Bai tap giai tich 12 htv

BAØI TAÄP
OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC
truy cập trang này để download tài liệu của HOÀNG THÁI VI T
GV: HOÀNG THÁI VIỆT
ĐH BÁCH KHOA ĐÀ N NG
SĐT : 01695316875
GI NG D Y ÔN LUY N THI
http://www.slideshare.net/barackobamahtv

1. Đinh nghĩa:
Hàm số f đồng biến trên K Û ("x1, x2 Î K, x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2)
Hàm số f nghịch biến trên K Û ("x1, x2 Î K, x1 < x2 Þ f(x1) > f(x2)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f¢(x) ³ 0, "x Î I
b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f¢(x) £ 0, "x Î I
3. Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f¢ (x) ³ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f¢ (x) £ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.
c) Nếu f¢(x) = 0, "x Î I thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.
VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác định của hàm số.
– Tính y¢. Tìm các điểm mà tại đó y¢ = 0 hoặc y¢ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y¢ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch
biến của hàm số.
Baøi 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) 2
2 4 5y x x= - + + b)
2
5
4 4
x
y x= + - c) 2
4 3y x x= - +
d) 3 2
2 2y x x x= - + - e) 2
(4 )( 1)y x x= - - f) 3 2
3 4 1y x x x= - + -
g) 4 21
2 1
4
y x x= - - h) 4 2
2 3y x x= - - + i) 4 21 1
2
10 10
y x x= + -
k)
2 1
5
x
y
x
-
=
+
l)
1
2
x
y
x
-
=
-
m)
1
1
1
y
x
= -
-
n)
2
2 26
2
x x
y
x
+ +
=
+
o)
1
3
1
y x
x
= - + -
-
p)
2
4 15 9
3
x x
y
x
- +
=
CHƯƠNG I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
HOÀNG THÁI VI T - Đ I H C BÁCH KHOA ĐÀ N NG 2013
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com

Baøi 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) 4 3 2
6 8 3 1y x x x= - + - - b)
2
2
1
4
x
y
x
-
=
-
c)
2
2
1
1
x x
y
x x
- +
=
+ +
d)
2
2 1x
y
x
-
= e)
2
3 2
x
y
x x
=
- +
f) 3 2 2y x x= + + -
g) 2 1 3y x x= - - - h) 2
2y x x= - i) 2
2y x x= -
k) sin2
2 2
y x x
æ ö
= - < <ç ÷
è ø
p p
l) sin2
2 2
y x x x
æ ö
= - - < <ç ÷
è ø
p p
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến
trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)
Cho hàm số ( , )y f x m= , m là tham số, có tập xác định D.
· Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Î D.
· Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Î D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
1) y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu y ax bx c2
' = + + thì:
·
0
0
' 0,
0
0
a b
c
y x R
a
éì = =
íê ³î³ " Î Û ê
ì >êíê £îë D
·
0
0
' 0,
0
0
a b
c
y x R
a
éì = =
íê £î£ " Î Û ê
ì <êíê £îë D
3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai 2
( )g x ax bx c= + + :
· Nếu D < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.
· Nếu D = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =
2
b
a
- )
· Nếu D > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu
với a, ngồi khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai 2
( )g x ax bx c= + + với số 0:
· 1 2
0
0 0
0
x x P
S
ì >
ï
< < Û >í
ï <î
D
· 1 2
0
0 0
0
x x P
S
ì >
ï
< < Û >í
ï >î
D
· 1 20 0x x P< < Û <
5) Để hàm số 3 2
y ax bx cx d= + + + có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) bằng d
thì ta thực hiện các bước sau:
· Tính y¢.
· Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:
0
0
aì ¹
í
>îD
(1)
· Biến đổi 1 2x x d- = thành 2 2
1 2 1 2( ) 4x x x x d+ - = (2)

Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
· Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
Baøi 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập
xác định) của nó:
a) 3
5 13y x x= + + b)
3
2
3 9 1
3
x
y x x= - + + c)
2 1
2
x
y
x
-
=
+
d)
2
2 3
1
x x
y
x
+ -
=
+
e) 3 sin(3 1)y x x= - + f)
2
2 1x mx
y
x m
- -
=
-
Baøi 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc
tập xác định) của nó:
a) 5 cot( 1)y x x= - + - b) cosy x x= - c) sin cos 2 2y x x x= - -
Baøi 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác
định) của nó:
a) 3 2
3 ( 2)y x mx m x m= - + + - b)
3 2
2 1
3 2
x mx
y x= - - + c)
x m
y
x m
+
=
-
d)
4mx
y
x m
+
=
+
e)
2
2 1x mx
y
x m
- -
=
-
f)
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
- +
=
-
Baøi 4. Tìm m để hàm số:
a) 3 2
3y x x mx m= + + + nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
b) 3 21 1
2 3 1
3 2
y x mx mx m= - + - + nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3.
c) 3 21
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x= - + - + + - đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.
a)
3
2
( 1) ( 1) 1
3
x
y m x m x= + + - + + đồng biến trên khoảng (1; +¥).
b) 3 2
3(2 1) (12 5) 2y x m x m x= - + + + + đồng biến trên khoảng (2; +¥).
c)
mx
y m
x m2
4
( 2)
+
= ¹ ±
+
đồng biến trên khoảng (1; +¥).
d)
x m
y
x m
+
=
-
đồng biến trong khoảng (–1; +¥).
e)
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
- +
=
-
đồng biến trên khoảng (1; +¥).
f)
2
2 3
2 1
x x m
y
x
- - +
=
+
nghịch biến trên khoảng
1
;
2
æ ö
- +¥ç ÷
è ø
.

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:
· Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ³, £ ). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác
định do đề bài chỉ định.
· Xét dấu f¢ (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.
· Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận.
Chú ý:
1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f¢ (x) thì ta đặt h(x) = f¢ (x) và quay lại
tiếp tục xét dấu h¢ (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.
2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).
Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).
Baøi 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
3
sin , 0
6
x
x x x vôùi x- < < > b)
2 1
sin tan , 0
3 3 2
x x x vôùi x+ > < <
p
c) tan , 0
2
x x vôùi x< < <
p
d) sin tan 2 , 0
2
x x x vôùi x+ > < <
p
a)
tan
, 0
tan 2
a a
vôùi a b
b b
< < < <
p
b) sin sin , 0
2
a a b b vôùi a b- < - < < <
p
c) tan tan , 0
2
a a b b vôùi a b- < - < < <
p
a)
2
sin , 0
2
x
x vôùi x> < <
p
p
b)
3 3 5
sin , 0
6 6 120
x x x
x x x vôùi x- < < - + >
c) x x x vôùi xsin cos 1, 0
2
p
+ > < <
a) 1 , 0x
e x vôùi x> + > b) ln(1 ) , 0x x vôùi x+ < >
c)
1
ln(1 ) ln , 0
1
x x vôùi x
x
+ - > >
+
d) ( )2 2
1 ln 1 1x x x x+ + + ³ +
a) 0
tan55 1,4> b) 01 7
sin20
3 20
< < c) 2 3log 3 log 4>
HD: a) 0 0 0
tan55 tan(45 10 )= + . Xét hàm số
1
( )
1
x
f x
x
+
=
-
.
b) Xét hàm số 3
( ) 3 4f x x x= - .
f(x) đồng biến trong khoảng
1 1
;
2 2
æ ö
-ç ÷
è ø
và 01 7
,sin20 ,
3 20
Î
1 1
;
2 2
æ ö
-ç ÷
è ø
.
c) Xét hàm số ( ) log ( 1)xf x x= + với x > 1.

