1. Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán
CAPÍTULO 5. Termodinámica
INTRODUCCION. consistentes con las leyes de Newton del
Sistemas Termodinámicos movimiento.
Variables termodinámicas macroscópicas. En la termodinámica la atención se dirige al exterior
Consideremos un gas encerrado en un tubo del sistema. Se determinan experimentalmente: las
cilíndrico cerrado a uno de sus extremos y provisto cantidades macroscópicas que son necesarias y
de una tapa deslizante (pistón) en el otro. Como se suficientes para describir el estado interno del
muestra en la figura. sistema, estas son llamadas coordenadas
termodinámicas.
El propósito de la termodinámica es encontrar las
relaciones entre las coordenadas termodinámicas
consistentes con las leyes fundamentales de la
termodinámica.
Finalmente, puntualizaremos que dentro de la física,
las leyes que relacionan las cantidades
macroscópicas, se denomina termodinámica clásica
El sistema descrito ocupa determinado volumen el o simplemente termodinámica y, las fórmulas
cuál puede conocerse en determinado momento por matemáticas que relacionan las cantidades
la posición del pistón, otra cantidad indispensable microscópicas, constituyen la Mecánica Estadística,
para la descripción del sistema es la presión del gas o Teoría atómica del calor, o bien, cuando se usan
en el cilindro, que también se puede conocer, técnicas simples estadístico-matemáticas se le llama
mediante un manómetro. Finalmente, para tener una teoría cinética.
idea completa de lo que sucede en el cilindro hay
que conocer la temperatura, la cual puede medirse LEY CERO DE LA TERMODINÁMICA Y
en forma simple al igual que las otras dos EQUILIBRIO TÉRMICO.
cantidades. Estas cantidades obtenidas por medición Supongamos que tenemos dos sistemas A y B,
directa, que describen al sistema, nos proporcionarán separados cada uno y definidos por las coordenadas
lo que se conoce como la Descripción microscópica (presión y temperatura) p, T y p’, T’
del sistema. respectivamente.
Otro punto de vista de describir el sistema es El estado de un sistema en el cual las velocidades
asumiendo que el gas esta formado por un gran macroscópicas tienen valores que permanecen
número de partículas, moléculas o átomos, todos de constantes mientras que las condiciones externas no
igual masa y cada uno moviéndose con una se cambien, se conoce como estado de equilibrio
velocidad independiente de las otras es imposible térmico.
aplicar las leyes de Newton del movimiento a cada
molécula por separado e incluso tabular las Equilibrio térmico. Los experimentos demuestran
coordenadas de cada molécula, en este caso es que la existencia de un estado de equilibrio depende
necesario usar métodos estadísticos las cantidades de la proximidad de otros sistemas y de la naturaleza
que lo especifican no están directamente asociadas, de la pared que los separa. Si cuando un sistema
con nuestro sentido de percepción, esta descripción está en un estado de equilibrio y este no cambia con
es conocida como Descripción microscópica del cualquier cambio en el ambiente, el sistema se dice
Sistema. que está “Aislado” o rodeado por una pared “Pared
La descripción macroscópica o sea las propiedades Adiabática”. Cuando las variables macroscópicas de
apreciadas por nuestros sentidos son el punto de dos sistemas que se encuentran conectadas por una
partida para todas las investigaciones y aplicaciones pared diatérmica no varían, se dice que se
prácticas. Por ejemplo, en la mecánica do un cuerpo encuentran equilibrios térmicos entre ellas.
rígido, considerando los aspectos, externos, Imaginemos a los sistemas A y B separados en
especificamos su centro de masa con referencia a un contacto, o separados por una pared diatérmica, con
eje de coordenadas en un tiempo particular. un sistema C.
La posición y e1 tiempo y la combinación de ambos,
tal como la. Velocidad, constituyen algunas de las
cantidades macroscópicas usadas en mecánica y son
llamadas coordenadas mecánicas y estas sirven para
determinar la energía potencial y cinética del cuerpo
rígido. Estos dos tipos de energía, constituyen la
energía mecánica o externa del cuerpo rígido. El
propósito de la mecánica es encontrar relaciones
entre las coordenadas de posición y el tiempo
1

2. Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán
El sistema A estará en equilibrio con el sistema C y Donde las constantes a y b se evalúan de acuerdo a
el sistema B también estará en equilibrio con el un conjunto definido de reglas. Asignemos números
sistema C, luego los sistemas A y B estarán en arbitrarios a dos puntos fijos.
equilibrio térmico uno con el otro.
Esto se conoce como la Ley cero de la Escala Celsius o centígrada.
termodinámica, En la escala Celsius o centígrada uno de ellos el
"Si dos sistemas se encuentran en equilibrio térmico punto de congelación del agua, es decir el punto en
con un tercer sistema, los dos sistemas se encuentran que el agua y el hielo están en equilibrio a la presión
en equilibrio entre sí". atmosférica, a esta temperatura le damos el valor
Esta ley está de acuerdo a nuestra experiencia diaria cero grados Celsius o grados centígrados (0°C).
de nuestros sentidos, es sencilla pero no obvia, es un t = ayc + b = 0o C
hecho que sucede pero podría no haber sido así. Nos
expresa la idea fundamental de temperatura. Cuando El otro punto, el de ebullición del agua a presión
decimos que las variables macrosc6picas no varían, atmosférica, a este le llamamos Cien grados
nos hace falta definir una propiedad que asegure (100°C).
esto. t = aye + b = 100o C
Esta propiedad la llamaremos Temperatura. Al resolver las dos ecuaciones simultáneamente
Nosotros queremos asignar un número de cada encontramos los valores de a y b.
estado de equilibrio de un sistema que tenga la
propiedad que dos sistemas con el mismo número 100o C 100o C
a= y b=− yc
estén en equilibrio térmico entre ellos. ye − yc ye − yc
"La temperatura de un sistema es una propiedad que
Sustituyendo la expresión original
determina si un sistema está en equilibrio o no con
otros sistemas". t = 100o C
( y − yc )
( ye − yc )
TEMPERATURA Y ESCALAS Para un termómetro a gas a Volumen Constante la
La temperatura se determina por la medición de expresión sería
alguna cantidad mecánica, eléctrica u óptica cuyo
valor se correlaciona con la temperatura. t = 100o C
( p − pc )
Generalmente la temperatura de una sustancia, sino ( pe − pc )
en el termómetro el cual, se pone en contacto íntimo y para un termómetro a gas a presión constante la
con la instancia y adquiere la misma temperatura. expresión sería
Se llama TERMOMETRO, a un aparato que permite
medir la temperatura por medio de su propiedad t = 100o C
(V − Vc )
termométrica o variable macroscópica que es (Ve − Vc )
sensible al estado térmico de la sustancia. Los El termómetro a gas a volumen constante consiste en
principales termómetros y sus propiedades
un balón B 1 lleno de gas (hidrógeno por ejemplo)
termométricas se muestran en la tabla.
ligado a un tubo en forma de U lleno de mercurio, el
TERMOMETRO PROPIEDAD volumen de gas en el balón se mantiene constante
TERMOMETRICA subiendo o bajando B 3 hasta que el mercurio en B 2
Gas a volumen constante Presión se encuentra en la marca cero.
Gas a presión constante Volumen
Resistencia eléctrica Resistencia eléctrica
Termocupla Fuerza electromotriz
Columna líquida en un tubo Longitud
capilar
Construyamos una escala de temperatura, para esto
tomemos como termómetro una columna líquida de
mercurio en un tubo capilar de vidrio, observamos
que la columna de mercurio aumentará cuando
aumenta la temperatura, como la compresibilidad del
La presión p que equilibra la presión del gas es
mercurio es tan pequeña podemos considerar como
si fuera a presión constante. La relación más simple p = 76 cm + h
entre temperatura y longitud de la columna que La experiencia muestra que la dependencia de la
podemos elegir, es una relación lineal de y. presión con relación a la temperatura es lineal con
t ( y ) = ay + b esto se obtiene la escala de un termómetro
colocando el balón en un baño de hielo en fusión,
marcando pc y después repitiendo la operación con
vapor de agua, marcando pe.
2

3. Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán
La distancia entre esos dos puntos se toma, por
convención igual a 100°.
Medidas usando el gas hidrógeno como sustancia
termométrica muestra que
pe
= 1,366
pc
o sea que la relación con la temperatura, sería:
⎛ p ⎞ Solución.
