de cuong on tap vat ly 8 hoc ky 2 cuc hay - moi nhat
chuyen de tich phan on thi dai hoc
1. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
2013
CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I. NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm nguyên hàm
· Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:
F '( x ) = f ( x ) , "x Î K
· Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
ò f ( x )dx = F ( x ) + C , C Î R.
· Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
· ò f '( x )dx = f ( x ) + C
· ò [ f ( x ) ± g( x )]dx = ò f ( x )dx ± ò g( x )dx
· ò kf ( x )dx = k ò f ( x )dx (k ¹ 0)
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
ax
+ C (0 < a ¹ 1)
ln a
· ò cos xdx = sin x + C
· ò 0dx = C
· ò a x dx =
· ò dx = x + C
· ò xa dx =
·
xa +1
+ C,
a +1
(a ¹ -1)
· ò sin xdx = - cos x + C
1
ò x dx = ln x + C
· ò e x dx = e x + C
1
· ò cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ¹ 0)
a
1
· ò sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C (a ¹ 0)
a
1
dx = tan x + C
cos2 x
1
· ò
dx = - cot x + C
sin 2 x
1
· ò e ax + b dx = e ax + b + C , (a ¹ 0)
a
1
1
· ò
dx = ln ax + b + C
ax + b
a
·
ò
4. Phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Nếu ò f (u)du = F (u) + C và u = u( x ) có đạo hàm liên tục thì:
ò f [u( x )] .u '( x )dx = F [u( x )] + C
b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
ò udv = uv - ò vdu
Trang 78
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
2. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
2013
VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
Baøi 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) f ( x ) = x 2 – 3 x +
d) f ( x ) =
b) f ( x ) =
( x 2 - 1)2
2x4 + 3
c) f ( x ) =
x2
x -1
x2
1
e) f ( x ) = x + 3 x + 4 x
x
2
1
f) f ( x ) =
h) f ( x ) = tan 2 x
x2
g) f ( x ) = 2 sin 2
k) f ( x ) =
1
x
2
i) f ( x ) = cos2 x
3
x
cos 2 x
m) f ( x ) = 2sin 3 x cos 2 x
sin x.cos2 x
æ
e- x ö
n) f ( x ) = e x ( e x – 1)
o) f ( x ) = e x ç 2 +
p) f ( x ) = e3 x +1
÷
2
cos x ø
è
Baøi 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
2
2
sin x.cos x
a) f ( x ) = x 3 - 4 x + 5;
2
3 - 5x
;
x
x3 - 1
e) f (x )=
;
x2
c) f ( x ) =
g) f ( x ) = sin 2 x.cos x;
i) f ( x ) =
l) f ( x ) =
x
-
2
F (1) = 3
b) f ( x ) = 3 - 5 cos x;
2
x +1
;
x
F (e ) = 1
d) f ( x ) =
F(-2) = 0
f) f ( x ) = x x +
æp ö
F 'ç ÷ = 0
è3ø
h) f ( x ) =
F (p ) = 2
F(1) =
1
x
;
3
2
F (1) = -2
3x 4 - 2 x3 + 5
; F (1) = 2
x2
æp ö p
x
k) f ( x ) = sin 2 ; F ç ÷ =
2
è2ø 4
x3 + 3 x2 + 3x - 7
;
F(0) = 8
( x + 1)2
Baøi 3. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
æp ö
a) g( x ) = x cos x + x 2 ; f ( x ) = x sin x;
Fç ÷ =3
è2ø
b) g( x ) = x sin x + x 2 ; f ( x ) = x cos x;
F (p ) = 0
c) g( x ) = x ln x + x 2 ; f ( x ) = ln x;
F(2) = -2
Baøi 4. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
ìF ( x ) = (4 x - 5)e x
ìF ( x ) = tan 4 x + 3 x - 5
ï
ï
a) í
b) í
x
5
3
ï f ( x ) = (4 x - 1)e
ï f ( x ) = 4 tan x + 4 tan x + 3
î
î
ì
ì
æ x2 + 4 ö
x2 - x 2 + 1
ïF ( x ) = ln ç
ïF ( x ) = ln 2
÷
ï
ï
x + x 2 +1
è x2 + 3 ø
c) í
d) í
2
-2 x
ï f ( x) =
ï f ( x ) = 2 2( x - 1)
ï
ï
( x 2 + 4)( x 2 + 3)
x4 + 1
î
î
Trang 79
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
3. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
2013
Baøi 5. Tìm điều kiện để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
ìF ( x ) = ln x 2 - mx + 5
ï
b) í
. Tìm m.
2x + 3
ï f ( x) = 2
x + 3x + 5
î
ìF ( x ) = mx 3 + (3m + 2) x 2 - 4 x + 3
ï
a) í
. Tìm m.
2
ï f ( x ) = 3 x + 10 x - 4
î
ìF ( x ) = (ax 2 + bx + c) x 2 - 4 x
ìF ( x ) = (ax 2 + bx + c)e x
ï
ï
c) í
. Tìm a, b, c. d) í
. Tìm a, b, c.
x
2
ï f ( x ) = ( x - 3)e
ï f ( x ) = ( x - 2) x - 4 x
î
î
ìF ( x ) = (ax 2 + bx + c)e-2 x
ï
e) í
. Tìm a, b, c.
2
-2 x
ï f ( x ) = -(2 x - 8 x + 7)e
î
ìF ( x ) = (ax 2 + bx + c)e- x
ï
f) í
. Tìm a, b, c.
2
-x
ï f ( x ) = ( x - 3 x + 2)e
î
ìF ( x ) = (ax 2 + bx + c) 2 x - 3
ï
2
h) í f ( x ) = 20 x - 30 x + 7
ï
2x - 3
î
Tìm a, b, c.
ì
b
c
ïF ( x ) = (a + 1)sin x + sin 2 x + sin 3 x
2
3
g) í
ï f ( x ) = cos x
î
Tìm a, b, c.
ò f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến số
f(x) = g [u( x )] .u '( x ) thì ta đặt t = u( x ) Þ dt = u '( x )dx .
VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm
· Dạng 1: Nếu f(x) có dạng:
ò f ( x )dx
Khi đó:
= ò g(t )dt ,
trong đó ò g(t )dt dễ dàng tìm được.
Chú ý: Sau khi tính ò g(t )dt theo t, ta phải thay lại t = u(x).
· Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa
Cách đổi biến
x = a cos t ,
x = a tan t ,
a2 - x 2
hoặc
hoặc
p
p
£t£
2
2
0£t £p
-
x = a sin t ,
a2 + x 2
1
x = a cot t,
hoặc
a2 + x 2
-
p
p
<t<
2
2
0<t <p
Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):
dx
a) ò (5 x - 1)10 dx
b)
d) ò (2 x 2 + 1)7 xdx
e) ò ( x 3 + 5)4 x 2 dx
g)
ò
x 2 + 1. xdx
k) ò sin 4 x cos xdx
n)
ò
e x dx
x
e -3
h)
ò
ò
c)
(3 - 2 x )5
3x2
3
5 + 2x
sin x
l) ò
dx
cos5 x
o) ò x .e x
2
+1
dx
dx
Trang 80
f)
ò
i)
ò
5 - 2 x dx
ò
m)
p)
x
dx
x +5
dx
2
x (1 + x )2
ò
ò
tan xdx
e
cos2 x
x
x
dx
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
4. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
ln3 x
dx
r) ò
ò x dx
x
e +1
Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):
dx
dx
a) ò
b) ò
(1 + x 2 )3
(1 - x 2 )3
d)
g)
dx
ò
x 2 dx
ò
h)
1 - x2
ò
x + x +1
ò
i)
dx
ò
f)
2
ò
c)
e) ò x 2 1 - x 2 .dx
4 - x2
e tan x
s)
q)
òx
cos2 x
2013
dx
1 - x 2 .dx
dx
1 + x2
3
x 2 + 1.dx
VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
ò P( x ).e
u
dv
x
ò P( x ).cos xdx
P(x)
x
e dx
ò P( x ).sin xdx
ò P( x ). ln xdx
P(x)
cos xdx
dx
P(x)
sin xdx
lnx
P(x)dx
Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau:
a) ò x .sin xdx
d) ò ( x 2 + 2 x + 3) cos xdx
g) ò x.e x dx
h)
c) ò ( x 2 + 5)sin xdx
ò x cos xdx
e) ò x sin 2 xdx
b)
q)
3 x2
2
ò x tan xdx
2
ò x ln(1 + x )dx
ò x cos 2 xdx
i) ò ln xdx
ò x e dx
l) ò ln 2 xdx
o) ò x 2 cos2 xdx
r) ò x.2 x dx
k) ò x ln xdx
n)
f)
m) ò ln( x 2 + 1)dx
p) ò x 2 cos 2 xdx
s)
ò x lg xdx
Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau:
a) ò e
x
dx
b)
ò
ò
a) ò e x .cos xdx
g)
ò
ò
ln(cos x )
2
cos x
dx
(
x ln x + x 2 + 1
2
x +1
f) ò sin 3 xdx
h) ò sin(ln x )dx
i) ò cos(ln x )dx
b) ò e x (1 + tan x + tan2 x )dx
ln(ln x )
dx
x
Baøi 3. Tính các nguyên hàm sau:
d)
c) ò sin x dx
x
e) ò x .sin x dx
d) ò cos x dx
g)
ln xdx
c) ò e x .sin 2 xdx
e)
)dx
h)
ò
ò
ln(1 + x )
x
2
f)
ò
x
cos2 x
dx
2
x3
1+ x
dx
2
dx
Trang 81
æ ln x ö
i) ò ç
÷ dx
è x ø
5. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
2013
VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ
Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của
các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x).