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:
· Chọn được nghiệm x0 của phương trình.
· Xét các hàm số y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2). Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến
và một hàm số nghịch biến. Khi đó (C1) và (C2) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành
độ x0. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).
Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.
Baøi 1. Giải các phương trình sau:
a) 5 5x x+ - = b) 5 3
1 3 4 0x x x+ - - + =
c) 5 7 16 14x x x x+ - + + + + = d) 2 2
15 3 2 8x x x+ = - + +
a) 5 5 5
1 2 3 0x x x+ + + + + = b) ln( 4) 5x x- = -
c) 3 4 5x x x
+ = d) 2 3 5 38x x x
+ + =
Baøi 3. Giải các bất phương trình sau:
a) 3 4 5
1 5 7 7 5 13 7 8x x x x+ + - + - + - < b) 2
2 7 2 7 35x x x x x+ + + + + <
Baøi 4. Giải các hệ phương trình sau:
a)
3 2
3 2
3 2
2 1
2 1
2 1
x y y y
y z z z
z x x x
ì + = + +
ï
í + = + +
ï
+ = + +î
b)
3 2
3 2
3 2
2
2
2
x y y y
y z z z
z x x x
ì = + + -
ï
í = + + -
ï
= + + -î
c)
3 2
3 2
3 2
6 12 8
6 12 8
6 12 8
y x x
z y y
x z z
ì = - +
ï
í = - +
ï
= - +î
d)
x y y x
x y
x y
tan tan
5
2 3
4
,
2 2
p
p p
ì - = -
ï
ï + =
í
ï
- < <ï
î
e)
x y x y
x y
x y
sin sin 3 3
5
, 0
p
ì - = -
ïïï
+ =í
ï
>ïî
f)
x y y x
x y
x y
sin2 2 sin2 2
2 3
0 ,
2
p
p
ì - = -
ïïï + =
í
ï < <
ïî
g)
x y x y
x y
x y
cot cot
5 7 2
0 ,
p
p
ì - = -
ï
+ =í
ï < <î
h)
HD: a, b) Xét hàm số 3 2
( )f t t t t= + + c) Xét hàm số 2
( ) 6 12 8f t t t= - +
d) Xét hàm số f(t) = tant + t

I. Khái niệm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D Ì R) và x0 Î D.
a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) Ì D và x0 Î (a; b) sao cho
f(x) < f(x0), với "x Î (a; b) {x0}.
Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f.
b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) Ì D và x0 Î (a; b) sao cho
f(x) > f(x0), với "x Î (a; b) {x0}.
Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f.
c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f¢ (x0) = 0.
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không
có đạo hàm.
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị
1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên
(a; b){x0}
a) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0.
b) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0.
2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f¢ (x0) = 0 và có
đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
a) Nếu f¢¢ (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0.
b) Nếu f¢¢ (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0.
VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số
Qui tắc 1: Dùng định lí 1.
· Tìm f¢ (x).
· Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
· Xét dấu f¢ (x). Nếu f¢ (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi.
Qui tắc 2: Dùng định lí 2.
· Tính f¢ (x).
· Giải phương trình f¢ (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …).
· Tính f ¢¢¢ (x) và f¢¢¢ (xi) (i = 1, 2, …).
Nếu f¢¢ (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi.
Nếu f¢¢ (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi.
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Baøi 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) 2 3
3 2y x x= - b) 3 2
2 2 1y x x x= - + - c) 3 21
4 15
3
y x x x= - + -
d)
4
2
3
2
x
y x= - + e) 4 2
4 5y x x= - + f)
4
2 3
2 2
x
y x= - + +
g)
2
3 6
2
x x
y
x
- + +
=
+
h)
2
3 4 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
i)
2
2 15
3
x x
y
x
- -
=
-
a) 3 4
( 2) ( 1)y x x= - + b)
2
2
4 2 1
2 3
x x
y
x x
+ -
=
+ -
c)
2
2
3 4 4
1
x x
y
x x
+ +
=
+ +
d) 2
4y x x= - e) 2
2 5y x x= - + f) 2
2y x x x= + -
a)
3 2
1y x= + b)
3 2
2 1
x
y
x
=
+
c) 4x x
y e e-
= +
d) 2
5 5 2lny x x x= - + + e) 2
4siny x x= - f) 2
ln(1 )y x x= - +
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f¢ (x0) = 0 hoặc tại x0 không có đạo hàm.
2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f¢ (x) đổi dấu khi x đi qua x0.
Chú ý:
· Hàm số bậc ba 3 2
y ax bx cx d= + + + có cực trị Û Phương trình y¢ = 0 có hai nghiệm
phân biệt.
Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:
+ 3 2
0 0 0 0( )y x ax bx cx d= + + +
+ 0 0( )y x Ax B= + , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y¢.
· Hàm số
2
' '
ax bx c
y
a x b
+ +
=
+
=
( )
( )
P x
Q x
(aa¢¹ 0) có cực trị Û Phương trình y¢ = 0 có hai
nghiệm phân biệt khác
'
'
b
a
- .
Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:
0
0
0
( )
( )
( )
P x
y x
Q x
= hoặc 0
0
0
'( )
( )
'( )
P x
y x
Q x
=
· Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ
nghiệm ngoại lai.
· Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là
định lí Vi–et.
Baøi 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:
a) 3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m= - + - - b) 3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= - + + + +
c)
2 2 4
( 1) 1x m m x m
y
x m
+ - - +
=
-
d)
2
2
1
x mx m
y
x m
+ - +
=
- +

a) 3 2
( 2) 3 5y m x x mx= + + + - có cực đại, cực tiểu.
b) 3 2 2
3( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= - - + - + - - có cực đại, cực tiểu.
c) 3 2 2
3 ( 1) 2y x mx m x= - + - + đạt cực đại tại x = 2.
d) 4 2
2( 2) 5y mx m x m= - + - + - có một cực đại
1
.
2
x =
e)
2
2 2x mx
y
x m
- +
=
-
đạt cực tiểu khi x = 2.
f)
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
- + - + -
=
-
có cực đại, cực tiểu.
g)
2
1
x x m
y
x
- +
=
-
có một giá trị cực đại bằng 0.
Baøi 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị:
a) 3 2
3 3 3 4y x x mx m= - + + + b) 3 2
3 ( 1) 1y mx mx m x= + - - -
c)
2
5
3
x mx
y
x
- + +
=
-
d)
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
- + - + -
=
-
Baøi 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:
a) 3 2
y ax bx cx d= + + + đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng
4
27
tại x =
1
3
b) 4 2
y ax bx c= + + có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x = 3 .
c)
2
1
x bx c
y
x
+ +
=
-
đạt cực trị bằng –6 tại x = –1.
d)
2
ax bx ab
y
bx a
+ +
=
+
đạt cực trị tại x = 0 và x = 4.
e)
2
2
2
1
ax x b
y
x
+ +
=
+
đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.
Baøi 5. Tìm m để hàm số :
a) 3 2 2 2
2( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m= + - + - + - + đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho:
1 2
1 2
1 1 1
( )
2
x x
x x
+ = + .
b) 3 21
1
3
y x mx mx= - + - đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: 1 2 8x x- ³ .
c) 3 21 1
( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x= - - + - + đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho:
1 22 1x x+ = .
Baøi 6. Tìm m để hàm số :
a)
2
2
1
x mx m
y
x m
+ - +
=
- +
có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu cùng dấu.
b)
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
- + - + -
=
-
có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực đại, cực

tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.
c)
2
3
4
x x m
y
x
- + +
=
-
có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m thoả 4M m- = .
d)
2
2 3 2
2
x x m
y
x
+ + -
=
+
có 12CÑ CTy y- < .
Baøi 7. Tìm m để đồ thị hàm số :
a) 3 2
4y x mx= - + - có hai điểm cực trị là A, B và
2
2 900
729
m
AB = .
b) 4 2
4y x mx x m= - + + có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ
O làm trọng tâm.
c)
2
2x mx m
y
x m
+ + -
=
-
có hai điểm cực trị nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh
hai điểm cực trị luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành.
d)
2
1
x mx
y
x
+
=
-
có khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10.
e)
2
2 5
1
x mx
y
x
- + +
=
-
có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường
thẳng y = 2x.
f)
2
2 3x x m
y
x m
+ + +
=
-
có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.
a) 3 2
2 12 13y x mx x= + - - có hai điểm cực trị cách đều trục tung.
b) 3 2 3
3 4y x mx m= - + có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác
thứ nhất.
c) 3 2 3
3 4y x mx m= - + có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng
(d): 3 2 8 0x y- + = .
d)
2 2
(2 1) 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với đường thẳng
(d): 2 3 1 0x y- - = .
a)
2
( 1) 2 1x m x m
y
x m
- + + -
=
-
có hai điểm cực trị ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt
phẳng toạ độ.
b)
2 2 2
2 (4 1) 32 2
2
mx m x m m
y
x m
+ + + +
=
+
có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ
hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ.
c)
2 2 2
( 1) 4mx m x m m
y
x m
- + + +
=
-
có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ nhất và
điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ.
d)
2 2
(2 1) 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
có hai điểm cực trị nằm ở hai phía của trục hoành (tung).

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
1) Hàm số bậc ba 3 2
( )y f x ax bx cx d= = + + + .
· Chia f(x) cho f¢ (x) ta được: f(x) = Q(x).f¢ (x) + Ax + B.
· Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì:
1 1 1
2 2 2
( )
( )
y f x Ax B
y f x Ax B
ì = = +
í
= = +î
Þ Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.
2) Hàm số phân thức
2
( )
( )
( )
P x ax bx c
y f x
Q x dx e
+ +
= = =
+
.
· Giả sử (x0; y0) là điểm cực trị thì 0
0
0
'( )
'( )
P x
y
Q x
= .
· Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
trị ấy là:
'( ) 2
'( )
P x ax b
y
Q x d
+
= = .
Baøi 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số :
a) 3 2
2 1y x x x= - - + b) 2 3
3 2y x x= - c) 3 2
3 6 8y x x x= - - +
d)
2
2 1
3
x x
y
x
- +
=
+
e)
2
1
2
x x
y
x
- -
=
-
Baøi 2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
của đồ thị hàm số:
a) 3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m= - + - - b)
2
6x mx
y
x m
+ -
=
-
c) 3 2 2
3( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= - - + - + - - d)
2
2
1
x mx m
y
x m
+ - +
=
- +
a) 3 2
2 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x= + - + - - có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song
với đường thẳng y = –4x + 1.
b) 3 2
2 3( 1) 6 (1 2 )y x m x m m x= + - + - có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên
đường thẳng y = –4x.
c) 3 2
7 3y x mx x= + + + có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với
đường thẳng y = 3x – 7.
d) 3 2 2
3y x x m x m= - + + có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường
thẳng (D):
1 5
y
2 2
x= - .

1. Định nghĩa:
Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D Ì R).
a)
0 0
( ) ,
max ( )
: ( )D
f x M x D
M f x
x D f x M
ì £ " Î
= Û í$ Î =î
b)
0 0
( ) ,
min ( )
: ( )D
f x m x D
m f x
x D f x m
ì ³ " Î
= Û í$ Î =î
2. Tính chất:
a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì
[ ; ] [ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b a b
f x f b f x f a= = .
b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì
[ ; ] [ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b a b
f x f a f x f b= = .
VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
· Tính f¢ (x).
· Xét dấu f¢ (x) và lập bảng biến thiên.
· Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].
· Tính f¢ (x).
· Giải phương trình f¢ (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] (nếu có).
· Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).
· So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.
{ }1 2
[ ; ]
max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( )n
a b
M f x f a f b f x f x f x= =
{ }1 2
[ ; ]
min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( )n
a b
m f x f a f b f x f x f x= =
Baøi 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a) 2
4 3y x x= + + b) 3 4
4 3y x x= - c) 4 2
2 2y x x= + -
d) 2
2y x x= + - e)
2
1
2 2
x
y
x x
-
=
- +
f)
2
2
2 4 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
g) 2 1
( 0)y x x
x
= + > h)
2
2
1
1
x x
y
x x
- +
=
+ +
i)
4 2
3
1
( 0)
x x
y x
x x
+ +
= >
+
a) 3 2
2 3 12 1y x x x= + - + trên [–1; 5] b) 3
3y x x= - trên [–2; 3]
c) 4 2
2 3y x x= - + trên [–3; 2] d) 4 2
2 5y x x= - + trên [–2; 2]
e)
3 1
3
x
y
x
-
=
-
trên [0; 2] f)
1
1
x
y
x
-
=
+
trên [0; 4]
g)
2
4 7 7
2
x x
y
x
+ +
=
+
trên [0; 2] h)
2
2
1
1
x x
y
x x
- +
=
+ -
trên [0; 1]
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

i) 2
100y x= - trên [–6; 8] k) 2 4y x x= + + -
a)
2sin 1
sin 2
x
y
x
-
=
+
b)
2
1
cos cos 1
y
x x
=
+ +
c) 2
2sin cos 1y x x= - +
d) cos2 2sin 1y x x= - - e) 3 3
sin cosy x x= + f)
2
4 2
1
1
x
y
x x
-
=
- +
g) 2 2
4 2 5 2 3y x x x x= - + + - + h) 2 2
4 4 3y x x x x= - + + - +
VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức
Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số.
· Chứng minh một bất đẳng thức.
· Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở thành
đẳng thức.
Baøi 1. Giả sử { }( ; ; ) / 0, 0, 0, 1D x y z x y z x y z= > > > + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
1 1 1
x y z
P
x y z
= + +
+ + +
.
HD:
1 1 1
3
1 1 1
P
x y z
æ ö
= - + +ç ÷
+ + +è ø
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: [ ] 1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) 9
1 1 1
x y z
x y z
æ ö
+ + + + = + + ³ç ÷
+ + +è ø
Þ P £
3
4
. Dấu “=” xảy ra Û x = y = z =
1
3
. Vậy
3
min
4D
P = .
Baøi 2. Cho D =
5
( ; ) / 0, 0,
4
x y x y x y
ì ü
> > + =í ý
î þ
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4 1
4
S
x y
= + .
HD: ( ) 1 1 1 1 1
4 25
4
x x x x y
x x x x y
æ ö
+ + + + + + + + ³ç ÷
è ø
Û
4 1
4( ) 25
4
x y
x y
æ ö
+ + ³ç ÷
è ø
Þ S ³ 5. Dấu “=” xảy ra Û x = 1, y =
1
4
. Vậy minS = 5.
Baøi 3. Cho D = { }( ; )/ 0, 0, 1x y x y x y> > + < . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
1
1 1
x y
P x y
x y x y
= + + + +
- - +
.
HD:
2 2
1
(1 ) (1 ) 2
1 1
x y
P x y
x y x y
= + + + + + + -
- - +
=
1 1 1
2
1 1x y x y
+ + -
- - +
.
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: [ ] 1 1 1
(1 ) (1 ) ( ) 9
1 1
x y x y
x y x y
æ ö
- + - + + + + ³ç ÷
- - +è ø
Û
1 1 1 9
1 1 2x y x y
+ + ³
- - +