⎜ p − 1⎟
⎜ ⎟ Considerando el comportamiento del termómetro
⎠ = 100 C ⎛ p − 1⎞
o
t = 100 o C ⎝ c
con la linealidad mostrada en la figura.
⎜ ⎟
⎛ pe ⎞ (1,366 − 1) ⎜ p c
⎝
⎟
⎠
Para la presión del gas es 227 mm de Hg
⎜
⎜p − 1⎟
⎟
corresponde una temperatura 100 + 273,5 =373,15 K
⎝ c ⎠ Para la presión 162 mm de Hg corresponde
373,15
⎛ p ⎞ x= 162 = 266,30 K o -6,85°C
t = 273,15⎜ − 1⎟o C
⎜p ⎟ 227
⎝ c ⎠
En esta expresión se ve que cuando la temperatura es Ejemplo 2. En un lugar en que la presión
-273.15 la presión es Cero. Como no es posible para atmosférica es 760 mm de mercurio introducimos un
la presión tomar valores menores que cero, a este termómetro centígrado en hielo fundente y luego en
valor de la temperatura se le torna como origen de vapor de agua hirviendo. El termómetro, mal
una nueva escala de temperatura, escala graduado, marca 2° para el primero y 102,5° para el
ABSOLUTA de Temperaturas en grados KELVIN. segundo
T (K ) = t (o C) + 273,15o C a) ¿Qué fórmula de reducción deberemos emplear
para calcular la temperatura real en todos los
En realidad para calibrar el termómetro, no se toma
casos? Si el termómetro marca 50°,
como referencia el punto de fusión del hielo, sino
b) ¿cuál es la verdadera temperatura?
que se especifica corno "punto fijo patrón” al
c) ¿A qué temperatura sería correcta la lectura del
llamado "Punto triple de agua", único punto en el
termómetro?
que coexisten en equilibrio hielo, líquido y vapor de
Solución.
agua, dándose solamente a la presión de 4,58 mm
a) El cero de un termómetro correcto corresponde al
Hg.
2 del mal graduado, y el 100 corresponde 102,5°.
Obteniéndose:
El intervalo fundamental está, por tanto, dividido
t = 0,01 °C
en: 102,5 - 2 = 100,5
T = 273,16 K
Llamando A a la temperatura marcada por el
p incorrecto y C a la del centígrado perfecto, la
T = 273,16 K
pc fórmula será:
El termómetro de gas a volumen constante se toma C A−2
=
como standard porque es el que experimentalmente 100 100,5
mas nos conviene, pues es el que nos da las
variaciones más pequeñas y también porque cuando
C 50 − 2
el termómetro contiene gas a baja presión, la b) = ⇒
diferencia de lectura en temperatura usando 100 100,5
diferentes gases es reducida.
48 × 100
C= = 47,76o C
Ejemplo 1. Cuando el bulbo de un termómetro de 100,5
gas a volumen constante se coloca en un recipiente c) Si la indicación fuese correcta, se verificaría:
con agua a 100 oC, la presión del gas es 227 mm de C C−2
Hg. Cuando el bulbo se mueve a una mezcla de hielo = ⇒ 100,5C = 100C − 200
- sal la presión del gas cae a 162 mm de Hg. 100 100,5
Asumiendo el comportamiento ideal, como en la − 200
figura, ¿cuál es la temperatura Celsius de la mezcla ⇒C= = −400o C
de hielo – sal? 0,5
Lo cual es imposible, puesto que el cero absoluto
es - 273,16 °C, menor temperatura a la que puede
aproximar un sistema.
Ejemplo 3. Un termómetro centígrado mal graduado
marca 8° en el punto de fusión del hielo y 99° en el
de ebullición del agua, en un lugar en que la presión
3

4. Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán
atmosférica es 760 mm. Resolver para este 5
termómetro las preguntas del problema anterior. a) Como TC = (TF − 32) y
Solución. 9
1) El intervalo fundamental será: 99 - 8 = 91 TC = TK − 273,15 , igualando ambas expresiones,
Luego la fórmula de reducción es: encontramos para la temperatura Fahrenheit:
C A−8 9
= TF = ⋅ (TK − 255,37 ) = 10340,33º F .
100 91 5
C 50 − 8 4200 5
2) = ⇒C= 46,15 o C b) TC = (TF − 32 ) = 37°C
100 91 91 9
C C −8 5
3) = ⇒ 91C − 800 = 100C c) TC = (TF − 32 ) = 73,89º C.
100 91 9
800 9
⇒C= = 88,9o C d) TF = TC + 32 = −297,4º C .
9 5
Otras escalas de temperatura. DILATACION TERMICA.
Así como la escala Celsius (Centígrado) y su Efectos frecuentes en los materiales al presentarse
correspondiente en la escala absoluta Kelvin, existen cambios de temperatura, son variaciones en sus
otras escalas en el sistema inglés. dimensiones y cambios de estado. En primer lugar
consideraremos aquí, las variaciones de dimensiones
que ocurren sin cambios de estado.
Cuando la temperatura de un cuerpo aumenta, este
por lo general se dilata. Una excepción es el agua
que se contrae entre 0ºC y 4°C, este comportamiento
es crítico en la manera como los lagos y los océanos
polares se congelan de la superficie hacia abajo, en
lugar de hacerlo del fondo hacia la superficie, ya que
el agua mas fría que 4°C se eleva en lugar de
hundirse y el agua a 0°C está en la superficie en
lugar de estar en el fondo. (La densidad del agua a
La escala FAHRENHEIT, al cero de la escala 4°C es máxima, = 1 g/cm3).
Celsius corresponde a 32° F y los 100°C
corresponden a 9 divisiones de °F, la relación de Expansión lineal.
equilibrio es: El cambio de una dimensión lineal de un sólido tal
9 como el largo, el ancho, alto o una distancia entre
t (°F) = t (°C) + 32°F dos marcas se conoce como la expansión lineal.
5
y
5
t (°C ) = t (°F) − 32°F
9 Experimentalmente se encuentra, para un amplio
La escala absoluta correspondiente a la escala rango de temperaturas, que el cambio de longitudes
Fahrenheit es la escala RANKINE.
Δl , es proporcional al cambio de temperatura Δt y
( )
T (R ) = t o F + 459,67(R ) a la longitud l, de tal manera que podemos escribir:
9
T (R ) = T (K ) Δl = α lΔt , donde α es el coeficiente de
5 expansión lineal. Este coeficiente tiene diferentes
valores para los diferentes materiales y tiene por
Ejemplo 4. a) La temperatura de la superficie del unidad l/grado.
Sol es de unos 600 ºC. Exprésese esa temperatura en O bien,
la escala Fahrenheit. Δl
b) Exprese la temperatura normal del cuerpo = α Δt
humano 98,6 ºF, en la escala Celsius. l
c) exprese la temperatura de pasteurización, 165 ºF, Para encontrar la longitud final después de un
en la escala Celsius. dl
cambio de temperatura Δt , escribimos = α dt ,
d) Exprese el punto normal de ebullición del l
Oxígeno –183 ºC, en la escala Fahrenheit.
e integramos considerando la longitud l para t = t1,
Solución.
y l' para t = t2, siendo t 2 − t1 = Δt
4

5. Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán
dl
l' t2 Expansión de volumen.
∫ = α ∫ dt ⇒ ln l l = α t t2 ⇒
l' t
l l t1 1
Usando el mismo argumento se demuestra que el
cambio de volumen de un sólido de volumen V, al
l' l' elevarse la temperatura Δt es
ln = α (t 2 − t1 ) ⇒ ln = αΔt
l l ΔV = 3αVΔt = β VΔt
l' Donde β = 3α es el coeficiente de expansión de
= e αΔt ⇒ l' = le αΔt
l volumen.
αΔt
Desarrollando e en series de Taylor
Coeficiente de dilatación lineal de algunos de los
⎡ x x x2 x3 ⎤ materiales más usuales.
⎢e = 1 + + + + ......... − ∞ < x < ∞ ⎥
⎣ 1! 2! 3! ⎦
Sólidos α (° C-1)
Obtenemos:
Concreto 0,7 – 1,2 x 10-5
⎡ αΔt (αΔt )2 (αΔt )3 ⎤ Plata 2,0 x 10-5
l' = le αΔt = l ⎢1 + + + + ....⎥
1! 2! 3! Oro 1,5 x 10-5
⎣ ⎦
Invar 0,04 x 10-5
Como a es una cantidad muy pequeña podemos no
Plomo 3,0 x 10-5
considerar los términos con α2, α3, …..
