Giai de thi dai hoc 2012 - mon toan khoi a (Chuan)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối A và khối A1
(Đáp án – thang điểm gồm 04 trang)
Câu Đáp án Điểm
1 a) (1,0 điểm)
(2,0 điểm)
Khi m = 0, ta có: y = x 4 − 2 x 2 .
• Tập xác định: D = .
0,25
• Sự biến thiên:
− Chiều biến thiên: y ' = 4 x3 − 4 x; y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1.
Các khoảng nghịch biến: (− ∞; −1) và (0; 1); các khoảng đồng biến: (−1; 0) và (1; + ∞).
− Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, yCT = −1; đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 0. 0,25
− Giới hạn: lim y = lim y = + ∞.
x→−∞ x→+∞
− Bảng biến thiên:
x −∞ –1 0 1 +∞
y' – 0 + 0 – 0 +
+∞ +∞ 0,25
0
y
–1 –1
• Đồ thị: y
8
0,25
–1 O 1
–2 2 x
–1
b) (1,0 điểm)
Ta có y ' = 4 x 3 − 4( m + 1) x = 4 x ( x 2 − m − 1).
0,25
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi m + 1 > 0 ⇔ m > −1 (*).
Các điểm cực trị của đồ thị là A(0; m 2 ), B(− m + 1; − 2m − 1) và C ( m + 1; − 2m − 1).
0,25
Suy ra: AB = ( − m + 1; − ( m + 1) 2 ) và AC = ( m + 1; − ( m + 1) 2 ).
Ta có AB = AC nên tam giác ABC vuông khi và chỉ khi AB. AC = 0 0,25
⇔ ( m + 1) 4 − ( m + 1) = 0. Kết hợp (*), ta được giá trị m cần tìm là m = 0. 0,25
Trang 1/4

2. Câu Đáp án Điểm
2 Phương trình đã cho tương đương với ( 3 sin x + cos x − 1) cos x = 0. 0,25
(1,0 điểm) π
• cos x = 0 ⇔ x = + kπ (k ∈ ). 0,25
2
• 3 sin x + cos x − 1 = 0 ⇔ cos x − = cos
π
3
( )
π
3
0,25
2π
⇔ x = k 2π hoặc x = + k 2π (k ∈ ).
3
0,25
π 2π
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = + kπ, x = k 2π và x = + k 2π (k ∈ ).
2 3
3 3
3 ⎧( x − 1) − 12( x − 1) = ( y + 1) − 12( y + 1) (1)
(1,0 điểm) Hệ đã cho tương đương với: ⎨ ⎪
( ) ( )
12 12 0,25
⎪x−
⎩
+ y+ = 1. (2)
2 2
1 1 3 1 1 3
Từ (2), suy ra −1 ≤ x − ≤ 1 và −1 ≤ y + ≤ 1 ⇔ − ≤ x − 1 ≤ và − ≤ y + 1 ≤ .
2 2 2 2 2 2
0,25
3 3
Xét hàm số f (t ) = t 3 − 12t trên ⎡− ; ⎤ , ta có f '(t ) = 3(t 2 − 4) < 0 , suy ra f(t) nghịch biến.
⎢ 2 2⎥
⎣ ⎦
Do đó (1) ⇔ x – 1 = y + 1 ⇔ y = x – 2 (3).
( ) ( )
2 2
1 3 1 3 0,25
Thay vào (2), ta được x − + x− = 1 ⇔ 4 x 2 − 8 x + 3 = 0 ⇔ x = hoặc x = .
2 2 2 2
Thay vào (3), ta được nghiệm của hệ là ( x; y ) = ; −
1
2 2
3
( ) 3 1
hoặc ( x; y ) = ; − .
