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Seminararbeit-GANZ
- 1. Johann-Philipp-von-Schönborn-Gymnasium Sprachliches Gymnasium –Humanistisches Gymnasium – Ganztagsgymnasium S E M I N A R A R B E I T Rahmenthema des Wissenschaftspropädeutischen Seminars: Leitfach: Mathematik Das Geheimnis von √-1 Abiturjahrgang 2010/2012 Mandelbrotfraktale in der Chaostheorie im Bezug auf praktische Anwendungen Verfasser: Nicholaas de Young, Tiger Kursleiter: StD Neugebauer Abgabetermin: 8. November 2011
- 2. Inhaltsverzeichnis: 1. Einführende Informationen 2.Chaos 2.1 Schmetterlingseffekt 2.2 Taschenrechner-Beispiel 2.3 Deterministisches Chaos (Laplace’scher Dämon) 3. Mandelbrotfraktale 3.1 Fraktale allgemein 3.2 Selbstähnlichkeit 3.3 Hausdorff- und fraktale Dimension 3.4 Iteration 3.5 Das Apfelmännchen 4. Mandelbrotfraktale in der Chaostheorie 4.1 Begründung für Ordnung im Chaos 4.2 Voraussagen „chaotischer“ Formen anhand Mandelbrotfraktale 5. Praktische Anwendungen der Mandelbrotfraktale 5.1 Anwendungen in der Filmindustrie 5.2 Anwendungen in der Wirtschaft 5.3 Fraktale an der Börse 6. Zusammenfassung 7. Literaturliste
- 3. 3 Seminararbeit zum Thema „Mandelbrotfraktalein der Chaostheorie im Bezug auf praktische Anwendungen“ 1. Einführende Informationen Mandelbrotfraktale sind eine der modernen Entdeckungen in der Mathematik und haben einen wichtigen Platz in vielen Bereichen der Wissenschaft, nicht nur in der Mathematik, gefunden. In der Kunstwelt werden sie aufgrund ihrer mystischen Schönheit bewundert und in der Filmindustrie wird deren Merkmal der Selbstähnlichkeit benutzt, um unglaublich realistische Bilder künstlich herzustellen1 . Auch in der Wirtschaft wurde ihre Rolle schon anerkannt, um eine mit Chaos geprägte Wirtschaft voraussagen zu können2 3 . Ihr wichtigster wissenschaftlicher Beitrag liegt allerdings in der Mathematik bei der Chaostheorie. Jedoch könnten sie künftig viel mehr Information über unser Universum preisgeben. In dieser Seminararbeit wird versucht, die näheren Anwendungen von Mandelbrotfraktalen in den oben genannten Bereichen mit mathematischen Beispielen zu erklären. 2. Chaostheorie Die Chaostheorie ist eines der neusten Themen in der Mathematik. Das sogenannte „Chaos“ wurde zuerst von Edward N. Lorenz, einem amerikanischen Wetterwissenschaftler, im Jahr 1960 entdeckt, als er versuchte, mit einem damaligen Computer die Wettervoraussage zu berechnen4 . Er hatte die Daten bis zur dritten Kommastelle eingegeben, was zu der Zeit als sehr akkurat angesehen wurde. Allerdings 1 Siehe <8> Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness 2 Siehe <6> Review of The (Mis)behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward 3 Siehe <12> The Variation of Certain Speculative Prices 4 Siehe <1> Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, S.13ff
- 4. 4 als er dengleichen Vorgang mit einer zusätzlichen Kommastelle durchführte, ergab sich plötzlich ein ganz anderes Ergebnis als bei der ersten Rechnung5 . 2.1 Schmetterlingseffekt Dieses Phänomen nannte er den Schmetterlingseffekt6 , welchen er in seinem Werk „Vorhersagbarkeit: Kann der Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien einen Tornado in Texas auslösen?