Zinc 2,6 x 10-5
y finalmente
Hielo 5,1 x 10-5
l ´ = l ( 1 + αΔt) = l + Δl Aluminio 2,4 x 10-5
Latón 1,8 x 10-5
Expansión de superficie. Cobre 1,7 x 10-5
Consideremos ahora el área al elevar la temperatura Vidrio 0,4 – 0,9 x 10-5
Δt , para esto tomamos una superficie como se Hierro 1,2 x 10-5
muestra en la figura, antes de la expansión su área es Cuarzo 0,04 x 10-5
A = ab. Acero 1,2 x 10-5
Líquidos β (° C-1)
Glicerina 5,1 x 10-5
Alcohol etílico 7,5 x 10-5
Mercurio 1,8 x 10-5
Bisulfuro de 11,5 x 10-5
carbono
Agua (20 ° C ) 2,0 x 10-5
a se expande en Δa = α 1 aΔt
Ejemplo 5. En el comparador de la figura se mide la
b se expande en Δb = α 2 bΔt dilatación de una barra de hierro, de 1 m de longitud
Luego a ' = a + Δa = a(1 + α 1 Δt ) y a 0 °C, obteniéndose para los 50 °C una dilatación
de 0,06 cm.
b' = b + Δb = b(1 + α 2 Δt )
A' = a ' b' = a (1 + α 1 Δt )b(1 + α 2 Δt )
[
A' = a ' b' = ab 1 + (α 1 + α 2 )Δt + α 1α 2 Δt 2 ]
En esta expresión el último término se puede
despreciar ya que α 1 y α 2 son valores muy
pequeños, y A = ab tenemos
A' = A[1 + (α 1 + α 2 )Δt ]
En el caso de ser un cuerpo isotrópico, los
coeficientes de expansión lineal α 1 y α 2 son
iguales a α , luego Calcular:
a) El coeficiente de dilatación lineal del hierro.
A' = A(1 + 2αΔt ) b). Si tiene una sección de 10 cm2 a 0°C, ¿cuáles son
Como A' = A + ΔA , tenemos: su sección y su volumen a 100 °C?
ΔA = 2αAΔt = γAΔt Solución.
Donde γ = 2α es el coeficiente de expansión de
L′ − L0 0,060
a) α= =
área. L0 × ΔT 100 × 50
−6
= 12 × 10 °C −1
5

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b) γ = 2α = 24 × 10 °C
−6 −1
= − 83,2 C
o
Como T ′′ = T + ΔT ′ = 20 − 83,2 = −63,2°C
A′ = A0 (1 + γ ΔT ) = 10(1 + 24 ×10 × 100)
−6
Ejemplo 8. La varilla de un reloj de lenteja sin
= 10,024cm 2 compensar, que bate segundos a 0° C, es de latón.
Siendo β = 3α = 36 × 10 C
−6 o −1
Averiguar cuánto se retrasa el reloj en un día si se
Obtenemos: introduce en un ambiente a 200° C. Coeficiente de
dilatación del latón: α = 17 x 10-6 °C-1. (Considerar
V ′ = V0 (1 + β ΔT ) = 10 ×100(1 + 36 × 10 −6 × 100) el péndulo como simple, de longitud la misma que la
= 1003,6cm3 varilla.)
Solución.
Ejemplo 6. Un herrero ha de colocar una llanta l0
circular de 1 m de diámetro a una rueda de madera A 0° el semiperíodo (1 s) será: 1 = π
g
de igual diámetro. Con objeto de poder ajustarla,
calienta la llanta hasta conseguir que su radio supere l 0 (1 + αΔT )
en 2 mm al de la rueda. Sabiendo que la temperatura A 200°: τ = π
ambiente es de 20 °C y su coeficiente de dilatación g
lineal es 12,2 x 10- 6 °C-1, calcular la temperatura en Dividiendo:
grados centígrados a que debe calentarse la llanta
para cumplir las condiciones expuestas.
τ = 1 + αΔT = 1 + 17 × 10 −6 × 200
Solución. = 1,0034 s =1,0017 s
l ′ = l(1 + αΔT ) = 2πr ′(1 + αΔT ) Como un día dura 86400 segundos el péndulo dará
d ′ = d (1 + αΔT ) 86400
= 86253 semioscilaciones
Luego 1,0017
d′ − d 4 × 10 −3 El péndulo da en 1 día 86 400 - 86 253 = 147
ΔT = = = 327 o C semioscilaciones menos que en su marcha correcta:
αd 12,2 × 10 − 6 × 1
El reloj se retrasará en 147 s = 2 min 27 s
⇒ T = 20 + ΔT = 347o C
Ejemplo 9. Una varilla de cobre de densidad
Ejemplo 7. Un anillo de acero, de 75 mm de uniforme y de sección constante oscila como un
diámetro interior a 20 °C, ha de ser calentado e péndulo colgada de uno de sus extremos, con un
introducido en un eje de latón de 75,05 mm de periodo de 1,6 s cuando se encuentra a una
diámetro a 20 °C. determinada temperatura ambiente. Siendo el
a) ¿A qué temperatura ha de calentarse el anillo? coeficiente de dilatación lineal del cobre
b) ¿A qué temperatura tendríamos que enfriar el 19 x 10- 6 °C-1, determínese el incremento de
conjunto para que el anillo saliera él solo del eje? temperatura que habría que darle al ambiente para
(Coeficiente de dilatación del acero: 12 x 10-6 °C-1; que el período aumente en 3 milésimas de s.
coeficiente de dilatación del latón: 20 x 10-6 °C-1) Solución.
Solución. El período a la temperatura inicial T es:
a) D′ = D(1 + αΔT ) 1 2
Ml
⇒ 75,05 = 75(1 + 12 × 10−6 ΔT ) I 3 2l
τ = 2π = 2π = 2π
75,05 − 75 Mgd l 3g
⇒ ΔT = = 55o C Mg
75 × 12 × 10 −6 2
⇒T ′ = T + ΔT = 20 + 55 = 75o C y a la temperatura T + ΔT será:
b) Los diámetros a la temperatura que nos piden 2l(1 + αΔT )
deberán ser iguales:
T ′ = 2π
3g
D(1 + α a ΔT ′) = D ′′(1 + α l ΔT ′) dividiendo los dos:
D = diámetro del anillo a 20° C; T′
D’’= diámetro del eje a 20 °C; = (1 + αΔT ) ⇒
α a y α l , coeficiente de dilatación del acero y del T
2 2
latón, respectivamente). Luego: ⎛T′⎞ ⎛ 1,603 ⎞
⎜ ⎟ −1 ⎜ ⎟ −1
ΔT = ⎝T ⎠ = ⎝ 1,6 ⎠
D − D ′′ = 197ºC
ΔT ′ = α 19 × 10 −6
D ′′ × 20 × 10 −6 − 75 × 12 × 10 −6
6

7. Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán
Ejemplo 10. La densidad del mercurio a 0°C es El volumen del mercurio que se derrama 100 °C es:
13,6 g/cm3; su coeficiente de dilatación, 182 x 10- 6 Vx = V ′ − VHg = 5091 - 5043,5
′
°C-l. Calcular la densidad del mercurio a 100 °C.
Solución. = 47,5cm3
ρ 13,6
ρ′ = = Ejemplo 13. Dos barras de longitudes LA, LB
1 + β ΔT 1 + 182 × 10− 6100 coeficientes de dilatación lineal αA y αB
= 13,36 g/cm3 respectivamente se sujetan en un extremo, existiendo
en el extremo libre una diferencia de longitud ΔL.
Ejemplo 11. Una vasija de cinc (coeficiente de Qué relación debe existir entre sus coeficientes de
dilatación lineal: 29 x 10-6 °C-l) está llena de dilatación lineal tal que dicha diferencia de longitud
mercurio a 100 °C, teniendo entonces una capacidad se mantenga constante cuando el conjunto se somete
de 10 l . Se enfría hasta 0°C. Calcular la masa de a una variación de temperatura.
mercurio, medida a 0 °C, que hay que añadir para Solución.
que la vasija quede completamente llena.
Coeficiente de dilatación del mercurio, 182 x 10-6
°C-l.
Densidad del mercurio a 0 °C, 13,6 g/cm3.
Solución.
