El documento describe el análisis de la complejidad de preguntas en una prueba de matemáticas para diferentes grados. Explica que las preguntas incluyen diferentes niveles de dificultad y analiza ejemplos de preguntas sobre estadística y álgebra para grados 3ro a 9no, señalando cómo la complejidad aumenta con el grado escolar y al pasar de representaciones más simples a más complejas. También discute las diferentes formas en que los estudiantes pueden interpretar las letras en contextos matemáticos.

1. curso, aplicadas en el año 2002, privilegiando la información sobre
el nivel de competencia que exigen y estableciendo la relación con
el tópico al cual se han asociado:
1.2.1 Grado Tercero
20
1.2.2 Grado Quinto
1.2.2 Grado Quinto

2. 21
1.2.3 Grado Séptimo

3. 22
1.2.4 Grado Noveno

4. Preguntas incluidas en la calificación por niveles de logro.
1.3 Análisis general sobre complejidad, por
grados, niveles y grupos de preguntas
La complejidad de la prueba es diversa, pues como todo instrumento
de evaluación, pretende poder diferenciar a los individuos que son
evaluados por medio de ésta. Así, incluye preguntas que requieren
distintos niveles de logro, desde preguntas de un nivel básico hasta
preguntas que corresponderían a un nivel deseable de competencia
(que podría interpretarse como mejores y más complejas
comprensiones sobre los objetos matemáticos y sus usos).
Para poder comprender dichas complejidades, parece pertinente,
retomar la definición de niveles por grados, presentada en los
marcos de interpretación de las pruebas:
“los niveles de logro de la competencia matemática se
diferencian en las posibilidades de los niños y jóvenes
para comprender, representar y relacionar información
ofrecida en las diferentes situaciones problema que se
les presenta, la creatividad e ingenio para establecer
planes de resolución, las estrategias de estimación y
aproximación que utilizan, las destrezas de cálculo de
las que hacen uso, la complejidad y pertinencia del
conocimiento matemático que han logrado construir”
y aludir nuevamente, las estructuras de prueba presentadas en el
apartado anterior.
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5. Con estos elementos, se podría llevar a cabo un análisis acerca de
la complejidad de las preguntas, tomando preguntas de uno y
otro nivel y observando las diferencias conceptuales existentes y
las exigencias que las preguntas le imponen al resolutor.
Se retoma aquí algunas situaciones, relacionadas con los tópicos
de estadística y álgebra, como ejemplo de esta posibilidad.
1.3.1 Análisis en el tópico de estadística. En este apartado, se presenta
un análisis de grupos de preguntas sobre este tópico, a través de los
diferentes grados, destacando los aspectos que determinan cierto
incremento en su complejidad; complementado con algunas
apreciaciones que podrían aportar elementos al docente para realizar
interpretaciones sobre posibles procesos implicados en la escogencia
de una determinada opción de respuesta.
Para responder las preguntas 6 y 7 de la prueba de grado tercero el
estudiante debe, además de interpretar la información que le ofrece
cada uno de los tipos de representación, establecer conexiones
con otras representaciones; algunos autores llaman a esta actividad
cognitiva “transformación de conversión”.
Los niños y niñas de grado tercero durante la semana recogieron
envases de jugo reciclables. La información la registraron en la
siguiente gráfica de barras
24

6. 25
6.
El día en que se recogió la MENOR cantidad de envases fue
A. lunes
B. miércoles
C. jueves
D. viernes
La primera pregunta exige al estudiante la interpretación de la
información que se presenta en el diagrama de barras, esta
interpretación la pude llevar a cabo a través de la visualización de
las barras de la gráfica directamente, asociando la de menor altura
con menor cantidad.
La segunda pregunta implica una transformación de conversión
de la representación inicial
7.
¿Cuál de las siguientes tablas registra la información dada en la
gráfica de barras?
A. B.

