Das Dokument diskutiert die Ableitung der Funktion f(x) = ax, wobei die Bedingung f'(x) = ax gilt, und untersucht den Grenzwert, der zur Euler-Zahl e führt. Es wird erklärt, dass lim h→0 (ah−1)/h = 1 sein muss, um die Gleichung zu erfüllen und die resultierende Funktion f(x) = e^x darzustellen. Schließlich wird aufgezeigt, dass e etwa 2,7182 beträgt und als eine wichtige mathematische Konstante betrachtet wird.

1. EINFÜHRUNG DER E-FUNKTION www.matheportal.wordpress.com

2. PROBLEMSTELLUNG
Gesucht ist eine exponentielle Funktion, deren
Ableitung sich nicht verändert!
Also: Gesucht ist die Ableitung von f(x) = ax, sodass gilt:
f´(x) = ax a >0, a≠1!

3. ERSTELLUNG DER ABLEITUNG VON 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥
f´(x) = 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑎 𝑥+ℎ−𝑎 𝑥
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑎 𝑥∙𝑎ℎ−𝑎 𝑥
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑎 𝑥∙ (𝑎ℎ−1)
ℎ
= 𝑎 𝑥 ∙ 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
(𝑎ℎ−1)
ℎ
da 𝑎 𝑥 kein h enthält, kann man es vorziehen
Wenn man will, dass f‘(x) = 𝑎 𝑥
ist, so muss 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
(𝑎ℎ−1)
ℎ
= 1 sein!

4. BERECHNUNG VON 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
(𝑎ℎ−1)
ℎ
𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
(𝑎ℎ−1)
ℎ
= 1

𝑎ℎ −1
ℎ
→ 1 für h → 0
 ah−1 → h
 ah → h+1
Nun setzt man n =
1
ℎ
, d.h. h =
1
𝑛
!
 𝑎
1
𝑛 →
1
𝑛
+1 für n →∞
 a →
1
𝑛
+ 1
𝑛
für n →∞

5. UNTERSUCHUNG VON
1
𝑛
+ 1
𝑛
1
𝑛
+ 1
𝑛
für n →∞
Berechnung der Werte:
Man erkennt, dass sich der Grenz-
wert der Zahl 2,71…. nähert!
n (1+
1
𝑛
)n
1 2
2 2,25
3 2,3703
4 2,4414
5 2,4883
6 2,5216
7 2,5216
8 2,5657
9 2,5811
10 2,5937
15 2,6328
20 2,6532
100 2,7048
150 2,7092
200 2,7115
500 2,7156
1000 2,7169
→ e

6. DIE EULER‘SCHE ZAHL
Wenn man weiter rechnet, erhält man die Zahl 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
𝑛
+ 1
𝑛
= e mit:
:
Quelle: Wikipedia

7. ZUSAMMENFASSUNG
f(x) = 𝑒 𝑥
mit f‘(x) = 𝑒 𝑥
e ist eine unendliche Zahl mit e ≈2,7812