farmulario calculo,integrales y series de Fourier

1. MATEMÁTICAS – FIME – E2015
C CALCULO DIFERENCIAL
𝐷 𝑥(𝑢) 𝑛
= 𝑛(𝑢) 𝑛−1
𝑑𝑢
𝐷 𝑥[𝑢 ∗ 𝑣] = 𝑢𝐷 𝑥 𝑣 + 𝑣𝐷 𝑥 𝑢
𝐷 𝑥 [
𝑢
𝑣
] =
𝑣𝐷 𝑥 𝑢−𝑢𝐷 𝑥 𝑣
𝑣2
𝐷 𝑥[𝑙𝑛𝑢] =
1
𝑢
𝐷 𝑥 𝑢
𝐷 𝑥 [𝐿𝑜𝑔 𝑎 𝑢] =
1
𝑢𝑙𝑛𝑎
𝐷 𝑥 𝑢
𝐷 𝑥[𝑒 𝑢] = 𝑒 𝑢
𝐷 𝑥 𝑢
𝐷 𝑥[𝑎 𝑢] = 𝑎 𝑢
ln𝑎𝐷 𝑥 𝑢
𝐷 𝑥[𝑆𝑒𝑛𝑢] = 𝐶𝑜𝑠𝑢𝐷 𝑥 𝑢
𝐷 𝑥[𝐶𝑜𝑠𝑢] = −𝑆𝑒𝑛𝑢𝐷 𝑥 𝑢
𝐷 𝑥[𝑇𝑎𝑛𝑢] = 𝑆𝑒𝑐2
𝑢𝐷 𝑥 𝑢
𝐷 𝑥[𝐶𝑜𝑡𝑢] = −𝐶𝑠𝑐2
𝑢𝐷 𝑥 𝑢
𝐷 𝑥[𝑆𝑒𝑐𝑢] = 𝑆𝑒𝑐𝑢𝑇𝑎𝑛𝑢𝐷 𝑥 𝑢
𝐷 𝑥[𝐶𝑠𝑐𝑢] = −𝐶𝑠𝑐𝑢𝐶𝑜𝑡𝑢𝐷 𝑥 𝑢
𝐷 𝑥[𝑆𝑒𝑛ℎ𝑢] = 𝐶𝑜𝑠ℎ(𝑢)𝐷𝑢
𝐷 𝑥[𝐶𝑜𝑠ℎ𝑢] = 𝑆𝑒𝑛ℎ(𝑢)𝐷𝑢
𝐷 𝑥[𝑇𝑎𝑛ℎ𝑢] = 𝑆𝑒𝑐ℎ2
(𝑢)𝐷𝑢
𝐷 𝑥[𝐶𝑜𝑡ℎ𝑢] = −𝐶𝑠𝑐ℎ2
(𝑢)𝐷𝑢
𝐷 𝑥[𝑆𝑒𝑐ℎ𝑢] = −𝑆𝑒𝑐ℎ(𝑢)𝑇𝑎𝑛ℎ(𝑢)𝐷𝑢
𝐷 𝑥[𝐶𝑠𝑐ℎ𝑢] = −𝐶𝑠𝑐ℎ(𝑢)𝐶𝑜𝑡ℎ(𝑢)𝐷𝑢
𝐷𝑥[ 𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛𝑢] =
𝐷 𝑥 𝑢
√1−𝑢2
𝐷𝑥[ 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑢] =
−𝐷 𝑥 𝑢
√1−𝑢2
𝐷𝑥[ 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛𝑢] =
𝐷 𝑥 𝑢
1+ 𝑢2
𝐷𝑥[ 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑡𝑢] =
−𝐷 𝑥 𝑢
1+ 𝑢2
𝐷𝑥[ 𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐𝑢] =
𝐷 𝑥 𝑢
|𝑢|√𝑢2−1
𝐷𝑥[ 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑠𝑐𝑢] =
−𝐷 𝑥 𝑢
|𝑢|√𝑢2−1
𝐷 𝑥[ 𝑆𝑒𝑛ℎ−1
𝑢] =
𝐷 𝑥 𝑢
√𝑢2+ 1
𝐷 𝑥[ 𝐶𝑜𝑠ℎ−1
𝑢] =
𝐷 𝑥 𝑢
√𝑢2− 1
𝐷 𝑥[ 𝑇𝑎𝑛ℎ−1
𝑢] =
𝐷 𝑥 𝑢
1 − 𝑢2
𝐷 𝑥[ 𝐶𝑜𝑡ℎ−1
𝑢] =
𝐷 𝑥 𝑢
1 − 𝑢2
𝐷 𝑥[ 𝑆𝑒𝑐ℎ−1
𝑢] =
− 𝐷 𝑥 𝑢
𝑢 √1−𝑢2
𝐷 𝑥[ 𝐶𝑠𝑐ℎ−1
𝑢] =
− 𝐷 𝑥 𝑢
|𝑢|√1−𝑢2
REGLAS BASICAS DE LA INTEGRACION
∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
∫ 𝑥 𝑛
𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶
∫ 𝐾𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐾 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝐊 = 𝐜𝐭𝐞
CAMBIO DE VARIABLE
∫ 𝑒 𝑢
𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢
+ 𝐶
∫ 𝑎 𝑢
𝑑𝑢 =
𝑎 𝑢
ln 𝑎
+ 𝐶
∫ 𝑢 𝑛
𝑑𝑢 =
𝑢 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶 𝐧 ≠ −𝟏