2 2
( ) 0,25
4 dx dx 1
Đặt u = 1 + ln( x + 1) và dv = 2 , suy ra du = và v = − . 0,25
(1,0 điểm) x x +1 x
3 3
1 + ln( x + 1) dx
I=−
x 1
+ ∫ x( x + 1) 0,25
1
3 3
=
2 + ln 2
3
+ ∫(
1
1
−
1
x x +1
dx = )
2 + ln 2
3
+ ln
x
x +1 1
0,25
2 2
= + ln 3 − ln 2. 0,25
3 3
5 Ta có SCH là góc giữa SC và (ABC), suy ra SCH = 60o.
(1,0 điểm) S a a 3
Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Ta có: HD= , CD = ,
6 2 0,25
a 7 a 21
HC = HD 2 + CD 2 = , SH = HC.tan60o = .
3 3
1 1 a 21 a 2 3 a 3 7
VS . ABC = .SH .S ∆ABC = . . = . 0,25
3 3 3 4 12
K
Kẻ Ax//BC. Gọi N và K lần lượt là hình chiếu vuông góc
3
A của H trên Ax và SN. Ta có BC//(SAN) và BA = HA nên
D 2
N C
x 3 0,25
d ( SA, BC ) = d ( B,( SAN )) = d ( H ,( SAN )).
H 2
B Ta cũng có Ax ⊥ ( SHN ) nên Ax ⊥ HK . Do đó
HK ⊥ ( SAN ). Suy ra d ( H ,( SAN )) = HK .
2a a 3 SH .HN a 42 a 42
AH = , HN = AH sin 60o = , HK = = . Vậy d ( SA, BC ) = . 0,25
3 3 2
SH + HN 2 12 8
Trang 2/4

3. Câu Đáp án Điểm
6 Ta chứng minh 3t ≥ t + 1, ∀t ≥ 0 (*).
(1,0 điểm)
Xét hàm f (t ) = 3t − t − 1 , có f '(t ) = 3t ln 3 − 1 > 0, ∀t ≥ 0 và f (0) = 0 , suy ra (*) đúng. 0,25
Áp dụng (*), ta có 3 | x− y | + 3 | y− z | + 3 | z− x | ≥ 3+ | x − y | + | y − z | + | z − x |.
Áp dụng bất đẳng thức | a | + | b | ≥ | a + b | , ta có:
(| x − y | + | y − z | + | z − x |) 2 = | x − y |2 + | y − z |2 + | z − x |2 + | x − y |(| y − z | + | z − x |) + | y − z |(| z − x | + | x − y |) 0,25
( 2 2
+ | z − x |(| x − y | + | y − z |) ≥ 2 | x − y | + | y − z | + | z − x | . 2
)
( )
Do đó | x − y | + | y − z | + | z − x | ≥ 2 | x − y |2 + | y − z |2 + | z − x |2 = 6 x 2 + 6 y 2 + 6 z 2 − 2 ( x + y + z ) .
2
0,25
2 2 2
Mà x + y + z = 0, suy ra | x − y | + | y − z | + | z − x | ≥ 6 x + 6 y + 6 z .
Suy ra P = 3 | x− y | + 3 | y−z | + 3 | z−x | − 6 x 2 + 6 y 2 + 6 z 2 ≥3.
0,25
Khi x = y = z = 0 thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3.
7.a Gọi H là giao điểm của AN và BD. Kẻ đường thẳng qua H
(1,0 điểm) và song song với AB, cắt AD và BC lần lượt tại P và Q.
A B Đặt HP = x. Suy ra PD = x, AP = 3x và HQ = 3x. 0,25
Ta có QC = x, nên MQ = x. Do đó ∆AHP = ∆HMQ, suy ra
AH ⊥ HM .
Hơn nữa, ta cũng có AH = HM .
M
3 10 0,25
H Do đó AM = 2 MH = 2d ( M ,( AN )) = .
Q 2
P
A∈AN, suy ra A(t; 2t – 3).
( ) ( )
C
D N 3 10 11 2 7 2 45 0,25
MA = ⇔ t− + 2t − =
2 2 2 2
⇔ t 2 − 5t + 4 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 4.