7. C. D.
Esta pregunta exige al estudiante, además de considerar la relación
entre los datos de los ejes vertical y horizontal, reconocer la escala
utilizada en el eje vertical y utilizar la graduación de la escala como
unidad patrón para determinar el valor que corresponde al día
jueves, así mismo, le exige tener conocimiento sobre cómo se
disponen los datos en la representación tabular, para representar
la relación existente entre ellos.
En grado quinto se presenta la siguiente situación
A 15 personas se les pregunta cuál es el deporte que practican. El
resultado se presenta en la siguiente tabla
26

8. 27
1.
De acuerdo con los datos presentados en la tabla, se puede afirmar que
A. 6 personas practican voleibol
B. 10 personas practican fútbol
C. 2 personas practican voleibol
D. 5 personas practican baloncesto
Esta pregunta se ubica en el primer nivel de competencia
matemática, le implica al estudiante establecer la frecuencia con
la que se presenta la preferencia de determinado deporte mediante
el conteo del número de personas que lo eligieron, es un nivel de
interpretación básico, en el que toda la información que el
estudiante requiere para responder a la pregunta se encuentra
explícita en la situación.
Mientras que la pregunta 10, referida a la siguiente situación,
aunque pertenece al mismo tópico de estadística y probabilidad,
se ubica en el nivel C de competencia matemática, como puede
apreciarse, la representación en la que se presenta la información
es más compleja que la representación tabular, implica el manejo
de la representación en el plano, en la que es necesario reconocer
la relación entre los datos de cada uno de los ejes, además, en
tanto presenta dos series simultáneamente, debe establecer también
las relaciones entre las dos. La comprensión de las convenciones
establecidas es indispensable para que el estudiante pueda dar
solución a la pregunta formulada.
Una compañía internacional decidió evaluar el rendimiento de
dos de sus traductoras de Inglés, para lo cual analizaron durante 7

9. días los minutos invertidos por cada una en traducir una página.
Los resultados fueron presentados en la siguiente gráfica:
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10.
¿En qué día las dos traductoras tuvieron el mismo rendimiento?
A. cuarto día
B. quinto día
C. sexto día
D. séptimo día
Un hecho interesante que puede analizarse es el posible incremento
en las exigencias que la pregunta 11 le impone al estudiante en
este mismo tópico, teniendo en cuenta que esta pregunta se ubica
en el mayor nivel de complejidad, de los establecidos para esta
prueba, en este grado (nivel D).
Los distintos niveles de complejidad se pueden apreciar tanto en
las preguntas de la prueba para un determinado grado, como entre
las distintas pruebas a medida que aumenta el grado de escolaridad;
por ejemplo, en las preguntas a las que se ha hecho alusión en
apartados anteriores (preguntas 6 y 7 de la prueba de tercer grado),
puede apreciarse cómo la interpretación y conversión que los

10. estudiantes deben realizar entre la representación gráfica de barras
y la representación tabular, resultan más sencillas que las requeridas
para el análisis de la gráfica que se presenta en la pregunta 10 del
grado quinto. Estas diferencias en el nivel de complejidad pueden
estar relacionadas, entre otros aspectos, con la experiencia de los
estudiantes en el uso de estos tipos de representación2, con el
número de variables y la cantidad de información dispuesta que
debe relacionarse en cada situación, y específicamente, por
ejemplo, con la presentación simultánea de datos numéricos en
los dos ejes.
Así, podría analizarse qué aspectos aumentan la complejidad en
las preguntas 16, 17 y 18 de la prueba de séptimo grado, o de las
preguntas 18, 19 y 20 de la prueba de grado noveno, en lo que se
refiere a la interpretación de distintas representaciones con las
que se presenta la información.
1.3.2 Análisis en el tópico de álgebra. Con este apartado se pretende
que los docentes aprecien algunos aspectos del álgebra en los cuales
sus estudiantes mostraron avances, así como otros en los que se
evidencia cierta dificultad o insuficiencia de elementos para
abordar las situaciones planteadas.
Los mejores desempeños de los estudiantes se observaron ante la
lectura de información presentada en una gráfica cartesiana y ante
la conversión al lenguaje algebraico de una situación expresada en
lenguajes natural y pictográfico, mientras que las mayores
dificultades se manifestaron cuando se requería reconocer la
variación en dos conjuntos de datos sobre la gráfica cartesiana de
una función lineal para hacer la conversión a su representación
mediante una ecuación, también se apreció una gran limitación
2 En la escuela, y en cierta información presentada por los medios de
comunicación, suele privilegiarse la representación mediante diagramas de
barra o circulares.
29