“7 im Jahr 1972 an der Universität Cambridge veröffentlichte. Der Schmetterlingseffekt liegt heutzutage im Herzen der Chaostheorie und behauptet, dass ein kleiner, auch übersehbarer Unterschied am Anfang eines Prozesses zu einem drastisch anderen Ergebnis führen könne.8 Ein Beispiel dessen ist ein Ball, der sich an einem Berggipfel befindet. Wenn er einen Zentimeter nach links oder rechts gesetzt wird, kann die neue Lage entscheiden, ob der Ball beispielsweise in einen Tal nach rechts oder links herunterrollt oder gar stehen bleibt. Die Ergebnisse können je nach Anfangsbedingungen extrem variieren. So tritt Chaos auch in der Mathematik auf. 2.2 Taschenrechner-Beispiel Auch bei der Rechnung auf Computern ist Chaos präsent. Ein gutes Beispiel dazu ist das Runden eines Taschenrechners. Geht man davon aus, dass zwei Taschenrechner fehlerfrei und gleich rechnen, dann sollten auch deren Ergebnisse gleich sein. Allerdings funktioniert dies oft nicht in der Praxis, da alle Taschenrechner auf eine bestimmte Zahl von Kommastellen beschränkt sind, welche variieren kann. Im folgenden Versuch wurden zwei Taschenrechner verwendet, die angeblich fehlerfrei und gleich rechnen. Beim Taschenrechner A handelt es sich um einen TI-84 Plus, Silver Edition, von Texas Instruments, der insgesamt zehn Stellen ausrechnet. Anders beim 5 Siehe <1> Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, S.13ff 6 Englisch: Butterfly Effect 7 Veröffentlicht im Jahr 1972 unter dem Titel: Predictability: Does the flap of a butterfly's wings in Brazil set off a tornado in Texas? 8 Siehe <9> Predictability: Does the flap of a butterly’s wings in Brazil set off a tornado in Texas?
- 5. 5 Taschenrechner A istTaschenrechner B ein markenloser Werbungstaschenrechner mit insgesamt acht Ziffern. Die Funktion f(x) = 2x + 1 wird iteriert, indem das Ergebnis wieder in die Funktion eingesetzt wird. Also wird die folgende Rechnung beim Taschenrechner A und B durchgeführt: f(fx) = 2x + 1 ; gilt als Anfangswert für x Die folgende Tabelle zeigt die auftretenden Unterschiede in den Ergebnissen: Iterationen Taschenrechner A Taschenrechner B 0 2,333333333 2,3333332 1 5,666666666 9,6666664 2 12,33333333 19,333332 3 25,66666666 38,666664 4 52,33333332 78,333328 5 105,6666664 157,66665 6 212,3333328 316,3333 Somit kann man feststellen, dass auch kleine, übersehbare Unterschiede trotz der hohen Genauigkeit der beiden Taschenrechner zu großen Abweichungen der Ergebnisse führen können. Dieses „Chaos“ ist unvermeidbar aufgrund des endlichen Rechnens und würde genauso auf dem besten Rechner der Welt auftreten, da auch er nicht unendlich rechnen kann.9 9 Siehe <1>, Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, S.51
- 6. 6 2.3 Deterministisches Chaos(Laplace„scher Dämon) Allerdings sei Chaos besiegbar in Form des Laplace‟schen Dämons, welcher von Pierre-Simon Laplace im 18. Jahrhundert erfunden wurde, indem man alles über alle Prozesse und Objekte im Universum wüsste (wie zum Beispiel, Geschwindigkeit, Richtung und Lage), und so wäre einem die Zukunft komplett offenbart10 . Dies drückte er im folgenden Zitat aus: „Eine Intelligenz, die in einem gegebenen Augenblick alle Kräfte kennt, mit denen die Welt begabt ist, und die gegenwärtige Lage der Gebilde, die sie zusammensetzen, und die überdies umfassend genug wäre, diese Kenntnisse der Analyse zu unterwerfen, würde in der gleichen Formel die Bewegungen der größten Himmelskörper und die des leichtesten Atoms einbegreifen. Nichts wäre für sie ungewiss, Zukunft und Vergangenheit lägen klar vor ihren Augen.“11 Diese Theorie nannte er „deterministisches Chaos“ und behauptete, dass Chaos nicht chaotisch wäre; wüsste man nur genug darüber, so würde aus Chaos Ordnung12 . 3. (Mandelbrot-) Fraktale Benoît Mandelbrot erfand den Ausdruck „Fraktal“, um chaotische Formen zu beschreiben, die als chaotisch galten und somit unbeschreibbar waren13 . Er erkannte jedoch, dass diese chaotischen Formen ein bestimmtes Merkmal, das sie miteinander teilten: die Selbstähnlichkeit, besaßen14 . 10 Siehe <1> Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, S.12 11 Übersetzung aus dem Englischen; siehe <1> Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, S.12 12 Siehe <1> Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, S.12 13 Siehe <8> Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness 14 Siehe <3> The Beauty of Fractals, S.VI