En donde u es una función
polinomial o trascendental
𝒆 = 𝑪𝒕𝒆. 𝒅𝒆 𝑬𝒖𝒍𝒆𝒓 = 𝟐. 𝟕𝟏𝟖
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑: 𝑒 𝑙𝑛𝑥
= 𝑥
FUNCION LOGARITMICA
𝐿𝑛 1 = 0
∫
𝑑𝑢
𝑢
= 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶
Propiedades:
Ln (pq) = Ln p + Ln q
Ln e=1
Ln(
𝑝
𝑞
) = 𝐿𝑛(𝑝) − 𝐿𝑛(𝑞)
Ln 𝑝 𝑟
= 𝑟 𝐿𝑛 𝑝
FUNCIONES EXPONENCIALES
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
∫ 𝑆𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢 = −𝐶𝑜𝑠(𝑢) + 𝐶
∫ 𝐶𝑜𝑠(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑆𝑒𝑛(𝑢) + 𝐶
∫ 𝑇𝑎𝑛(𝑢)𝑑𝑢 = ln|𝑆𝑒𝑐(𝑢)| + 𝐶
= −ln|𝐶𝑜𝑠(𝑢)| + 𝐶
∫ 𝐶𝑜𝑡(𝑢)𝑑𝑢 = −ln|𝐶𝑠𝑐(𝑢)| + 𝐶
= ln|𝑆𝑒𝑛(𝑢)| + 𝐶
∫ 𝑆𝑒𝑐(𝑢)𝑑𝑢 = ln|𝑆𝑒𝑐(𝑢) + 𝑇𝑎𝑛(𝑢)| + 𝐶
∫ 𝐶𝑠𝑐(𝑢)𝑑𝑢 = ln|𝐶𝑠𝑐(𝑢) − 𝐶𝑜𝑡 (𝑢)| + 𝐶
∫ 𝑆𝑒𝑐2(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑇𝑎𝑛(𝑢) + 𝐶
∫ 𝐶𝑠𝑐2(𝑢)𝑑𝑢 = − 𝐶𝑜𝑡(𝑢) + 𝐶
∫ 𝑆𝑒𝑐(𝑢)𝑇𝑎𝑛(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑆𝑒𝑐(𝑢) + 𝐶
∫ 𝐶𝑠𝑐(𝑢)𝐶𝑜𝑡(𝑢)𝑑𝑢 = −𝐶𝑠𝑐(𝑢) + 𝐶

2. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
∫ 𝑆𝑒𝑛ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐶𝑜𝑠ℎ(𝑢) + 𝐶
∫ 𝐶𝑜𝑠ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑆𝑒𝑛ℎ(𝑢) + 𝐶
∫ 𝑇𝑎𝑛ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑢| + 𝐶
∫ 𝐶𝑜𝑡ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑢| + 𝐶
∫ 𝑆𝑒𝑐ℎ2(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑇𝑎𝑛ℎ(𝑢) + 𝐶
∫ 𝐶𝑠𝑐ℎ2(𝑢)𝑑𝑢 = − 𝐶𝑜𝑡ℎ(𝑢) + 𝐶
∫ 𝑆𝑒𝑐ℎ(𝑢)𝑇𝑎𝑛ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = −𝑆𝑒𝑐ℎ(𝑢) + 𝐶
∫ 𝐶𝑠𝑐ℎ(𝑢)𝐶𝑜𝑡ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = −𝐶𝑠𝑐ℎ(𝑢) + 𝐶
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
∫
𝑑𝑢
√𝑎2− 𝑢2
= 𝑆𝑒𝑛−1
(
𝑢
𝑎
) + 𝐶
∫
𝑑𝑢
𝑎2+ 𝑢2 =
1
𝑎
𝑇𝑎𝑛−1
(
𝑢
𝑎
) + 𝐶
∫
𝑑𝑢
𝑢 √𝑢2− 𝑎2
=
1
𝑎
𝑆𝑒𝑐−1
(
𝑢
𝑎
) + 𝐶
FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS
∫
𝑑𝑢
√𝑎2+ 𝑢2
= 𝑆𝑒𝑛ℎ−1
(
𝑢
𝑎
) + 𝐶
∫
𝑑𝑢
√𝑢2− 𝑎2
= 𝐶𝑜𝑠ℎ−1
(
𝑢
𝑎
) + 𝐶
∫
𝑑𝑢
𝑢 √𝑎2+ 𝑢2
=
−1
𝑎
𝐶𝑠𝑐ℎ−1
(
𝑢
𝑎
) + 𝐶
∫
𝑑𝑢
𝑢 √𝑎2− 𝑢2
=
−1
𝑎
𝑆𝑒𝑐ℎ−1
(
𝑢
𝑎
) + 𝐶
∫
𝑑𝑢
𝑎2− 𝑢2
=
1
𝑎
𝑇𝑎𝑛ℎ−1
(
𝑢
𝑎
) + 𝐶
∫
𝑑𝑢
√ 𝑢2± 𝑎2
= ln (𝑢 + √ 𝑢2 ± 𝑎2) + 𝐶
∫
𝑑𝑢
𝑎2− 𝑢2
=
1
2𝑎
𝑙𝑛 |
𝑎+𝑢
𝑎−𝑢
| + 𝐶
∫
𝑑𝑢
𝑢 √ 𝑎2± 𝑢2
= −
1
𝑎
𝑙𝑛 (
𝑎+√ 𝑎2± 𝑢2
|𝑢|
) + 𝐶
Forma equivalente de las integrales que dan como resultado
HIPERBÓLICAS INVERSAS
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Forma Sustitución la raíz se sustituye por:
√𝑎2 − 𝑢2 u= aSen𝜃 aCos𝜃
√𝑎2 + 𝑢2 u= aTan𝜃 aSec𝜃
√𝑢2 − 𝑎2 u= aSec𝜃 aTan𝜃
 
 
 
 
INTEGRAL POR PARTES
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
CASOS TRIGONOMÉTRICOS
∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑛(𝑢)𝑑𝑢; ∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑛(𝑢)𝑑𝑢
CASO I.
En donde n es entero impar positivo
Expresar:
𝑆𝑒𝑛 𝑛(𝑢) = 𝑆𝑒𝑛 𝑛−1(𝑢) 𝑆𝑒𝑛 (𝑢)
Usar: 𝑺𝒆𝒏 𝟐(𝒖) = 𝟏 − 𝑪𝒐𝒔 𝟐(𝒖)
𝐶𝑜𝑠 𝑛(𝑢) = 𝐶𝑜𝑠 𝑛−1(𝑢) 𝐶𝑜𝑠(𝑢)
Usar: 𝑪𝒐𝒔 𝟐(𝒖) = 𝟏 − 𝑺𝒆𝒏 𝟐(𝒖)
CASO II :
∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑛(𝑢) 𝐶𝑜𝑠 𝑚(𝑢)𝑑𝑢 ;
En donde al menos un exponente es entero impar
positivo, utilizar:
𝑺𝒆𝒏 𝟐(𝒖) + 𝑪𝒐𝒔 𝟐(𝒖) = 𝟏
de manera similar al CASO I
NOTA: Si los dos exponentes son enteros impares
positivos se cambia el impar menor
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
CASO III. Factores cuadráticos distintos.
A cada factor cuadrático (𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐) le
corresponde una fracción de la forma
𝐴1 𝑥 + 𝐵1
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
+ ⋯ +
𝐴 𝑘 𝑥 + 𝐵 𝑘
(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) 𝑘
CASO IV. Factores cuadráticos repetidos.
