1. SISTEMET E PËRGJITHSHME
TË FORCAVE DHE QIFTËVE
TË FORCAVE

2. FORCA SHKAKTON
LËVIZJEN E TRUPIT

3. MOMENTI I FORCËS PËR PIKËN
Lëvizja e trupit shkakton momentin e forcës

4. Momenti i forcës për pikën është madhësia me të cilën forca
shkakton rrotullimin e trupit rreth pikës apo aksit.
Normalja h e tërhequr nga pika O normal në vijëdrejtimin e forcës quhet krahu i forcës.
Momenti i forcës për pikën është i barabartë me prodhimin e forcës dhe krahut.
r
M O (F) = ± F × h.

5. Si caktohët Momenti i forcës për pikën?
Momenti i forcës varët nga intensiteti
i forcës dhe gjatësia e krahut të forcës.
Drejtimi momentit i forcës varët nga pozita e forcës.
Drejtimi mundë të caktohet me rregullën e gishtit
të madh të dorës së djathtë.
Momenti ka shënjën plus nese shkakton rrotullimin e trupit në kahje
të kundërt akrepave të orës, ndërsa shënjën minus e merr nese trupin
trupin e rrotullon në drejtim të akrepave të orës.

6. Karakteristikat e momentit janë:
Momenti i forcës nuk ndërron nese forca levizë përgjatë vijëdrejtimit të sajë.
Momenti i forcës për pikën është i barabartë me zerro vetëm nese forca
është e barabartë me zerro, ose nese vijëdrejtimi i sajë kalon nëpër pikë,
gjegjësishtë nese krahu i forcës është i barabartë me zerro.

7. Teorema e Varinjonit (Varignon)
Momenti i rezultantës së forcave
kongurente për çfarëdo pikë është
është i barabartë me shumën
algjebrike të momenteve të
komponenteve përë atë pikë.
Pierr Varignon (1654-1722)
e

8. r r
M O (R) = å M O (Fi ).
r
M O (F1 ) = +2 × sipërfaqjaDOAB = OA × A¢B¢,
r
M O (F2 ) = -2 × sipërfaqja DOAC = -OA × A¢C¢,
r
M O (R) = +2 × sipërfaqja DOAD = OA × A¢D¢.
A¢C¢ = B¢D¢
r r
M O (F1 ) + M O (F2 ) = OA × (A¢B¢ - A¢C¢)
r
= OA × A¢D¢ = M O (R),
r r r
M O (R) = M O (F1 ) + M O (F2 ).

9. Teoremen e varinjonit po e ilustrojm duke analizuar
momentin e sistemit prej katër forcash kongurente.
r r r
M O (R 2 ) = M O (F1 ) + M O (F2 ), (a)
r r r
M O (R 3 ) = M O (R 2 ) + M O (F3 ), (b)
r r r
M O (R) = M O (R 3 ) + M O (F4 ). (c)
r r r r r
M O (R) = M O (F1 ) + M O (F2 ) + M O (F3 ) + M O (F4 )
r 4 r
M O (R) = å M O (Fi ).
i =1
r n r
M O (R) = å M O (Fi ).
i =1

10. Kur sistemi i forcave vijëveprimet e të cilave pritën në
r n r
një pikë është në ekuilibër ( R = å Fi = 0 ),
i =1
momenti i sistemit të forcave është i barabartë me zerro për qfqrëdo pikë.
r n r
Kur sistemi i forcave nuk është në ekuilibër R = å Fi ¹ 0 ,
i =1
momenti i është i barabartë me zerro për të gjitha
pikat të cilat shtrihën në vijëdrejtimin e rezultantës.

11. Përcaktimi analitik i momentit të forcës për pikën
r r r
( )
M O (F) = M O (Fx ) + M O Fy ,
r
M O (Fx ) = - X × y,
r
M O (Fy ) = Y × x.
(b), (c) ® (a)
r
Þ M O (F) = Y × x - X × y.

12. Shmbuj të momentit të forcës për pikën:
r
MO (F) = -F × h = -10 × 2 = -20 kNm.
r
MO (F) = -F × h = -5 × 0.5 = -2.5kNm.
r
MO (F) = F × h = 5 × 0.5 = 2.5kNm.

13. r
Mo (R) = -50 × 2 - 40(4 + 3cos 30o ) + 20(3sin 30o ) = -333.8 Nm.