Þ P ³
5
2
. Dấu “=” xảy ra Û x = y =
1
3
. Vậy minP =
5
2
.
Baøi 4. Cho D = { }( ; )/ 0, 0, 4x y x y x y> > + ³ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
2
3 4 2
4
x y
P
x y
+ +
= + .
HD:
2
1 1
2
4 8 8 2
x y y x y
P
x y
æ ö +
= + + + + +ç ÷
è ø
(1)
Theo bất đẳng thức Cô–si:
1 1
2 . 1
4 4
x x
x x
+ ³ = (2)
3
2 2
1 1 3
3 . .
8 8 8 8 4
y y y y
y y
+ + ³ = (3)
Þ P ³
9
2
. Dấu “=” xảy ra Û x = y = 2. Vậy minP =
9
2
.
VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trị
Xét bài tốn tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước.
Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:
0( ) (1)
(2)
f x y
x D
ì =
í
Îî
Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường điều kiện ấy
(sau khi biến đổi) có dạng: m £ y0 £ M (3)
Vì y0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:
min ( ) ; max ( )
D D
f x m f x M= =
Baøi 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a)
2
2
1
1
x x
y
x x
+ +
=
- +
b)
2
2
2 7 23
2 10
x x
y
x x
+ +
=
+ +
c)
2sin cos 1
sin 2cos 3
x x
y
x x
+ +
=
- +
d)
2sin cos 3
2cos sin 4
x x
y
x x
+ +
=
- +
VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min ( ) ; max ( )
D D
f x m f x M= = . Khi đó:
1) Hệ phương trình
( )f x
x D
ì =
í
Îî
a
có nghiệm Û m £ a £ M.
2) Hệ bất phương trình
( )f x
x D
ì ³
í
Îî
a
có nghiệm Û M ³ a.
3) Hệ bất phương trình
( )f x
x D
ì £
í
Îî
b
có nghiệm Û m £ b.
4) Bất phương trình f(x) ³ a đúng với mọi x Û m ³ a.
5) Bất phương trình f(x) £ b đúng với mọi x Û M £ b.

a) 4 4
2 4 2x x- + - = b) 3 5 6 2x x
x+ = + c) 5 5 1
(1 )
16
x x+ - =
Baøi 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a) 2
2 1x x m+ + = b) 2 2 (2 )(2 )x x x x m- + + - - + =
c) 3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + - - + - = d) 7 2 (7 )(2 )x x x x m- + + - - + =
Baøi 3. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x Î R:
a) 2
2 1x x m+ + > b) 2
2 9m x x m+ < + c) 4
4 0mx x m- + ³
Baøi 4. Cho bất phương trình: 3 2
2 1 0x x x m- + - + < .
a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2].
b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2].
Baøi 5. Tìm m để các bất phương trình sau:
a) 3 1mx x m- - £ + có nghiệm. b) ( 2) 1m x m x+ - ³ + có nghiệm x Î [0; 2].
c) 2 2
( 1) 1m x x x x- + £ + + nghiệm đúng với mọi x Î [0; 1].

1. Định nghĩa:
Điểm ( )0 0; ( )U x f x đgl điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a; b)
chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a; x0) và (x0; b) tiếp tuyến của đồ thị tại
điểm U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị
2. Tính chất:
· Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm x0, f¢¢(x0) = 0 và
f¢¢(x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì ( )0 0; ( )U x f x là một điểm uốn của đồ thị hàm số.
· Đồ thị của hàm số bậc ba 3 2
y ax bx cx d= + + + (a ¹ 0) luôn có một điểm uốn và đó là
tâm đối xứng của đồ thị.
Baøi 1. Tìm điểm uốn của đồ thị các hàm số sau:
a) 3 2
6 3 2y x x x= - + + b) 3 2
3 9 9y x x x= - - + c) 4 2
6 3y x x= - +
d)
4
2
2 3
4
x
y x= - + e) 4 3 2
12 48 10y x x x= - + + f) 5 4
3 5 3 2y x x x= - + -
Baøi 2. Tìm m, n để đồ thị của hàm số sau có điểm uốn được chỉ ra:
a) 3 2
3 3 3 4y x x mx m= - + + + ; I(1; 2). b)
3
2 8
( 1) ( 3)
3 3
x
y m x m x= - + - + + - ; I(1; 3)
c) 3 2
1y mx nx= + + ; I(1; 4) d) 3 2
2y x mx nx= - + - ;
2
; 3
3
I
æ ö
-ç ÷
è ø
e)
3
2
3 2
x
y mx
m
= - + - ; I(1; 0) f) 3 2
3 4y mx mx= + + ; I(–1; 2)
Baøi 3. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có 3 điểm uốn:
a)
5
4 34
(4 3) 5 1
5 3
x
y x m x x= - + + + - b)
2
2
1
1
x mx
y
x
+ -
=
+
Baøi 4. Chứng minh đồ thị của các hàm số sau có 3 điểm uốn thẳng hàng:
a)
2
2 1
1
x
y
x x
+
=
+ +
b)
2
1
1
x
y
x
+
=
+
c)
2
2
2 3
1
x x
y
x
-
=
+
d)
2
2 1
1
x
y
x
+
=
+
e)
2
1
x
y
x
=
+
f)
2
2
2 5
1
x x
y
x x
+ +
=
- +
g)
2
2
2 3
3 3
x x
y
x x
-
=
- +
h)
2
2
3
1
x x
y
x
+
=
+
i)
3
2
4 5
x
y
x x
=
- +
Baøi 5. Tìm m, n để đồ thị của các hàm số:
a) 4 3 2
2 6 2 1y x x x mx m= - - + + - có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2).
b)
3
2 2
3 3
x
y x mx= - - + + có điểm uốn ở trên đường thẳng 2y x= + .
c) 4 21
4
y x mx n= - + + có điểm uốn ở trên Ox.
IV. ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ

1. Định nghĩa:
· Đường thẳng 0x x= đgl đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu ít nhất
một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
0
lim ( )
x x
f x
+
®
= +¥;
0
lim ( )
x x
f x
+
®
= -¥;
0
lim ( )
x x
f x
-
®
= +¥;
0
lim ( )
x x
f x
-
®
= -¥
· Đường thẳng 0y y= đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu ít nhất
một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
0lim ( )
x
f x y
®+¥
= ; 0lim ( )
x
f x y
®-¥
=
· Đường thẳng , 0y ax b a= + ¹ đgl đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số ( )y f x=
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
[ ]lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
®+¥
- + = ; [ ]lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
®-¥
- + =
2. Chú ý:
a) Nếu
( )
( )
( )
P x
y f x
Q x
= = là hàm số phân thức hữu tỷ.
· Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng 0x x= .
· Nếu bậc(P(x)) £ bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang.
· Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên.
b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các
công thức sau:
[ ]( )
lim ; lim ( )
x x
f x
a b f x ax
x®+¥ ®+¥
= = -
hoặc [ ]( )
lim ; lim ( )
x x
f x
a b f x ax
x®-¥ ®-¥
= = -
Baøi 1. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a)
2 5
1
x
y
x
-
=
-
b)
10 3
1 2
x
y
x
+
=
-
c)
2 3
2
x
y
x
+
=
-
d)
2
4 3
1
x x
y
x
- +
=
+
e)
2
( 2)
1
x
y
x
-
=
-
f)
2
7 4 5
2 3
x x
y
x
+ +
=
-
a)
2
4 5
x
y
x x
=
- +
b)
2
2
9
x
y
x
+
=
-
c)
2
2
4 5
1
x x
y
x
+ +
=
-
d)
2
2
2 3 3
1
x x
y
x x
+ +
=
+ +
e)
3
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
f)
4
3
4
1
x x
y
x
- +
=
-
a) 2
4y x x= - b)
2
4 2
9
x
y
x
+
=
-
c)
2
1
4 3
y
x x
=
- +
V. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ