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:
ìF ( x ) + G( x ) = A( x ) + C1
(*)
í F ( x ) - G ( x ) = B( x ) + C
î
2
Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F ( x ) =
1
[ A( x ) + B( x )] + C là nguyên hàm của f(x).
2
Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau:
a)
sin x
ò sin x - cos x dx
b)
cos x
ò sin x - cos x dx
sin 4 x
c)
cos x
d) ò
dx
sin x + cos x
e)
g) ò 2 sin 2 x.sin 2 xdx
h) ò 2 cos2 x.sin 2 xdx
k)
ò
e- x
e x - e- x
dx
l)
ò
ò
sin 4 x + cos 4 x
ex
e x + e- x
dx
f)
sin x
ò sin x + cos x dx
ò
cos4 x
sin 4 x + cos 4 x
ex
i) ò
dx
e x - e- x
e- x
m) ò
dx
e x + e- x
dx
dx
VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1. f(x) là hàm hữu tỉ: f ( x ) =
P( x )
Q( x )
– Nếu bậc của P(x) ³ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích
f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).
Chẳng hạn:
1
A
B
=
+
( x - a)( x - b) x - a x - b
1
2
( x - m )(ax + bx + c )
1
2
( x - a) ( x - b)
2
=
=
A
Bx + C
+
, vôùi D = b2 - 4 ac < 0
2
x - m ax + bx + c
A
B
C
D
+
+
+
2
x - a ( x - a)
x - b ( x - b )2
2. f(x) là hàm vô tỉ
æ
ax + b ö
+ f(x) = R ç x , m
÷
cx + d ø
è
® đặt
t=m
ax + b
cx + d
æ
ö
1
+ f(x) = R ç
® đặt
t = x+a + x+b
÷
( x + a)( x + b) ø
è
· f(x) là hàm lượng giác
Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản.
Chẳng hạn:
Trang 82
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
6. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
2013
+
sin [( x + a) - ( x + b)]
1
1
=
.
,
sin( x + a).sin( x + b) sin(a - b) sin( x + a).sin( x + b)
+
sin [( x + a) - ( x + b)] æ
1
1
sin(a - b) ö
=
.
, ç söû duïng 1 =
÷
cos( x + a).cos( x + b) sin(a - b) cos( x + a).cos( x + b) è
sin(a - b) ø
æ
sin(a - b) ö
ç söû duïng 1 =
÷
sin(a - b) ø
è
cos [( x + a) - ( x + b)] æ
1
1
cos(a - b) ö
=
.
, ç söû duïng 1 =
÷
sin( x + a).cos( x + b) cos(a - b) sin( x + a).cos( x + b) è
cos(a - b) ø
+ Nếu R(- sin x , cos x ) = - R(sin x , cos x ) thì đặt t = cosx
+
+ Nếu R(sin x, - cos x ) = - R(sin x , cos x ) thì đặt t = sinx
+ Nếu R(- sin x , - cos x ) = - R(sin x , cos x ) thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)
Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau:
dx
a) ò
x( x + 1)
dx
d) ò
x 2 - 7 x + 10
x
g) ò
dx
( x + 1)(2 x + 1)
dx
k) ò
x ( x 2 + 1)
Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau:
1
a) ò
dx
1+ x +1
d)
ò
g)
ò
k)
ò3
1
4
x+ x
dx
dx
x + 3 x + 24 x
dx
(2 x + 1)2 - 2 x + 1
Baøi 3. Tính các nguyên hàm sau:
a) ò sin 2 x sin 5 xdx
cos 2 x
dx
b) ò
( x + 1)(2 x - 3)
dx
e) ò
x2 - 6x + 9
x
h) ò
dx
2
2 x - 3x - 2
dx
l) ò
1 + x3
b)
ò
e)
ò
h)
ò
l)
ò
x +1
x x -2
x2 + 1
c) ò
dx
x2 - 1
dx
f) ò
x2 - 4
x3
i) ò
dx
x2 - 3x + 2
x
m) ò
dx
x3 - 1
1
dx
c)
ò
dx
f)
ò x( x + 1)dx
i)
ò 3 1+ x
x
3
x- x
1 - x dx
1+ x x
dx
x2 - 5x + 6
b) ò cos x sin 3 xdx
dx
1+ 3 x +1
dx
x
1 - x dx
x
m)
ò
dx
x2 + 6x + 8
c) ò (tan 2 x + tan 4 x )dx
dx
d)
ò 1 + sin x cos x dx
e)
ò 2 sin x + 1
f)
ò cos x
g)
1 - sin x
ò cos x dx
h)
sin3 x
ò cos x dx
i)
ò
k) ò cos x cos 2 x cos3 xdx
l) ò cos3 xdx
Trang 83
dx
æ
pö
cos x cos ç x + ÷
è
4ø
m) ò sin 4 xdx
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
7. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
2013
II. TÍCH PHÂN
1. Khái niệm tích phân
· Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Î K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
b
F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là
ò f ( x )dx .
a
b
ò f ( x )dx = F( b) - F (a)
a
· Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
b
b
b
a
a
a
ò f ( x )dx = ò f (t )dt = ò f (u)du = ... = F (b) - F (a)
· Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện
tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng
b
S = ò f ( x )dx
x = a, x = b là:
a
2. Tính chất của tích phân
·
a
ò
f ( x )dx = 0
b
ò
·
a
b
b
b
a
b
a
ò [ f ( x ) ± g( x )]dx = ò f ( x )dx ± ò g( x )dx
· Nếu f(x) ³ 0 trên [a; b] thì
b
a
b
a
· ò kf ( x )dx = k ò f ( x )dx (k: const)
b
a
·
a
a
f ( x )dx = - ò f ( x )dx
·
ò
a
c
b
a
c
f ( x )dx = ò f ( x )dx + ò f ( x )dx
b
ò f ( x )dx ³ 0
a
b
a
· Nếu f(x) ³ g(x) trên [a; b] thì
b
a
ò f ( x )dx ³ ò g( x )dx
3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
b
ò
f [u( x )] .u '( x )dx =
u( b )
ò
f (u)du
u( a )
a
trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác
định trên K, a, b Î K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b Î K thì:
b
b
b
ò udv = uv - ò vdu
a
a
a
Chú ý:
– Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
b
b
a
a
– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho ò vdu dễ tính hơn ò udv .
Trang 84
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
8. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
2013
VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên
hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân:
b
ò f ( x )dx = F( b) - F (a)
a
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải nắm vững bảng các nguyên hàm và
phép tính vi phân.