- 7. 7 3.1 Selbstähnlichkeit Aufgrund diesesMerkmals ließen sich nun viele „chaotische“ Formen mit Fraktalen beschreiben, da diese Formen das gleiche Muster mit nur wenigen Varianten besaßen. Das Aussehen solcher Formen beschrieb er als „Rauheit“, welche mit Fraktalen herzustellen sei.15 Das Merkmal der Selbstähnlichkeit ist fast omnipräsent. Es ist der Grund, warum heutzutage erstaunlich realistische Bilder von natürlichen Objekten, wie zum Beispiel Wolken oder Bäumen, hergestellt werden können16 . Dies wird durch die sogenannte Rauheit gemacht17 . Ein Beispiel ist eine Wolke, deren Rauheit möglicherweise 2,64 beträgt18 . Eine Küste, deren Form offenbar keinem Muster ähnelt, besitzt auch Selbstähnlichkeit. Wenn sie vergrößert wird, bleibt sie gleich kompliziert. Wie kompliziert bestimmt die Rauheit, die wiederum ein realistisches, künstliches Herstellen dessen ermöglicht. 3.2 Ausrechnen der Hausdorff-Dimension Diese Rauheit kann mit der Hausdorff-Dimension ausgerechnet werden, die einem Raum eine Dimension zuordnet. Sie liegt normalerweise zwischen 1 (zum Beispiel ein Strich) und 2 (beispielsweise etwas so komplex wie ein Mandelbrotfraktal). Allerdings muss sie nicht zwingend eine reelle Zahl sein. Die Hausdorff-Dimension eines Punktes beträgt 0, wobei die einer Linie 1 beträgt. Das Mandelbrotfraktal besitzt eine Hausdorff- Dimension von 2. Die Hausdorff-Dimension wird berechnet, indem die Anzahl einer verkleinerten Form durch deren Maß dividiert wird. Die allgemeine Formel für eine selbstähnliche Struktur lautet19 : 15 Siehe <8> Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness 16 Siehe <8> Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness 17 Siehe <8> Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness 18 Siehe 5.1 Anwendung in der Filmindustrie 19 Siehe <1> Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, S.194
- 8. 8 Dabei a =die Anzahl der verkleinerten Teile der originalen Struktur; s = der Verkleinerungsfaktor (das heißt, der Maß); und D = die Dimension.20 Somit ergibt sich beispielsweise bei einem Quadrat: Da neun Quadrate im Maß 1:3 in ein Quadrat passen. Nimmt man eine komplexere Struktur, wie zum Beispiel die Koch-Kurve, so können vier Teile des Ganzen im Maß 1:3 in das Original einpassen. So ergibt sich folgende Gleichung: Versucht man aber die fraktale Dimension einer Struktur auszurechnen, die keine genaue Selbstähnlichkeit besitzt (zum Beispiel: der britischen Küste), funktioniert die oben genannte Formel nicht mehr. So muss man die Boxcounting-Methode anwenden, die von Mandelbrot auf Basis der Hausdorff-Dimension erfunden wurde.21 3.4 Iteration Der Prozess der Iteration wurde zum ersten Mal von Sir Isaac Newton und Gottfried W. Leibniz verwendet und spielt bis heute noch in allen Bereichen der Wissenschaft eine wichtige Rolle.22 Sie kann beispielsweise angewendet werden, um die Lage und Geschwindigkeit eines Partikels aufgrund seiner vorherigen Lage und Geschwindigkeit zu einem gewissen Zeitpunkt auszukalkulieren. Physiker denken dabei oft im Rahmen unendlicher Zeitschritte: natura non facit saltus - Die Natur macht keine radikalen Sprünge. 23 20 Siehe <8> Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness 21 Siehe <1> Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, S.192 22 Siehe <1> Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, S.17 23 Übersetzt aus dem Englischen; siehe <1> Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, S.17