A cada factor cuadrático repetido (𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐) 𝑘
le
corresponde la suma de k fracciones parciales de la
forma:
TEOREMAS DE SUMATORIAS
Sean m y n enteros positivos, c= constante
1. ∑ 𝒄 𝒇(𝒊) = 𝒄 ∑ 𝒇(𝒊)𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
2. ∑ [𝒇(𝒊) ± 𝒈(𝒊)] = ∑ 𝒇(𝒊) ± ∑ 𝒈(𝒊)𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
3. ∑ 𝒇(𝒊) = ∑ 𝒇(𝒊) + ∑ 𝒇(𝒊) 𝒎 < 𝒏𝒏
𝒊=𝒎+𝟏
𝒎
𝒊=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
4. ∑ 𝒄 = 𝒏𝒄𝒏
𝒊=𝟏
5. ∑ 𝒊𝒏
𝒊=𝟏 =
𝒏(𝒏+𝟏)
𝟐
6. ∑ 𝒊 𝟐
=
𝒏(𝒏+𝟏)(𝟐𝒏+𝟏)
𝟔
𝒏
𝒊=𝟏
7. ∑ 𝒊 𝟑
= [
𝒏(𝒏+𝟏)
𝟐
]
𝟐
𝒏
𝒊=𝟏
SUMA DE RIEMANN
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim 𝑛→∞ ∑ 𝑓(𝑐𝑖)∆𝑥𝑛
𝑖=1
𝑏
𝑎
∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
, 𝑐𝑖 = 𝑎 + 𝑖 ∗ ∆𝑥
FRACCIONES PARCIALES
𝐴
𝑎𝑥 + 𝑏
CASO I: Factores lineales distintos.
A cada factor lineal (ax + b) le corresponde una
fracción de la forma:
𝐴1
𝑎𝑥 + 𝑏
+
𝐴2
(𝑎𝑥 + 𝑏)2
+ ⋯ +
𝐴 𝑘
(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑘
CASO II: Factores lineales repetidos.
A cada factor lineal repetido (ax + b) 𝑘
. Le
corresponde la suma de k fracciones parciales de
la forma:

3. Tipo de Integral Condición Identidad útil
1 ∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑛
𝑢 𝑑𝑢, ∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑛
𝑢 𝑑𝑢,
donde n es un
entero impar
positivo
𝑆𝑒𝑛2
𝑢 + 𝐶𝑜𝑠2
𝑢 = 1
2 ∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑛
𝑢 𝐶𝑜𝑠 𝑚
𝑢 𝑑𝑢,
donde n o m
es un entero
impar positivo
𝑆𝑒𝑛2
𝑢 + 𝐶𝑜𝑠2
𝑢 = 1
3
∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑛
𝑢 𝑑𝑢,
∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑛
𝑢 𝑑𝑢,
∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑛
𝑢 𝐶𝑜𝑠 𝑚
𝑢 𝑑𝑢,
donde n y m
son enteros
pares positivos
𝑆𝑒𝑛2
𝑢 =
1−𝐶𝑜𝑠 2𝑢
2
𝐶𝑜𝑠2
𝑢 =
1+𝐶𝑜𝑠 2𝑢
2
𝑆𝑒𝑛 𝑢 𝐶𝑜𝑠 𝑢 =
1
2
𝑆𝑒𝑛 2𝑢
4
∫ 𝑆𝑒𝑛 (𝑚𝑢) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑢)𝑑𝑢
∫ 𝑆𝑒𝑛 (𝑚𝑢) 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑢)𝑑𝑢
∫ 𝐶𝑜𝑠 (𝑚𝑢) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑢)𝑑𝑢
donde n y m
son cualquier
número
𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐵 =
1
2
[𝑆𝑒𝑛 (𝐴 − 𝐵) + 𝑆𝑒𝑛 (𝐴 + 𝐵)]
𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝐵 =
1
2
[ 𝐶𝑜𝑠 (𝐴 − 𝐵) − 𝐶𝑜𝑠 (𝐴 + 𝐵)]
𝐶𝑜𝑠 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝐵 =
1
2
[ 𝐶𝑜𝑠 (𝐴 − 𝐵) + 𝐶𝑜𝑠 (𝐴 + 𝐵)]
5
∫ 𝑇𝑎𝑛 𝑛
𝑢 𝑑𝑢,
∫ 𝐶𝑜𝑡 𝑛
𝑢 𝑑𝑢
donde n es
cualquier
número
entero
1 + 𝑇𝑎𝑛2
𝑢 = 𝑆𝑒𝑐2
𝑢
6
∫ 𝑆𝑒𝑐 𝑛
𝑢 𝑑𝑢,
∫ 𝐶𝑠𝑐 𝑛
𝑢 𝑑𝑢
donde n es un
entero par
positivo
1 + 𝑇𝑎𝑛2
𝑢 = 𝑆𝑒𝑐2
𝑢
1 + 𝐶𝑜𝑡2
𝑢 = 𝐶𝑠𝑐2
𝑢
7
∫ 𝑇𝑎𝑛 𝑚
𝑢 𝑆𝑒𝑐 𝑛
𝑢 𝑑𝑢
∫ 𝐶𝑜𝑡 𝑚
𝑢 𝐶𝑠𝑐 𝑛
𝑢 𝑑𝑢
donde n es un
entero par
positivo
1 + 𝑇𝑎𝑛2
𝑢 = 𝑆𝑒𝑐2
𝑢
1 + 𝐶𝑜𝑡2
𝑢 = 𝐶𝑠𝑐2
𝑢
8
∫ 𝑇𝑎𝑛 𝑚
𝑢 𝑆𝑒𝑐 𝑛
𝑢 𝑑𝑢
∫ 𝐶𝑜𝑡 𝑚
𝑢 𝐶𝑠𝑐 𝑛
𝑢 𝑑𝑢
donde m es
un entero
impar positivo
1 + 𝑇𝑎𝑛2
𝑢 = 𝑆𝑒𝑐2
𝑢
1 + 𝐶𝑜𝑡2
𝑢 = 𝐶𝑠𝑐2
𝑢
CASOS TRIGONOMETRICOS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
