Tarea

1. ALGEBRA LINEAL
TRANSFORMACIONES LINEALES
INTEGRANTES:
• CEDEÑO LISSETH
• TOAPANTA ANDREINA
NRC: 4267
TELECOMUNICAIONES
OBJETIVO: Determinar cuál de las siguientes operaciones es una transformación
lineal, mediante operaciones realizadas utilizando los pasos correspondientes.

2. 𝟏. −𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟑(𝒙 − 𝒚, 𝒙 + 𝒚)
Determinar cuál de las siguientes funciones, define una transformación lineal.
EJERCICIO:
∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑅2
^ ∀𝛼𝛽 ∈ 𝑅 ∴ F 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 = 𝛼𝐹 𝑢 + 𝛽𝐹(𝑣)
𝑠𝑒𝑎 𝑢 =
𝑥1
𝑦1
; 𝑣 =
𝑥2
𝑦2
F 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 = 𝐹 𝛼
𝑥1
𝑦1
+ 𝛽
𝑥2
𝑦2
= 𝐹
𝛼𝑥1 +
𝛼𝑦1 +
𝛽𝑥2
𝛽𝑦2
= 3
𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2 − 𝛼𝑦1 − 𝛽𝑦2
𝛼𝑥1 − 𝛽𝑥2 + 𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2
= 3
(𝛼𝑥1+𝛽𝑥2) −
(𝛼𝑥1+𝛽𝑥2) +
(𝛼𝑦1+𝛽𝑦2)
(𝛼𝑦1+𝛽𝑦2)
= 3
𝛼𝑥1 − 𝛼𝑦1
𝛼𝑥1 + 𝛼𝑦1
+
𝛽𝑥2 − 𝛽𝑦2
𝛽𝑥2 + 𝛽𝑦2
= 3 𝛼
𝑥1 − 3𝑦1
𝑥1 + 3𝑦1
+ 𝛽
𝑥2 − 𝑦2
𝑥2 + 𝑦2
= 𝜶𝑭 𝒖 + 𝜷𝑭 𝒗 → 𝑭 𝒔𝒊 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝑻. 𝑳//
SOLUCIÓN:

3. 𝑠𝑒𝑎 𝑈 =
𝑥1
𝑌1
𝑍1
; 𝑉 =
𝑥2
𝑌2
𝑍2
; W =
𝑥3
𝑌3
𝑍3
α𝑥1 + β𝑥2 + δ𝑥3
α𝑦1 + β𝑦2 + δ𝑦3
α2
𝑧1
2
+ 2αβ𝑧1𝑧2 + 2α𝑧1𝑧3 + β2
𝑧2
2
+ 2β𝑧2δ𝑧3 + δ2
𝑧3
2
→ 𝑭 𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝑻. 𝑳
𝜶𝟐𝒛𝟏
𝟐 + 𝟐𝜶𝜷𝒛𝟏𝒛𝟐 + 𝟐𝜶𝒛𝟏𝒛𝟑 + 𝜷𝟐𝒛𝟐
𝟐 + 𝟐𝜷𝒛𝟐𝜹𝒛𝟑 + 𝜹𝟐𝒛𝟑
𝟐 ≠ 𝜶𝒛𝟏
𝟐 𝜷𝒛𝟐
𝟐 𝜹𝒛𝟑
𝟐
2. −𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥, 𝑦, 𝑧2)
∀𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑅3 ^ ∀𝛼𝛽𝛿 ∈ 𝑅 ∴
SOLUCIÓN:
T(α𝑢 + 𝛽𝑣 + 𝛿𝑤)
𝑇 α 𝑢 + β 𝑣 + δ 𝑤 = 𝑇 α
𝑥1
𝑌1
𝑍1
+ β
𝑥2
𝑌2
𝑍2
+ δ
𝑥3
𝑌3
𝑍3
= 𝑇
α𝑥1 + β𝑥2 + δ𝑥3
α𝑦1 + β𝑦2 + δ𝑦3
α𝑧1 + β𝑧2 + δ𝑧3
= 𝑇
α𝑥1 + β𝑥2 + δ𝑥3
α𝑦1 + β𝑦2 + δ𝑦3
α𝑧1 + β𝑧2 + δ𝑧3
2

