vx (   
   
1 vaøi j i j )
 Hệ trục tọa độ  jiO ,; còn được gọi là Oxy.
Chú ý : Mặt phẳng mà trên đó đã chọn một hệ trục tọa độ Oxy được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy ( hay mặt phẳng
Oxy)
b. Toaï ñoä cuûa moät ñieåm vaø cuûa moät veùc tô:
i . Ñònh nghóa 1 : Câo ( )M mp Oxy . Kâã ñoùveùc tô OM

ñö ôïc bãeåï dãeåè moät caùcâ
dïy èâagt tâeo
 
,i j bôûã âeätâö ùc coùdaïèg :   
  
vôùã x,yOM xi y j .
Caqp íog(x;y) troèg âeätâö ùc treâè ñö ôïc goïã laøtoaïñoäcïûa ñãeåm M.
Kyù hieäu: M(x ; y) âay M = (x; y )
( x: âoaøèâ ñoäcïûa ñãeåm M; y: tïèg ñoäcïûa ñãeåm M )
 YÙ nghóa hình hoïc:
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox,
Oy târ :   
  /
( ; )
ñ n
M x y OM xi y j = OQOP 
Mà : jOQOQiOPOP .;. 
Sïy r a: vaøy=OQx OP
ii. Ñònh nghóa 2: Câo ( )a mp Oxy

. Kâã ñoùveùc tô a

ñö ôïc bãeåï dãeåè moät caùcâ dïy
èâagt tâeo
 
,i j bôûã âeätâö ùc coùdaïèg :   
  
1 2 1 2vôùã a ,aa a i a j .
Caqp íog(a1; a2) troèg âeätâö ùc treâè ñö ôïc goïã laøtoaïñoäcïûa veùc tô a

.
Kyù hieäu: 1 2( ; )a a a

âay  21; aaa
  
   /
1 2 1 2= (a ;a )
ñ n
a a a i a j
 YÙ nghóa hình hoïc: 1 1 1 2 2 2vaøa =Aa A B B
iii. Caùc coâng thöùc vaø ñònh lyù veà toaï ñoä ñieåm vaø toaï ñoä veùc tô :
 Ñònh lyù 1 : Negï B( ; ) vaøB(x ; )A A BA x y y târ
( ; )B A B AAB x x y y  

 Ñònh lyù 2 : Negï 1 2 1 2( ; ) vaø ( ; )a a a b b b 
 
târ
'x x
y
i

j

O
'y
MQ
P
x
y
O
'x
'y
MQ
P
x
y
x
y
1e

2e

O
'x
'y
P
a

x
y
O
'x
'y
1A 1B
2A
2B
A
BK
H
);( AA yxA
);( BB yxB
a

b


33. Trang 33
*
1 1
2 2
a b
a b
a b

  

 
* 1 1 2 2( ; )a b a b a b   
 
* 1 1 2 2( ; )a b a b a b   
 
* 1 2. ( ; )k a ka ka

( )k 
 Định lý 3 : a cùng phương với vectơ  0bb






21
21
:
kbb
kaa
Rk
 Định lý 4 : Cho hai điểm B( ; ) vaøB(x ; )A A BA x y y . Trïèg đđiểm I của đoạn AB có tọa độ là :










2
2
BA
I
BA
I
yy
y
xx
x
 Định lý 5 : Cho ba điểm );();();;( CCBBAA yxCvàyxByxA . Khi đó trọng tâm G của tam giác ABC
có tọa độ là :










3
3
CBA
G
CBA
G
yyy
y
xxx
x
 Định lý 6 : Điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k
Định nghĩa : “Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k khi và chỉ khi MBkMA  ”.
Khi đó, tọa độ điểm M được xác định như sau : )1(
1
.
1
.













k
k
yky
y
k
xkx
x
BA
M
BA
M
Nếu M là trung điểm của đoạn AB (ứng với k=-1).Khi đó , tọa độ điểm M được xác định như sau:










2
.
2
.
BA
M
BA
M
yy
y
xx
x
B. PHƯƠNG PHÁP TOÁN
VẤN ĐỀ 1: TÌM TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM HAY MỘT VECTƠ .
PHƯƠNG PHÁP CHUNG :
1. Sử dụng công thức về tọa độ điểm – vectơ
2. Sử dụng điều kiện của hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng, …
Bài 1. Viết tọa độ của các sau:
a)
1
2 3 ; 5 ; 3 ; 2
3
      a i j b i j c i d j
       
.