𝐴 = ∫ [(𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎) − (𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝐴 = ∫ [(𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎) − (𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎)]𝑑𝑦
𝑏
𝑎
ÁREA:
𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑟(𝑦)ℎ(𝑦)𝑑𝑦
𝑏
𝑎
𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑟(𝑥)ℎ(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
VOLUMEN / METODO DE CAPAS O CORTEZA
Cuando el eje de revolución es horizontal
Cuando el eje de revolución es vertical
VOLUMEN / METODO DEL DISCO O ARANDELA
V= 𝜋 ∫ [(𝑅2(𝑥) − 𝑟2
(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
V= 𝜋 ∫ [(𝑅2(𝑦) − 𝑟2
(𝑦)]𝑑𝑦
𝑏
𝑎
LONGITUD DE ARCO
𝑆 = ∫ √1 + [𝑓´(𝑥)]2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑆 = ∫ √1 + [𝑔´(𝑦)]2 𝑑𝑦
𝑑
𝑐
TRABAJO
𝑾 = ∫ 𝑭(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
𝒂CALCULO DE INTEGRALES DOBLES
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅
= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑔2(𝑥)
𝑔1(𝑥)
𝑏
𝑎 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅
= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑔2(𝑦)
𝑔1(𝑦)
𝑏
𝑎

4. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
INVERSAS
𝑆𝑒𝑛(𝑢) =
1
𝐶𝑠𝑐(𝑢)
Csc(𝑢) =
1
𝑆𝑒𝑛(𝑢)
𝐶𝑜𝑠(𝑢) =
1
𝑆𝑒𝑐(𝑢)
𝑆𝑒𝑐(𝑢) =
1
𝐶𝑜𝑠(𝑢)
𝑇𝑎𝑛(𝑢) =
1
𝐶𝑜𝑡(𝑢)
𝐶𝑜𝑡(𝑢) =
1
𝑇𝑎𝑛(𝑢)
FORMA DE COCIENTE
𝑇𝑎𝑛(𝑢) =
𝑆𝑒𝑛(𝑢)
𝐶𝑜𝑠(𝑢)
𝐶𝑜𝑡(𝑢) =
𝐶𝑜𝑠(𝑢)
𝑆𝑒𝑛(𝑢)
PITAGÓRICAS
𝑆𝑒𝑛2(𝑢) = 1 − 𝐶𝑜𝑠2
(𝑢)
𝐶𝑜𝑠2(𝑢) = 1 − 𝑆𝑒𝑛2
(𝑢)
𝑆𝑒𝑐2(𝑢) = 1 + 𝑇𝑎𝑛2
(𝑢)
𝑇𝑎𝑛2(𝑢) = 𝑆𝑒𝑐2(𝑢) − 1
𝐶𝑠𝑐2(𝑢) = 1 + 𝐶𝑜𝑡2
(𝑢)
𝐶𝑜𝑡2(𝑢) = 𝐶𝑠𝑐2(𝑢) − 1
ANGULO DOBLE
Sen2u= 2Sen(u)Cos(u)
Cos2u = 𝐶𝑜𝑠2(𝑢) − 𝑆𝑒𝑛2(𝑢)
𝑆𝑒𝑛2(𝑢) =
1−cos(2𝑢)
2
𝐶𝑜𝑠2(𝑢) =
1+cos(2𝑢)
2
IDENTIDADES HIPERBÓLICAS
𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑢) − 𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑢) = 1
𝑠𝑒𝑐ℎ2(𝑢) + 𝑡𝑎𝑛ℎ2(𝑢) = 1
𝑐𝑜𝑡ℎ2(𝑢) − 𝑐𝑠𝑐ℎ2(𝑢) = 1
𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑢) = 2𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑢)cosh(𝑢)
cosh(2𝑢) = 𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑢) +
𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑢)
𝑡𝑎𝑛ℎ(2𝑢) =
2tanh(𝑢)
1+𝑡𝑎𝑛ℎ2(𝑢)
𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑢) =
𝑐𝑜𝑠ℎ(2𝑢)−1
2
𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑢) =
𝑐𝑜𝑠ℎ(2𝑢)+1
2
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 =
𝑒 𝑥−𝑒−𝑥
2
𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑥 =
𝑒 𝑥+𝑒−𝑥
2
𝑇𝑎𝑛ℎ 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥
𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥
𝐶𝑜𝑡ℎ 𝑥 =
𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥
𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥
𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑥𝐶𝑠𝑐ℎ𝑥 = 1
𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑥𝑆𝑒𝑐ℎ𝑥 = 1
𝑇𝑎𝑛ℎ 𝑥𝐶𝑜𝑡ℎ𝑥 = 1
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
𝑆𝑒𝑛𝜃 =
𝐶.𝑂.