11. en la posibilidad de relacionar y hacer conversiones al lenguaje
simbólico algebraico desde otros tipos de representaciones como
los textos escritos en el lenguaje natural, las gráficas de figuras o
las gráficas cartesianas.
En cuanto a las conversiones entre distintos lenguajes como el
natural, los esquemas pictográficos, el figural (gráficas de figuras
y cuerpos geométricos, gráficas cartesianas), el aritmético, o el
algebraico, se observa que los estudiantes tuvieron un mejor
desempeño cuando debían expresar en lenguaje aritmético una
relación presentada en una gráfica, por ejemplo, en la pregunta
35, prueba grado 9º, clasificada en el nivel de complejidad C, se
requería interpretar la gráfica cartesiana para ubicar un valor en
un intervalo del recorrido y así encontrar el intervalo
correspondiente en el dominio
A continuación se presenta la gráfica que muestra la relación entre
el consumo mensual en metros cúbicos y la tarifa de pago mensual,
del servicio de agua
30

12. 31
35.
Si un usuario pagó 37.000 pesos por el consumo mensual, el
número de metros cúbicos que consumió en dicho mes está entre
A. 0 y 20
B. 20 y 40
C. 40 y 50
D. 50 y 60
Respecto a la misma situación de la pregunta anterior, hubo un
incremento en el nivel de complejidad cuando se exigió hacer
conversión al lenguaje algebraico desde una representación gráfica,
(en la pregunta 34 que se ubicó en el nivel E), pues para responderla
era indispensable identificar en la gráfica cartesiana de la función
lineal tanto la pendiente como las coordenadas de uno o dos puntos
o el intercepto con el eje vertical, y usar esos datos para representar
la función mediante una ecuación. Sin embargo cerca de las tres
cuartas partes de los estudiantes (73%) escogió como respuesta
las opciones B y C cuyas ecuaciones no incluían la pendiente pero
sí un valor que se podía leer sobre la gráfica (el 22.000).
34.
Si x representa el consumo mensual en metros cúbicos, la expresión
que representa el costo mensual para consumos menores de 40
metros cúbicos es
A. 500x
B. 22.000x
C. 22.000 + x
D. 22.000 + 500x

13. Otro factor que incrementó la dificultad está relacionado con la
diversidad de interpretaciones que de los símbolos, particularmente
de las letras, hacen los estudiantes, en contextos matemáticos. Por
ejemplo, en los últimos grados de la básica primaria y primeros
de secundaria, el uso privilegiado que se da a las letras suele ser
como etiquetas que representan unidades (por ejemplo, 5m, para
representar 5 metros), como nombres de conjuntos, puntos u
objetos (conjunto A, puntos M y N, segmento AB), es decir, la
letra es vista como representante de un objeto, o incluso como el
objeto propiamente dicho, interpretación que, en otros contextos
como el algebraico, suele ser insuficiente e incluso inapropiada
para abordar algunas situaciones.
Para que el profesor comprenda tanto los procesos como las
respuestas que los estudiantes dan a ciertos problemas, es pertinente
que disponga de elementos de análisis ante preguntas como: ¿Qué
otras interpretaciones de la letra, en contextos matemáticos, pueden
hacer los estudiantes y cuáles son las requeridas en la resolución
de problemas específicos? Algunos estudios3 dan cuenta de seis
interpretaciones distintas realizadas por los estudiantes:
Letra evaluada. A la letra se le asigna un valor numérico
específico desde el inicio del proceso, por ejemplo, cuando
al representar un segmento con la letra x, a ésta se le asigna
el valor de la medida del segmento o cuando una letra,
como la a se reemplaza por el número 1, al asociar su valor
con la posición ocupada dentro del alfabeto.
Letra ignorada o no usada. Se reconoce y opera
prioritariamente con los números antes que con las letras
presentes en una expresión, por ejemplo, cuando al plantear
una situación en la cual se incluye una representación gráfica
3 Las categorías de interpretación de las letras aquí presentadas fueron
propuestas por Küchemann a partir de estudios realizados con estudiantes
de Inglaterra.
32