0,25
Vậy: A(1; −1) hoặc A(4;5).
8.a Véc tơ chỉ phương của d là a = (1; 2; 1). Gọi H là trung điểm của AB, suy ra IH ⊥ AB.
(1,0 điểm) 0,25
Ta có H ∈d nên tọa độ H có dạng H (t −1; 2t ; t + 2) ⇒ IH = (t −1; 2t ; t −1).
IH ⊥ AB ⇔ IH . a = 0 ⇔ t − 1 + 4t + t − 1 = 0 ⇔ t =
1
3
2 2
(
2
⇒ IH = − ; ; − .
3 3 3
) 0,25
2 6
Tam giác IAH vuông cân tại H, suy ra bán kính mặt cầu (S) là R = IA = 2 IH = . 0,25
3
8
Do đó phương trình mặt cầu cần tìm là ( S ): x 2 + y 2 + ( z − 3)2 = . 0,25
3
9.a
n −1 3 n(n − 1)(n − 2)
(1,0 điểm) 5Cn = Cn ⇔ 5n = 0,25
6
⇔ n = 7 (vì n nguyên dương). 0,25
2 n7 7 7−k 7
1 ⎞ ⎛ x2 1 ⎞ 2
(− 1 ) = ∑ (−21)7−kC7 x14−3k .
k k k
⎛ nx k⎛x ⎞
Khi đó ⎜
⎝ 14
− ⎟ =⎜
x⎠ ⎝ 2
− ⎟ = C7 ⎜ ⎟
x ⎠ k =0 ⎝ 2 ⎠
∑ x
0,25
k=0
Số hạng chứa x5 tương ứng với 14 − 3k = 5 ⇔ k = 3 .
(−1)3 .C7 5
3
35 0,25
Do đó số hạng cần tìm là x = − x5 .
4 16
2
Trang 3/4

4. Câu Đáp án Điểm
7.b x2 y2
(1,0 điểm) Phương trình chính tắc của (E) có dạng: + = 1,
a2 b2 0,25
y với a > b > 0 và 2a = 8. Suy ra a = 4.
A Do (E) và (C) cùng nhận Ox và Oy làm trục đối xứng và
2 các giao điểm là các đỉnh của một hình vuông nên (E) và 0,25
(C) có một giao điểm với tọa độ dạng A(t ; t ), t > 0.
O 2 x
A∈(C) ⇔ t 2 + t 2 = 8, suy ra t = 2. 0,25
4 4 16
A(2;2) ∈ ( E ) ⇔ + = 1 ⇔ b2 = .
16 b 2 3
x2 y 2 0,25
Phương trình chính tắc của (E) là + = 1.
16 16
3
8.b
(1,0 điểm) M thuộc d, suy ra tọa độ của M có dạng M(2t – 1; t; t + 2).
0,25
MN nhận A là trung điểm, suy ra N(3 – 2t; – 2 – t; 2 – t). 0,25
N∈(P) ⇔ 3 − 2t − 2 − t − 2(2 − t ) + 5 = 0 ⇔ t = 2, suy ra M(3; 2; 4). 0,25
x −1 y + 1 z − 2
Đường thẳng ∆ đi qua A và M có phương trình ∆ : = = . 0,25
2 3 2
9.b Đặt z = a + bi (a, b ∈ ), z ≠ −1.
(1,0 điểm) 5( z + i ) 0,25
Ta có = 2 − i ⇔ (3a − b − 2) + (a − 7b + 6)i = 0
z +1
⎧3a − b − 2 = 0 ⎧a = 1
⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 0,25
⎩ a − 7b + 6 = 0 ⎩b = 1.
Do đó z =1+i. Suy ra w = 1 + z + z 2 =1+1+ i + (1+ i )2 = 2 + 3i. 0,25
Vậy w = 2 + 3i = 13. 0,25
------------- HẾT -------------
Trang 4/4