El volumen de la vasija a 0° quedará determinado Como ΔL = constante
por la ecuación:
LB − L A = L' B − L' A ,
V ′ = V (1 − βΔT )
LB − L A = LB (1 + α B ΔT ) − L A (1 + α A ΔT )
V'
⇒ V= , De aquí: LBα B ΔT = L Aα A ΔT
(1 − βΔT )
en la que: β = 3 x 29 x10-6°C-1 = 87 x10-6 °C-1
α L
Finalmente: B = A
V ′ = 1000 cm3 ΔT = (0 − 100) = - 100°C α A LB
1000
Por tanto: V = −6
= 991,38 cm3 Ejemplo 14. Un tubo de acero, cuyo coeficiente de
1 + 87 × 10 × 100 expansión lineal es α = 18 x 10-6, contiene mercurio,
cuyo coeficiente de expansión de volumen es β =
El volumen del mercurio a 0° quedará determinado 180 x 10-6 °C-1; el volumen de mercurio contenido
por la misma ecuación en la que en el tubo es 10-5 m3 a 0 °C, se desea que la columna
β Hg = 182 × 10 −6 o C −1 : de mercurio permanezca constante para un rango
normal de temperaturas. Esto se logra insertando en
V′ 1000 la columna de mercurio una varilla de silicio, cuyo
VHg = = =
1 + β Hg ΔT 1 + 182 × 10− 6 × 100 coeficiente de dilatación es despreciable.
Calcular el volumen de la varilla de silicio.
982,13 cm3
La diferencia es el volumen que queda por llenar:
V - VHg = 991,38 – 982,13 = 9,25 cm3
La masa del mercurio que hay que agregar es:
ΔM = ρ Hg ΔV = 13,6 x 9,25 = 125,8 g
Ejemplo 12. Una vasija de Zn está llena de
mercurio a 0°C, teniendo una capacidad de 5 l .
Calcular el volumen de mercurio que se derrama a Solución.
100 °C por efecto de la mayor dilatación de este A 0°C, sea Vo el volumen de la varilla de silicio y V
último. (Tomar los datos necesarios del problema el volumen de mercurio, a esta condición tenemos
anterior.) l 0 A0 = V + V0
Solución. A una temperatura t la sección Ao se incrementa a
β = 87 x10-6 °C-1 Ao (1 +2αt).
Vasija: V ′ = V (1 + β ΔT ) = 5000(1 + 87x 10-6 x Similarmente el volumen de mercurio cambia de V a
100) = 5043,5 cm3 V(1 +βt).
El volumen del mercurio a 100 °C es: Como se requiere que l o permanezca constante, se
′
VHg = 5000 (1 + 182 x 10-6 x 100) tiene
= 5091 cm3 l o Ao (1 +2αt) = (V + Vo) (1 + 2αt)
7

8. Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán
Por otro lado este volumen es: V(1 +βt ) + Vo d = 4,99 mm (a 0 °C). ¿Hasta que temperatura hay
igualando ambas expresiones que calentar al disco para que por el orificio empiece
(V + Vo) (1 + 2αt) = V(1 + βt ) + Vo a pasar una bola de diámetro D = 5,00 mm? El
⇒ Vo (1 + 2αt-1) = V(1 + βt - 2αt) coeficiente de dilatación lineal del acero es α = 1,1 x
10-5 K-1.
⇒ V0 = V ( β - 2α )t = V( β - 2α ) Solución.
2αt 2α
-6
d (1 + αΔT ) = D , reemplazando valores:
V (180 - 36)10
= = 4V 4,99(1 + 1,1 × 10 −5 ΔT ) = 5,00
36 x10− 6
= 4 x 10-5m3 Resolviendo encontramos ΔT = 182 , como la
La varilla de silicio ocupa los 4/5 del volumen total temperatura inicial es 0°C, es necesario elevar la
a 0°C. temperatura hasta 182°C.
Ejemplo 15. Ejemplo 18. Una bola de vidrio de coeficiente de
dilatación cúbica es β, se pesa tres veces en el aire y
Una barra de acero, α ACERO = 11 × 10 /º C ,
−6
en un líquido a las temperaturas t1 y t2. Las
tiene un diámetro de 3 cm a la temperatura de 25 ºC. indicaciones de las balanzas para las tres pesadas
Un anillo de bronce, α BRONCE = 17,10 −6 /º C , son: P, P1 y P2. Determinar el coeficiente de
dilatación cúbica del líquido.
tiene un diámetro interior de 2,992 cm a la misma
Solución.
temperatura. ¿A qué temperatura común entrará
Supongamos que el volumen de la bola a la
justamente el anillo en la varilla?
temperatura t1 es igual a V, entonces a la temperatura
Solución.
t2 será igual a V (1 + βΔt), donde Δt = t2 – t1
Puesto que los diámetros son cantidades lineales,
Escribamos las indicaciones de las balanzas para las
éstas se dilatarán con la temperatura. Como la
tres pesadas:
temperatura inicial es de 25 ºC y la final T donde
los diámetros deben coincidir, se tiene:
P = ρVg ,
d A = d 0 A [1 + α ACERO (T − 25)] P1 = P − ρ1Vg ,
d B = d 0 B [1 + α BRONCE (T − 25)] (1 + βΔt )
P2 = P − ρ 1Vg .
Despejando T , encontramos: (1 + β 1 Δt )
d (1 − 25α A ) + d 0 B (25α B − 1) Donde ρ es la densidad del vidrio y ρ1 la densidad
T = 0A del líquido (ambas a la temperatura t1).
(d 0 Bα B − d 0 Aα A ) En la fórmula de P despreciamos la fuerza de
= 472,83 ºC. empuje por ser pequeña la densidad del aire. Por eso
no tiene importancia la temperatura a que hizo esta
Ejemplo 16. Un vaso de vidrio de 75 cm3 se llena pesada.
completamente de mercurio a la temperatura De las tres ecuaciones se obtiene β1 en función de P,
ambiente de 25 ºC. A la temperatura de 20 ºC, ¿Cuál P1 , P2, t1, t2 y β que son conocidos:
será el volumen de mercurio derramado? P2 − P1 + ( P − P1 ) β (t 2 − t1 )
β Hg = 18,21 x 10-5 / ºC, β1 =
( P − P2 )(t 2 − t1 )
αV = 9,6 x 10-6 / ºC . En la práctica se suele utilizar una bola de vidrio de
Solución. cuarzo cuyo coeficiente de dilatación cúbica es
El volumen derramado V D corresponde a la mucho menor que el coeficiente de dilatación cúbica
de la inmensa mayoría de los líquidos. En este caso
diferencia entre el volumen de mercurio VHg menos la respuesta se puede simplificar:
el volumen del vaso VV , es decir: ( P2 − P1 )
β1 =
VD = VHg − VV ( P − P2 )(t 2 − t1 )
= V0 (1 + β Hg ΔT ) − V0 (1 + 3α V ΔT ) Ejemplo 19. Dos láminas, una de acero y otra de
= V0 ΔT (β Hg − 3α V ) bronce, de igual espesor a = 0,2 mm, están
remachadas entre sí por sus extremos de manera que
= (75)(− 5)(18,21 − 2,88) × 10
−5
a la temperatura T1 = 293 K forman una lámina
= - 0,058 cm3 bimetálica plana. ¿Cuál será el radio de flexión de
Se derraman 0,058 cm3 de mercurio esta lámina a la temperatura T2 = 393 K?
El coeficiente de dilatación lineal:
Ejemplo 17. En el centro de un disco de acero hay Acero es α 1 = 1,1 × 10 −5 Κ −1 y del
un orificio de diámetro
Bronce es α 1 = 2 × 10 Κ .
−5 −1
8

9. Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán
Solución.
Solución.
En el esquema se muestran las dilataciones que se
producirían en cada barra si no estuvieran soldadas
(a) y las deformaciones por estarlo (b).