- 9. 9 Anders wird siein der Biologie verwendet, um beispielsweise Änderungen in einer gegebenen Bevölkerung von Jahr zu Jahr (beziehungsweise von Generation zur Generation) zu beobachten. Allerdings bleibt das Prinzip der Iteration in allen Fällen gleich, wie das folgende Diagramm zeigt. 3.5 Das Apfelmännchen Das sogenannte „Apfelmännchen“ wurde von Benoît B. Mandelbrot im Jahr 1979 als Abbildung seines Mandelbrotfratkals kreiert24 , indem er die Iterationen des Fraktals mit verschiedenen Tönen einer Farbe (unten: blau) färbte25 . Dies ist nur mit Hilfe eines Computers möglich, da die Rechnung bis ins feinste Detail durchgeführt werden muss. 24 Siehe <4>, Fractals for the Classroom Part Two: Complex Systems and Mandelbrot Set, S.415f 25 Siehe <4>, Fractals for the Classroom Part Two: Complex Systems and Mandelbrot Set, S.417ff Iteration AusgangswertEingabewert Gleichung
- 10. 10 Quelle: Wikimedia26 Das Apfelmännchenetablierte sich schnell als eine Art „Standardsymbol“ für Fratkale, obwohl es eines der neusten Fratkale ist, die es heutzutage gibt27 . Allerdings war die Art der Abbildung neu und ist jetzt Standard, um Fratkale „schön“ darzustellen. 4. Mandelbrotfraktale in der Chaostheorie Das Mandelbrotfraktal (auch bekannt als „Mandelbrotmenge“) fand sehr schnell einen Platz in der Chaostheorie, da es als Beispiel benutzt wurde, dass man im Chaos Ordnung finden könnte. Dies wurde am Beispiel des Mandelbrotfraktals begründet, denn es sieht sehr komplex und unendlich chaotisch aus; ist aber in der Tat selbstähnlich und deshalb extrem einfach28 . 4.1 Begründung für Ordnung im Chaos Auf dem ersten Blick erscheint das Mandelbrotfraktal, völlig chaotisch und unregelmäßig zu sein. Allerdings ist dies nicht der Fall aufgrund seines Merkmals der 26 Wikimedia.org, Internetseite https://secure.wikimedia.org/wikipedia/en/wiki/File:Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg, abgerufen am 04.11.2011 27 Siehe <4>, Fractals for the Classroom Part Two: Complex Systems and Mandelbrot Set, S.415f 28 Siehe <8> Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness
- 11. 11 Selbstähnlichkeit (siehe 3.1).Durch die Erfindung des Fraktals wurden „chaotische“ Formen plötzlich regelmäßig, da ihre Selbstähnlichkeit zum ersten Mal erkannt wurde29 . So wurden aus anscheinend sehr chaotischen und unregelmäßigen Formen Ordnung30 . 5. Praktische Anwendungen Fraktale haben in mehreren Industrien und Bereichen der Wissenschaft einen wichtigen Platz gefunden. Sie helfen beispielsweise in der Medizin, den Raum einer Lunge mit allen Bronchien und Blasen auszurechnen31 . In der Wirtschaft versucht man anhand Fraktale Börsen und Rohstoffpreise voraussagen zu können32 . Im öffentlichen Sektor könnten Fraktale künftig verwendet werden, um Erdbeben aufgrund ihres fraktalen Charakters vorauszusagen33 34 . Viele weitere Anwendungen findet man noch in den Geowissenschaften35 . Da die Zahl der praktischen Anwendungen von Fraktalen extrem hoch ist, werden hauptsächlich nur die Anwendungen in der Filmindustrie, der Wirtschaft und schließlich bei der Börse in dieser Seminararbeit erläutert. 5.1 Anwendung in der Filmindustrie In der Filmindustrie spielt das Mandelbrotfraktal mit anderen Fraktalen eine große Rolle. Sie werden verwendet, um natürliche Objekte künstlich abzubilden, sodass ein sehr realistisches Bild entsteht36 . Unten sind zwei Beispiele von ähnlichen Wolken. Allerdings ist nur eine „echt“, und die andere aus einem Fraktal hergestellt. 29 Siehe <8> Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness 30 Siehe <8> Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness 31 Siehe <8> Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness 32 Siehe <6> Review of The (Mis)behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward 33 Siehe <5> Fractals in Earth Sciences, S.227ff 34 Siehe <13> Fractal Power, S.3 35 Siehe <5> Fractals in Earth Sciences, S.1ff 36 Siehe <13> Fractal Power, S.2