𝐻𝑖𝑝
𝐶𝑜𝑡𝜃 =
𝐶.𝐴.
𝐶.𝑂.
𝐶𝑜𝑠𝜃 =
𝐶.𝐴.
𝐻𝑖𝑝
𝑆𝑒𝑐𝜃 =
𝐻𝑖𝑝.
𝐶.𝐴.
𝑇𝑎𝑛𝜃 =
𝐶.𝑂.
𝐶.𝐴.
𝐶𝑠𝑐𝜃 =
𝐻𝑖𝑝.
𝐶.𝑂.
𝑆𝑒𝑛(−𝐴) = −𝑠𝑒𝑛(𝐴)
𝐶𝑜𝑠(−𝐵) = cos(𝐵)
𝑠𝑒𝑛(0) = 0
𝑠𝑒𝑛(𝜋) = 0
𝑠𝑒𝑛(2𝜋) = 0
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 0
𝑠𝑒𝑛 [(2𝑛 − 1)
𝜋
2
] = −(−1) 𝑛
= (−1) 𝑛+1
𝑐𝑜𝑠(0) = 1
𝑐𝑜𝑠(𝜋) = −1
𝑐𝑜𝑠(2𝜋) = 1
𝑐𝑜𝑠(2𝑛𝜋) = 1
𝑐𝑜𝑠 [(2𝑛 − 1)
𝜋
2
] = 𝑐𝑜𝑠 [(1 − 2𝑛)
𝜋
2
] = 0
𝑐𝑜𝑠(−𝑛𝜋) = 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋) = (−1) 𝑛
VALORES IMPORTANTES DEL SENO Y COSENO
𝑆𝑒𝑛 (𝑛𝑊𝑜𝑡) =
1
2𝑗
(𝑒 𝑗𝑛𝑊𝑜𝑡
− 𝑒−𝑗𝑛𝑊𝑜𝑡
)
𝐶𝑜𝑠 (𝑛𝑊𝑜𝑡) =
1
2
(𝑒 𝑗𝑛𝑊𝑜𝑡
+ 𝑒−𝑗𝑛𝑊𝑜𝑡
)
𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
) = 1
𝑠𝑒𝑛 (
3
2
𝜋) = −1
𝑠𝑒𝑛(−𝑛𝜋) = −𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 0
𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
2
) = 0
𝑐𝑜𝑠 (
3
2
𝜋) = 0
𝑐𝑜𝑠(2𝑛 − 1)𝜋 = −1
𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋) = (−1) 𝑛
𝑒±𝑗𝑛𝜋
= cos(𝑛𝜋) ± 𝑗 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋)
𝑎 𝑚
𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚+𝑛
(
𝑎
𝑏
)
𝑚
=
𝑎 𝑚
𝑏 𝑚
(𝑎 𝑚
) 𝑛
= 𝑎 𝑚𝑛
𝑎−𝑛
=
1
𝑎 𝑛
(𝑎𝑏) 𝑚
= 𝑎 𝑚
𝑏 𝑚
𝑎
𝑝
𝑞 = √ 𝑎 𝑝𝑞
𝑎 𝑚
𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚−𝑛
𝑚 > 𝑛 𝑎0
= 1
𝑎 𝑚
𝑎 𝑛 =
1
𝑎 𝑛−𝑚 𝑚 < 𝑛
LEYES DE EXPONENTES

5. TABLA DE TRANSFORMADAS ELEMENTALES
f(t) F(s)
1
C
𝑪
𝒔
, 𝒔 > 0
2
t
𝟏
𝒔 𝟐
, 𝒔 > 0
3
𝒕 𝒏 𝒏!