34. Trang 34
b)
1 3
3 ; ; ; 4 ; 3
2 2
       a i j b i j c i j d j e i
          
.
Bài 2. Viết dưới dạng u xi yj 
 
khi biết toạ độ của u

là:
a) (2; 3); ( 1;4); (2;0); (0; 1)      u u u u
   
.
b) (1;3); (4; 1); (1;0); (0;0)    u u u u
   
.
Bài 3. Cho a b(1; 2), (0;3)  

. Tìm toạ độ của các sau:
a) ; ; 2 3     x a b y a b z a b
       
. b) 3 2 ; 2 ; 4 3     u a b v b w a b
      
.
Bài 4. Cho  0 0;A x y . Tìm điểm đối xứng của A lần lượt qua các trục tọa độ.
Bài 5. Cho hai điểm A B(3; 5), (1;0) .
a) Tìm toạ độ điểm C sao cho: OC AB3 
 
.
b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C.
c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.
d) Tìm điểm C để tam giác ABC nhận O là trọng tâm.
Bài 6. Cho ba điểm A(1; 2), B(0; 4), C(3; 2).
a) Tìm toạ độ các AB AC BC, ,
  
. b) Tìm tọa độ điểm M sao cho: CM AB AC2 3 
  
.
c) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB. d) Tìm N sao cho: AN BN CN2 4 0  
   
.
Bài 7. Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2).
a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C.
b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A, B, C.
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 8. Cho ABC có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2).
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
b) Tìm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ O là giao điểm của AC và BD.
Bài 9 .Cho A(2; 3), B(1; 1), C(6; 0).
a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABDC là hình bình hành.
d) Tìm tọa độ điểm E đối xứng với C qua B
Bài 10. Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1). Tìm toạ độ các điểm M, N, P sao cho:
a) Tam giác ABC nhận các điểm M, N, P làm trung điểm của các cạnh.
b) Tam giác MNP nhận các điểm A, B, C làm trung điểm của các cạnh.
Bài 11. Cho tam giác ABC có trung điểm các cạnh BC, AC, AB lần lượt là M( -1; 1) , N( 1; 9) , P ( 9; 1) .

35. Trang 35
Tìm tọa độ A, B, C.
VẤN ĐỀ 2: CHỨNG MINH HAI CÙNG PHƯƠNG.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
1. Sử dụng điều kiện hai vectơ cùng phương:
Ta có a cùng phương với vectơ  0bb
 















0.
:
22
2
1
2
1
21
21
ba
b
b
a
a
kbb
kaa
Rk
2. Sử dụng điều kiện 3 điểm thẳng hàng:
Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB , AC cùng phương  tồn tại số thực k 0 sao cho: ACkAB .
Lưu ý : Để chứng minh 3 điểm A, B, C lập thành tam giác , ta chứng minh AB , AC không cùng phương
Bài 1. Các cặp vectơ sau đây có cùng phương không?
a)    4;6,2;3  ba b)    1;5,0,8;4  bc
c)    0;6,0;2013  vu d)    3;5,5;3  nm
Bài 2. Cho      5;61;3;2;1  cvàba . Tìm m để vectơ bam  cùng phương với c .
Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy cho :      1;01;2;23;12
Avàbxxa  .
a) Tìm x để a cùng phương với b .
b) Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục hoành để AM cùng phương với b .
Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy cho :    1;01;2 Avàb  .Tìm tọa độ của M để AM cùng phương với b và
có độ dài bằng 5 .
Bài 5. Cho (1; 4), ( 3;2) à (2 1;3 4 )A B v u m m   

. Tìm m để àAB v u
 
cùng phương.
Bài 6. Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0). Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Bài 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm      5;9,1;1,4;3  CBA .
a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD.
c) Tìm tọa độ điểm E trên trục Ox, sao cho A, B, E thẳng hàng.
Bài 8. Cho ba điểm      7;4,2;1,5;2 CBA .
a) Tìm tọa độ điểm M sao cho : iBCABAM .532  .
b) Tìm điểm N trên trục Ox sao cho A, B, N thẳng hàng.
Bài 9. Trong mặt phẳng Oxy cho      2;4,1;1,4;1  CBA .
a) Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác .
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là 1 hình bình hành.
c) Tìm tọa độ điểm )6;(xE sao cho A, B, E thẳng hàng.
Bài 10. Trong mặt phẳng Oxy cho      2;2,4;2,1;4  CBA .