d)
1
1
x
y x
x
-
=
+
e)
3 2 3
3y x x= - f)
2
3 2
2
x x
y
x
- +
=
-
a)
2 1
2 1
x
x
y
+
=
-
b) ln
2
x x
e e
y
-
-
= c) 2
ln( 5 6)y x x= - +
Baøi 5. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng:
a) y
x m x m2 2
3
4 2(2 3) 1
=
+ + + -
b)
2
2
2
3 2( 1) 4
x
y
x m x
+
=
+ + +
c)
2
3
2
x
y
x x m
+
=
+ + -
d)
x
y
x m x m2 2
3
2( 2) 1
-
=
+ + + +
e)
x
y
x m x m2 2
1
2( 1) 2
-
=
+ - + -
f)
2
3
2 2 1
y
x mx m
=
+ + -
Baøi 6. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có tiệm cận xiên:
a)
2
(3 2) 2 1
5
x m x m
y
x
+ + + -
=
+
b)
2
(2 1) 3
2
mx m x m
y
x
+ + + +
=
+
Baøi 7. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau chắn trên
hai trục toạ độ:
a)
2
3 1
1
x x
y
x
+ +
=
-
b)
2
3 4
2
x x
y
x
- + -
=
+
c)
2
7
3
x x
y
x
+ -
=
-
Baøi 8. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau tạo với các trục toạ độ một tam giác
có diện tích S đã chỉ ra:
a)
2
1
1
x mx
y
x
+ -
=
-
; S = 8 b)
2
(2 1) 2 3
1
x m x m
y
x
+ - - +
=
+
; S = 8
c)
2
2 2(2 1) 4 5
1
x m x m
y
x
+ + + -
=
+
; S = 16 d)
2
2 2
1
x mx
y
x
+ -
=
-
; S = 4
Baøi 9. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị của các hàm số
đến hai tiệm cận bằng một hằng số:
a)
2
1
1
x x
y
x
- +
=
-
b)
2
2 5 4
3
x x
y
x
+ -
=
+
c)
2
7
3
x x
y
x
+ -
=
-

1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
· Tìm tập xác định của hàm số.
· Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y¢.
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y¢ bằng 0 hoặc không xác định.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số.
· Vẽ đồ thị của hàm số:
+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương).
– Tính y¢¢.
– Tìm các điểm tại đó y¢¢ = 0 và xét dấu y¢¢.
+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị.
+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ
độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức
tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác
hơn.
+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị.
2. Hàm số bậc ba 3 2
( 0)y ax bx cx d a= + + + ¹ :
· Tập xác định D = R.
· Đồ thị luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
· Các dạng đồ thị:
a > 0 a < 0
y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
Û ’ = b2
– 3ac > 0
y’ = 0 có nghiệm kép
Û ’ = b2
– 3ac = 0
y’ = 0 vô nghiệm
Û ’ = b2
– 3ac < 0
3. Hàm số trùng phương 4 2
( 0)y ax bx c a= + + ¹ :
y
x0 I
y
x0
I
y
x0
I
y
x0
I
VI. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Tập xác định D = R.
· Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
4. Hàm số nhất biến ( 0, 0)
ax b
y c ad bc
cx d
+
= ¹ - ¹
+
:
· Tập xác định D =
d
R
c
ì ü
-í ý
î þ
.
· Đồ thị có một tiệm cận đứng là
d
x
c
= - và một tiệm cận ngang là
a
y
c
= . Giao điểm của
hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
5. Hàm số hữu tỷ
2
( . ' 0, )
' '
ax bx c
y a a töû khoâng chia heát cho maãu
a x b
+ +
= ¹
+
:
· Tập xác định D =
'

'
b
R
a
ì ü
-í ý
î þ
.
· Đồ thị có một tiệm cận đứng là
'
'
b
x
a
= - và một tiệm cận xiên. Giao điểm của hai tiệm
cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
a.a¢ > 0 a.a¢ < 0
a > 0 a < 0
y’ = 0 có 3 nghiệm phân
biệt
Û ab < 0
y’ = 0 chỉ có
1 nghiệm
Û ab > 0
y
x0
y
x0
y
x0
y
x0
0
ad – bc > 0
x
y
0
ad – bc < 0
x
y

y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
y¢ = 0 vô nghiệm
Baøi 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) 3 2
3 9 1y x x x= - - + b) 3 2
3 3 5y x x x= + + + c) 3 2
3 2y x x= - + -
d) 2
( 1) (4 )y x x= - - e)
3
2 1
3 3
x
y x= - + f) 3 2
3 4 2y x x x= - - - +
a) 4 2
2 1y x x= - - b) 4 2
4 1y x x= - + c)
4
2 5
3
2 2
x
y x= - +
d) 2 2
( 1) ( 1)y x x= - + e) 4 2
2 2y x x= - + + f) 4 2
2 4 8y x x= - + +
a)
1
2
x
y
x
+
=
+
b)
2 1
1
x
y
x
+
=
-
c)
3
4
x
y
x
-
=
-
d)
1 2
1 2
x
y
x
-
=
+
e)
3 1
3
x
y
x
-
=
-
f)
2
2 1
x
y
x
-
=
+
a)
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
b)
2
2
1
x x
y
x
+ +
=
-
c)
2
2
1
x x
y
x
+ -
=
+
d)
1
1
1
y x
x
= - + +
-
e)
2
1
x
y
x
=
-
f)
2
2
1
x x
y
x
-
=
+
Baøi 5. Vẽ đồ thị của các hàm số:
a)
3
3 2y x x= - + b) 3 2
3 2y x x= - + - c) 4 2
2 3y x x= - -
d)
1
1
x
y
x
+
=
-
e)
2
2
1
x x
y
x
- +
=
-
f)
2
3 3
2
x x
y
x
+ +
=
+
0 x
y
0 x
y

1. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ
1. Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x). Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2)
ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm).
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị.
2. Đồ thị hàm số bậc ba 3 2
( 0)y ax bx cx d a= + + + ¹ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Û Phương trình 3 2
0ax bx cx d+ + + = có 3 nghiệm phân biệt.
Û Hàm số 3 2
y ax bx cx d= + + + có cực đại, cực tiểu và . 0CÑ CTy y < .
Baøi 1. Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:
a)
2
3
3
2 2
1
2 2
x
y x
x
y
ì
= - + -ïïï
í
ï = +
ïî
b)
2
2 4
1
2 4
x
y
x
y x x
ì -
=ï
í -
ï = - + +î
c)
3
4 3
2
y x x
y x
ì = -
í
= - +î
d)
4 2
2
1
4 5
y x x
y x
ìï = - +
í
= -ïî
e)
3 2
2
5 10 5
1
y x x x
y x x
ìï = - + -
í
= - +ïî
f)
2
1
3 1
x
y
x
y x
ì
ï =
í -
ï = - +î
Baøi 2. Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:
a) y x x
y m x
3
3 2
( 2)
ì = - -
í
= -î
b)
3 2
2
3 2
1 13
2 12
x x
y x
y m x
ì
= + -ïïï
í
æ öï = + +ç ÷
ï è øî
c)
3
3
3
( 3)
x
y x
y m x
ì
ï = - +
í
ï = -î
d)
2 1
2
2
x
y
x
y x m
ì +
ï =
í +
ï = +î
e)
1
1
2
x
y
x
y x m
ì +
ï =
í -
ï = - +î
f)
2
6 3
2
x x
y
x
y x m
ì - +ï =
í +
ï = -î
g)
1
3
1
3
y x
x
y mx
ì
ï = - + +
í -
ï = +î
h)
2
3 3
2
4 1
x x
y
x
y mx m
ì - +ï =
í -
ï = - -î
i)
y x x
y m x
3
2
2 1
( 1)
ìï = - +
í
= -ïî
Baøi 3. Tìm m để đồ thị các hàm số:
a)
2
( 2) 1
; 1
2
x
y y mx
x
+ -
= = +
+
cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b)
2
2 3
; 2
1
x x m
y y x m
x
- +
= = +
-
cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
c)
2
; 2
1
mx x m
y y mx
x
+ +
= = +
-
cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
d)
2
4 5
; 2
2
x x
y y mx
x
+ +
= = +
+
cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
e)
2
( 2)
; 3
1
x
y y mx
x
-
= = +
-
cắt nhau tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau.
VII. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

f)
2
1
mx x m
y
x
+ +
=
-
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
a) 3 2
3 2 ; 2y x x mx m y x= + + + = - + cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
b) 3 2
3 (1 2 ) 1y mx mx m x= + - - - cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c) 2 2
( 1)( 3)y x x mx m= - - + - cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
d) 3 2 2
2 2 2 1; 2 2y x x x m y x x= + - + - = - + cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
e) 3 2 2 2
2 3 ; 2 1y x x m x m y x= + - + = + cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
a) 4 2
2 1;y x x y m= - - = cắt nhau tại bốn điểm phân biệt.
b) 4 2 3
( 1)y x m m x m= - + + cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
c) 4 2 2
(2 3) 3y x m x m m= - - + - cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Baøi 6. Tìm m để đồ thị của các hàm số:
a)
3 1
; 2
4
x
y y x m
x
+
= = +
-
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB
ngắn nhất.
b)
4 1
;
2
x
y y x m
x
-
= = - +
-
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB
ngắn nhất.
c)
2
2 4
; 2 2
2
x x
y y mx m
x
- +
= = + -
-
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tính AB
theo m.
Baøi 7. Tìm m để đồ thị của các hàm số:
a) 3 2
3 6 8y x mx mx= - + - cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số
cộng.
b) 3 2
3 9 1; 4y x x x y x m= - - + = + cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm của
đoạn AC.
c) 4 2 2
(2 4)y x m x m= - + + cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành một cấp số
cộng.
d) 3 2
( 1) ( 1) 2 1y x m x m x m= - + - - + - cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành
một cấp số nhân.
e) 3 2
3 (2 2) 9 192y x m x mx= + + + + cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một
cấp số nhân.

2. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
· Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)
Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)
· Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một
trong các dạng sau:
Dạng 1: F(x, m) = 0 Û f(x) = m (1)
Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ
giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = m
· d là đường thẳng cùng phương với trục hoành.
· Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm
của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)
Dạng 2: F(x, m) = 0 Û f(x) = g(m) (2)
Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k.
Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.
Dạng 3: F(x, m) = 0 Û f(x) = kx + m (3)
(k: không đổi)
Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ
giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = kx + m
· Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương
với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m).
· Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C)
có hệ số góc k.
· Dựa vào các tung độ gốc m, b1, b2, … của d, d1, d2, …
để biện luận.
Dạng 4: F(x, m) = 0 Û f(x) = m(x – x0) + y0 (4)
Khi đó (4) có thể xem là phương trình
hoành độ giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = m(x – x0) + y0
· d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0).
· Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, …
của (C) đi qua M0.
· Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận.
Chú ý:
· Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện: a £ x £ b thì ta chỉ vẽ đồ thị (C): y = f(x) với
a £ x £ b.
· Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m.
y
c.
x
m A
(C)
c.(d) : y = m
c.yCĐ
yCT
xA
y
x
A
y = kx
c.
m(C)
M1
M2
b1
b2
d1
d
d2
O
y
x0
d3
d1
y0
0
(C)
c.M1
M2
d2
m = –¥
m = +¥
m > 0
m = 0
m < 0
d
I
IV
(–)
(+)
M
x

VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các
dạng như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị.
Baøi 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m
số nghiệm của phương trình:
a) 3 3
3 1; 3 1 0y x x x x m= - + - + - = b) 3 3
3 1; 3 1 0y x x x x m= - + - - + + =
c) 3 3 2
3 1; 3 2 2 0y x x x x m m= - + - - - - = d) 3 3
3 1; 3 4 0y x x x x m= - + - - + + =
e)
4
2 4 2
2 2; 4 4 2 0
2
x
y x x x m= - + + - - + = f) 4 2 4 2
2 2; 2 2 0y x x x x m= - + - - + =
a)
2
25 7
; ( 5) 3 7 0
3
x x
y x m x m
x
- +
= - + + + =
-
b)
2
22 4 2
; 2 2( 2) 3 2 0
2 3
x x
y x m x m
x
- +
= - + - + =
+
c)
2
21
; ( 1) 2 1 0
x
y m x x
x
+
= - + - =
d)
2
22 4
; 2( 1) 4( 1) 0
2 4
x x
y x m x m
x
- +
= - + + + =
-
a)
2
22
; 2sin 2 cos 2 0 (0 )
2 1
x
y m m
x
= + - - = £ £
-
a a a p
b)
2
2 3
; cos2 ( 3)cos 2 1 0 (0 )
2
x x
y m m
x
-
= - + + + = £ £
-
a a a p
c)
2
23 3
; cos (3 )cos 3 2 0 (0 )
2
x x
y m m
x
+ +
= + - + - = £ £
+
a a a p
d) 3 2 3 2
3 6; cos 3cos 6 0y x x x x m= - + - + - =
a)
2
5 7
; 2 (3 7)2 5
3
t tx x
y m m
x
-- +
= + + = +
-
b)
2
1
; 2 ( 1)2 1
1
t tx x
y m m
x
-+ -
= + - = -
-
c)
2
22 5 4
; 2 (5 ) 4 0
1
t tx x
y e m e m
x
- +
= - + + + =
-
d)
2
25 4
; (5 ) 4 0t tx x
y e m e
x
- +
= - + + =
Baøi 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (T).
Dùng đồ thị (T) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
a)
2 2 2
3 6 3 6 3 6
( ) : ; ( ) : ; 2 0
1 1 1
x x x x x x
C y T y m
x x x
- + - + - +
= = - =
- - -