- 12. 12 Diese künstliche Wolkehat eine Hausdorff-Dimension von 2,6437 Quelle: Siehe <10> What Is Cloud Rendering? Diese echte Wolke besitzt eine Hausdorff-Dimension von 2,6438 Quelle: Siehe <11> Neuland in der Wolke? Anhand dieser zwei Beispiele ist zu erkennen, dass zwei Bilder (ein natürliches und ein künstliches) beides erstaunlich realistisch aussehen. Hier sieht man, wie die Hausdorff- Dimension (das heißt, die Rauheit) eines echten Objektes (hier: einer Wolke) verwendet werden kann, um ein ebenso realistisches Bild herzustellen39 . 37 Ausgerechnet am 05.11.2011 mit dem Programm ImageJ mit dem Plugin FracLac 2.5 38 Ausgerechnet am 05.11.2011 mit dem Programm ImageJ mit dem Plugin FracLac 2.5 39 Siehe <8> Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughnes
- 13. 13 5.2 Anwendungen inder Wirtschaft Benoît Mandelbrot fing in der späteren Hälfte des Jahrhunderts an, die Wirtschaft und deren Aufschwünge und Platzen zu erforschen40 . Er suchte ein passenderes Modell, das noch nicht vorhanden war, da seiner Meinung nach alle bis dann erstellten Modelle sehr große Aufschwünge und sehr große Wirtschaftsplatzen ignoriert hätten. So seien alle Details bei einem Modell zu betrachten, egal wie wichtig, beziehungsweise unwichtig sie erschienen. Zunächst betrachtete er die monatlichen amerikanischen Wollpreise vom Jahr 1890 bis Jahr 193041 . Aus diesen bisher als chaotisch gesehenen Daten erkannte er ein besonderes Merkmal: die Selbstähnlichkeit. Egal ob er einen Ausschnitt von zwanzig Jahren oder zwanzig Monaten anschaute, sah der Graph ähnlich aus. So meinte er, dass sich die Preise sporadisch und stoßweise bewegten42 . Man müsse bloß den Preis über einen längeren Zeitraum näher betrachten43 . Nur so ergab sich das erkennbare fraktale Muster. 5.3 Fraktale an der Börse Eine ähnliche Theorie stellte er im Rahmen der Börse vor44 . Allerdings ist diese trotz desselben Prinzips durch eine höhere Komplexität gekennzeichnet45 . Die Behauptung, dass man alle Details eines Prozesses (dies wird oft für unmöglich gehalten46 ) betrachten müsse, entspricht der klassischen Chaostheorie47 . Mandelbrot lehnte das klassische Modell der Gaußglocke (ein glockenförmiger Graph mit hohen Y-Werten um den Punkt 0; 0) als Modell für das Verhalten der Börse ab48 , da 40 Siehe <14> Mandelbrot (Chaos Theory) and Taleb (Black Swan) on Markets 41 Siehe <14> Mandelbrot (Chaos Theory) and Taleb (Black Swan) on Markets 42 Siehe <14> Mandelbrot (Chaos Theory) and Taleb (Black Swan) on Markets 43 Siehe <7> Benoit Mandelbrot and the wildness of the financial markets 44 Siehe <6> Review of The (Mis)behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward 45 Siehe <14> Mandelbrot (Chaos Theory) and Taleb (Black Swan) on Markets 46 Siehe 2.3 Deterministisches Chaos ( Laplace’scher Dämon) 47 Siehe <13> Fractal Power, S.1 48 Siehe <6> Review of The (Mis)behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward
- 14. 14 die Realität oftzu sehr davon abweiche49 . Die häufigen Aufblähungen und Crashs der Börse würden bei der Gaußglocke zu wenig berücksichtigt50 . Allerdings seien laut Mandelbrot Phasen bei der Börse zu merken, in denen die Börse „ruhiger” sei und sich eher an die Gaußglocke halte. Umgekehrt gebe es auch „unruhige” Phasen mit vielen Aufblähungen und Crashs. So solle kein heutiges Modell in der Lage sein, die Börse akkurat genug darzustellen51 . Jedoch könnten Mandelbrotfraktale eine wichtige Rolle bei der Erstellung eines relativ akkuraten, langfristigen Modells der Börse spielen52 . eine typische Gaußglocke53 6. Zusammenfassung Obwohl die Fraktale eines der neusten Bereiche der Mathematik sind, können sie mit weiterer Forschung noch viel mehr für die Wissenschaft (in all ihren Bereichen) und gar für die Menschheit tun. Sie haben das Potenzial, Menschenleben zu retten, mathematische Geheimnisse zu aufzudecken und sogar Ordnung in einer anscheinend chaotischen Wirtschaft zu schaffen. Was sich alles noch hinter diesen chaotisch aussehenden Formen verbirgt, wird sich jedoch erst im Laufe der Zeit zeigen. 