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
2
a)
ò (x
3
+ 2 x + 1)dx
1
2
d)
g)
x
dx
ò
2
ò(
x + 1)( x - x + 1) dx
-1 x
2
+2
2
æ
ö
3
b) ò ç x 2 + + e3 x +1 ÷ dx
x
ø
1è
2
ò
ò
-2
4
)
+4
dx
x2
2
ò(x + x
1
)
x + 3 x dx
x2 - 2 x
dx
x3
1
e
l)
ò
1
ò(
)
4
i)
1
2
x -1
dx
x2
ò
c)
e
æ
ö
1 1
f) ò ç x + +
+ x 2 ÷ dx
x x2
ø
1è
2
2
h)
1
k)
(x
-1
e)
2
x + 23 x - 4 4 x dx
1
2 x + 5 - 7x
dx
x
8æ
1
m) ò ç 4 x ç
3
1è
3 x2
ö
÷dx
÷
ø
Baøi 2. Tính các tích phân sau:
2
a)
5
x + 1dx
ò
b)
1
x
ò
2
dx
1+ x
Baøi 3. Tính các tích phân sau:
0
2
e)
x +2 + x -2
æ
pö
a) ò sin ç 2 x + ÷ dx
è
6ø
0
p
4
tan x .dx
ò
2
cos x
0
p
2
dx
b)
e)
3x2
1+ x
3
dx
p
2
ò (2sin x + 3 cos x + x )dx
p
3
p
3
ò 3tan
p
4
p
2
2
x dx
1 - cos x
0
g)
k)
ò 1 + sin x
ò3
0
p
d)
ò
2
2
d)
dx
ò 1 + cos x dx
p
3
p
2
ò
h)
2
(tan x - cot x )2 dx
l)
p
6
ò
-p
2
2
x +2
0
4
f)
òx
dx
x 2 + 9.dx
0
p
6
ò ( sin 3 x + cos 2 x ) dx
c)
0
f)
i)
p
4
ò (2 cot
p
6
p
2
0
æp
ö
sin ç - x ÷
è4
ø dx
æp
ö
sin ç + x ÷
è4
ø
x
ò
c)
ò sin
2
2
x + 5) dx
x .cos2 xdx
0
m)
p
4
ò cos
4
x dx
0
Baøi 4. Tính các tích phân sau:
1 x
a)
ò
e - e- x
x
-x
0e +e
dx
2
b)
ò
( x + 1).dx
2
1 x + x ln x
Trang 85
1 2x
c)
ò
0
e
-4
ex + 2
dx
9. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
ln 2
ò
d)
0
g)
p
2
òe
2
dx
e +1
x
cos x
x
4
.sin xdx
h)
0
e
k)
1 x
æ e- x ö
e) ò e ç 1 ÷dx
x ø
è
1
ex
e
ò
x
x
1
1
ln x
ò x dx
1
l)
f)
e
ò
2013
dx
i)
x
e
dx
02
1 + ln x
dx
x
ò
1
1
2
x
ò xe dx
1
ò
m)
x
0 1+ e
0
dx
VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
b
Dạng 1: Giả sử ta cần tính ò g( x )dx .
a
u(b )
a
Nếu viết được g(x) dưới dạng: g( x ) = f [u( x )] .u '( x ) thì
b
u(a )
ò g( x )dx = ò
f (u)du
b
Dạng 2: Giả sử ta cần tính
ò f ( x )dx .
a
Đặt x = x(t) (t Î K) và a, b Î K thoả mãn a = x(a), b = x(b)
b
ò
thì
a
b
b
a
a
( g(t ) = f [ x(t )] .x '(t) )
f ( x )dx = ò f [ x(t )] x '(t )dt = ò g(t )dt
Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa
Cách đổi biến
p
p
x = a sin t ,
- £t£
2
2
x = a cos t ,
0£t £p
a2 - x 2
hoặc
hoặc
a2 + x 2
1
a2 + x 2
x = a cot t,
p
p
<t<
2
2
0<t <p
a
,
sin t
a
x=
,
cos t
é p pù
t Î ê - ; ú {0}
ë 2 2û
ìp ü
t Î [ 0; p ] í ý
î2 þ
x = a tan t ,
hoặc
x=
x 2 - a2
hoặc
-
Baøi 1. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):
1
1
a)
19
ò x(1 - x) dx
1
xdx
2x + 1
ò
0
2 3
g)
ò
5
dx
x x2 + 4
1
c)
e) ò x 1 - x 2 dx
f)
0
d)
x3
dx
b)
ò
0 (1 +
1
x 2 )3
1
0
3
h)
ò
0
x + 2x
5
1+ x2
Trang 86
òx
0
ln 2
3
dx
x5
ò x 2 + 1 dx
0
i)
ò
0
3
1 - x 2 dx
ex
1 + ex
dx
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
10. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
ln 3
e x dx
ò
k)
l)
( e x + 1)3
0
p
2
n)
e
ò
1
p
2
sin 2 x
ò
dx
o)
e
2 + ln x dx
2x
1
p
6
3
cos x. sin x
dx
1 + sin 2 x
0
ò
0
1
2
a)
ò
1- x
3
òx
0
b)
2
0
dx
+3
e)
2
1
2
k)
3
ò
2
ò
h)
x2 + 2 x + 2
-1
4-x
ò (x
0
dx
ò
ò
dx
l)
2
x x -1
2
2
ò
0
2
sin 2 x
dx
x + cos 2 x
2
0
2
x 2 dx
1
2
0
g)
1
dx
0
d)
2
ò 2 sin
p)
cos x + 4 sin x
Baøi 2. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):
2
1 + 3 ln x ln x
dx
x
ò
m)
2013
4 - x 2 dx
2
1
dx
+ 1)( x 2 + 2)
1
f)
x -1
dx
x3
x2
2
òx
4
0
xdx
+ x2 +1
1
2
1- x
òx
c)
2
i)
dx
ò
(1 + x )
2 5
0
2
dx
2 x - x 2 dx
òx
m)
0
VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
b
x
ò P( x ).e dx
a
u
dv
P(x)
e x dx
b
b
ò P( x ).cos xdx
b
ò P( x ).sin xdx
a
ò P( x ). ln xdx
a
P(x)
cos xdx
a
P(x)
sin xdx
lnx
P(x)dx
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
p
4
a)
p
2
ò x sin 2 xdx
b)
0
d)
p2
4
x co s
ò
x dx
e)
x
ò xe dx
0
k) ò e 3 x sin 5 xdx
ò x tan
2
xdx
ò x ln xdx
1
p
2
l)
0
cos x
ò e sin 2 xdx
0
3
ln 2 xdx
p)
ln x
dx
2
1 x
ò
òx
2
cos xdx
0
1
f)
ò ( x - 2)e
dx
3
i) ò ln( x 2 - x)dx
2
e
m) ò ln 3 xdx
1
0
q)
ò x (e
2x
-1
e
Trang 87
2x
0
e
e
1
p
3
e
h)
p
2
òx
c)
p
4
ln 2
o)
x) cos xdx
0
0
g)
ò ( x + sin
2p
2
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
+ 3 x + 1)dx
11. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
2013
VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công
thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ.
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
2
2
a)
ò x - 2 dx
b)
d)
ò
x 2 - 1 dx
ò
x 2 - 6 x + 9dx
-3
4
g)
ò
e)
ò ( x + 2 - x - 2 ) dx
f)
1
ò2
x
- 4 dx
ò
4 - x dx
0
1
3
ò
+ 2 x - 3 dx
0
3
-2
h)
2
òx
c)
0
5
0
3
2
x 2 - x dx
x 3 - 4 x 2 + 4 x dx
i)
0
-1
p
p
2
Baøi 2. Tính các tích phân sau:
2p
a)
ò
1 - cos 2 x dx
b)
p
d)
g)
2p
ò
1 - sin xdx
ò
tan 2 x + cot 2 x - 2 dx
-p
p
3
1 - sin 2 x .dx
ò
0
p
3
p
2
p
ò
f)
sin x dx
1 + cos 2xdx
0
cos x cos x - cos3 xdx i)
ò
h)
p
6
1 + cos xdx
ò
e)
ò
c)
0
0
2p
1 + sin xdx
ò
p
2
0
VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ.
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
3
1
dx
a) ò
3
1 x+ x
1
d)
e)
ò
h)
dx
x2 - 3x + 2
-1
Baøi 2. Tính các tích phân sau:
1
d)
ò
1
2
2
0 ( x + 2) ( x + 3)
ò
b)
)
dx
1
x3 + x + 1
dx
ò 2
x +1
0
f)
ò
1
e)
Trang 88
x2
ò
3
0 (3 x + 1)
2
c)
2
dx
(1 + x)
x3 + x + 1
ò x + 1 dx
0
m)
+2
dx
2
x +1
0
dx
(3x
2
1
i)
+ 5x + 6
x3 - 3x + 2
3
dx
ò x 2 - 2x + 2
0
2
òx
1
3 x2 + 3x + 3
2
2
a)
òx
3
l)
f)
(4 x + 11)dx
0
2 x3 - 6 x 2 + 9 x + 9
4
x 2 dx
ò (1 - x )9
2
1
dx
ò x(x - 1)
2
0
k)
x 3 dx
c) ò 2
x + 2x + 1
0
3
x
ò (1 + 2 x )3 dx
0
4
g)
3
dx
b) ò 2
x - 5x + 6
0
dx
x3 + 2x 2 + 4 x + 9
dx
ò
x2 + 4
0
1
ò
x
4
0 1+ x
dx
12. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
2
g)
1
ò
x (1 + x 4 )
1
2
k)
1
ò
4 + x2
0
dx
dx
2
h)
1 - x 2008
ò
x (1 + x 2008 )
1
2
l)
1 - x2
ò
1 1+
x4
dx
dx
3
i)
x4
ò
2 (x
1
- 1)2
2 - x4
ò
m)
2
0 1+
x2
2013
dx
dx
VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ.