b)
2 2 2
5 4 5 4 5 4
( ) : ; ( ) : ; 2 0
x x x x x x
C y T y m
x x x
- + - + - +
= = - + =
c) 3 2 3 2 3 2
( ) : 3 6; ( ): 3 6 ; 3 6 3 0C y x x T y x x x x m= - + = - + - + - + =
d)
3 33 2 2 2
( ) : 2 9 12 4; ( ): 2 9 12 4; 2 9 12 0C y x x x T y x x x x x x m= - + - = - + - - + + =
e) 2 2 2 2
( ) : ( 1) (2 ); ( ): ( 1) 2 ;( 1) 2 ( 1) (2 )C y x x T y x x x x m m= + - = + - + - = + -
f)
2 2
21 1
( ) : ; ( ) : ; ( 1) 2 1 0
x x
C y T y m x x
x x
+ +
= = - + - =
Baøi 6. Cho hàm số
2
( )
1
x
y f x
x
+
= =
-
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng 3 0x y- = .
c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình:
2
3 ( 2) 2 0x m x m- + + + =
1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
-
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng 2 0x y- = .
c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
2
2 ( 1) 1 0x m x m- + + + =
2
( )
1
x
y f x
x
= =
-
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1).
c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
2
(1 ) (1 ) 1 0m x m x- - - + =
VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thị
Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: 3 2
0ax bx cx d+ + + = (a ¹ 0) (1)
Gọi (C) là đồ thị của hàm số bậc ba: 3 2
( )y f x ax bx cx d= = + + +
Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành
Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3
· Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm Û (C) và Ox có 1 điểm chung
Û
CÑ CT
f khoâng coù cöïc trò h a
f coù cöïc trò
h b
y y
( .1 )
2
( .1 )
. 0
é
êì
êí >êîë
(C)
A
x0 O x
y
(h.1a)
(C)
A
x0 x
y
(h.1b)x1 o x2
yCT
yCĐ

Trường hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm Û (C) tiếp xúc với Ox
Û
2
( .2)
. 0CÑ CT
f coù cöïc trò
h
y y
ì
í =î
· Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt Û (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
Û
2
( .3)
. 0CÑ CT
f coù cöïc trò
h
y y
ì
í <î
Dạng 2: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu
· Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt
Û (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương
Û
2
. 0
0, 0
. (0) 0 ( 0)
CÑ CT
CÑ CT
f coù cöïc trò
y y
x x
a f hay ad
ì
<ïïï
í
> >ï
< <ïî
· Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt
Û (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm
Û
2
. 0
0, 0
. (0) 0 ( 0)
CÑ CT
CÑ CT
f coù cöïc trò
y y
x x
a f hay ad
ì
ïïï <
í
< <ï
> >ïî
x1xA xB xC
C
(C)
yCĐ
y
A
o
x2
x
a > 0
yCT
B
f(0)
x1
xA xB xC
C
(C)
yCĐ
y
A
o x2 x
a < 0
yCT
B
f(0)
x"0
C
x1
(C)
yCĐ
y
A
o
x2
x
(H.3)
yCĐ
x0 x'0
B
(C)
yCĐ
y
A
x0 o x1
B
x'0
(yCT = f(x0) = 0)
x
(H.2)
x1xA xB xC
C
(C)
yCĐ
y
A
o
x2
x
a > 0
yCT
B
f(0)
xCx2
x1
xA xB
C
(C)
yCĐ
y
A
o x
a < 0
yCT
B
f(0)

Baøi 1. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm:
a) 3 2
2 3( 1) 6 2 0x m x mx- + + - = b) 3 2
3 3(1 ) 1 3 0x x m x m- + - + + =
c) 3 2
2 3 6( 1) 3 12 0x mx m x m- + - - + = d) 3 2
6 3( 4) 4 8 0x x m x m- - - + - =
e) 3 2
2 3( 1) 6( 2) 2 0x m x m x m+ - + - + - = f) 3
3 2 0x mx m- + =
Baøi 2. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 2 nghiệm:
a) 3 2 2
( 1) (2 3 2) 2 (2 1) 0x m x m m x m m- + - - + + - = b) 3
3 2 0x mx m- + =
c) 3 2
(2 1) (3 1) ( 1) 0x m x m x m- + + + - + = d) 3 2
3 3(1 ) 1 3 0x x m x m- + - + + =
Baøi 3. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
a) 3 2 2 2
3 3( 1) ( 1) 0x mx m x m- + - - - = b) 3 2
6 3( 4) 4 8 0x x m x m- - - + - =
c) 3 2
2 3( 1) 6( 2) 2 0x m x m x m+ - + - + - = d) 31
0
3
x x m- + =
Baøi 4. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt:
a) 3 2 2 2
3 3( 1) ( 1) 0x mx m x m- + - - - = b) 3 2
6 3( 4) 4 8 0x x m x m- - - + - =
c) 3 21 5 7
4 0
3 2 6
x x x m- + + + = d) 3 2
(2 1) 2 0x mx m x m- + + - - =
Baøi 5. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm âm phân biệt:
a) 3 2
2 3( 1) 6( 2) 2 0x m x m x m+ - + - + - = b) 3 2 2 2
3 3( 1) ( 1) 0x mx m x m- + - - - =
c) 3 2
3 9 0x x x m+ - + = d) 3 2
18 2 0x x mx m- + - =

3. SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG.
1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của
tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm ( )0 0 0; ( )M x f x .
Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm ( )0 0 0; ( )M x f x là:
y – y0 = f ¢(x0).(x – x0) (y0 = f(x0))
2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ
phương trình sau có nghiệm:
( ) ( )f
'( ) '( )
x g x
f x g x
ì =
í
=î
(*)
Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
3. Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2
+ bx + c thì
(C1) và (C2) tiếp xúc nhau Û phương trình 2
ax bx c px q+ + = + có nghiệm kép.
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x) tại điểm ( )0 0 0;M x y :
· Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0).
Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0.
· Tính y¢ = f¢ (x). Suy ra y¢(x0) = f¢ (x0).
· Phương trình tiếp tuyến D là: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0)
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x), biết D có hệ số góc k cho trước.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
· Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f¢ (x0).
· D có hệ số góc k Þ f¢ (x0) = k (1)
· Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của D.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
· Phương trình đường thẳng D có dạng: y = kx + m.
· D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
( )
'( )
f x kx m
f x k
ì = +
í
=î
(*)
· Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của D.
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến D có thể được cho gián tiếp như sau:
+ D tạo với chiều dương trục hoành góc a thì k = tana
+ D song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a
+ D vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a ¹ 0) thì k =
1
a
-
+ D tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc a thì tan
1
k a
ka
-
=
+
a
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y = f(x), biết D đi qua điểm ( ; )A AA x y .
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
· Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f(x0), y¢0 = f¢ (x0).
· Phương trình tiếp tuyến D tại M: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0)
· D đi qua ( ; )A AA x y nên: yA – y0 = f¢ (x0).(xA – x0) (2)
· Giải phương trình (2), tìm được x0. Từ đó viết phương trình của D.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
· Phương trình đường thẳng D đi qua ( ; )A AA x y và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA)

