Palestra "A Geometria Escondida" apresentada pelo Prof. José Natário, no Instituto Superior Técnico no dia 14 de Fevereiro de 2011 no âmbito da 4ª edição da atividade “À Descoberta das Rotas Matemáticas da UTL”.

1. A Geometria Escondida
Jos´ Nat´rio
e a
(Instituto Superior T´cnico)
e
Lisboa, Fevereiro de 2011

2. Galileu Galilei (1564–1642)
“A Filosofia [Ciˆncia] est´ escrita neste grande livro, o Universo,
e a
que est´ permanentemente aberto e ao alcance do nosso olhar.
a
Mas o livro n˜o pode ser compreendido sem antes aprendermos
a
a linguagem e os caracteres em que est´ escrito. A linguagem ´
a e
a Matem´tica, e os caracteres s˜o triˆngulos, c´
a a a ırculos e outras
figuras geom´tricas, sem as quais ´ humanamente imposs´
e e ıvel
compreender uma ´nica palavra.”
u

3. Manneken Pis (Bruxelas).

6. Teorema de Kelvin (1824–1907)
α
sin α = 1 (portanto α
3 19, 5o).

7. Leis de Kepler (1571–1630)
1. As ´rbitas dos corpos celestes s˜o sec¸oes c´nicas com o Sol
o a c˜ o
num dos focos.

8. 2. O segmento de recta que une o corpo ao Sol varre ´reas
a
iguais em tempos iguais.

9. Geometria de Euclides (s´c IV–III a.C.)
e
• Duas rectas distintas intersectam-se no m´ximo uma vez.
a
• Existem rectas que n˜o se intersectam (paralelas).
a
• Os ˆngulos internos de um triˆngulo somam 180o.
a a

10. γ
β
α
α + β + γ = 180o

11. Geometria de Riemann (1826–1866)
´
E a geometria das superf´
ıcies (espa¸os) curvos. Em vez de rectas
c
temos geod´sicas (curvas de comprimento m´
e ınimo).
Na esfera, por exemplo, as geod´sicas s˜o os c´
e a ırculos m´ximos,
a
´
como o equador ou os meridianos. E por isso que para ir do
Porto para Nova Iorque, o avi˜o n˜o voa para oeste.
a a

12. P´lo Norte
o
Paralelo 41
Equador
Meridiano de Nova Iorque
P´lo Sul
o Meridiano do Porto

13. Geometria da esfera
• Duas geod´sicas distintas intersectam-se sempre em dois pon-
e
tos (n˜o existem paralelas).
a
• Os ˆngulos internos de um triˆngulo somam mais de 180o.
a a

15. Transporte paralelo
Um vector tangente que ´ transportado paralelamente ao longo
e
de uma curva fechada regressa ao ponto inicial rodado de um
ˆngulo igual ao excesso.
a

17. Einstein (1879–1955)
O espa¸o(-tempo) ´ curvo e os raios luminosos seguem geod´sicas.
c e e
Uma consequˆncia ´ o efeito de lente gravitacional, que origina
e e
imagens m´ltiplas de objectos astron´micos.
u o

19. Cruz de Einstein.

20. Gravity Probe B (lan¸ada em 2004)
c
As esferas mais esf´ricas do mundo...
e

21. ...arrefecidas abaixo de −271oC...

22. ...foram colocadas a rodar em ´rbita.
o

24. Buracos negros
Cygnus X-1 (imagem de raios-X do telesc´pio Chandra).
o

25. Sagittarius A∗ (imagem de raios-X do telesc´pio Chandra).
o

26. horizonte
girosc´pio
o
raio de luz circular

27. Buraco negro a 600 quil´metros...
o

28. ...e a 600 metros.

29. Galileu Galilei (1564–1642)
“A Filosofia [Ciˆncia] est´ escrita neste grande livro, o Universo,
e a
que est´ permanentemente aberto e ao alcance do nosso olhar.
a
Mas o livro n˜o pode ser compreendido sem antes aprendermos
a
a linguagem e os caracteres em que est´ escrito. A linguagem ´
a e
a Matem´tica, e os caracteres s˜o triˆngulos, c´
a a a ırculos e outras
figuras geom´tricas, sem as quais ´ humanamente imposs´
e e ıvel
compreender uma ´nica palavra.”
u