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a)
2
2
1+ x
dx
1- x
ò
0
7
3
b)
1
g)
6
x +1 + x
0
e)
h)
ò
2 2x +1+
ò x+
4x +1
f)
ò 1+
2
x2 +1
dx
l)
i)
0
x -1
x4
ò
x5 + 1
0
3
3
2
ò x x + 1dx
x
1
1
x x 2 + 1dx
x - 2 x -1
5
2
x3
0
2 2
k)
ò
dx
ò
c)
dx
1
dx
ò
3
0
1
4x - 3
d) ò
dx
3x + 1
0 2+
ò
10
x +1
dx
3x + 1
ò
m)
0
0
dx
dx
x5 + x3
1+ x
2
dx
2
2 3
dx
ò
n)
x x2 + 4
Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a) ò x
2
2
1 + x dx
2
0
2
d)
x + 2008dx
1
1
g)
k)
dx
ò
-1 1 +
2
2
ò
x + x2 + 1
dx
(1 - x 2 )3
Baøi 3. Tính các tích phân sau:
a)
cos xdx
ò
7 + cos 2 x
0
d)
p
2
ò
0
6
ò
3
x2 x2 + 1
e) ò x
0
2
h)
1 - cos3 x sin x cos5 xdx
ò
1
l)
0
p
2
x2 + 1
1
2
ò
x x2 - 1
3
b)
dx
ò
o)
5
1
2
3
2
2
ò
0
b)
p
2
3
1
dx
ò
0
dx
ò
c)
(1 + x 2 )3
1
10 - x dx
f)
1 + x 2 dx
ò
0
1
dx
i)
x 2 + 2008
x 3dx
ò
x + x2 + 1
0
5
4
2
x dx
Trang 89
12 x - 4 x 2 - 8dx
1
cos x - cos2 xdx
1 + 3 cos x
ò
m)
1 - x2
sin 2 x + sin x
x x3 + 1
1
c)
0
e)
dx
0
2
ò sin x
p
2
ò
p)
p
2
ò
0
dx
f)
p
3
ò
0
cos xdx
2 + cos2 x
cos xdx
2 + cos 2 x
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
13. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
g)
p
2
ò
0
cos xdx
h)
2
1 + cos x
p
3
ò
p
4
tan x
2
cos x 1 + cos x
dx
i)
2013
p
2 sin 2 x + sin x
ò
1 + 3cos x
0
dx
Baøi 4. Tính các tích phân sau:
ln 3
a)
ò
0
ò
ln 2
x ln x + 1
ò
0
e)
1
x (e2 x + 3 x + 1)dx
ò
ln 2
(e x + 1) e x - 1
dx
(e x + 1)3
0
1
h)
e x dx
ò
f)
-1
ex
1 + 3ln x ln x
dx
x
ò
c)
ex + 1
0
dx
e
e2 x dx
0
ln 2 x
ln 3
g)
ò
b)
ex + 1
ln 3
d)
ln 2
dx
ex
ò
e x + e- x
0
dx
ln 2
e x - 1dx
ò
i)
0
VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác.
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
p
4
a) ò sin 2 x. cos xdx
p
4
b)
0
p
2
d) ò sin xdx
3
g)
ò sin
2
e)
k)
x cos4 xdx
sin x
l)
cos x
o)
0
q)
ò
3
sin x
2
dx
1 + cos x
Baøi 2. Tính các tích phân sau:
0
p
2
a)
ò
x + cos x )dx
h) ò sin 2 x cos 3 xdx
3
ò 1 + cos x dx
p
2
3
p
f)
p
2
0
n)
ò (sin
3
i)
1 - cos 3 x sin x cos 5 xdx
r)
p
2
1
ò cos x + 1 dx
0
p
3
dx
ò sin 4 x.cos x
p
6
p
4
ò tan
3
xdx
0
1 + sin 2 x + cos 2 x
dx
sin x + cos x
p
d)
ò cos 2 x(sin
0
4
x + cos 4 x )dx
e)
p
4
0
ò
(tan x + e sin x cos x )dx
Trang 90
4
x cos5 xdx
sin 2 x cos x
dx
1 + cos x
0
ò
m)
p)
p
3
dx
ò sin x.cos3 x
p
4
s)
p
3
ò tan
4
xdx
0
p
3
c)
ò cos x
p
4
6
p
2
ò sin
p
2
p
2
ò
3 xdx
0
0
b)
2
ò cos
0
p
2
0
ò 1 + 3 cos x dx
p
2
p
2
0
0
0
p
2
c) ò sin 2 xdx
0
0
p
2
p
ò tan xdx
p
2
f)
tan x
1 + cos 2 x
dx
ò (1 + sin x ) sin 2 xdx
2
3
0
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
14. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
g)
p
3
ò sin x. ln(cos x )dx
h)
0
p
4
p
3
3
sin x
ò (tan2 x + 1)2 .cos5 x dx
0
1
ò
i)
2013
2
p sin x + 9 cos x
-
2
dx
3
Baøi 3. Tính các tích phân sau:
a)
d)
g)
p
2
1
ò sin x dx
p
3
p
2
cos x
ò 1 + cos x dx
0
p
2
1
ò sin x + cos x + 1 dx
k)
(1 - sin x ) cos x
ò (1 + sin x)(2 - cos2 x ) dx
dx
e)
h)
ò 2 - cos x
p
2
cos x
0
b)
0
p
2
p
2
ò 2 - cos x dx
p
2
p
2
0
0
1
ò 2 + sin x dx
0
p
2
sin x - cos x + 1
dx
sin x + 2 cos x + 3
ò
-
l)
c)
p
2
p
3
dx
æ
pö
sin x cos ç x + ÷
è
4ø
ò
p
4
f)
i)
sin x
ò 2 + sin x dx
0
p
4
dx
æ
pö
cos x cos ç x + ÷
è
4ø
ò
0
p
3
ò
m)
p
6
dx
æ
pö
sin x sin ç x + ÷
è
6ø
Baøi 4. Tính các tích phân sau:
p
2
a) ò (2 x - 1) cos xdx
p
4
xdx
p
3
x
0
d)
ò 1 + cos 2 x
0
ò cos
p
2
p
2
p
2
ò sin
3
xdx
b)
e)
0
2
g) ò cos(ln x )dx
h)
1
p
k)
n)
2x
2
ò e sin xdx
0
p
2
sin 2 x
òe
sin x cos3 xdx
l)
o)
0
òx
0
p
3
ò
cos xdx
ln(sin x )
ò
p
6
p
4
2
2
cos x
dx
x tan 2 xdx
0
p
4
c)
2
0
f)
i)
x
dx
ò sin 2 x.e
2 x +1
0
p
2
dx
2
xdx
2
xdx
ò (2 x - 1) cos
0
p
ò x sin x cos
m)
0
ò ln(1 + tan x )dx
p
4
p)
0
dx
ò cos
4
0
x
VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit
Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
1
e x dx
a) ò
1+ ex
0
ln 2
b)
ò
0
dx
x
e +5
Trang 91
1
c)
ò
0e
1
x
+4
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
dx
15. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
ln 8
d)
ò
ex +1
ln 3
2
g)
1
ò
k)
ln 8
ex
ò
1 1- e
e
-x
dx
ln 3
2 2x
dx
h)
ln x
2
1 x (ln x + 1)
dx
l)
ò
ò
f)
0
e
x
0 e +1
1 -2 x
ò
ln 2
e x + 1.e 2 x dx
ò
e)
1
dx
i)
dx
m)
e
-x
+1
0e
1- ex
dx
1+ ex
e- x
ò
2013
-x
0e
ln 3
dx
+1
1
ò
x
e +1
0
dx
Baøi 2. Tính các tích phân sau:
p
2
2
a) ò e x sin xdx
b)
0
p
2
e)
0
g)
ò
e
2
k)
ò
1
ln x
x
2
e
ò x ln (1 + x )dx
e
æ ln x
h) ò ç
+ ln 2
1 è x ln x + 1
dx
l)
p
3
ò
p
6
ln(sin x )
2
cos x
dx
1 + ln 2 x
dx
x
ò
f)
1
0
ln x + ln(ln x )
dx
x
-x
0
1
d) ò (e + cos x ) cos xdx
e
ò xe
c)
0
x
2
1
2x
ò xe dx
ö
x ÷ dx
ø
dx
e3
i)
ln(ln x )
dx
x
ò
e2
1
m)
ò
0
ln( x + 1)
x +1
dx
VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt
Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ
· Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [–a; a] thì
· Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [–a; a] thì
a
ò
f ( x )dx = 0
ò
f ( x )dx = 2 ò f ( x )dx
-a
a
-a
a
0
Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có
dạng này ta có thể chứng minh như sau:
a
0
a
0
a
æ
ö
Bước 1: Phân tích I = ò f ( x )dx = ò f ( x )dx + ò f ( x )dx ç J = ò f ( x )dx; K = ò f ( x )dx ÷
-a
-a
0
è
-a
0
ø
Bước 2: Tính tích phân J =
0
ò
f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x.
