1. July 15 ,2009 http://my.opera.com/vinhbinhpro
Nhấn space bar hay click chuột để xem các dòng và trang kế tiếp
Biên tập PPS : vinhbinhpro

2. Phần III
Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số
http://my.opera.com/vinhbinhpro
http:my.opera.com/vinhbinhpro

3. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa :
a) Số M gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y = f(x) trên tập D nếu :
x D : f ( x) M x0 D : f ( x0 ) M
Kí hiệu : M max f ( x)
D
b) Số m gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f(x) trên tập D nếu :
x D : f ( x) m x0 D : f ( x0 ) m
Kí hiệu : m min f ( x)
D
2.GTLN ,GTNN trên một khoảng (a, b) ,( ; a) ,(b ; )
B1: Tìm các điểm x1, x2 ,...xm a ; b tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0
hoặc không có đạo hàm .Xác định điểm Cực trị của hàm số
B2 : Tính f ( x1 ), f ( x2 ),... f ( xm ) , li m f ( x) , lim f ( x)
x a x b
B3 : So sánh các giá trị vừa tìm được tìm ra GTLN ,GTNN của hàm số f trên
một khoảng
 Biên tập PPS : vinhbinhpro

4. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
3. GTLN & GTNN của hàm số trên một đoạn [a , b ]
B1: Tìm các điểm cực trị : x1 , x2 ,..., xn trên đoạn [ a , b ]
B2: Tính f ( x1 ), f ( x2 ),...., f ( xn ), f (a), f (b)
B3: So sánh các giá trị vừa tính ở trên để tìm ra GTLN ,GTNN của hs trên [a,b]
Chú ý :1. Nếu không cho trước khoảng hay đoạn thì phải hiểu là tìm GTLN ,GTNN
trên tập xác định của hàm số
2. Giá trị cực đại ,giá trị cực tiểu chưa hẳn là GTLN,GTNN của hàm số.
f(b) là GTLN
gtCĐ gt CĐ đồng thời là trên [a,b]
f(b)
GTLN trên [a,b]
f(b)
gtCĐ
gtCT gt CT không phải
là GTNN trên [a,b] gtCT
f(a)
f(a)
a b a b
f(a) mới là GTNN trên [a,b] f(a) là GTNN
trên [a,b]
 http://my.opera.com/vinhbinhpro

6. Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Tìm GTLN , GTNN ,nếu có, của hàm số sau :
2 1
y x (x 0)
x
1 2 x3 1
Hướng dẫn D (0 ; ) y' 2x
x2 x2
1
y' 0 x 3
2
1 3
Tính : y 3 3
, lim y , lim y
2 4 x 0 x
So sánh các kết quả trên ta có : Max y không có
0,
1 3
min y y 3 3
0; 2 4
 http://my.operra.com/vinhbinhpro

7. Bài tập áp dụng
Bài tập 2: Tìm GTLN , GTNN ,nếu có, của hàm số sau:
y x 6 x2 4 trên [ 0 ; 3 ]
Hướng dẫn
x 2 x2 6x 4
B1 y ' x2 4 x 6
x2 4 x2 4
y' 0 2x2 6x 4 0 x 1 hay x 2
B2 y(1) 5 5 y(2) 8 2
y(0) 12 y(3) 3 13
B3 So sánh 4 giá trị trên ta có kết quả :
Max y 3 13 min y 12
0;3 0;3
vinhbinhpro

8. Bài tập áp dụng
Bài tập 3: Tìm GTLN , GTNN của hàm số sau :
y 2 sin2 x cosx 1
Hướng dẫn
B1: y' 4 sin x cosx sin x sin x 4 cosx 1
sin x 0 (1) Nghiệm của pt (2) gây nhiều khó khăn
y' 0
4 cos x 1 (2) trong việc tính giá trị cực trị .
Đến đây học sinh phải đổi phương pháp - Dùng một biến số phụ.
Đặt t cos x ( 1 t 1 ) : miền giá trị của biến t . Thay sin2 x 1 t2
y 2 1 t2 t 1 2t 2 t 3
1
B1: y' 4t 1 0 t [ 1 ;1]
4
1 25
B2 : y y( 1) 2 y(1) 0
4 8
25 25
B3 : So sánh 3 giá trị trên ta có kết quả: Max y ; min y 0 Max y ; mi n y 0
t [ 1;1] 8 t [ 1;1] x R 8 xR
 http://my.opera.com/vinhbinhpro