14. de un segmento de longitud m, el estudiante toma la
medida del segmento y realiza operaciones con tal número.
Letra como objeto. La letra es considerada como un nombre
para un objeto o como el objeto mismo, por ejemplo,
cuando en la situación :
“Se compran m manzanas y cada una cuesta $400. Entonces
la expresión 400m representa…”
Los estudiantes que interpretan la letra como objeto creen
que 4m representa 400 manzanas.
Ante expresiones simbólicas como “2m + 3m” los
estudiantes pensarían en “2 manzanas y 3 manzanas” que
corresponderían a 5 manzanas. Esta manara de operar con
las letras, aunque eficiente para algunos casos (como en la
suma de términos semejantes), puede carecer de significado
para otros, [como, por ejemplo, ante la necesidad de
encontrar una equivalencia para el cubo de un binomio,
como (x + y)3]
Letra como incógnita. La letra es vista como un número
desconocido pero específico, por ejemplo, cuando ante la
pregunta:
“¿En cuales casos se verifica la igualdad L + M + P = L +
N + P?
Los estudiantes responden que nunca pues M y N son
distintas.
Letra como número generalizado. La letra se ve como
representante de un conjunto de valores más que como un
valor específico y se le reconoce las propiedades del conjunto
al cual pertenecen los valores representados, por ejemplo,
cuando ante la pregunta:
“¿Qué puede decir de C, si se sabe que C + D = 10 y C es
menor que D?
Los estudiantes responden que C es menor que 5.
33

15. Letra como variable. La letra representa un rango de valores
que varían dependiendo funcionalmente de otros, por
ejemplo, cuando ante la pregunta:
“Se sabe que a = b + 3 ¿Qué le pasa a a si b es incrementado
en 2?
Los estudiantes responden que “a es siempre 3 más que b”.
Tales interpretaciones, constituirían una escala jerárquica4 según la
cual los primeros niveles corresponden a las interpretaciones en los
cuales se ignoran o evalúan las letras, continuando con las letras
como objetos, y como incógnitas, hasta avanzar a niveles donde las
letras se interpretan como números generalizados o como variables.
En tal sentido el nivel de interpretación de la letra exigido por la
pregunta, se constituye en un factor que incrementa la complejidad
de las preguntas de la prueba, pues los porcentajes de estudiantes
que respondían correctamente disminuyeron si la pregunta requería
de un nivel superior en la interpretación de las letras.
Considerando los niveles de interpretación de las letras requeridos
para responder la pregunta, se observa que los desempeños de los
estudiantes fueron mejores cuando la pregunta requería de la
interpretación de la letra como objeto, mientras que las mayores
dificultades se manifestaron ante la exigencia de interpretar las
letras como incógnitas, números generalizados o ante la necesidad
de reconocer la variación entre dos conjuntos de valores, esto es,
cuando las letras se deben interpretar como variables. A
continuación se explican estas apreciaciones a partir del análisis
de las respuestas a algunas preguntas:
4 Küchemann (1978) apoyado en los estudios de Collis (1975), con un marco
de referencia Piagetiano, propuso un orden jerárquico para tales
interpretaciones, que asocia a las interpretaciones de letra evaluada y no
usada el nivel bajo de las operaciones concretas, a la letra como objeto el
superior de las operaciones concretas, a las letras como incógnita y número
generalizado el bajo de las operaciones formales y a la variable el superior de
las operaciones formales
34

16. Cerca de la mitad de los estudiantes alcanzaron buen desempeño
en la pregunta 6 de la prueba de grado 9º, clasificada en el nivel
de complejidad D, en la cual se requería interpretar la letra como
representante de un objeto, en este caso la distancia entre dos
estaciones consecutivas, en cuanto a los tipos de representaciones
presentes, se partía de una representación en lenguajes natural y
pictórico para hacer su conversión al algebraico.
El siguiente diagrama muestra el croquis de una carretera entre 5
ciudades (A,B,C,D,E). En la carretera se ubican estaciones de servicio;
la distancia entre cada estación de servicio y la siguiente, es la misma.
35
6.
Si la distancia entre cada estación de servicio es de z kilómetros,
¿cuál de las siguientes expresiones representa la distancia por
carretera entre las ciudades A y C en kilómetros?
A. 7 + z
B. z7
C. 7z
D. 7z