𝒔 𝒏+𝟏
, 𝒔 > 0
4
𝒆 𝒂𝒕 𝟏
𝒔 − 𝒂
, 𝒔 > 𝑎
5
𝑺𝒆𝒏 𝒂𝒕
𝒂
𝒔 𝟐 + 𝒂 𝟐
, 𝒔 > 0
6
Cos at
𝒔
𝒔 𝟐 + 𝒂 𝟐
, 𝒔 > 0
7
Senh at
𝒂
𝒔 𝟐 − 𝒂 𝟐
, 𝒔 > |𝑎|
8
Cosh at
𝒔
𝒔 𝟐 − 𝒂 𝟐
, 𝒔 > |𝑎|
9
𝒕 𝒏
𝒆 𝒂𝒕
𝒏!
(𝒔 − 𝒂) 𝒏+𝟏
10
𝒆 𝒃𝒕
𝑺𝒆𝒏 𝒂𝒕
𝒂
(𝒔 − 𝒃) 𝟐 + 𝒂 𝟐
11
𝒆 𝒃𝒕
𝑪𝒐𝒔 𝒂𝒕
𝒔 − 𝒃
(𝒔 − 𝒃) 𝟐 + 𝒂 𝟐
12
𝒆 𝒃𝒕
𝑺𝒆𝒏𝒉 𝒂𝒕
𝒂
(𝒔 − 𝒃) 𝟐 − 𝒂 𝟐
13
𝒆 𝒃𝒕
𝑪𝒐𝒔𝒉 𝒂𝒕
𝒔 − 𝒃
(𝒔 − 𝒃) 𝟐 − 𝒂 𝟐
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
TABLA DE TRANSFORMADAS INVERSAS
ELEMENTALES
F(s) f(t)
1 𝑪
𝒔
C
2 𝟏
𝒔 𝟐
t
3 𝟏
𝒔 𝒏+𝟏
𝒕 𝒏
𝒏!
4 𝟏
𝒔 − 𝒂
𝒆 𝒂𝒕
5 𝟏
𝒔 𝟐 + 𝒂 𝟐
𝑺𝒆𝒏 𝒂𝒕
𝒂
6 𝒔
𝒔 𝟐 + 𝒂 𝟐 Cos at
7 𝟏
𝒔 𝟐 − 𝒂 𝟐
𝑺𝒆𝒏𝒉 𝒂𝒕
𝒂
8 𝒔
𝒔 𝟐 − 𝒂 𝟐 Cosh at
9 𝟏
(𝒔 − 𝒂) 𝒏+𝟏
𝒕 𝒏
𝒆 𝒂𝒕
𝒏!
10 𝟏
(𝒔 − 𝒃) 𝟐 + 𝒂 𝟐
𝒆 𝒃𝒕
𝑺𝒆𝒏 𝒂𝒕
𝒂
11 𝒔 − 𝒃
(𝒔 − 𝒃) 𝟐 + 𝒂 𝟐 𝒆 𝒃𝒕
𝑪𝒐𝒔 𝒂𝒕
12 𝟏
(𝒔 − 𝒃) 𝟐 − 𝒂 𝟐
𝒆 𝒃𝒕
𝑺𝒆𝒏𝒉 𝒂𝒕
𝒂
13 𝒔 − 𝒃
(𝒔 − 𝒃) 𝟐 − 𝒂 𝟐 𝒆 𝒃𝒕
𝑪𝒐𝒔𝒉 𝒂𝒕
ℒ{𝑓(𝑛)
(𝑡)} = 𝑠 𝑛
𝐹(𝑠) − 𝑠 𝑛−1
𝐹(0) − 𝑠 𝑛−2
𝐹′(0)
− ⋯ − 𝑠𝐹(𝑛−2)
(0) − 𝐹(𝑛−1)
(0)
ℒ {∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑡
0
} =
𝐹(𝑠)
𝑠
ℒ{𝑡 𝑛
𝑓(𝑡)} = (−1) 𝑛
𝐹 𝑛
(𝑠)
ℒ−1{𝑓(𝑠 − 𝑎)} = 𝑒 𝑎𝑡
𝐹(𝑡)
ℒ−1
{𝐹 𝑛
(𝑠)} = (−1) 𝑛
𝑡 𝑛
𝑓(𝑡)
ℒ−1
{
𝐹(𝑠)
𝑠 𝑛
} = ∫ … ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 … 𝑑𝑡
𝑡
0
𝑡
0
ℒ−1{𝐹(𝑠)𝐺(𝑠)} = ∫ 𝑓(𝑢)𝑔(𝑡 − 𝑢)𝑑𝑢
𝑡
0
= ∫ 𝑔(𝑢)𝑓(𝑡 − 𝑢)𝑑𝑢
𝑡
0
Transformada de la derivada
Transformada de la Integral