36. Trang 36
a) Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác .
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
c) Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm của tam giác ABC.
d) Tìm tọa độ điểm E trên trục Ox sao cho A, B, E thẳng hàng.
e) Tìm tọa độ điểm F sao cho ABCF là hình bình hành.
VẤN ĐỀ 3: PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO HAI KHÔNG CÙNG PHƯƠNG
PHƯƠNG PHÁP CHUNG :
Để phân tích vec tơ  21; uuu  theo hai vec tơ không cùng phương  21; aaa  và  21; bbb  , ta
thực hiện các bước sau:
1. Giả sử byaxu  . Khi đó ta có hệ phương trình :





222
111
ybxau
ybxau
2. Giải hệ phương trình này ta tìm được x, y.
3. Kết luận : byaxu 
Bài 1. Cho a b c
1
(2;0), 1; , (4; 6)
2
 
     
 
 
.
a) Tìm toạ độ của d a b c2 3 5  
  
.
b) Tìm 2 số m, n sao cho: ma b nc 0  
  
.
c) Biểu diễn c a btâeo ,
 
.
d) Tìm m để ( 1;2)e m 

cùng phương với b

Bài 2. Cho hai vectơ    5;4,2;3  ba .
a) Hãy biểu thị các vectơ ba, qua hai vectơ ji, .
b) Tìm tọa độ các vectơ baubadbac 4;
2
1
2;  . Biểu thị vectơ u qua hai vectơ dc, .
Bài 3. Cho hai vectơ      0;2,3;1,4;3  cba .
a) Tìm tọa độ các vectơ bbaba 23;2  .
b) Xác định k, l sao cho : 0 cblak .
c) Xác định k, l sao cho vectơ c cùng phương với vectơ blakv  và 5v .

37. Trang 37
y
x
M(x; y)
O

x
y
1
1-1
-1
CHƯƠNG 2 :TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG
BÀI 1. TÍCH VOÂ HÖÔÙNG HAI VECTÔ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
I. Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ ( từ 0
0 đến 0
180 )
Với mỗi góc  00
1800   ta xác định
một điểm M trên nữa đường tròn đơn vị sao
cho MOx . Gọi  yx; là tọa độ của điểm
M , ta có :
- tung độ y của M là sin của góc  , kí hiệu là
sin
- hoành độ x của M là cos của góc  , kí hiệu
là cos
- tỉ số  0x
x
y
là tang của góc  , kí hiệu là
tan .
- tỉ số  0y
y
x
là cotang của góc  0x
x
y
,
kí hiệu là cot .
Các số sin , cos , tan , cot được gọi là
giá trị lượng giác của góc  . Ta có các tính
chất sau:
   
    

cot180cot;tan180tan
cos180cos;sin180sin
00
00


BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ GÓC ĐẶC BIỆT:

38. Trang 38
2. Góc giữa hai vectơ:
Cho hai vectơ bvàa đều khác vectơ 0 . Từ một điểm O bất kỳ ,
vẽ các vectơ bOBaOA  ; . Góc AOB
( với 00
1800   ) là góc của bvàa . Ta kí hiệu :  ba, .
Chú ý :
i) Nếu 0a hoặc 0b târ ta xem góc của bvàa là
tùy ý từ 0
0 đến 0
180 .
ii) 0
0  bvàa cùng hướng.
iii) 0
180  bvàa ngược hướng.
3. Tích vô hướng của hai vectơ:
a. Định nghĩa : Cho hai vectơ bvàa đều khác vectơ 0 . Tích vô hướng của hai vecto bvàa

là một số ,
kí hiệu là ba

. , được xác định bởi công thức: ),cos(... bababa

 .
Từ định nghĩa ta có : AOBOBOAOBOA cos... 
Nhận xét :
i)   222
. aaaaa 
ãã) 2
2
ABAB 
ããã) aaa  ,00..0
ãv)   babababa