9. Bài tập áp dụng
Bài tập 4: Tìm GTLN , GTNN của hàm số sau :
9
y sin3 x cos3 x sin x cos x
4
Hướng dẫn
9
y sin x cos x sin2 x cos2 x sin x cos x sin x cos x
4
9
y sin x cos x 1 sin x cosx sin x cosx
4
t2 1
Đặt : t sin x cos x t [ 2 ; 2 ] , si n x cos x (Đại số lớp 11)
2
t2 1 9 t2 1 1
( ) y t 1 y 4t 3 9t 2 12t 9
2 4 2 8 t 2 (loại )
3
B1 : y ' 2t 2 3t 2 B2 : y ' 0 1
4 t
2
1 49 9 4 2 9 4 2
B3 : y y 2 y 2
2 32 8 8
Kết quả : Max y
9 4 2
min y
49
x R 8 x R 32
 http://my.operra.com/vinhbinhpro

10.  Biên tập pps: vinhbinhpro
Bài tập áp dụng
2x 1 x2
Bài tập 5: Tìm GTLN , GTNN của hàm số sau : y
x 1 x2 2
Hướng dẫn
Đặt : t x 1 x2 , x 1 ;1 * Tìm miền giá trị của t
x 1 x2 x x 0 2
t' 1 t' 0 1 x 2
x x
1 x2 1 x2 1 x2 x2 2
2
x -1 2
1
y’ + 0 ̶ t 1; 2
y 2
-1 1 2 t2 4t 1
2 2 2 2 t 1 y'
t 1 2 1 x 2 1 x t 1 y 2
t 2 t 2
y' 0 t2 4t 1 0 t 2 3 hay t 2 3 2 2
( loai ) ( nhan)
Max y
x [ 1;1] 2
2 2
y( 3 2) 2( 3 2) , y( 1) 0 , y( 2 ) min y 2 3 2
2 x [ 1;1]

11. Bài tập áp dụng
Bài tập 6: Tìm GTLN , GTNN của hàm số sau : y sin3 x cos2x sin x 2
Hướng dẫn
y sin3 x 1 cos2x sin x 1 sin3 x 2 sin2 x sin x 1,( x R)
Đặt : t sin x , t 1;1 y t3 2t 2 t 1
Bài toán trở thành tìm GTLN ,GTNN của y(t) trên [-1 , 1]
1
y'(t ) 3t 2 4t 1 , y'(t ) 0 3t 2 4t 1 0 t 1 hay t
3
1 23
y y 1 1 y(1) 5
3 27
Max y 5 23
min y
t 1;1 t 1;1 27
Max y 5 23
min y
x R x R 27
 http://my.opera.com/vinhbinhpro

12. Bài tập 7
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
9
f ( x) x trên [ 2 ; 4 ] (trích đề thi TNPT -năm 2008)
x
Hướng dẫn: Xét trên đoạn [ 2 ; 4 ]
9 x2 9
f '( x ) 1 2 2
; f '( x ) 0 x2 9 0 x 3 (loại x = -3 )
x x
13 25
f ( 2) * f (3) 6 ; f (4)
2 4
* Kết luận : 13
max f ( x ) ; min f ( x ) 6
[2;4] 2 [2;4]
http://my.opera.com/vinhbinhpro

13. Bài tập 8
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
f ( x) x2 ln 1 2 x trên [ -2 ; 0 ] (trích đề thi TNPT -năm 2009)
Hướng dẫn: Xét trên khoảng ( -2 ; 0 )
2 2 2 x2 x 1 1
f '( x) 2 x ; f '( x) 0 2 x2 x 1 0 x
1 2x 1 2x 2
(loại bỏ x = 1 )
1 1
f (0) 0 * f ( 2) 4 ln 5 ; f ln 2
2 4
e4 4 1 4
e
4 ln 5 ln 0 (do e 5) ; * ln 2 ln 0 ( do e 24 )
5 4 2
1
* Kết luận : max f ( x) 4 ln 5 ; min f ( x) ln 2
x [ 2;0] x [ 2;0] 4
http://my.opera.com/vinhbinhpro

14. Bài tập 9
Cho x ,y ,z là ba số thực dương thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
x 1 y 1 z 1
P x y z
2 yz 2 zx 2 xy (trích Đề thi ĐH khối B- 2007)
Hướng dẫn: x2 y2 z2 x2 y2 z2
P
2 2 2 xyz
x2 y2 y2 z2 z2 x2
x2 y2 z2 xy yz zx
2 2 2
x2 y2 z2 xy yz zx x2 1 y2 1 z2 1
P
2 2 2 xyz 2 x 2 y 2 z
Đặt : f (t )
t2 1 1 t3 1
(t 0) ; f '(t ) t ; f '(t ) 0 t 1
2 t t2 t 2
t 0 1 3 9
+∞ Vậy: t 0 ; f (t ) P
f’ - 0 +
2 2
+∞ Dấu = xảy ra x y z 1
f 3/2
Vậy : Giá trị nhỏ nhất của P là 9/2
vinhbinhpro