-a
– Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K
ÞI=J+K=0
– Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K Þ I = J + K = 2K
Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:
a
f ( x)
a
(với a Î R+ và a > 0)
ò x dx = ò f ( x )dx
-a a + 1
0
Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên.
a
0
a
0
a
æ
f ( x)
f ( x)
f ( x)
f ( x)
f ( x) ö
I= ò
dx = ò
dx + ò
dx
çJ = ò
dx; K = ò
dx ÷
ax + 1
ax +1
ax + 1
ax +1
ax + 1 ø
-a
-a
0
è
-a
0
Để tính J ta cũng đặt:
t = –x.
Trang 92
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
16. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
p
2
p
2
0
é pù
Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên ê 0; ú thì
ë 2û
2013
0
ò f (sin x )dx = ò f (cos x )dx
p
-x
2
Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và f (a + b - x ) = f ( x ) hoặc f (a + b - x ) = - f ( x )
thì đặt: t = a + b – x
Đặc biệt, nếu a + b = p
thì đặt
t=p–x
nếu a + b = 2p
thì đặt
t = 2p – x
Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ
Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm
của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x).
Ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:
ìF ( x ) + G( x ) = A( x ) + C1
(*)
í F ( x ) - G ( x ) = B( x ) + C
î
2
t=
Để chứng minh tính chất này ta đặt:
Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F ( x ) =
1
[ A( x ) + B( x )] + C là nguyên hàm của f(x).
2
Baøi 1. Tính các tích phân sau (dạng 1):
p
4
ò
a)
7
5
x - x + x - x +1
cos 4 x
p
4
1
-
ò ln ( x +
d)
g)
-1
p
2
ò
p
2
3
1+ x
sin 5 x
1 + cos x
dx
b)
p
2
(
)
cos x ln x + 1 + x 2 dx c)
ò
p
2
1
-
2
) dx
e)
dx
h)
1
2
ò
-1 x
p
2
ò
p
2
1
2
-
1
x dx
4
f)
- x2 + 1
xdx
i)
2
4 - sin x
æ1- x ö
ò cos x.ln ç 1 + x ÷dx
è
ø
ò
-1
p
2
ò
p
2
x 4 + sin x
dx
x2 +1
x + cos x
4 - sin 2 x
dx
Baøi 2. Tính các tích phân sau (dạng 2):
1
a)
x4
p
ò
d)
g)
1
ò x dx
-1 2 + 1
-p
p
2
ò
-
p
2
sin 2 x
x
b)
ò
-1
1+ 2x
1
dx
c)
3
dx
e)
3 +1
sin x sin 3 x cos 5 x
1 + ex
1 - x2
dx
h)
x2 +1
ò31 + 2 x dx
p
4
ò
-
sin 6 x + cos6 x
p
4
6x + 1
f)
dx
i)
dx
ò
x
ò
x
-1 (e
1
+ 1)( x 2 + 1)
dx
-1 (4 + 1)( x
p
2 x 2 sin 2 x
ò
-
p
2
1+ 2x
2
+ 1)
dx
Baøi 3. Tính các tích phân sau (dạng 3):
p
2
a) ò
0
n
cos x
cos n x + sin n x
dx (n Î N*)
b)
p
2
7
sin x
ò sin7 x + cos7 x dx
0
Trang 93
c)
p
2
ò
0
sin x
sin x + cos x
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
dx
17. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
d)
p
2
sin
2009
x
ò sin2009 x + cos2009 x
p
2
4
cos x
sin 4 x
0
e)
0
ò cos4 x + sin 4 x dx
p
dx
ò cos4 x + sin 4 x
p
2
2013
p
2
dx
f)
0
Baøi 4. Tính các tích phân sau (dạng 4):
p
a)
d)
ò
0 4 - cos
p
4
k)
2
x
dx
b)
ò
0
x + cos x
4 - sin 2 x
2p
ò ln(1 + tan x )dx
0
p
g)
x.sin x
ò
e)
0
p
x
ò 1 + sin x dx
h)
ò sin 4 x ln(1 + tan x )dx
l)
0
p
4
dx
0
p
x .cos3 xdx
0
p
x sin x
i)
0
0
ò
x sin x
2
0 9 + 4 cos x
ò x.sin
f)
ò 2 + cos x dx
p
æ 1 + sin x ö
ò ln ç 1 + cos x ÷dx
è
ø
c)
3
xdx
x sin x
ò
2
0 1 + cos x
dx
p
dx
ò x sin x cos
m)
4
xdx
0
Baøi 5. Tính các tích phân sau (dạng 5):
a)
d)
g)
k)
p
2
0
p
2
ò
0
p
2
b)
cos x
dx
sin x + cos x
e)
6
sin x
ò sin6 x + cos6 x dx
h)
2
ò 2 cos x.sin 2 xdx
l)
0
p
2
0
1
n)
sin x
ò sin x - cos x dx
ò
ex
x
-x
-1 e + e
p
2
cos x
ò sin x - cos x dx
0
p
2
sin 4 x
ò sin 4 x + cos4 x
0
p
2
0
dx f)
ò sin6 x + cos6 x dx
p
2
cos 4 x
ò sin 4 x + cos4 x dx
0
i)
p
2
0
1
ò
x
-x
-1 e - e
1
dx
o)
ex
ò
dx
e- x
x
-x
-1 e + e
sin x
ò sin x + cos x dx
c)
6
cos x
p
2
ò 2sin
2
x.sin 2 xdx
0
1
m)
ò
e- x
x
-x
-1 e - e
dx
dx
VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi
b
Giả sử cần tính tích phân I n = ò f ( x, n)dx (n Î N) phụ thuộc vào số nguyên dương n. Ta
a
thường gặp một số yêu cầu sau:
· Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn In theo các In-k (1 £ k £ n).
· Chứng minh một công thức truy hồi cho trước.
· Tính một giá trị I n cụ thể nào đó.
0
Baøi 1. Lập công thức truy hồi cho các tích phân sau:
Trang 94
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
18. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
p
2
a) I n = ò sin n xdx
n -1
ì
· Đặt íu = sin x
îdv = sin x .dx
b) I n = ò cos n xdx
n -1
ì
· Đặt íu = cos x
îdv = cos x.dx
0
p
2
0
p
4
c) I n = ò tan n xdx
d) I n =
0
p
2
òx
n
cos x .dx
0
Jn =
p
2
òx
n
sin x.dx
0
1
· Phân tích: tan n x = tan n-2 x ( tan 2 x + 1) - tan n -2 x
n
ì
· Đặt íu = x
îdv = cos x.dx
n
ì
· Đặt íu = x
îdv = sin x .dx
e) I n = ò x n e x dx
ìu = x n
ï
· Đặt í
x
ïdv = e .dx
î
f) I n = ò ln n x.dx
n
ì
· Đặt íu = ln x
îdv = dx
g) I n = ò (1 - x 2 )n dx
· Đặt x = cos t
0
e
1
1
0
1
h) I n = ò
dx
0 (1 +
x 2 )n
· Phân tích
1
Tính J n = ò
1
1
k) I n =
0
p
4
dx
ò cosn x dx
0
=
(1 + x 2 )n
x2
2 n
0 (1 + x )
i) I n = ò x n 1 - x .dx
2n
ì
Đặt íu = sin t
îdv = sin t.dt
®
1 + x2
(1 + x 2 )n
dx .
-
x2
(1 + x 2 )n
ìu = x
ï
x
Đặt í
dv =
dx
ï
(1 + x 2 )n
î
ìu = x n
ï
· Đặt í
ïdv = 1 - x .dx
î
· Phân tích
1
cos n x
=
cos x
cos n+1 x
Trang 95
® Đặt t =
1
cosn +1 x
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
2013
19. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
2013
III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình phẳng
· Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Trục hoành.
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
b
S = ò f ( x ) dx
là:
(1)
a
· Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
b
S = ò f ( x ) - g( x ) dx
là:
(2)
a
Chú ý:
· Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:
b
ò
f ( x ) dx =
a
b
ò f ( x )dx
a
· Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới
dấu tích phân. Ta có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm
được 2 nghiệm c, d (c < d).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
b
ò
a
c
d
b
f ( x ) dx = ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx
a
c
d
c
b
a
=
d
c
d
ò f ( x )dx + ò f ( x )dx + ò f ( x )dx
(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
· Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của x = g(y), x = h(y)
(g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
– Hai đường thẳng x = c, x = d.
d
S = ò g( y ) - h( y) dy
c
2. Thể tích vật thể
· Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm
các điểm a và b.