49 Siehe <16> Fractals Can Explain What’s Wrong with Wall Street 50 Siehe <6> Review of The (Mis)behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward 51 Siehe <16> Fractals Can Explain What’s Wrong with Wall Street 52 Siehe <16> How Fractals Can Explain What’s Wrong with Wall Street 53 Siehe <6> Review of The (Mis)behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward
- 15. 15 Literaturliste 1. Peitgen, Heinz-Otto;Jürgens, Hartmut; Saupe, Dietmar; Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, Springer-Verlag New York, 2004, 2. Auflage. 2. Stauffer, Dietrich; Stanley, H. Eugene; From Newton to Mandelbrot, Springer- Verlag Berlin Heidelberg New York, 1996, 2. Auflage . 3. Peitgen, Heinz-Otto; Richter, Peter H.; the Beauty of Fractals, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1986. 4. Peitgen, Heinz-Otto; Jürgens, Hartmut; Saupe, Dietmar; Fractals for the Classroom, Part Two, Springer-Verlag New York, 1992. 5. Barton, Christopher Cramer; La Pointe, Paul R.; Fractals in the Earth Sciences, Plenum Press New York, 1995. 6. Kaplan, Ian; „Review of The (Mis)behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward”, Internetseite http://www.bearcave.com/bookrev/misbehavior_of_markets.html vom 30.11.2004, aufgerufen am 24.10.2011. 7. Matson, John; „Benoit Mandelbrot and the wildness of the financial markets”, Internetseite http://www.scientificamerican.com/blog/post.cfm?id=benoit- mandelbrot-and-the-wildness-2009-03-13 vom 13.03.2009, aufgerufen am 24.09.2011 8. „Ted”; „Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness”, Internetseite https://www.youtube.com/watch?v=ay8OMOsf6AQ vom 06.07.2010, aufgerufen am 09.10.2011. 9. Lorenz, Edward N.; „Predictability: Does the flap of a butterly’s wings in Brazil set off a tornado in Texas?”, Internetseite http://eapsweb.mit.edu/research/Lorenz/Butterfly_1972.pdf vom 29.12.1972 (Veröffentlichungsdatum), aufgerufen am 24.09.2011. 10. Bisson, James; „What is cloud rendering?”, Internetseite http://www.ehow.com/facts_6831487_cloud-rendering_.html vom 2011, aufgerufen am 05.11.2011. 11. Unbekannt; „Neuland in der Wolke“, Internetseite http://www.industrial- technology-and-witchcraft.de/index.php/site/comments/478, vom 30.11.2009, aufgerufen am 05.11.2011
- 16. 16 12. Mandelbrot, Benoît;„The Variation of Certain Speculative Prices“, Internetseite http://www.e-m-h.org/Mand63.pdf, vom Jahr 1963 (Veröffentlichungsdatum), aufgerufen am 05.11.2011. 13. Patterson, Kay; „Fractal Power“, Internetseite http://www.firstscience.com/home/articles/big-theories/fractal-power-page-2- 1_47300.html, vom 02.05.2008, aufgerufen am 24.09.2011. 14. „Public Broadcast Service“; „Mandelbrot (Chaos Theory) and Taleb (Black Swan) on Markets”, Internetseite https://www.youtube.com/watch?v=QCsLTPGpEfw, vom 30.01.2010, aufgerufen am 05.11.2011. 15. Challoner, Jack; „How Mandelbrot’s fractals changed the world”, Internetseite http://www.bbc.co.uk/news/magazine-11564766, vom 18.10.2010, aufgerufen am 06.11.2011. 16. Mandelbrot, Benoît; „How Fractals Can Explain What’s Wrong with Wall Street“, Internetseite, http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=multifractals-explain-wall- street, vom 15.09.2008, aufgerufen am 06.11.2011.