Taller grupal parcial ii nrc 3246 sebastian fueltala_kevin sánchez
1. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PARCIAL II
TALLER Nro. 2
TEMA: APLICACIONES DE LA DERIVADA EN
LA CARRERA DE INGENIERÍA MECÁNICA
Nombres:
1.Cristopher Sebastián Fueltala Sotelo
2.Kevin Alexander Sánchez Hurtado
NRC:3246
Fecha: martes 27 de julio 2021
Período: Mayo 2021 _ Septiembre 2021
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRALADMINISTRATIVAS
Dra. Lucía Castro Mgs.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE
2. 2
Índice (en una sola página)
1. Introducción…………………………………………………………………………………2
2. Objetivos…………………………………………………………………………………….2
3. Fundamentación teórica……………………………………………………………………3-8
4. Desarrollo……………………………………………………………………………… 10-15
5. Conclusiones………………………………………………………………………..………16
6. Enlace a slideshare…………………………………………………………………………16.
7. Bibliografía…………………………………………………………………..…………….16
3. 3
1. Introducción
El Cálculo Diferencial e Integral es una herramienta matemática que surgió en el siglo XVII para
resolver algunos problemas de geometría y de física. El problema de hallar una recta tangente a
la gráfica de una función en un punto dado y la necesidad de explicar racionalmente los
fenómenos de la astronomía o la relación entre distancia, tiempo, velocidad y aceleración,
estimularon la invención y el desarrollo de los métodos del Cálculo.
Aplicación de la Derivada en la Ingeniería
Prácticamente todas las ingenierías presentan aplicaciones de la derivada En el caso de la
ingeniería mecánica se emplea el análisis de las señales tiene una amplitud y frecuencia se
aplican funciones de senos y cosenos, por lo tanto, aplicamos derivada.
2. Objetivos
Objetivo General:
Desarrollar habilidades, Reconocer y manipular algebraicamente funciones para su respectivo el
estudio y su relación con la ingeniería mecánica.
Objetivos específicos:
• Determinar la solución de problemas de optimización.
• Analizar y resolver problemas, típicos de aplicaciones en la ingeniería, mediante su
modelación con funciones reales de variable real, derivadas, maximización, minimización.
4. 4
3. Fundamentación teórica
La definición más común es lo referente a que la derivada es el límite del cociente entre
incremento de una función y el de variable cuando esta tiende a cero.
Definición geométrica de la derivada. Cálculo de ecuación de la recta tangente a una curva). La
definición geométrica de la derivada está relacionada directamente con la pendiente de una recta
tangente a una curva que generalmente es de la forma 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2
.
Límite como cociente de diferencias
La derivada de una función es la pendiente geométrica de la recta tangente . Sin el concepto que
se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una
función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente�𝑥𝑥, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)� . La idea es
aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente
más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las
líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues,
la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea
tangente. Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un
número relativamente pequeño. representa un cambio relativamente pequeño en , el cual puede
ser positivo o negativo. La pendiente de la recta que pasa por los dos puntos �𝑥𝑥, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)� 𝑦𝑦 �𝑥𝑥 +
ℎ, 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ℎ)� 𝑒𝑒𝑒𝑒: 𝑄𝑄(ℎ) =
𝑓𝑓(𝑥𝑥+ℎ)−𝑓𝑓(𝑥𝑥)
ℎ
5. 5
expresión denominada «cociente de Newton. La derivada de f en x entonces el límite del valor
del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ℎ) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
ℎ
Continuidad y diferenciabilidad
Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua en x = a.
El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo,
no son derivables.
𝑓𝑓(𝑥𝑥) �
1 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 < 0
𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≥ 0
En primer lugar, estudiamos la continuidad en x = 0. Para esto verificamos si la función está
definida en cero, si el límite existe y si ambos coinciden.
𝑓𝑓(0) = 0
lim
𝑥𝑥→0−
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim
𝑥𝑥→0−
1 = 1
lim
𝑥𝑥→0+
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim
𝑥𝑥→0+
1 = 1
Cuando los limites laterales coinciden existe continuidad, pero no es derivable en x=0
En segundo lugar, estudiamos la continuidad en x = 0. Para esto verificamos si la función está
definida en cero, si el límite existe y si ambos coinciden.
𝑓𝑓(0) = 0
lim
𝑥𝑥→0−
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim
𝑥𝑥→0−
0 = 0
lim
𝑥𝑥→0+
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim
𝑥𝑥→0+
0 = 1
Cuando los limites laterales coinciden existe continuidad, y es derivable en x = 0
6. 6
Cálculo de la derivada
La derivada de una función, en principio, puede ser calculada de la definición, mediante el
cociente de diferencias, y después calcular su límite. En la práctica, únicamente las derivadas
de unas pocas funciones son conocidas, las derivadas de otras funciones son fáciles de calcular
utilizando reglas para obtener derivadas de funciones más complicadas de otras más simples.