Multiplicación por 𝐭 𝐧
Primera Propiedad de Traslación
Transformada Inversa de la Derivada
División por s
Teorema de Convolución o Transformada
Inversa del Producto
Si ℒ−1{𝐹(𝑠)} = 𝑓(𝑡) 𝑦 ℒ−1{𝐺(𝑠)} = 𝑔(𝑡),
entonces:

6. 𝑓(𝑡) =
1
2
𝑎0 + ∑[𝑎 𝑛 cos(𝑛𝜔0 𝑡) + 𝑏 𝑛 sen(𝑛𝜔0 𝑡)]
∞
𝑛=1
Fórmula General 𝑎0 =
2
𝑇
∫ f(t) 𝑑𝑡
𝑇
2⁄
−𝑇
2⁄
𝑎 𝑛 =
2
𝑇
∫ f(t)cos(𝑛𝜔0 𝑡)𝑑𝑡
𝑇
2⁄
−𝑇
2⁄
𝑏 𝑛 =
2
𝑇
∫ f(t)sen(𝑛𝜔0 𝑡)𝑑𝑡
𝑇
2⁄
−𝑇
2⁄
Simetría Par 𝑎0 =
4
𝑇
∫ f(t) 𝑑𝑡
𝑇
2⁄
0
𝑎 𝑛 =
4
𝑇
∫ f(t)cos(𝑛𝜔0 𝑡)𝑑𝑡
𝑇
2⁄
0
𝑏 𝑛 = 0
Simetría Impar 𝑎0 = 0 𝑎 𝑛 = 0 𝑏 𝑛 =
4
𝑇
∫ f(t)sen(𝑛𝜔0 𝑡)𝑑𝑡
𝑇
2⁄
0
Simetría de Media Onda 𝑎0 = 0 𝑎2𝑛−1 =
4
𝑇
∫ f(t)cos[(2𝑛 − 1)(𝜔0 𝑡)]𝑑𝑡
𝑇
2⁄
0
𝑏2𝑛−1 =
4
𝑇
∫ f(t)sen[(2𝑛 − 1)(𝜔0 𝑡)]𝑑𝑡
𝑇
2⁄
0
Simetría de un cuarto de onda
Par
𝑎0 = 0 𝑎2𝑛−1 =
8
𝑇
∫ f(t)cos[(2𝑛 − 1)(𝜔0 𝑡)]𝑑𝑡
𝑇
4⁄
0
𝑏2𝑛−1 = 0
Simetría de un cuarto de onda
Impar
𝑎0 = 0 𝑎2𝑛−1 = 0
𝑏2𝑛−1 =
8
𝑇
∫ f(t)sen[(2𝑛 − 1)(𝜔0 𝑡)]𝑑𝑡
𝑇
4⁄
0
SERIES DE FOURIER
𝐶 𝑛 =
1
𝑇
∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝑛𝑊𝑜𝑡
𝑑𝑡
𝑇
2⁄
−𝑇
2⁄
𝑓(𝑡) = ∑ 𝐶 𝑛
∞
𝑛=−∞
𝑒 𝑗𝑛𝑊𝑜𝑡
Serie De Fourier (FORMA COMPLEJA)
n= 0±1±2±3…
𝐶 𝑛 =
1
2
(𝑎 𝑛−𝑗 𝑏 𝑛)
𝐶0 =
1
2
𝑎0
Si se conoce 𝐚 𝐧, 𝐚 𝟎 y 𝐛 𝐧
se obtiene:
𝑎 𝑛 = 2𝑅𝑒[𝐶 𝑛]
𝑏 𝑛 = −2𝐼𝑚[𝐶 𝑛]
𝑎0 = 2𝐶0
Si se conoce 𝐂 𝐧, 𝐂 𝟎 se obtiene:
𝜔𝑜 =
2𝜋
𝑇