..0, 0

v)   babababa

..180, 0

vi)   0.90, 0
 baba

vii)   0.90, 0
 baba

viii)   0.90, 0
 bababa

( điều kiện vuông góc )
O
B
A

a
b
a
b
O A
B

39. Trang 39
ix )







00
)00(00
0.
bakhiba
baba
ba
b. Tính chất : với mọi vectơ mvàcba ,,,
i) abba ..  ( Tính chất giao hoán )
ii)   cabacba ...  ( Tính chất phân phối đối với phép cộng, phép trừ )
iii)      abmbambam ......  ( Tính chất kết hợp)
c. Các hằng đẳng thức đáng nhớ :
i)   222
..2 bbaaba 
ii)   bababa 
22
d. Định lý về hình chiếu vectơ :
Gọi C’, D’ là hình chiếu của C, D lên đường thẳng chứa đoạn thẳng AB, ta có : ''.. DCABCDAB 
4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
a) Biểu thức giải tích của tích vô hướng
Cho hai vecto );();;( 2121 bbbaaa 

, ta có: 2211. bababa 

b) Độ dài của vecto : Cho vecto );( 21 aaa 

, ta có :
2
2
2
12211
22
... aaaaaaaaaa 

Do đó, độ dài của vecto a

được xác định bởi công thức :
2
2
2
1 aaa 

c) Khoảng cách giữa hai điểm :
Cho hai điểm );();;( BBAA yxByxA , ta có: );( ABAB yyxxAB  .
Do đó, khoảng cách giữa hai điểm A, B bằng độ dài vecto AB .
22
)()( ABAB yyxxABAB 
d) Góc giữa hai vecto
Cho hai vecto );();;( 2121 bbbaaa 

, ta có :
2
2
2
1
2
2
2
1
2211
..
.
),cos(),cos(...
bbaa
baba
ba
ba
babababa


 

Đặc biệt : 02211  bababa
A B
C
C’ D
’
A B
D
C
D’ C’

40. Trang 40
5. Một số công thức nâng cao :
1. Cho ABC với );();;( 2121 bbACaaAB  , ta có :
  1221
21
21
2
1
2
1
,
2
1
baba
bb
aa
ACABS ABC 
2. Diện tích ABC tính công thức : 2
22
).(.
2
1
ACABACABS ABC 
3.
. 0
H laøtrö ïc taâm tam gãaùc ABC
. 0
AH BC AH BC
BH AC BH AC
   
  
   
   
   
4.
'
'
'
laøcâaâè ñö ôøèg cao åeûtö øA
cïøèg pâö ôèg
AA BC
A
BA BC
 
 

 
 
5.
IA=IB
I laøtaâm ñö ôøèg troøè ègoaïã tãegp tam gãaùc ABC
IA=IC

 

6. D là chân đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC
DC
AC
AB
DB .
7. D’ là chân đường phân giác ngoài của góc A của tam giác ABC
CD
AC
AB
BD '.' 
8. J laøtaâm ñö ôøèg troøè èoäã tãegp ABC .
AB
JA JD
BD
   
 
B. PHƯƠNG PHÁP TOÁN .
VẤN ĐỀ 1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
1. Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác.
2. Sử dụng mối quan hệ giữa hai góc phụ nhau, bù nhau.
3. Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
A'B
A
C
I
A
B C
B
A
C
D
J
B
A
C
D
H
A
B
C

41. Trang 41
a) 0 0 0íãè0 coí0 íãè90 a b c b) 0 0 0coí90 íãè90 íãè180 a b c
c) 2 0 2 0 2 0íãè90 coí90 coí180 a b c d) 2 0 2 0 2 03 íãè 90 2coí 60 3taè 45  
e) 2 2 0 0 2 0 24 íãè 45 3( taè45 ) (2 coí45 ) a a a
Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) x xíãè coí khi x bằng 00
; 450
; 600
. b) x x2íãè coí2 khi x bằng 450
; 300
.
Bài 3. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại:
a)
1
íãè
4
  ,  nhọn. b)
1
coí
3
   c) xtaè 2 2
Bài 4. Biết 0 6 2
íãè15
4

 . Tinh 0 0 0
coí15 , taè15 , cot15 .
Bài 5. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của một biểu thức:
a) x x0 01
íãè , 90 180
3
   . Tính
x x
A
x x
taè 3cot 1
taè cot
 