Vamos a suponer que la línea medía de cada lámina
conserva la longitud que tendría en estado no
curvado. El radio r se determina por las condiciones
a
ϕ (r − ) = l + Δl 1 , Δl 1 = lα1ΔT ,
2
a
ϕ (r + ) = l + Δl 2 , Δl 2 = lα 2 ΔT ,
2
a a
(1 + α 1 ΔT )(r + ) = (1 + α 2 ΔT )(r − ) ,
2 2
Por consiguiente
a[2 + (α1 + α 2 )ΔT ]
r= = 22,5cm
2(α 2 − α1 )ΔT
También se tiene que la distribución de fuerzas
elásticas que igualan la longitud del sistema, por
FATIGA DE ORIGEN TÉRMICO. simetría se puede considerar de la siguiente forma
Consideremos una barra de sección A sujeta en siguiente:
ambos extremos
F2 = 2 F1
Al aumentar la temperatura Δt , debería producirse De este esquema tenemos las siguientes relaciones
un cambio de longitud geométricas entre las deformaciones:
Δl Dividiendo esta expresión entre L0 , tenemos una
= αΔt
l relación entre las deformaciones unitarias
pero como no se puede dilatar por estar sujeta, la ΔL2 ΔL' 2 ΔL1 ΔL'1
tensión debe aumentar hasta un valor suficiente para − = +
producir el mismo cambio pero de sentido inverso, L L L L
este esfuerzo es: Como:
F Δl ΔL1 ΔL'1 F
=Y , reemplazando obtenemos: = α 1 Δt y = 1
A l L L AY1
F ΔL2 ΔL' 2 F
= YαΔt = α 2 Δt y = 2
A L L AY2
Reemplazando se tiene:
Ejemplo 20. Una platina de cobre se suelda con dos
platinas de acero, como se muestra en la figura. Las F1 F2
tres platinas son iguales, teniendo exactamente la
α 1 Δt − = α 2 Δt +
AY1 AY2
misma longitud a temperatura ambiente. Calcular las
fatigas que se producirán al aumentar la temperatura Con F2 = 2 F1
en Δ t grados. F 2 F1
α 1 Δt − 1 = α 2 Δt +
AY1 AY2
9

10. Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán
Despejando F1 A Resolviendo (1) y (2) obtenemos
(l Aα A + l Bα B ) 40
Δl A =
F1 (α 2 − α 1 )Δt l Y
(1 + B A )
=
A ⎛1 2⎞ l A YB
⎜ + ⎟
⎜Y Y ⎟ (l α + l Bα B ) 40
⎝ 1 2 ⎠ Δl B = A A
l Y
Y las fatigas serán: (1 + A B )
F1 (α 2 − α 1 )Δt l B YA
S1 = = y Reemplazando valores tenemos:
A ⎛1 2⎞
⎜ + ⎟
⎜Y Y ⎟ Δl A = 2,1 x 10 -2 cm y
⎝ 1 2 ⎠
Δl B = 2,1 x 10-2 cm.
F 2F 2(α 2 − α 1 )Δt
S2 = 2 = 1 = y el esfuerzo en cada varilla
A A ⎛1 2⎞ F YA Δl A YB Δl B
⎜ + ⎟
⎜Y Y ⎟ = =
⎝ 1 2 ⎠ A lA lB
Nota: Por sencillez de exposición, se ha omitido
precisar que al determinar las deformaciones
dina 2,1 x 10 -2 cm
11
= 10 x 10 x
ΔL'1 ΔL' 2 cm 2 25 cm
unitarias y se han despreciado los dina
L L = 0,84 x 10
9
términos de segundo orden. cm 2
ΔL'1 ΔL'1 F
≈ = 1 y Ejemplo 22. Una barra de bronce se enfría en
L + ΔL1 L AY1 nitrógeno líquido hasta la temperatura T1 = 72 K.
ΔL' 2 ΔL' 2 F Así enfriada, esta barra se introduce ajustadamente
≈ = 2 en la abertura rectangular de una abrazadera rígida,
L + ΔL2 L AY2 que está a la temperatura T2 = 293 K, de manera que
Debido a L >> ΔL1 y L >> ΔL2 . la holgura entre los extremos de la barra y los planos
correspondientes de la abertura de la abrazadera
puede considerarse nula. ¿Qué presión ejercerá la
Ejemplo 21. Dos varillas del mismo diámetro, una barra sobre la abrazadera cuando se caliente hasta la
de bronce de 25 cm. de longitud, y la otra de acero temperatura T2 = 293 K? El coeficiente de dilatación
de 50 cm. De longitud se colocan extremo a extremo lineal del bronce es α = 1,75 x10-5 K-l y el módulo de
y aseguradas entre dos soportes rígidos. Young Y = 1,04 x 1011 Pa.
La temperatura de las varillas se eleva 40°C. Solución.
¿Cuál es el esfuerzo en cada varilla? Al enfriarse, la barra se contrae. Su longitud se hace
[ ]
11 −2
Módulo de Young del acero 20 x 10 dina cm igual a l = l 0 1 − α (T2 − T1 ) , de donde
11 −2
Módulo de Young del bronce: 10 x 10 dina cm
(l 0 − l )
Coeficiente de dilatación térmica acero 1,2x10
−5
= α (T2 − T1 ) , Después de calentar la
por °C l0
Coeficiente de dilatación térmica bronce 1,8x10
−5 barra, apretada en la abrazadera, su longitud sigue
por °C siendo l , y la compresión (l − l 0 ) estará ahora
Solución. motivada por las fuerzas elásticas.
Al elevarse la temperatura las varillas deberían
(l 0 − l ) p
expandirse si les fuera permitido, pero al no ser así Escribamos la ley de Hooke: = , donde
sufren esfuerzo de compresión, las fuerzas en las dos lo Y
varillas debe ser la misma. Por lo tanto, la unión p es la presión que ejerce 1a abrazadera sobre la
debe de desplazarse hasta alcanzar el equi1ibrio. barra en la dirección del eje de ésta.
Entonces los esfuerzos son iguales.
(l 0 − l )
F YA Δl A YB Δl B Comparando las expresiones de hallamos
= = (1) lo
A lA lB
que 1a presión que buscábamos:
Pero la longitud (Δl A + Δl B ) es igual a la p = Yα (T2 − T1 ) = 4 × 108 Pa .
cantidad que no se deje expandir por dilatación Conviene advertir que la presión no depende de la
Δl´A + Δl´B = l Aα AΔt + l Bα B Δt longitud de la barra.
Luego:
Δl A + Δl B = ( l Aα A + l Bα B ) 40 (2) Ejemplo 23. Entre dos paredes se encuentra una
barra, de sección A, compuesta de dos partes de
10

11. Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán
igual longitud l/2 que tienen los coeficientes de
l 1 = l 2 [1 + α (T1 − T2 )] ,
(l1 − l 2 ) = α (T − T2 ) ,
dilatación lineal αl y α2 y los módulos de Young Yl y 1
l2
Y 2. A 1a temperatura T1 los extremos de la barra
apenas tocan las paredes. Donde l 1 y l 2 son las longitudes de la
¿Con qué fuerza presionará dicha barra sobre las circunferencia interna a las temperaturas T1 = 573 K
paredes si se calienta hasta la temperatura T2. y T2= 291 K. Despreciando la disminución del
Despréciese la deformación de las paredes. ¿Cuánto diámetro del cilindro de acero bajo la acción de los
se desplazará la junta de las partes de la barra? esfuerzos compresoras por parte del anillo,
Solución. consideraremos que, después de enfriarse el anillo,
Cuando la barra se calienta desde la temperatura T1 la longitud do su circunferencia interna sigue siendo
hasta la temperatura T2, sin paredes que la limiten, se igual a l1 y el anillo resulta estirado por las fuerzas
alarga en la magnitud elásticas. Como en nuestro caso el grosor del anillo
⎛l⎞ es pequeño en comparación con su diámetro se
Δl = Δl 1 + Δl 2 = ⎜ ⎟(α1 + α 2 )(T2 − T1 ) . puede suponer que el alargamiento relativo de todas
⎝2⎠
Con las paredes limitadoras la barra calentada (l 1 − l 2 )
sus capas es el mismo e igual a .
resulta comprimida en esta misma magnitud. Por la l2
ley de Hooke (la fuerza compresora F es la misma Entonces la extensión del anillo se puede relacionar
en ambas partos de la barra) con el esfuerzo de tracción por medio de la ley de
l1F l 2 F l ⎛ 1 1 ⎞ F (l 1 − l 2 ) F
Δl = + ≈ ⎜ + ⎟ =
Y1S Y2 S 2 ⎜ Y1 Y2 ⎟ A
Hooke: , donde F es el esfuerzo do
⎝ ⎠ l2 YA
Esta relación, en términos generales, es aproximada, tracción; A, la sección del anillo, y Y, el módulo de
ya que las longitudes l1 y l2 de !as partes de la barra Young. En definitiva se obtiene que
a la temperatura T2 las hemos sustituido por su F = Yα (T1 - T2) = 3360 N.
longitud l/2 a la temperatura T1. No obstante, se Esta solución no es exacta totalmente debido o sólo
comprende fácilmente que el error relativo que se a que hemos sustituido la deformación no
comete al determinar Δl por esta f6rmula será del homogénea del anillo por su alargamiento uniforme,
orden do Δl/l y, por lo tanto, nuestra aproximación sino también a que las tensiones radiales provocan
en el anillo la variación de la longitud de su
es muy buena (Δl << l) De las relaciones antes
circunferencia. Cuanto menor sea el espesor del
escritas hallamos.
anillo en comparación con su diámetro, tanto
(α 1 + α 2 ) menores serán las correcciones a introducir por estas
F= Y Y A(T − T ) .