14. SISTEMI I FORCAVE PARALELE
DHE QIFTEVE NË RRAFSH

15. Përbërja e dy forcave paralele me kahje të njëjta
Rezultanta e dy forcave paralele me kahje të njëjta është paralele me
ato forca, intenziteti i sajë është i barabartë me shumën e intenziteteve
të forcave, ndërsa kahja është e njëjtë si kahja e atyre forcave.
r r r
R = F1 + F2 ,
R = F1 + F2 .

16. ¢
AC A1C1 F1
= = , (a)
OC C1O F1
¢
BC B1C2 F2
= = . (b)
OC C2O F2
AC F1¢
OC = F1 = F2 Þ AC = F2 . (c)
¢
BC F2 F1 BC F1
OC F2

17. Përbërja e dy forcave paralele me kahje të kundërta
R = F1 - F2 ,
BC AC AB
= = .
F1 F2 R
Rezultanta e dy forcave paralele me kahje të kundërta është e barabartë
me ndryshimin e intenziteteve të tyre, është paralele me to dhe ka
kahjën e njëjtë me kahjen e forcës me intenzitet më të madh.

18. Qifti i forcave
Qifti i forcave është një sistem prej dy forcave paralele me intenzitet
të njëjtë, por me kahje të kundërt, të cilat veprojnë në trupin e ngurtë.
Sistemi forcave që formon qift, natyrisht se nuk gjëndët në ekuilibër.
Qifti i forcave nuk ka rezultantë.

19. Momenti i qifti të forcave
M Momenti i qiftit të forcave
F Forca e qiftit
d Krahu i forcave të qiftit
M = ± Fd
Momenti i qiftit të forcave është i barabartë me prodhimin
e njërës forcë F me krahun d.

20. Teorema e mbledhjës së momentëve të qiftit të forcave
Shuma algjebrike e momenteve të sëcilës nga forcat e qiftit,
për qfarëdo pikë, nuk varët nga zgjedhja e asajë pike dhe
është e barabartë me momentin e qiftit të atyre forcave.
r
M O (F) = - F × Oa,
r
M O (F¢) = F¢ × Ob.
Ob - Oa = d, i F¢ = F.
r r
( )
M O (F) + M O F¢ = - F × Oa + F¢ × Ob = F(Ob - Oa ) = F × d,
M = F × d, r r
M = M O (F) + M O F¢( )

21. Shmbull i qiftit të forcave:
M = -5 ×1 = -5kNm.

22. Ekuivalentiteti i qifteve të forcave
Ndikimi i qiftit në trup nuk ndryshon neqëftë se e
zavëndësojmë me qift tjetër, i cili shtrihët në rrafshin
e njëjtë dhe ka moment të njëjtë.

23. r r r
M B (F1 ) = M B (F) + M B (F2 ),
r r r
M B (F1 ) = F1 × d1 = M 1, M B (F2 ) = F2 × d 2 = M 2 , M B (F) = 0,
M1 = M 2

24. Përbërja e qifteve të cilët veprojnë në një rrafsh
Sistemi i qifteve të cilët veprojnë në rrafshin e njëjtë,
mundë të zëvëndësohen me një qift, i cili vepron në atë
rrafsh, momenti i të cilit është i barabartë me shumën
algjebrike të komponentëve të qifteve.
n
M = åM i .
i =1

25. M1 = F1 × d1
M 2 = F2 × d 2
M 3 = F3 × d 3
F1 × d1
M1 = F1 × d1 = P1 × d Þ P1 = ,
d
F ×d R ¢ = P1¢ + P2¢ - P3¢ ,
M 2 = F2 × d 2 = P2 × d Þ P2 = 2 2 ,
d
R = P1 + P2 - P3 .
F3 × d 3
M 3 = F3 × d 3 = P3 × d Þ P3 = .
d
3
M = R × d = P1 × d + P2 × d - P3 × d = M1 + M 2 + M 3 = å M i . n
i =1 M = åM i .
i =1

26. Ekuilibri i qifteve
Që trupi të jetë në ekuilibër nga ndikimi sistemit të qifteve
në rrafsh nevoitët që qifti rzultues të jetë i barabartë me
zerro, kjo do të thotë që shuma algjebrike e momenteve
të qifteve të jetë i barabartë me zerro:
n
M = å M i = 0.
i =1