.
b) taè 2  . Tính B
3 3
íãè coí
íãè 3coí 2íãè
 
  


 
c)
1
tan
4
a  . Tính
sin 2cos
3sin cos
x x
C
x



Bài 6. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) 2(íãè coí ) 1 2íãè .coí  x x x x b) 4 4 2 2íãè coí 1 2íãè .coí  x x x x
c) 2 2 2 2taè íãè taè .íãè x x x x d) 6 6 2 2íãè coí 1 3íãè .coí  x x x x
e) íãè .coí (1 taè )(1 cot ) 1 2íãè .coí   x x x x x x
Bài 7. Đơn giản các biểu thức sau:
a) coí íãè .taèy y y b) 1 coí . 1 coí b b c) 2íãè 1 taèa a
d)
21 coí
taè .cot
21 íãè



x
x x
x
e)
2 21 4íãè .coí
2(íãè coí )


x x
x x
f) 0 0 2 2 2íãè(90 ) coí(180 ) íãè (1 taè ) taè     x x x x x
Bài 8. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) 2 0 2 0 2 0 2 0coí 12 coí 78 coí 1 coí 89  
b) 2 0 2 0 2 0 2 0íãè 3 íãè 15 íãè 75 íãè 87  
VẤN ĐỀ 2: TÍNH TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ, GÓC CỦA HAI VECTƠ, ĐỘ DÀI VECTƠ.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
1. Để tính tích vô hướng của hai vectơ , ta có thể sử dụng :

42. Trang 42
+ Định nghĩa, tính chất của tích vô hướng.
+ Định lý hình chiếu
+ Công thức :   22222
..2; bbaabaaa 
2. Để tính góc của hai vectơ , ta sử dụng công thức :
2
2
2
1
2
2
2
1
2211
..
.
),cos(
bbaa
baba
ba
ba
ba


 

 00  bvàa
3. Áp dụng quy tắc sau :  22
2
ABACBCBC  ( chuyển phép tính độ dài đoạn thẳng thành phép tính
tích vô hướng )
Áp dụng công thức tọa độ : 22
)()( ABAB yyxxABAB  ( nếu bài toán có liên quan đến tọa độ)
Bài 1. Tính tích vô hướng hai vecto bvàa

:
a) 0
60),(5;8  bavàba

b) 0
135),(1  bavàba

c) 0
45),(2;3  bavàba

d) 0
150),(3;5  bavàba

Bài 2. Tính 22
)(;)(;. bababa

 biết :
a) 0
150),(6;  bavàba

b) 0
120),(3  bavàba

Bài 3. Tính )2).(2();).(( babababa

 biết :
a) 3;5  ba

b) 12;13  ba

Bài 4. a) ...6;5 baTínhbavàba


b) ...7;1 baTínhbavàba


Bài 5. Cho 0, ba

. Tính góc của hai vectơ ba

, . Biết :
a) baba

..  b) baba

.. 
c) baba

.
2
1
.  d) 1;32  baba

Bài 6.a) babaTínhbavàba

 ;.60),(4;3 0
b) baTínhbavàba

 .2419;13 .
c) baTínhbavàba

 .13;2
d)    baTínhbabavàbaba

,.324.2 
Bài 7. Cho tam giác ABC đều cạnh a có G là trọng tâm của tam giác. Tính các tích vô hướng sau :
a) BCACBCABACAB .;.;.
b) BCGAABGAGBGA .;.;.
c)  ACABAB 32 
Bài 8. Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH. Tính các tích vô hướng sau :
a) ;.ACAH
b)    ABACACACABAB  .;.