(Y1 + Y2 ) 1 2 2 1 circunstancias.
El desplazamiento Δl de la junta de las partes de la Ejemplo 25. Un tubo de acero de 28,0 m de
barra se puedo determinar tomando en consideración longitud, se instaló cuando la temperatura era de 15º
que éste se compone del desplazamiento debido a la C, se usa para transportar vapor sobrecalentado a la
dilatación (por ejemplo, de la primera parte de la temperatura e 110º C. El coeficiente de expansión
barra) y del desplazamiento inverso causado por lineal del acero es 1,2 x 10-5 K-1, el módulo de
compresión: Young es 2,0 x 1011 Pa, y el esfuerzo de ruptura es
l⎡ F ⎤ 5,0 x 108 Pa.
Δl = ⎢α1 (T2 − T1 ) − Y A ⎥
2⎣
a) El tubo puede expandirse libremente cuando
1 ⎦ transporta vapor. ¿En cuánto incrementa su
l (α1Y1 − α 2Y2 ) longitud?
= (T2 − T1 ) b) A la temperatura de 15º C la tubería se aseguró al
2 (Y1 + Y2 ) piso de concreto tal que se impide la expansión
lineal. ¿Cuál es la relación entre el esfuerzo térmico
Ejemplo 24. Un anillo de latón de varios en el tubo y el esfuerzo de ruptura del acero, cuando
centímetros de diámetro se calienta hasta la se transporta el vapor?
temperatura T1 = 573 K y se encaja ajustadamente Solución.
sobre un cilindro de acero cuya temperatura es T2 = a)
291 K. ¿Qué esfuerzo de rotura experimentará el α =1,2 x 10-5 K-1, L = 28,0 m
anillo una vez enfriado hasta 291 K? .El coeficiente Δθ = 110 − 15 = 95º C .
de dilatación lineal del latón es α = 1,84 x 10-6 K-l y ΔL = αLΔθ
su módulo de Young Y = 6,47 x 1010 Pa. Las
dimensiones de la sección del anillo son 2 x 5 mm2. ( )
⇒ ΔL = 1,2 × 10 −5 (28)(95) = 3,192 x 10-2 m
Solución. ΔL F S
Al ser calentada, la longitud de la circunferencia b) = =
interna del anillo aumentó: L YA Y
11

12. Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán
ΔL ⎛ αLΔθ ⎞ entre la cantidad de trabajo hecho contra la fricción
⇒ S =Y = Y⎜ ⎟ = YαΔθ y el calor producido.
L ⎝ L ⎠ En 1843 James Prescott Joule empleó un aparato en
Este es el esfuerzo térmico el cual el agua se agitaba por un conjunto de paletas
( )
S = 2,0 × 1011 1,2 × 10 −5 (95) = 2,28 x 108 Pa giratorias y la energía mecánica suministrada para
rotar las paletas podía medirse con aproximación. El
esfuerzo térmico 2,28 × 10 8 efecto térmico del trabajo mecánico hecho sobre el
= = 0,456
agua, era la elevación de la temperatura. El
esfuerzo de rúptura 5,0 × 10 8
experimento de Joule demostró que la elevación de
la temperatura era proporcional a la cantidad de
Ejemplo 26. Una esfera hueca del metal está trabajo hecho sobre el agua. Por consiguiente el
flotando en el agua a 0 ºC. Si la temperatura del trabajo realizado en agitar el agua es equivalente al
agua se eleva a θ ºC, la esfera se sumerge calor añadido al agua.
completamente en el agua sin hundirse. Desprecie la A pesar de que no necesitamos unidades especiales
expansión de la esfera. Encuentre la expresión para para el calor, una vez reconocido que es una forma
determinar coeficiente de dilatación cúbica del de energía medible en Joules, o cualquier otra
agua. unidad de energía, se sigue utilizando la unidad
Solución. histórica del calor, es decir la CALORIA. La caloría
Dados: se define cuantitativamente como la cantidad de
ρ e , la densidad de la esfera, energía necesaria para elevar la temperatura de un
gramo de agua desde 14,5°C a 15,5°C. La cantidad
ρ0 , la densidad del líquido
de energía para elevar la temperatura de un
β, Coeficiente de dilatación cúbica del líquido kilogramo de agua desde 14,5°C a 15,5°C es la
kilocaloría. La “caloría” utilizada para medir el
( ρ θ ) agua = ( ρ e ) esfera equivalente energético de los alimentos es realmente
la kilocaloría. En el sistema ingles la unidad es el
British thermal unit (BTU)
Como Vaθ = Va 0 (1 + βθ ) ⇒ 1 BTU = 252 calorías
El equivalente exacto entre el trabajo realizado y el
ma ma 1 1
= (1 + βθ ) ⇒ = (1 + βθ ) ⇒ calor añadido está dado por la relación experimental.
ρθ ρ0 ρθ ρ0 1 cal = 4,186 Joules
1 BTU = 778 libra pie
Esta relación es conocida como el EQUIVALENTE
ρθ = ρ 0 (1 − βθ ) MECANICO DE CALOR
ρ 0 (1 − βθ ) = ρ e
CAPACIDAD CALORIFICA. CALOR
Igualando ESPECÍFICO
La cantidad de calor necesario para producir un
aumento de temperatura en una cierta masa depende
ρ0 − ρe
Finalmente β= de la sustancia. Definamos primero:
θρ e La CAPACIDAD CALORIFICA. (C) de un cuerpo
es la cantidad de calor requerido para elevar la
temperatura de un cuerpo en un grado,
CALOR Y TRABAJO
Cuando dos sistemas a diferente temperatura se dQ
C=
hallan en contacto térmico, el calor fluye del sistema dT
mas caliente al más frío, hasta que alcanzan el Sus unidades son: Caloría/°C, BTU/°F.
equilibrio a una temperatura común, la cantidad de Luego, definamos:
calor que sale de un cuerpo es igual a la cantidad de El CALOR ESPECIFICO (c) es la capacidad
calor que entra en el otro. Inicialmente se elaboró la calorífica por unidad de masa:
teoría del calórico, para explicar este flujo, esta C dQ / dT dQ
sustancia no podía ser creada ni destruida, pero si c= = =
transferida de un cuerpo a otro. La teoría del m m mdt
calórico servía para describir la transferencia de Sus unidades son cal/gr x °C ó BTU/libra x °F
calor, pero se descartó al observar que el calórico se kcal cal
creaba por fricción y no habría una desaparición Observe que: 1 =1
correspondiente de ca1órico en ningún otro sitio.
kg°C g°C
En 1778 el Conde Rumford, como punto de sus Y que:
observaciones en el taladro de cañones propuso que 1 BTU 250 cal cal kcal
= =1 =1
él calor debe estar asociado con el movimiento. Pero 1 libra°F 453,6 g 5/9°C g°C kg°C
no se estableció sino hasta medio siglo después de O sea que el valor numérico del calor específico es
esta observación que había una relación definida el mismo en esas tres unidades.
12

13. Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán
m1c1 (t − t1 ) = m2 c 2 (t − t 2 )
A pesar que el calor específico de la sustancias varía
o bien
ligeramente con la temperatura, será adecuado para
nuestra discusión, asumir que el calor específico es − m1c1 (t − t1 ) + m2 c 2 (t − t 2 ) = 0
constante independiente de la temperatura. Luego o sea: Calor perdido = calor ganado
podemos determinara el calor Q necesario para m1c1t1 − m1c1t = m2 c 2 t − m2 c 2 t 2
elevar la temperatura de la masa m de una sustancia
Δt grados, de la siguiente manera: m1c1t1 + m2 c 2 t 2 = (m1c1 + m2 c 2 )t
Despejando el valor de la temperatura final t:
Q = m ∫ cdt = mc(T f − Ti )mcΔT
Tf
m1c1t1 + m2 c 2 t 2
Ti
t=
m1c1 + m2 c 2
CALOR ESPECIFICO Determinación del calor específico de un sólido
Aluminio 0,212 Hielo 0,48 La experiencia se realiza en un calorímetro
Acero 0,11 Carbón 0,3 consistente en un vaso (Dewar) o en su defecto
Bronce 0,090 Concreto 0.16 convenientemente aislado. El vaso se cierra con una
Cobre 0,094 Vidrio 0,12 - 0,20 tapa hecha de material aislante, con dos orificios por
Oro 0,031 Parafina 0,69 los que salen un termómetro y el agitador.
