1. E. D. lineales por el método de coeficientes indeterminados.E. D. lineales por variación de parámetros

2. E.D METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS Este método se aplica a E.D. lineales, con coeficientes constantes, no homogéneos. Sea L(D)y = f(x) una E.D. lineal, no homogénea, de coeficientes Constantes y de orden n. Si f(x) tiene una de las siguientes formas: a) f(x) = k, k constante b) f(x) = polinomio en x c) f(x) = exponencial de la forma e ax d) f(x) = cos ßx; f(x) = sen ßx e) f(x) = a sumas finitas de productos _nitos de las expresiones anteriores, es posible encontrar un operador L1(D) que anule a f(x) y si esto sucede, entonces aplicamos L1 (D) a la ecuación diferencial original, es decir: L1 (D)L(D)y = L1(D)f(x) = 0

3. E.D METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS Por lo tanto la expresión anterior es una E.D. lineal, homogénea de coeficientes constantes, le aplicamos a esta ecuación el método de las homogéneas y hallamos su solución general, de esta solución general descartamos la parte correspondiente a la homogénea asociada a la E.D. original, la parte restante corresponde a la solución particular que estamos buscando.

4. E.D METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS Ilustremos esto con un ejemplo. Ejemplo 20. Hallar la solución particular y la solución general de la E.D. y´´ + 25y = 20 sen 5x. Solución: El anulador de sen 5x: D2 + 25 = L1(D) Aplicamos este anulador a ambos lados de la E.D. original: Y´´ + 25y = 20 sen 5x L1(D)(y00 + 25y) = L1(D)(20 sen 5x) (D2 + 25)(y´´ + 25y) = (D2 + 25)(20 sen 5x) (D2 + 25)2y = 0 Ecuación característica: (m2 + 25)2 = 0 cuyas raíces son m = ±5i con multiplicidad 2 y por lo tanto Alfa = 0 y Beta = 5; en consecuencia la solución General es: y = C1 cos 5x + C2 sen 5x + C3 x cos 5x + C4x sen 5x La ecuación diferencial homogénea asociada es: (D2 + 25)y = 0 y su ecuación característica es: m2 + 25 = 0; o sea que m =± 5i (con alfa = 0 y beta = 5) y su solución es: y = C1 cos 5x + C2 sen 5x;

5. E.D METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS y por tanto en descartamos esta expresión y nos queda la forma de la Solución particular: y = C3x cos 5x + C4x sen 5x = yp Como aparecen las constantes C3 y C4, las hallamos de la siguiente manera: derivamos dos veces yp y la sustituimos en la E.D. original: y´ p = C3(-5x sen 5x + cos 5x) + C4(5x cos 5x + sen 5x) y´´ p = C3(-25x cos 5x- 5 sen 5x - 5 sen 5x) + +C4(-25x sen 5x + 5 cos 5x + 5 cos 5x) = C3(-25x cos 5x - 10 sen 5x) + +C4(-25x sen 5x + 10 cos 5x) y´´ p + 25yp = 20 sen 5x C3(-25x cos 5x - 10 sen 5x) + C4(-25x sen 5x + 10 cos 5x) + + 25(C3x cos 5x + C4x sen 5x) = 20 sen 5x

6. E.D METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS Análisis de coeficientes: en x cos 5x : -25C3 + 25C3 = 0 en sen 5x : -10C3 = 20 ) C3 = -2 en x sen 5x : -25C4 + 25C4 = 0 en cos 5x : 10C4 = 0 ) C4 = 0 Por lo tanto la solución particular es yp = -2x cos 5x y la solución general es: y = yh + yp = = C1 cos 5x + C2 sen 5x + C3x cos 5x = C1 cos 5x + C2 sen 5x - 2x cos 5x

7. E. D. lineales por variación de parámetros Sea: a2(x)y´´+ a1(x)y´+ a0(x) = h(x) con a2(x); a1(x); a0(x), continuas en I y a2(x) 6= 0 en I. La escribimos en forma canónica: y´´+ p(x)y´ + g(x)y = f(x) Donde: p(x) = a1(x) g(x)= a0(x) y f(x)= h(x) a2(x) a2(x) a2(x)

8. E. D. lineales por variación de parámetros Suponemos que y1 y y2 son soluciones linealmente independientes de la homogénea asociada, es decir: y´´ 1 + p(x)y´1 + g(x)y1 = 0 y´´ 2 + p(x)y´2 + g(x)y2 = 0 y yh = C1y1 + C2y2 Variemos los parámetros C1 y C2, es decir, yp = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x) = u1y1 + u2y2 y hallemos u1 y u2 de tal manera que yp sea solución de la E.D. Luego y´p = u´1y1 + u1y´1 + u´2y2 + y´2 u2 Supongamos (en aras de disminuir el trabajo operativo): u´1y1 + u´2y2 = 0; (primera condición).

9. E. D. lineales por variación de parámetros Luego, y´p = u1y´1 + u2y´2 y´´ p = u´1y´1 + u1y´´ 1 + u´2y´2 + u2y´´ 2 Sustituyendo en la ecuación diferencial: y´´ p + p (x)y´p + g (x)yp = f(x) u´1y´1 + u1y´´ 1 + u´2y´2 + u2y´´ 2 + p (x) [u1y´1 + u2y´2] + g (x) [u1y1 + u2y2] = f (x) u1 [y´´ 1 + p (x)y´1 + g (x)y1] + u2 [y´´ 2 + p (x)y´2 + g (x)y2] + u´1y´1 + u´2y´2 = f (x) Luego, U´1y´1 + u´2y´2 = f (x) En resumen, y1u´1 + y2u´2 = 0 (primera condición) y´1 u´1 + y´2 u´2 = f (x) (segunda condición) que es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: u´1 y u´2.

10. E. D. lineales por variación de parámetros Por la regla de Cramer: o y2 u´1 = f(x) y´2 = y2 f (x) y1 y2 W(y1; y2) y´1 y´2 y1 0 u´2= y´1 f(x)0 = y1f(x) y1 y2 W(y1; y2) y´1 y´2

11. E. D. lineales por variación de parámetros Donde W(y1; y2) 6= 0, ya que y1 y y2 son dos soluciones linealmente independientes de la homogénea asociada. Para conseguir u1 y u2, integramos (no es necesario constantes de integración, porque?) a u´1 y u02 respectivamente. Luego, la yp = u1y1 + u2y2, y la solución general es: y = yh + yp = C1y1 + C2y2 + u1y1 + u2y2 Pasos para resolver la E.D. (en forma canónica): y´´ + p(x)y´ + g(x)y = f(x

12. E. D. lineales por variación de parámetros 1. Hallamos y1 y y2 soluciones linealmente independientes de la homogénea asociada: y´´ + p(x)y´ + g(x)y = 0 2. Hallamos W(y1; y2) 3. Hallamos u´1 = - y2f(x) u´2 = y1f(x) W(y1;y2) ; W(y1;y2) 4. Integramos u1 = S u´1 dx y u2 = Su´2 dx 5. La solución particular yp = u1y1 + u2y2 6. La solución general y = yh + yp = C1y1 + C2y2 + u1y1 + u2y