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
điểm có hoành độ x (a £ x £ b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
b
Thể tích của B là:
V = ò S( x )dx
a
· Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)
sinh ra khi quay quanh trục Ox:
Trang 96
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
20. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
2013
b
V = p ò f 2 ( x )dx
a
Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
quay xung quanh trục Oy:
(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d
d
V = p ò g2 ( y )dy
là:
c
VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng
Baøi 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = x 2 - 4 x - 5, y = 0, x = -2, x = 4
c) y =
1 + ln x
, y = 0, x = 1, x = e
x
ln x
1
, y = 0, x = , x = e
x
e
b) y =
ln x
d) y =
2 x
, y = 0, x = e, x = 1
1
e) y = ln x, y = 0, x = , x = e
f) y = x 3 , y = 0, x = -2, x = 1
e
x
1
1
g) y =
, y = 0, x = 0, x =
h) y = lg x , y = 0, x = , x = 10
10
2
1- x4
Baøi 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
-3 x - 1
a) y =
, y = 0, x = 0
b) y = x , y = 2 - x , y = 0
x -1
c) y = e x , y = 2, x = 1
d) y = x , x + y - 2 = 0, y = 0
e) y = 2 x 2 , y = x 2 - 2 x - 1, y = 2
f) y = x 2 - 4 x + 5, y = -2 x + 4, y = 4 x - 11
g) y = x 2 , y =
x2
27
, y=
27
x
h) y = 2 x 2 , y = x 2 - 4 x - 4, y = 8
i) y 2 = 2 x, 2 x + 2 y + 1 = 0, y = 0
k) y = - x 2 + 6 x - 5, y = - x 2 + 4 x - 3, y = 3 x - 15
Baøi 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1
a) y = x, y = , y = 0, x = e
b) y = sin x - 2 cos x , y = 3, x = 0, x = p
x
c) y = 5 x -2 , y = 0, y = 3 - x , x = 0
d) y = 2 x 2 - 2 x , y = x 2 + 3 x - 6, x = 0, x = 4
e) y = x, y = 0, y = 4 - x
f) y = x 2 - 2 x + 2, y = x 2 + 4 x + 5, y = 1
g) y = x , y = 2 - x , y = 0
h) y =
a) y = 4 - x 2 , y = x 2 - 2 x
b) y = x 2 - 4 x + 3 , y = x + 3
1
-2 x
, y = e- x , x = 1
e
Baøi 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
c) y =
1 2
1
x , y = - x2 + 3
4
2
e) y = x , y = 2 - x 2
d) y =
1
1+ x2
,y =
x2
2
f) y = x 2 - 2 x , y = - x 2 + 4 x
Trang 97
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
21. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
g) y =
x2
1
, y=
2
1 + x2
2013
2
h) y = x + 3 + , y = 0
x
i) y = x 2 + 2 x, y = x + 2
k) y = x 2 + 2, y = 4 - x
Baøi 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = x 2 , x = - y 2
b) y 2 + x - 5 = 0, x + y - 3 = 0
c) y 2 - 2 y + x = 0, x + y = 0
d) y 2 = 2 x + 1, y = x - 1
e) y 2 = 2 x, y = x , y = 0, y = 3
f) y = ( x + 1)2 , x = sin py
g) y 2 = 6 x, x 2 + y2 = 16
h) y 2 = (4 - x )3 , y 2 = 4 x
i) x - y3 + 1 = 0, x + y - 1 = 0
k) x 2 + y 2 = 8, y 2 = 2 x
Baøi 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = x.e x ; y = 0; x = -1; x = 2.
b) y = x.ln 2 x; y = 0; x = 1; x = e.
c) y = e x ; y = e- x ; x = 1.
d) y = 5 x -2 ; y = 0; x = 0; y = 3 - x.
e) y = ( x + 1)5 ; y = e x ; x = 1.
1
f) y = ln x , y = 0, x = , x = e
e
g) y = sin x + cos2 x, y = 0, x = 0, x = p h) y = x + sin x; y = x; x = 0; x = 2p.
i) y = x + sin 2 x; y = p; x = 0; x = p.
k) y = sin 2 x + sin x + 1, y = 0, x = 0, x =
Baøi 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) (C ) : y = x +
p
2
1
, tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3.
2 x2
x2 + 2 x + 1
b) (C ) : y =
, y = 0 , tiệm cận xiên của (C), x = –1 và x = 2
x+2
c) (C ) : y = x 3 - 2 x 2 + 4 x - 3, y = 0 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2.
d) (C ) : y = x 3 - 3 x + 2, x = -1 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = –2.
e) (C ) : y = x 2 - 2 x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0; 0) và A(3; 3) trên (C).
VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể
Baøi 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục Ox:
p
1
a) y = sin x, y = 0, x = 0, x =
b) y = x 3 - x 2 , y = 0, x = 0, x = 3
4
3
p
c) y = sin 6 x + cos6 x , y = 0, x = 0, x =
d) y = x , y = 0, x = 4
2
e) y = x 3 - 1, y = 0, x = -1, x = 1
g) y =
f) y = x 2 , y = x
x2
x3
, y=
4
8
i) y = sin x , y = cos x, x =
h) y = - x 2 + 4 x , y = x + 2
p
p
,x=
4
2
k) ( x - 2)2 + y 2 = 9, y = 0
l) y = x 2 - 4 x + 6, y = - x 2 - 2 x + 6
m) y = ln x , y = 0, x = 2
Baøi 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục Oy:
Trang 98
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
22. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
2
a) x = , y = 1, y = 4
y
2013
b) y = x 2 , y = 4
c) y = e x , x = 0, y = e
d) y = x 2 , y = 1, y = 2
Baøi 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh:
i) trục Ox
ii) trục Oy
a) y = ( x - 2)2 , y = 4
c) y =
1
2
b) y = x 2 , y = 4 x 2 , y = 4
d) y = 2 x - x 2 , y = 0
, y = 0, x = 0, x = 1
x +1
e) y = x.ln x , y = 0, x = 1, x = e
f) y = x 2 ( x > 0), y = -3 x + 10, y = 1
2
h) ( x – 4 ) + y 2 = 1
g) y = x 2 , y = x
i)
x2 y2
+
=1
9
4
k) y = x - 1, y = 2, y = 0, x = 0
l) x - y 2 = 0, y = 2, x = 0
m) y 2 = x 3 , y = 0, x = 1
Trang 99
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
23. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
2013
IV. ÔN TẬP TÍCH PHÂN
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
5
2
a)
òx
- x dx
2
2
3
æ x -1 ö
d) ò ç
÷ dx
è x+2ø
-1
1
e)
xdx
ò
0 ( x + 1)
1
3
x
ò
h)
2
dx
2
l)
x +1
Baøi 2. Tính các tích phân sau:
0
2
a)
ò 1+
1
ò
5
x -1
x4
3
ò
-1 x
1
x8 - 2 x 4
ò
0 1+
f)
i)
+ 2x + 4
x
3
òx
ò
x +1 + x + 3
f)
1 - x dx
i)
1
0 ( x + 1)
5
o) ò x
1 - x dx
p)
0
2+x + 2-x
1
7
3
x +1
ò 3 3x + 1 dx
0
1
3
2
ò x x + 3 dx
1
2
xdx
ò
òx
m)
0
0
1
3
1 + x dx
òx
1
l)
xdx
ò
-1
2
dx
+ 5x + 2
x2 + 4
0
c)
2
x + 2 x2 + 4 x + 9
m)
2
x -3
-1 3
0 2x
2 3
1
x+5+4
ò
dx
ò
0
2 dx
ò
- 2 x + 1 dx
1
dx
dx
2
2
1
xdx
9
h)
x 3 1 + x 2 dx
ò
k)
e)
dx
x5 + 1
0
2 1+
0
-1
3
x - 2 x -1
ò
ò
b)
dx
dx
2
g)
x7
4
x
10
d)
òx
c)
-3
2
k)
ò ( x + 2 - x - 2 )dx
b)
0
g)
3
x2 + x
ò3
( x + 1)2
0
3
1 - x 2 dx
0
3
x5 + 2x3
0
dx
x2 + 1
ò
q)
dx
2
r) ò x 2 4 - x 2 dx
s)
t)
0
Baøi 3. Tính các tích phân sau:
p /4
a)
ò
0
p/ 2
d)
ò
0
p/2
g)
p/2
1 - 2 sin 2 x
dx
1 + sin 2 x
ò
b)
sin 2 x
2
2
cos x + 4 sin x
dx
p/ 4
ò
0
p/2
o)
ò
0
1 + 3cos x
0
p/2
e)
cos 2 x(sin 4 x + cos4 x )dx h)
l)
x
sin 2004 x + cos2004 x
ò
ò
dx
ò
ò
0
tan x
2
cos x 1 + cos x
sin 2 x
dx
cos x + 1
0
p/2
p)
sin 2 x cos x
dx
1 + cos x
ò
c)
cos5 xdx
0
p/2
f)
0
p/3
p/2
x tan 2 x dx
sin
dx
sin x sin 2 x sin 3 x dx
ò
p/ 4
2004
p/2
0
0
k)
ò
sin 2 x + sin x
dx
p
i)
Trang 100
2
0 1 + cos x
p/2
m)
q)
dx
ò
sin x
dx
1 + 3cos x
ò
cos3 x
dx
sin x + 1
0
p/2
3
4 sin x
dx
1 + cos x
x sin x
ò
0
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
dx
24. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
2013
III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
Baøi 1. (TN 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 = 2 x + 1 và y = x – 1 .