Plata 0,056 Caucho 0,48
Platino 0,032 Madera 0,3 – 0,7
Plomo 0,031 Agua 1,00
Tungsteno 0,032 Alcohol 0,6
Zinc 0,094 Petróleo 0,51
Agua de mar 0,93
La capacidad calorífica depende del tipo de proceso
que se realiza durante la transferencia de calor. Se pesa una pieza de material sólido de calor
Tiene valores definidos solamente para procesos específico c desconocido, resultando m su masa. Se
definidos. pone la pieza en agua casi hirviendo a la temperatura
T.
En particular manteniendo la presión constante se Se ponen M gramos de agua en el calorímetro, se
denomina capacidad calorífica a presión constante agita, y después de un poco de tiempo, se mide su
Cp y si se mantiene el volumen constante se temperatura T0. A continuación, se deposita la pieza
denomina capacidad calorífica a volumen constante de sólido rápidamente en el calorímetro. Se agita, y
Cv. En general Cp y Cv son diferentes y se después de un cierto tiempo se alcanza la
analizarán con algún detalle más adelante. temperatura de equilibrio Te.
Ejemplo 27. Dos sustancias m1 y m2 de calores mc es la masa del vaso del calorímetro y c c su
específicos c1 y c2 están a temperatura t1 y t2 calor específico.
respectivamente (t1 > t2). mt la masa de la parte sumergida del termómetro y
Calcular la temperatura final que alcanzan al
ponerlos en contacto, sabiendo que no se presentan ct su calor específico
cambios de estado. ma la masa de la parte sumergida del agitador y c a
Solución.
su calor específico
M la masa de agua que contiene el vaso, su calor
específico es la unidad
Por otra parte:
Sean m y c las masa y el calor específico del
cuerpo problema a la temperatura inicial T.
En el equilibrio a la temperatura Te se tendrá la
siguiente relación.
(M + k )(Te − T0 ) + mc(Te − T ) = 0
La capacidad del calorímetro dada por
k = mc cc + mt ct + ma c a , se le denomina
Por conservación de energía:
equivalente en agua del calorímetro, y se expresa en
∑Q = 0 gramos de agua, y es una constante para cada
calorímetro.
Como: Q = mc (t f -tf)
El calor específico desconocido del será por tanto
Se tiene:
13

14. Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán
c=
(M + k )(Te − T0 ) Solución.
Tomemos como calor específico del aluminio
m(T − Te ) c = 0,215 cal/g ºC, entonces
En esta fórmula tenemos una cantidad desconocida Q = mcΔt = 3000 x 0,215 x (50 - 20) = 1,935 x 104
k, que debemos determinar experimentalmente. cal
Determinación del equivalente en agua del Ejemplo 30. Un trozo de 300 g de cobre se calienta
calorímetro en un horno y en seguida se deja caer en un
Se ponen M gramos de agua en el calorímetro, se calorímetro de 500 g de aluminio que contiene 300 g
agita, y después de un poco de tiempo, se mide su de agua. Si la temperatura del agua se eleva de 15ºC
temperatura T0. A continuación se vierten m gramos a 30ºC ¿cuál era la temperatura inicial del cobre?
de agua a la temperatura T. Se agita la mezcla y (Suponga que no se pierde calor.) ¿Cuánto calor se
después de un poco de tiempo, se mide la debe agregar a 20 g de aluminio a 20ºC para fundirlo
temperatura de equilibrio Te. completamente?
Como el calorímetro es un sistema aislado Solución.
tendremos que cAl = 0,215 cal/g.ºC
(M + k )(Te − T0 ) + m(Te − T ) cH2O = 1 cal/g.ºC
cCu = 0,0924 cal/g.ºC
(T − Te ) Qabsorbido = 300 x 1 x (30 - 15) + 500 x 0,215 x (30 -
⇒ k= m−M
(Te − T0 ) 15)
Qcedido = 300 x 0,0924 x (ti - 30)
Entonces
Ejemplo 28. Calcule el calor específico de un metal
300 x 1 x (30 - 15) + 500 x 0,215 x (30 - 15) = 300 x
con los siguientes datos. Un recipiente
0,0924 x (ti - 30), de donde la temperatura inicial del
(“calorímetro”) hecho de metal cuya masa es 3,64
Cobre resulta ser ti = 250,51 ºC.
kg contiene 13,6 kg de agua. Un pedazo de metal de
Para saber las calorías necesarias para fundir 20
1,82 kg de masa, del mismo material del recipiente y
gramos de aluminio a 20 ºC, de las tablas obtenemos
con temperatura de 176,7 ºC se echa en el agua. El
para el calor de fusión:
agua y el recipiente tienen inicialmente una
Lf (Al) = 3,97x105 J/kg a t = 660 ºC, de modo que el
temperatura de 15,5 ºC y la temperatura final de todo
calor necesario será
el sistema llega a ser de 18,33 ºC.
Como 1 J = 0,24 cal de modo que
Solución.
Lf (Al) = 3,97 x 102 x 0,24 = 95,28 cal/g
Debido a que se trata de un problema de intercambio
de calor, el calor entregado por el metal = calor Entonces Q = mcΔt + mLf
Q = 20 x 0,215(660 - 20) + 20 x 95,28 = 4657,6 cal
recibido por el (agua y recipiente). Llamando Q1 al
calor liberado por el metal, Q 2 , Q3 a los recibidos Ejemplo 31. Una moneda de cobre de 3 g a 25ºC,
cae al piso desde una altura de 50 m.
por el agua y recipiente respectivamente:
a) Sí 60% de su energía potencial inicial se gasta en
Q1 + Q 2 + Q3 = 0. aumentar su energía interna, determine su
Considerando que el metal y recipiente tienen un temperatura final.
calor específico c m , reemplazando en la expresión b) ¿Depende el resultado de la masa del centavo?
Explique.
anterior:
Q1 = mmetal cm (T final − Tmetal ) ,
Solución.
cCu = 0,0924 cal/g ºC
Q2 = magua cagua (T final − Tagua ) y mCu = 3 g
a) La energía potencial será
Q3 = mrecipientecm (T final − Trecipiente ) U = mgh = 0,003 x 9,8 x 50 = 1,47 J = 0,35 cal
Entonces
mmcm (T f − Tm ) + ma ca (T f − Ta ) + mr cm (T f − Tr ) = 0 ,
Q 0,6 × 0,35
t f = ti + = 25 + = 25,76 ºC
Es decir: mcCu 3 × 0,0924
− ma ca (T f − Ta ) b) No depende de m: porque Q es proporcional m y
cm =
mm (T f − Tm ) + mr (T f − Tr )
el aumento de temperatura es inversamente
proporcional a m.
−2 ⎡ cal ⎤
= 1,38 × 10 ⎢ ⎥.
Ejemplo 32. Para medir el calor específico de un
⎣g º C⎦ líquido se emplea un calorímetro de flujo. Se añade
calor en una cantidad conocida a una corriente del
Ejemplo 29. ¿Cuántas calorías se requieren para líquido que pasa por el calorímetro con un volumen
elevar la temperatura de 3 kg de aluminio de 20ºC a conocido. Entonces, una medición de la diferencia
50ºC? de temperatura resultante entre los puntos de entrada
y salida de la corriente de líquido nos permite
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15. Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán
calcular el calor específico del líquido. Un líquido de Volumen definido.
0,85 g/cm3 de densidad fluye a través de un
calorímetro a razón de 8,2 cm3/s. Se añade calor por Puede ser orgánico o inorgánico
medio de un calentador eléctrico en espiral de 250
W, y se establece una diferencia de temperatura de
15oC en condiciones de estado estacionario entre los
puntos de entrada y salida del flujo. Halle el calor
específico (c) del líquido.
Solución.
•
El flujo de calor Q = 250 W que se pone produce
una elevación de temperatura ΔT = 15oC. LÍQUIDO. Incrementando la temperatura el sólido
se va "descomponiendo" hasta desaparecer la
El calor absorbido por una masa m es Q = mcΔT ,
estructura cristalina alcanzándose el estado líquido,
Como es masa que fluye y la entrada de calor es cuya característica principal es la capacidad de fluir
estacionariamente y adaptarse a la forma del recipiente que lo contiene.