43. Trang 43
c)   ABACACAB  .
d)  ACABAB 52 
Bài 9. Cho tam giác ABC , trực tâm H, độ dài BC = a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính tích vô
hướng sau : MAMH.
Bài 10. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hương sau :
a) ..;. BDABACAB
b)      .2.;. ABADABACBCBDADAB 
c)      ..;. BABDBCACABDCDBDAADACAB 
d) ABOA. với O là tâm hình vuông.
Bài 11. Cho tam giác ABC .
a) CMR : ACABACABBC ..2222
 .
b) Biết AB = 5 ; AC = 8 ; BC = 7 . Tính BCAB. và ACAB. . Từ đó suy ra góc A.
c) Lấy D thuộc cạnh AC sao cho CD = 3. Tính CBCD. .
d) Gọi M là trung điểm BC . CMR : 22
. MBMAACAB  .
Bài 12. Cho tam giác ABC biết AB = 3; BC = 6; AC = 8.
a) Tính ABCACABCBCAB ...  .
b) Gọi D là điểm cố định xác định bởi biểu thức : DACD 32  . Tíèâ ADAB. . Tíèâ BD.
Bài 13. Cho tam giác ABC biết AB = 6; BC = 11; AC = 8.
a) Tính ACAB. .Sïy ra góc A tù.
b) Trên AB lấy điểm M sao cho AM = 2. Gọi N là trung điểm cạnh AC. Tính ANAM. . Tíèâ MN.
Bài 5. Cho tam giác ABC có AB=3; AC=5; BC=7.
a) Tính ACAB. và tính cos A.
b) Tính BABC. và tính cos B.
c) Tính cosC
Bài 5. Cho tam giác ABC có AB=5; AC=3;
0
120ˆ A .Tính BC; độ dài trung tuyến BM và CN của tam
giác ABC.
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH; HB=3 và HC =5.
a) Tính BCABvàCBCA ..
b) Tính ACHAvàAHAB ..
Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Biết BC =6
a) Tính CBCAvàBCBA .. .
b) Cho 0
60ˆ B . Tính AHBA.
Bài 8. Cho tam giác ABC có BC =5; CA=6; AB=8.
a) Tính BCBA. rồi suy ra giá trị của góc B.
b) Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD=3. Tính ACAD. .
Bài 9. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.
a) Tính AB AC.
 
, rồi suy ra cosA.
b) Gọi G là trọng tâm của ABC. Tính AG BC.
 
.
c) Tính giá trị biểu thức S = GA GB GB GC GC GA. . . 
     
.

44. Trang 44
d) Gọi AD là phân giác trong của góc BAC (D  BC). Tính AD

theo AB AC,
 
, suy ra AD.
HD: a) 3
.
2
 AB AC
 
, 1
coí
4
 A b) 5
.
3
AG BC
 
c) 29
6
 S
d) Sử dụng tính chất đường phân giác AB
DB DC
AC
.
 
 AD AB AC
3 2
5 5
 
  
, AD
54
5

Bài 10. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 600
. M là trung điểm của BC.
a) Tính BC, AM.
b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi: IA IB JB JC2 0, 2  
   
.
Bài 11. Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, CA = 9
a) Tính cosA, cosB, cosC b) Tính trung tuyến BM, CN.
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 3a , M là trung điểm BC. Biết
2
.
2
a
AM BC 
 
. Tính AB, AC
Bài 13. Cho hình bình hành ABCD có AB = 13, AD = 19, AC = 24. Tính độ dài BD.
Bài 14. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5, BC = 4. Gọi M , N là trung điểm BC, CD.
a) Tính AM

theo
 
AB và AD b) 
 
AM AN
Bài 15. Cho hình bình hành ABCD với 0
301;3  BADvàADAB .
a) Tính ABAD. ; BCBA.
b) Tíèâ đđộ dài hai đường chéo AC và BD.
c) Tính  BDAC,cos
Bài 16. Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = a, AD = 3a,
2
a9
BC
a) Tính các tích vô hướng sau :  BDACgócrasuyBDACADACABAC ,.;.;. .
b) Gọi M là trung điểm của AC . Tính BDBM. . Suy ra cosMBD.
Bài 17. Cho hình thang vuông ABCD , có đường cao AB, cạnh đáy AD = a; BC = 2a . Hãy tính độ dài đoạn
AB trong các trường hợp sau :
a) 2
. aABAC 
b) 2
. aBDAC 
c) 2
. aIDIC  ( I là trung điểm của AB )
Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 4) , B(3; -2) . Một điểm M di động trên Ox . Tim giá trị
nhỏ nhất của độ dài MBMA  .
Bài 19. Cho ba điểm A( 1; 2) , B(-2; 3) , C(2; -1) . Tìm m sao cho độ dài ACmAB  .
VẤN ĐỀ 3: CHỨNG MINH SỰ VUÔNG GÓC CỦA HAI VECTƠ – HAI ĐƯỜNG THẰNG