ĐS:
S=
Baøi 2. (TN 2003)
16
.
3
x 3 + 3x 2 + 3x - 1
1
biết rằng F(1) = .
2
3
x + 2x + 1
2
2 x - 10 x - 12
2. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y =
và đường
x+2
thẳng y = 0.
1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x ) =
ĐS:
x2
2
13
1) F ( x ) =
+x+
2
x +1 6
2) S = 63 - 16 ln 8 .
p
2
I = ò ( x + sin 2 x ) cos xdx .
Baøi 3. (TN 2005) Tính tích phân:
0
p 2
- .
2 3
Baøi 4. (TN 2006–kpb)
ĐS:
I=
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = e x , y = 2 và đường thẳng
x = 1.
2. Tính tích phân:
p
2
sin 2 x
ò 4 - cos2 x dx .
I=
0
ĐS:
2) I = ln
1) S = e - 2 ln 2 - 4
Baøi 5. (TN 2006–pb)
ln 5
1. Tính tích phân:
I=
ò
(e x + 1)e x
ln 2
x
e -1
4
.
3
dx .
1
2. Tính tích phân:
J = ò (2 x + 1)e x dx .
0
ĐS:
1) I =
26
3
2) J = e + 1.
e
Baøi 6. (TN 2007–kpb) Tính tích phân:
J=
ln 2 x
ò x dx .
1
1
.
3
Baøi 7. (TN 2007–pb)
ĐS:
I=
2
1. Tính tích phân:
ò
1
2x
x2 + 1
dx .
Trang 131
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
25. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
2013
3
ò 2 x ln xdx .
2. Tính tích phân:
1
ĐS:
1) J = 2 ( 5 - 2 )
2) K = 9 ln 3 - 4 .
1
Baøi 8. (TN 2007–kpb–lần 2) Tính tích phân:
I=
ò
0
3x2
dx .
x3 + 1
ĐS:
I = ln2.
Baøi 9. (TN 2007–pb–lần 2)
1. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = sin x , y = 0, x = 0, x =
p
. Tính thể
2
tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = - x 2 + 6 x , y = 0 .
ĐS:
p2
4
1) V =
2) S = 36.
Baøi 10. (TN 2008–kpb) Tính tích phân:
1
I = ò (1 + e x ) xdx .
0
3
.
2
Baøi 11. (TN 2008–pb)
ĐS:
I=
1
1. Tính tích phân:
2. Tính tích phân:
I=
J=
òx
2
(1 - x 3 )4 dx .
-1
p
2
ò (2 x - 1) cos xdx .
0
ĐS:
1) I =
32
5
2) J = p - 3 .
1
Baøi 12. (TN 2008–kpb–lần 2) Tính tích phân:
I=
ò
3 x + 1dx .
0
14
.
9
Baøi 13. (TN 2008–pb–lần 2)
ĐS:
I=
1
1. Tính tích phân:
I = ò (4 x + 1)e x dx .
0
2
2. Tính tích phân:
J = ò (6 x 2 - 4 x + 1)dx .
1
ĐS:
1) I = e + 3
Baøi 14. (TN 2009) Tính tích phân:
2) J = 9.
p
I=
ò x(1 + cos x )dx .
0
ĐS:
I=
2
p -4
.
2
Trang 132
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
26. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
Baøi 15. (TN 2010) Tính tích phân:
1
I = ò x 2 ( x - 1)2 dx .
0
1
.
30
Baøi 16. (TN 2011) Tính tích phân:
ĐS:
ĐS:
I=
Trang 133
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
2013
27. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Baøi 1. (ĐH 2002A) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y = x 2 - 4 x + 3 , y = x + 3.
109
.
6
Baøi 2. (ĐH 2002B) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
ĐS:
S=
y = 4ĐS:
S = 2p +
x2
x2
và y =
.
4
4 2
4
.
3
Baøi 3. (ĐH 2002A–db1) Tính tích phân:
I=
p
2
6
ò
1 - cos3 x .sin x.cos5 xdx .
0
ĐS:
Baøi 4. (ĐH 2002A–db2) Tính tích phân:
0
I=
ò x (e
2x
+ 3 x + 1 )dx .
-1
ĐS:
Baøi 5. (ĐH 2002B–db2) Tính tích phân:
ln 3
I=
ex
ò
x
(e + 1)
0
3
dx .
.
ĐS:
Baøi 6. (ĐH 2002D–db2) Tính tích phân:
1
I=
x3
dx .
x2 +1
0
ò
ĐS:
Baøi 7. (ĐH 2003A) Tính tích phân:
I =
2 3
ò
x x2 + 4
5
ĐS:
I=
I=
.
1 5
ln .
4 3
Baøi 8. (ĐH 2003B) Tính tích phân:
ĐS:
dx
I =
p
4
1 - 2 sin 2 x
ò 1 + sin 2 x dx.
0
1
ln 2 .
2
Baøi 9. (ĐH 2003D) Tính tích phân:
I =
2
òx
2
- x dx .
0
ĐS:
I = 1.
Baøi 10. (ĐH 2003A–db1) Tính tích phân:
1
I = ò x 3 1- x 2 dx .
0
ĐS:
Trang 134
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
2013
28. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
Baøi 11. (ĐH 2003A–db2) Tính tích phân:
I=
p
4
x
ò 1 + cos 2 x dx .
0
ĐS:
Baøi 12. (ĐH 2003B–db1) Tính tích phân:
ln 5
I=
e2 x
ò
x
e -1
ln 2
dx .
ĐS:
Baøi 13. (ĐH 2003B–db2) Cho hàm số f ( x ) =
f ¢ (0) = -22 và
a
3
( x + 1)
+ bxe x . Tìm a, b biết rằng:
1
ò f ( x )dx = 5 .
0
ĐS:
Baøi 14. (ĐH 2003D–db1) Tính tích phân:
1
2
I = ò x 3e x dx .
0
ĐS:
Baøi 15. (ĐH 2003D–db2) Tính tích phân:
e
I=
x2 +1
ò x dx .
1
ĐS:
Baøi 16. (ĐH 2004A) Tính tích phân:
ĐS:
I=
2
x
I =ò
1 1 + x -1
11
- 4 ln 2 .
3
Baøi 17. (ĐH 2004B) Tính tích phân:
e
1 + 3ln x ln x
dx .
x
I =ò
1
ĐS:
I=
116
.
135
Baøi 18. (ĐH 2004D) Tính tích phân:
ĐS:
dx.
3
I = ò ln( x 2 - x )dx.
2
I = 3 ln 3 - 2 .
Baøi 19. (ĐH 2004A–db2) Tính tích phân:
2
x4 - x +1
I= ò
dx .
2
0 x +4
ĐS:
Baøi 20. (ĐH 2004B–db1) Tính tích phân:
3
I=
ò
1
1
x + x3
dx .
ĐS:
Baøi 21. (ĐH 2004B–db2) Tính tích phân:
I=
p
2
òe
cos x
sin 2 xdx .
0
ĐS:
Trang 135
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
2013
29. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
Baøi 22. (ĐH 2004D–db1) Tính tích phân:
p2
I=
x sin xdx .
ò
0
ĐS:
Baøi 23. (ĐH 2004D–db2) Tính tích phân:
ln 8
I=
ò
e2 x e x + 1dx .
ln 3
ĐS:
Baøi 24. (ĐH 2005A) Tính tích phân:
I=
p
2
ò
sin 2 x + sin x
1 + 3 cos x
0
ĐS:
I=
34
.
27
Baøi 25. (ĐH 2005B) Tính tích phân:
ĐS:
dx .
I=
I = 2 ln 2 - 1 .