17. Sin embargo, aunque cerca de la mitad de los estudiantes prefirió
la opción que desde la matemática es considerada correcta, es
preciso destacar un hecho que ocurre en las etapas iniciales del
aprendizaje de un lenguaje, relacionado con la dificultad de
mantener la corrección en las reglas que rigen la construcción de
expresiones (reglas sintácticas) aunque se tenga comprensión de
los significados de las expresiones construidas (dominio de aspectos
semánticos); es probable que cerca de la tercera parte de los
estudiantes consideren que siete veces z, se representa
simbólicamente como z7, y así, escoger como respuesta la opción
B (z7) aunque sería incorrecto desde un punto de vista sintáctico,
podría ser coherente en su significado.
Reconocer que en el aprendizaje de un nuevo lenguaje (como la
lengua materna, una segunda lengua e incluso un paquete
informático) los procesos de enculturación, con el uso de los
símbolos y sus combinaciones para resolver necesidades específicas
de comunicación con otras personas o con la máquina, son previos
al estudio de las reglas sintácticas y gramaticales; por tanto es
necesario que los docentes tengan en cuenta orientaciones
curriculares según las cuales el estudio de los sistemas algebraicos
y analíticos y el desarrollo del pensamiento variacional deberían
tener un espacio en los diferentes grados de la educación básica y
media y así se dispondría de tiempos para reconocer y usar
símbolos, y realizar conversiones desde distintos lenguajes al
algebraico y viceversa, antes de asumir la tarea de producir
expresiones bien formadas en lenguaje algebraico.
Ante la exigencia de interpretar las letras como incógnitas específicas,
menos de la tercera parte de los estudiantes alcanzó la corrección,
posiblemente porque para resolverla era necesario, asociar al
volumen del prisma cuadrangular una expresión simbólica a partir
del lado del cuadrado de la base, y por otra parte, encontrar el
valor del lado (incógnita específica) para el cual se obtendría el
36

18. volumen pedido, esta interpretación es requerida, por ejemplo,
para responder a la pregunta 28, clasificada en nivel F, el mayor
nivel de complejidad,
Las figuras representan dos sólidos rectangulares cuyas bases son
cuadrados
37
28.
Si el volumen de la figura 2 es igual a 3cm3, el lado de la base es
A. 1
B.
C.
D.
Al tener que hacer uso de las letras como números generalizados,
como en la pregunta 25 de la prueba de grado 9º clasificada en el
nivel de complejidad F, la corrección ya sólo fue alcanzada por la
décima parte de los estudiantes, pues responderla exigía reconocer

19. un patrón para la variación de la longitud del radio respecto del
orden de la figura, ya sea por recursión:
r2 =3/2 r
r3 = r2 + ½ r = 3/2 r + ½ r = 2r
r4 = r3 + ½ r = 2r + ½ r = 5/2r
r5 = r4 + ½ r = 5/2r + ½ r = 3r
rn = rn-1 + ½ r = [rn-2 + ½ r]+ ½ r = í[rn-3 + ½ r]+ ½ r ý +½ r = r + ½ r+ … +½ r
rn = r/2 [n+1]
y luego determinar la incógnita específica para la cual esta expresión
equivale a 10r. Es necesario destacar que aunque esta pregunta se
ubicó en el tópico de geometría y medición, los procesos que su
resolución exige, también están vinculados con la generalización.
Resulta interesante realizar análisis al interior de cada uno de los
grados, indagando por los requerimientos de la pregunta que
permiten asociarla con cierto nivel de complejidad. Algunos
criterios o aspectos a considerar en el análisis serían:
Las palabras utilizadas en la situación propuesta y en la
pregunta formulada (de uso común, especializadas, ambiguas
o susceptibles de ser asociadas con diferentes contextos)
El número y los tipos de representación que aparecen en la
situación presentada. (icónica, gráfica, tabular, numérica,
algebraica, en lenguaje natural, entre otras).
Las traducciones entre diversas formas de representación,
así como las transformaciones y relaciones que es necesario
establecer
Las estrategias y razonamientos que requiere
El conocimiento matemático (conceptual y procedimental)
que exige poner en juego
La relación entre la situación presentada y las experiencias
trabajadas en el ámbito escolar (referidas exclusivamente al
conocimiento matemático o a contextos significativos).
Las diversas interpretaciones que posibilita el contexto de
la situación presentada o la manera en que se formula la
pregunta.
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