En este caso, aún existe una cierta ligazón entre los
dQ • dm átomos del cuerpo, aunque de mucha menor
=Q= cΔT . intensidad que en el caso de los sólidos. El estado
dt dt
líquido presenta las siguientes características:
De aquí
• Fuerza de cohesión menor (regular)
Q
c= , como m = ρV ,
dm Movimiento-energía cinética.
ΔT
dt
Sin forma definida.
dm dV g
=ρ = 0,85 × 8,2 = 6,97
dt dt s Toma el volumen del envase que lo contiene.
Reemplazando valores, tenemos:
En frío se comprime.
250 J
c= o −3
= 2391 o
15 C × 6,97 × 10 kg C Posee fluidez.
FASES DE LA MATERIA Puede presentar fenómeno de difusión.
Otro de los efectos comunes de los cambios de
temperatura son los cambios de estado de los
materiales (sólido, líquido, gaseoso, plasma y CBE).
SÓLIDO. Manteniendo constante la presión, a baja
temperatura los cuerpos se presentan en forma sólida
tal que los átomos se encuentran entrelazados
formando generalmente estructuras cristalinas, lo
que confiere al cuerpo la capacidad de soportar
fuerzas sin deformación aparente. Son, por tanto, Gaseoso. Por último, incrementando aún más la
agregados generalmente rígidos, duros y resistentes. temperatura se alcanza el estado gaseoso. Los
El estado sólido presenta las siguientes átomos o moléculas del gas se encuentran
características: virtualmente libres de modo que son capaces de
ocupar todo el espacio del recipiente que lo contiene,
Fuerza de cohesión (atracción). aunque con mayor propiedad debería decirse que se
distribuye o reparte por todo el espacio disponible.
Vibración. El estado gaseoso presenta las siguientes
características:
Tiene forma propia.
Fuerza de cohesión casi nula.
Los sólidos no se pueden comprimir.
Sin forma definida.
Resistentes a fragmentarse.
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16. Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán
Sin volumen definido.
Se puede comprimir fácilmente.
Ejerce presión sobre las paredes del recipiente que
los contiene.
Los gases se mueven con libertad.
CONDENSADO DE BOSE-EINSTEIN (CBE).
Otro estado de la materia es el condensado de Bose-
Einstein (CBE), predicho en 1924 por Satyendra
Nath Bose y Albert Einstein, y obtenido en 1995 (los
físicos Eric A. Cornell, Carl E. Wieman y Wolfgang
Ketterle compartieron el Premio Nobel de Física de
2001 por este hecho). Este estado se consigue a
temperaturas cercanas al cero absoluto y se
PLASMA. Al plasma se le llama a veces "el cuarto caracteriza porque los átomos se encuentran todos en
estado de la materia", además de los tres "clásicos", el mismo lugar, formando un superátomo.
sólido, líquido y gas. Es un gas en el que los átomos
se han roto, que está formado por electrones La figura siguiente muestra la Condensación de
negativos y por iones positivos, átomos que han Bose-Einstein a 400, 200, y 50 nano-Kelvins
perdido electrones y han quedado con una carga
eléctrica positiva y que están moviéndose
libremente.
La lámpara fluorescente, muy usada en el hogar y
en el trabajo, contiene plasma (su componente
principal es el vapor de mercurio) que calienta y
agita la electricidad, mediante la línea de fuerza a la
que está conectada la lámpara.
El Condensado de Bose-Einstein se ve como una
La línea hace positivo eléctricamente a un extremo y pequeña masa en el fondo de una trampa magnética.
el otro negativo causa que los iones (+) se aceleren Esta masa de condensado es como una gota de agua
hacia el extremo (-), y que los electrones (-) vayan que se condensa del aire cuando éste es enfriado.
hacia el extremo (+). Las partículas aceleradas ganan Cuando se forma inicialmente, el condensado está
energía, colisionan con los átomos, expulsan rodeado todavía de átomos normales de gas, así que
electrones adicionales y así mantienen el plasma, parece la semilla dentro de una cereza.
incluso aunque se recombinen partículas. Las
colisiones también hacen que los átomos emitan luz
y, de hecho, esta forma de luz es más eficiente que
las lámparas tradicionales. Los letreros de neón y las
luces urbanas funcionan por un principio similar y
también se usan (o usaron) en electrónica.
La lámpara de plasma (también llamada "globo de ¿Para qué sirve la Condensación de Bose-Einstein?
plasma" o "esfera de plasma") es un objeto Es muy reciente y sabemos muy poco a cerca de ella
novedoso, que alcanzó su popularidad en los años para dar una respuesta. Es algo así como si
1980. Fue inventada por Nikola Tesla tras su viviéramos en una isla tropical hace 400 años y un
experimentación con corrientes de alta frecuencia en pedazo de iceberg llegara a la costa. Sin que nadie
un tubo de cristal vacío con el propósito de hubiera visto hielo antes, pasaría algún tiempo antes
investigar el fenómeno del alto voltaje. de que alguien se diera cuenta de que puede usarse
para hacer helados.
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17. Calor y Termodinámica Hugo Medina Guzmán
Sublimación.
También bajo ciertas condiciones de temperatura y
presión se puede pasar directamente de sólido a gas
son pasar por líquido y se denomina sublimación, Ls
(calor de sublimación).
Ejemplo 33. Se añade calor a una sustancia pura en
un recipiente cerrado a una razón constante. El
gráfico muestra la temperatura de la sustancia como
una función del tiempo. Si Lf es el calor latente de
También hay ciertos problemas de ingeniería que fusión y Lv es el calor latente de vaporización. ¿Cuál
deben ser resueltos antes de que la CBE pueda es el valor de la relación Lv/Lf para esta sustancia?
usarse para mucho.
Sin embargo las similitudes entre CBE y la luz de
láser sugieren que probablemente lo sea.
Solución.
La relación de los tiempos empleados en absorber
calor para la vaporización y la fusión es 5/2, como se
trata de la misma masa en ambos casos, esta relación
CAMBIOS DE ESTADO - CALOR LATENTE será igual a la relación de los calores latentes; esto
Cuando la temperatura de un cuerpo aumenta por LV 5
causa de un calor suministrado, se origina un es: =
aumento de la energía cinética del movimiento de LF 2
las moléculas. Cuando un material pasa de la forma
líquida a la fase gaseosa, las moléculas, que, por Ejemplo 34. Determinar el calor necesario para
causa de sus atracciones naturales se mantenían vaporizar 200 gr. De hielo que se encuentra a la
originalmente en contacto, se alejan más de las otras. temperatura de –5°C.
Esto requiere se realice un trabajo en contra de las Solución.
fuerzas de atracción, es decir hace falta que se Como ocurren cambios de estado debemos calcular
suministre una energía a las moléculas para las calorías requeridas en cada proceso.
separarlas. De este modelo podemos deducir que un Utilicemos los siguientes valores:
cambio de fase de líquido a gas requiere calor aún Calor específico del hielo: 0,5 cal/g°C
cuando no se produzca elevación de la temperatura, Calor específico del agua: 1 cal/g°C
lo mismo sucede para sólido a líquido. Calor de fusión del agua: 80 cal/g
Para sustancias puras", los cambios de fase se Calor de vaporización del agua: 540 cal/g
producen a cualquier presión, pero a determinadas
temperaturas. Se requiere una determinada cantidad Calor para elevar la temperatura del hielo de –5°C a
de calor para cambios de fase de una cantidad de 0°C
sustancia dada. Q1 = m x c x Δ t = m x 0,5 x [0 - (-5)]
Esto es, el calor es proporcional a la masa de la = m x 2,5 cal
sustancia.
Q = mL Calor para pasar de hielo a agua (fusión)
Donde L es una constante característica de la Q2 = m x L = m x 80 cal
sustancia y de cambio de fase que se produce.
Calor para elevar la temperatura del Agua de 0°C a
Si el cambio es de sólido a líquido, será L f (calor
100°C
latente de fusión) y si el cambio el de líquido a gas, Q3 = m x c x Δ t = m x 1 x (100-0)
será Lv (calor latente de vaporización). = m x 100 cal
En el caso del agua a presión atmosférica la fusión
Calor para pasar de Agua a Vapor (vaporización)
se produce a 0°C y L f vale 79,7 cal/gr. Y la Q4 = m x 540 cal
vaporización se produce a 100°C y Lv vale 539.2
Finalmente,
cal/gr.
Similarmente ocurre para los procesos inversos de Q= ∑Q = Q 2 + Q2 + Q3 + Q4
solidificación y condensación. = m(2,5+80+100+540) = 200 x722,5
= 144500 cal.
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