Baøi 26. (ĐH 2005D) Tính tích phân:
I=
p
2
sin 2 x .cos x
dx .
1 + cos x
0
ò
p
2
ò (e
sin x
+ cos x ) cos xdx .
0
ĐS:
I = e+
p
-1.
4
Baøi 27. (ĐH 2005A–db1) Tính tích phân:
I=
p
3
ò sin
2
x.tan xdx .
0
ĐS:
3
I = ln 2 - .
8
Baøi 28. (ĐH 2005A–db2) Tính tích phân:
7
I=
0
ĐS:
I=
x+2
ò3
x +1
dx .
231
.
10
Baøi 29. (ĐH 2005B–db1) Tính tích phân:
e
I = ò x 2 ln xdx .
0
ĐS:
I=
2 3 1
e + .
9
9
Baøi 30. (ĐH 2005B–db2) Tính tích phân:
I=
p
4
ò (tan x + e
sin x
cos x )dx .
0
1
ĐS:
I = ln 2 + e
2
-1 .
ĐS:
I=
I=
ln 2 x
1
Baøi 31. (ĐH 2005D–db1) Tính tích phân:
e3
x ln x + 1
ò
dx .
76
.
15
Trang 136
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
2013
30. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
Baøi 32. (ĐH 2005D–db2) Tính tích phân:
I=
p
2
ò (2 x - 1) cos
2
2013
xdx .
0
2
ĐS:
I=
p
p 1
- - .
8 4 2
Baøi 33. (ĐH 2006A) Tính tích phân:
I=
p
2
ò
0
ĐS:
I=
2
2
cos x + 4sin x
dx .
2
.
3
Baøi 34. (ĐH 2006B) Tính tích phân:
ĐS:
sin 2 x
ln 5
I=
1
ò
ln3 e
x
dx .
+ 2e - x - 3
3
I = ln .
2
Baøi 35. (ĐH 2006D) Tính tích phân:
1
I = ò ( x - 2)e2 x dx .
0
2
ĐS:
I=
5 - 3e
.
4
Baøi 36. (ĐH 2006A–db1) Tính tích phân:
ĐS:
6
I=
1
ò
2 2x +1+ 4x +1
dx .
3 1
I = ln - .
2 12
Baøi 37. (ĐH 2006A–db2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = x 2 - x + 3
và đường thẳng d: y = 2 x + 1 .
ĐS:
S=
1
.
6
Baøi 38. (ĐH 2006B–db1) Tính tích phân:
ĐS:
10
I=
ò
5
I = 2 ln 2 + 1 .
1
x - 2 x -1
dx .
ĐS:
I=
I=
3 - 2 ln x
1
Baøi 39. (ĐH 2006B–db2) Tính tích phân:
e
x 1 + 2 ln x
ò
dx .
10 2 - 11
.
3
Baøi 40. (ĐH 2006D–db1) Tính tích phân:
I=
p
2
ò ( x + 1)sin 2 xdx .
0
ĐS:
I=
p
+ 1.
4
Baøi 41. (ĐH 2006D–db2) Tính tích phân:
2
I = ò ( x - 2) ln xdx .
1
Trang 137
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
31. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
2013
5
- ln 4 .
4
Baøi 42. (ĐH 2007A) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
ĐS:
I=
y = (e + 1) x, y = (1 + e x ) x .
e
-1.
2
Baøi 43. (ĐH 2007B) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y = x ln x , y = 0, x = e . Tính
thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox.
ĐS:
S=
ĐS:
p (5e3 - 2)
V=
.
27
Baøi 44. (ĐH 2007D) Tính tích phân:
e
I = ò x 3 ln 2 xdx .
1
4
ĐS:
I=
5e - 1
.
32
4
Baøi 45. (ĐH 2007A–db1) Tính tích phân:
ĐS:
I=
I = 2 + ln 2 .
2x +1
ò
0 1+
2x +1
dx .
Baøi 46. (ĐH 2007A–db2) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: 4 y = x 2 , y = x . Tính
thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox.
128
ĐS:
V=
.
15
Baøi 47. (ĐH 2007B–db1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
x(1 - x )
y = 0, y =
.
x2 + 1
p
1
ĐS:
S = -1 + ln 2 .
4
2
Baøi 48. (ĐH 2007B–db2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y = x2 , y = 2 - x2 .
ĐS:
S=
p 1
+ .
2 3
Baøi 49. (ĐH 2007D–db1) Tính tích phân:
1
I=
ò
0
ĐS:
x ( x - 1)
x2 - 4
dx .
3
I = 1 + ln 2 - ln 3 .
2
Baøi 50. (ĐH 2007D–db2) Tính tích phân:
I=
p
2
òx
2
cos xdx .
0
2
ĐS:
I=
p
-2 .
4
Baøi 51. (ĐH 2008A) Tính tích phân:
I=
p
6
ò
0
tan 4 x
dx .
cos 2 x
Trang 138
32. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
ĐS:
I=
1 (
10
ln 2 + 3 ) 2
9 3
Baøi 52. (ĐH 2008B) Tính tích phân:
I=
æ
pö
sin ç x - ÷
è
4ø
dx .
sin 2 x + 2(1 + sin x + cos x )
p
4
ò
0
ĐS:
I=
4 -3 2
.
4
Baøi 53. (ĐH 2008D) Tính tích phân:
2
I=
ò
ln x
1
ĐS:
I=
2013
x3
dx .
3 - 2 ln 2
.
16
Baøi 54. (ĐH 2008A–db1) Tính tích phân
p
3
I = ò sin 2 x. tan xdx .
0
ĐS:
3
I = ln 2 - .
8
Baøi 55. (ĐH 2008A–db2) Tính tích phân
7
I =ò
0
ĐS:
I=
x+2
3
x +1
dx .
231
.
10
Baøi 56. (ĐH 2008B–db1) Tính tích phân
e
I = ò x 2 ln xdx .
0
ĐS:
I=
2 3 1
e + .
9
9
Baøi 57. (ĐH 2008B–db2) Tính tích phân
I=
p
4
ò (tgx + e
sin x
cos x )dx .
0
1
ĐS:
I = ln 2 + e
2
-1 .
ĐS:
I=
I=
ln 2 x
1
Baøi 58. (ĐH 2008D–db1) Tính tích phân
e3
x ln x + 1
ò
dx .
76
.
15
Baøi 59. (ĐH 2008D–db2) Tính tích phân
p
2
I = ò ( 2 x - 1) cos2 xdx .
0
2
ĐS:
I=
p
p 1
- - .
8 4 2
Baøi 60. (CĐ 2008) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = - x 2 + 4 x và
đường thẳng d: y = x .
Trang 139
33. HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG
ĐS:
S=
9
.
2
Baøi 61. (ĐH 2009A) Tính tích phân
I=
p
2
3
ò (cos
x - 1)dx .
0
ĐS:
I=
8 p
- .
15 4
Baøi 62. (ĐH 2009B) Tính tích phân
ĐS:
I=
ò
3 + ln x
2
1 ( x + 1)
dx .
1æ
27 ö
ç 3 + ln ÷ .
4è
16 ø
Baøi 63. (ĐH 2009D) Tính tích phân
ĐS:
3
I=
3
I=
ò
1
1e
x
dx .
-1
I = ln(e2 + e + 1) - 2 .
Baøi 64. (CĐ 2009) Tính tích phân
1
I=
ò (e
-2 x
+ x ) e x dx .
0
ĐS:
1
I = 2- .
e
Baøi 65. (ĐH 2010A) Tính tích phân
1
I=
ò
x 2 + e x + 2 x 2e x
1 + 2e x
0
ĐS:
I=
1 1 1 + 2e
+ ln
.
3 2
3
Baøi 66. (ĐH 2010B) Tính tích phân
e
I=
ò
1
ĐS:
I=
x ( 2 + ln x )
2
dx .
e
æ
3ö
I = ò ç 2 x - ÷ ln xdx .
xø
è
1
e2
-1.
2
Baøi 68. (CĐ 2010) Tính tích phân
ĐS:
ln x
1
3
I = - + ln .
3
2
Baøi 67. (ĐH 2010D) Tính tích phân
ĐS:
dx .
I = 2 – 3ln 2 .
1
I=
2x -1
dx .
x +1
0
ò
.
Trang 140
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com
2013
34. HOÀNG THÁI VIỆT – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐẠI HỌC ĐÀ NÃNG 2014
Câu 1.A2011
đáp án :
Câu 2. B2011
đáp án :
Câu 3.D2011
đáp án :
Câu 4.A2012
đáp án :
Câu 5.B2012
đáp án :
Câu 6.D2012
đáp án :
Câu 7.A2013
đáp án :
Câu 8.B2013
đáp án :