4. 3. −𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧, 3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧, 𝑥 − 𝑦 − 𝑧)
𝑢 =
𝑥1
𝑦1
𝑧1
; 𝑣 =
𝑥2
𝑦2
𝑧2
EJERCICIO
𝑻 𝜶𝒖 + 𝜷𝒗 =
𝑇
𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2
𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2
𝛼𝑧1 + 𝛽𝑧2
(𝛼𝑥1+𝛽𝑥2) + 2(𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2) − 3(𝛼𝑧1+𝛽𝑧1)
3(𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2) − 2(𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2) + 5(𝛼𝑧1+𝛽𝑧1)
(𝛼𝑥1+𝛽𝑥2) + (𝛼𝑦1+𝛽𝑦2) − (𝛼𝑧1+𝛽𝑧1)
→
𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2 + 2𝛼𝑦1 + 2𝛽𝑦2 − 3𝛼𝑧1 − 3𝛽𝑧2
3𝛼𝑥1 + 3𝛽𝑥2 − 𝛼𝑦1 − 𝛽𝑦2 + 5𝛼𝑧1 + 5𝛽𝑧2
𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2 − 𝛼𝑦1 − 𝛽𝑦2 − 𝛼𝑧1 − 𝛽𝑧2
=
𝛼𝑥1 + 𝛼2𝑦1 − 𝛼3𝑧1 + 𝛽𝑥2 + 𝛽2𝑦2 − 𝛽3𝑧2
𝛼3𝑥1 − 𝛼𝑦1 + 𝛼5𝑧1 + 𝛽𝑥2 − 𝛽𝑦2 + 𝛽5𝑧2
𝛼𝑥1 − 𝛼𝑦1 − 𝛼𝑧1 + 𝛽𝑥2 − 𝛽𝑦2 − 𝛽𝑧2
→ 𝜶
𝒙𝟏 + 𝟐𝒚𝟏 − 𝟑𝒛𝟏
𝟑𝒙𝟏 − 𝒚𝟏 + 𝟓𝒛𝟏
𝒙𝟏 − 𝒚𝟏 − 𝒛𝟏
+ 𝜷
𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝟑𝒛𝟐
𝟑𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 + 𝟓𝒛𝟐
𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 − 𝒛𝟐
𝑆𝑖 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑇𝐿//
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧
3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧
𝑥 − 𝑦 − 𝑧

5. 𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
= 𝛼
1
0
1
+ 𝛽
2
1
0
+ 𝛿
−1
−2
3
6. −𝑆𝑒𝑎 𝑓 𝑢𝑛𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑅3
𝑒𝑛 𝑅3
, 𝑠𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑓 1, 0, 1 = 1, −1, 3 𝑦 𝑓 2, 1, 0 = 0, 2, 1 ;
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑓((−1, −2, 3)).
SOLUCIÓN:
1 2 −1
0 1 −2
1 0 3
𝑥
𝑦
𝑧
𝑓3 − 𝑓1 → 𝑓3
1 2 −1
0 1 −2
0 −2 4
𝑥
𝑦
𝑧 − 𝑥
𝑓3 + 2𝑓2 → 𝑓3
1 2 −1
0 1 −2
0 0 0
𝑥
𝑦
𝑧 − 𝑥 + 2𝑦
𝛽 − 2𝛿 = 𝑦
𝛿 = 0
𝛽 − 0 = 𝑦
𝛽 = y
𝛼 + 3𝛽 − 𝛿 = 𝑥
𝛼 + 2𝑦 − 0 = 𝑥
𝛼 = 𝑥 − 2𝑦
𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
= 𝑇
1
0
1
+ 𝛽
2
1
0
+ 𝛿
−1
−2
3
=
𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
= 𝑇𝛼
1
0
1
+ 𝑇𝛽
2
1
0
+ 𝑇𝛿
−1
−2
3
𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
= 𝑥 − 2𝑦
1
0
1
+ 𝑦
0
2
1
+ 0
𝑁1
𝑁2
𝑁3
𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
= 𝑥 − 2𝑦
1
−1
3
+ 𝑦
0
2
1
=
𝑥 − 2𝑦 + 0
−𝑥 + 2𝑦 + 2𝑦
3𝑥 − 6𝑦 + 𝑦
=
𝑥 − 2𝑦
−𝑥 + 4𝑦
3𝑥 − 5𝑦
=> 𝑇
−1
−2
3
=
𝟑
−𝟕
𝟕 //