Funciones elementales Funciones hiperbólicas
1. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0
2. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥𝑛𝑛
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛−1
1. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ(𝑢𝑢) 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑢𝑢). 𝑢𝑢′
2. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ(𝑢𝑢) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ(𝑢𝑢). 𝑢𝑢′
3. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡ℎ(𝑢𝑢) 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ2
(𝑢𝑢). 𝑢𝑢′
4. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ(𝑢𝑢) 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2
ℎ(𝑢𝑢). 𝑢𝑢′
5. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ(𝑢𝑢) 𝑓𝑓′
(𝑥𝑥) = −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑢𝑢)𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑢𝑢). 𝑢𝑢′
6. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ(𝑢𝑢) 𝑓𝑓′
(𝑥𝑥) = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑢𝑢)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑢𝑢). 𝑢𝑢′
Funciones trigonométricas
1. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑢𝑢) 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑢𝑢). 𝑢𝑢′
2. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑢𝑢) 𝑓𝑓′
(𝑥𝑥) = −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑢𝑢). 𝑢𝑢′
3. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑢𝑢) 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2
(𝑢𝑢). 𝑢𝑢′
4. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑢𝑢) 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2
(𝑢𝑢). 𝑢𝑢′
5. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑢𝑢) 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑢𝑢)𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑢𝑢). 𝑢𝑢′
6. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑢𝑢) 𝑓𝑓′
(𝑥𝑥) = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑢𝑢)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑢𝑢). 𝑢𝑢′
8. 8
Derivada definición
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = lim
∆𝑥𝑥→0
𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ∆𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
∆
Reglas de derivación
Suma y Resta
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) + 𝑔𝑔′(𝑥𝑥)
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) − 𝑔𝑔′(𝑥𝑥)
Producto
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∙ 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓′
(𝑥𝑥) ∙ 𝑔𝑔(𝑥𝑥) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∙ 𝑔𝑔′(𝑥𝑥)
División
𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑔𝑔(𝑥𝑥)
𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) ∙ 𝑔𝑔(𝑥𝑥) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∙ 𝑔𝑔′(𝑥𝑥)
𝑔𝑔(𝑥𝑥)2
Regla de la cadena
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑔𝑔(𝑥𝑥)) 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓′(𝑔𝑔(𝑥𝑥)) ∙ 𝑔𝑔′(𝑥𝑥)
Diferenciabilidad
Una función con dominio en un subconjunto de los reales es diferenciable en un punto si su
derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo abierto si es
diferenciable en todos los puntos del intervalo.
Si una función es diferenciable en un punto , la función es continua en ese punto. Sin embargo,
una función continua en , puede no ser diferenciable en dicho punto (punto crítico). En otras
palabras, diferenciabilidad implica continuidad, pero no su recíproco.
La derivada de una función diferenciable puede ser, a su vez, diferenciable. La derivada de una
primera derivada se llama derivada segunda. De un modo parecido, la derivada de una derivada
segunda es la derivada tercera, y así sucesivamente. Esto también recibe el nombre de derivación
sucesiva o derivadas de orden superior.
9. 9
máximos y mínimos de una función
Los máximos y mínimos de una función son los valores más grandes o más pequeños de ésta, ya
sea en una región o en todo el dominio.
Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más
pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo
su dominio (extremos absolutos).
Si es una función derivable en , entonces es un máximo relativo o local si:
•
•
Si es una función derivable en , entonces es un mínimo relativo o local si:
•
•
16. 16
4. Conclusiones
El concepto se deriva se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se
produce el cambio de una situación por eso es una herramienta del cálculo fundamental en los
estudios de física e ingeniería mecánica también en las ciencias sociales como la economía y
sólo he a utilizar análisis matemático para explicar la rapidez del cambio de magnitudes que le
son propias
La derivación, matemáticamente, es un concepto esencial para determinar los espacios tangentes
sobre variedades diferenciables, sus cualidades, sus propiedades y sus consecuencias
Los máximos o mínimos de una función son conocidos como extremos de una función, son los
valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma una función en punto
situado ya sea en lo más alto o bajo de la curva o en el dominio de la función en su totalidad.
5. Enlace a slideshare
Bibliografía
Barrios, A. (09 de 04 de 2017). slideshare. Obtenido de slideshare:
https://es.slideshare.net/AlexisBruceBarriosEchalar/aplicaciones-de-las-derivadas-
74751005
departamento.us.es. (09 de 09 de 2016). Obtenido de departamento.us.es:
https://departamento.us.es/edan/php/asig/GRABIO/GBM/ApendiceB.pdf
Jara, M. A. (2016). ecotec.edu.ec. Obtenido de ecotec.edu.ec:
https://www.ecotec.edu.ec/content/uploads/investigacion/libros/aplicaciones-derivada.pdf
mwikicpd.ing.ucv.ve. (s.f.). Obtenido de mwikicpd.ing.ucv.ve:
http://mwikicpd.ing.ucv.ve/cpd_programas/programas/Programas/CBasico/CB_Matemati
ca/visor2/documentos/0251%20Calculo%20I.pdf