6. 𝟕. −𝑺𝒆𝒂 𝒇 𝒖𝒏𝒂 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝑹𝟑
𝒆𝒏 𝑷𝟐 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒇 𝟏, 𝟏, 𝟏 = 𝟏 – 𝟐𝒕 + 𝒕𝟐
, 𝒇 𝟐, 𝟎, 𝟎 = 𝟑 + 𝒕 – 𝒕𝟐
,
𝒇((𝟎, 𝟒, 𝟓)) = 𝟐 + 𝟑𝒕 + 𝟑𝒕𝟐
; 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝒇((𝟐, −𝟑, 𝟏)).
𝑓 1,1,1 = 1 − 2𝑡 + 𝑡2
→ 𝑓
1
1
1
=
1
−2
1
𝑓 2,0,0 = 3 + 𝑡 – 𝑡2
→ 𝑓
2
0
0
=
3
1
−1
𝑓 = ℝ3
→ 𝑃2
𝑓 0,4,5 = 2 + 3𝑡 + 3𝑡2
→ 𝑓
0
4
5
=
2
3
3
𝑥
𝑦
𝑧
= α
1
1
1
+ β
2
0
0
+ δ
0
4
5
𝑇 α 𝑢 + β 𝑣 + δ 𝑤 = α𝑇 𝑢 + β𝑇 𝑣 + δ 𝑤
1
1
1
2
0
0
0
4
5
𝑥
𝑦
𝑧
𝐹2 − 𝐹1 → 𝐹2
𝐹3 − 𝐹1 → 𝐹3
=
1
0
0
2
−2
−2
0
4
5
𝑥
𝑦 − 𝑥
𝑧 − 𝑥
𝐹3 − 𝐹1 → 𝐹3=
1
0
0
2
−2
0
0
4
1
𝑥
𝑦 − 𝑥
𝑧 − 𝑦
SOLUCIÓN:

7. 𝜹 = 𝒛 − 𝒚
−2β + 4δ = 𝑦 − 𝑥 → −2β = 𝑦 − 𝑥 − 4 𝑧 − 𝑦 → −2β = 𝑦 − 𝑥 − 4𝑧 + 4𝑦 → 2β = 𝑥 − 5𝑦 + 4𝑧
𝜷 =
𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟒𝒛
𝟐
α + 2 + β = 𝑥 → α = 𝑥 − 2
𝑥 − 5𝑦 + 4𝑧
2
→ α = 𝑥 − 𝑥 + 5𝑦 − 4𝑧
𝜶 = 𝟓𝒚 − 𝟒𝒛
𝑥
𝑦
𝑧
= 𝑇 α 𝑢 + β 𝑣 + δ 𝑤 = α𝑇 𝑢 + β𝑇 𝑣 + δ 𝑤
𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
= 5𝑦 − 4𝑧
1
−2
1
+
𝑥 − 5𝑦 + 4𝑧
2
3
1
−1
+ 𝑧 − 𝑦
2
3
3
𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
=
5𝑦 − 4𝑧
−10𝑦 + 8𝑧
5𝑦 − 4𝑧
+
3x−15y+12z
2
𝑥 − 5𝑦 + 4𝑧
2
−𝑥 + 5𝑦 − 4𝑧
2
+
−2𝑦 + 2𝑧
−3𝑦 + 3𝑧
−3𝑦 + 3𝑧

8. 𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
=
3x−9y+8z
2
𝑥 − 31𝑦 + 26𝑧
2
−𝑥 + 9𝑦 − 6𝑧
2
→ 𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
=
1
2
3𝑥 − 9𝑦 + 8𝑧
𝑥 − 31 + 26𝑧
−𝑥 + 9𝑦 − 6𝑧
𝐃𝐄𝐓𝐄𝐑𝐌𝐈𝐍𝐀𝐑: f 2, −3.1
𝑇
2
−3
1
=
1
2
41
121
−35
→ 𝑇
2
−3
1
=
𝟒𝟏
𝟐
𝟏𝟐𝟏
𝟐
−
𝟑𝟓
𝟐 //