D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
( ) ( )
'( )
A Af x k x x y
f x k
ì = - +
í
=î
(*)
· Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến D.
Baøi 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
a) (C): 3 2
3 7 1y x x x= - - + tại A(0; 1) b) (C): 4 2
2 1y x x= - + tại B(1; 0)
c) (C):
3 4
2 3
x
y
x
+
=
-
tại C(1; –7) d) (C):
2
1
2 1
y x
x
= + -
-
tại D(0; 3)
Baøi 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
a) (C):
2
3 3
2
x x
y
x
- +
=
-
tại điểm A có xA = 4
b) (C):
3( 2)
1
x
y
x
-
=
-
tại điểm B có yB = 4
c) (C):
1
2
x
y
x
+
=
-
tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.
d) (C): 2
2 2 1y x x= - + tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.
e) (C): 3
3 1y x x= - + tại điểm uốn của (C).
f) (C): 4 21 9
2
4 4
y x x= - - tại các giao điểm của (C) với trục hoành.
Baøi 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra:
a) (C): 3 2
2 3 9 4y x x x= - + - và d: 7 4y x= + .
b) (C): 3 2
2 3 9 4y x x x= - + - và (P): 2
8 3y x x= - + - .
c) (C): 3 2
2 3 9 4y x x x= - + - và (C’): 3 2
4 6 7y x x x= - + - .
Baøi 4. Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được
chỉ ra:
a) (C):
5 11
2 3
x
y
x
+
=
-
tại điểm A có xA = 2 .
b) (C): 2
7 26y x x= - + tại điểm B có xB = 2.
Baøi 5. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ một tam
giác có diện tích bằng S cho trước:
a) (C):
2
1
x m
y
x
+
=
-
tại điểm A có xA = 2 và S =
1
2
.
b) (C):
3
2
x m
y
x
-
=
+
tại điểm B có xB = –1 và S =
9
2
.
c) (C): 3
1 ( 1)y x m x= + - + tại điểm C có xC = 0 và S = 8.
Baøi 6. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D có hệ số góc k được chỉ ra:
a) (C): y x x3 2
2 3 5= - + ; k = 12 b) (C):
2 1
2
x
y
x
-
=
-
; k = –3
c) (C):
2
3 4
1
x x
y
x
- +
=
-
; k = –1 d) (C): 2
4 3y x x= - + ; k = 2
Baøi 7. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D song song với đường thẳng d cho trước:

a) (C):
3
2
2 3 1
3
x
y x x= - + + ; d: y = 3x + 2 b) (C):
2 1
2
x
y
x
-
=
-
; d:
3
2
4
y x= - +
c) (C):
2
2 3
4 6
x x
y
x
- -
=
+
; d: 2 5 0x y+ - = d) (C): 4 21 3
3
2 2
y x x= - + ; d: y = –4x + 1
Baøi 8. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D vuông góc với đường thẳng d cho trước:
a) (C):
3
2
2 3 1
3
x
y x x= - + + ; d: 2
8
x
y = - + b) (C):
2 1
2
x
y
x
-
=
-
; d: y x=
c) (C):
2
3
1
x
y
x
+
=
+
; d: y = –3x d) (C):
2
1
2
x x
y
x
+ -
=
+
; d: x – 2
Baøi 9. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D tạo với chiều dương trục Ox góc a:
a) (C):
3
2 0
2 4; 60
3
x
y x x= - + - =a b) (C):
3
2 0
2 4; 75
3
x
y x x= - + - =a
c) 03 2
( ) : ; 45
1
x
C y
x
-
= =
-
a
Baøi 10. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D tạo với đường thẳng d một góc a:
a) (C):
3
2 0
2 4; : 3 7; 45
3
x
y x x d y x= - + - = + =a
b) (C):
3
2 01
2 4; : 3; 30
3 2
x
y x x d y x= - + - = - + =a
c) 04 3
( ) : ; : 3 ; 45
1
x
C y d y x
x
-
= = =
-
a
d) 03 7
( ) : ; : ; 60
2 5
x
C y d y x
x
-
= = - =
- +
a
e)
2
03
( ) : ; : 1; 60
2
x x
C y d y x
x
- +
= = - + =
-
a
Baøi 11. Tìm m để tiếp tuyến D của (C) tại điểm được chỉ ra vuông góc với đường thẳng d cho
trước:
a) (C):
2
(2 1) 2
1
x m x m
y
x
+ + - +
=
+
tại điểm A có xA = 0 và d là tiệm cận xiên của (C).
b) (C):
2
2 1
3
x mx
y
x
+ -
=
-
; tại điểm B có xB = 4 và d: x – 12y + 1 = 0 .
Baøi 12. Tìm m để tiếp tuyến D của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d cho
trước:
a) (C):
2
(3 1)
( 0)
m x m m
y m
x m
+ - +
= ¹
+
tại điểm A có yA = 0 và d: 10y x= - .
Baøi 13. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D đi qua điểm được chỉ ra:
a) (C): 3
3 2y x x= - + - ; A(2; –4) b) (C): 3
3 1y x x= - + ; B(1; –6)
c) (C): ( )2
2
2y x= - ; C(0; 4) d) (C): 4 21 3
3
2 2
y x x= - + ;
3
0;
2
D
æ ö
ç ÷
è ø
e) (C):
2
2
x
y
x
+
=
-
; E(–6; 5) f) (C):
3 4
1
x
y
x
+
=
-
; F(2; 3)
g) (C):
2
3 3
2
x x
y
x
- +
=
-
; G(1; 0) h)
2
2
1
x x
y
x
- +
=
-
; H(2; 2)

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc
1. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ
phương trình sau có nghiệm:
( ) ( )f
'( ) '( )
x g x
f x g x
ì =
í
=î
(*)
Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
2. Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2
+ bx + c thì
(C1) và (C2) tiếp xúc nhau Û phương trình 2
ax bx c px q+ + = + có nghiệm kép.
Baøi 1. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:
a) 3 2
1 2( ): (3 ) 2; ( ) :C y x m x mx C truïchoaønh= + + + +
b) 3 2
1 2( ): 2 ( 1) ; ( ) :C y x x m x m C truïchoaønh= - - - +
c) 3
1 2( ): ( 1) 1; ( ): 1C y x m x C y x= + + + = +
d) 3 2
1 2( ): 2 2 1; ( ):C y x x x C y x m= + + - = +
Baøi 2. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:
a) 4 2 2
1 2( ): 2 1; ( ): 2C y x x C y mx m= + + = +
b) 4 2 2
1 2( ): 1; ( ) :C y x x C y x m= - + - = - +
c) 4 2 2
1 2
1 9
( ): 2 ; ( ) :
4 4
C y x x C y x m= - + + = - +
d) 2 2 2
1 2( ): ( 1) ( 1) ; ( ) : 2C y x x C y x m= + - = +
e)
2
1 2
(2 1)
( ): ; ( ):
1
m x m
C y C y x
x
- -
= =
-
f)
2
2
1 2
1
( ): ; ( ):
1
x x
C y C y x m
x
- +
= = +
-
VẤN ĐỀ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị
(C1): y = f(x) và C2): y = g(x)
1. Gọi D: y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
u là hoành độ tiếp điểm của D và (C1), v là hoành độ tiếp điểm của D và (C2).
· D tiếp xúc với (C1) và (C2) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
( ) (1)
'( ) (2)
( ) (3)
'( ) (4)
f u au b
f u a
g v av b
g v a
ì = +
ïïï =
í
= +ï
=ïî
· Từ (2) và (4) Þ f¢ (u) = g¢ (v) Þ u = h(v) (5)
· Thế a từ (2) vào (1) Þ b = j(u) (6)
· Thế (2), (5), (6) vào (3) Þ v Þ a Þ u Þ b. Từ đó viết phương trình của D.
2. Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 thì một tiếp tuyến chung của (C1) và
(C2) cũng là tiếp tuyến của (C1) (và (C2)) tại điểm đó.
Baøi 1. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị:
a) 2 2
1 2( ): 5 6; ( ): 5 11C y x x C y x x= - + = - + -
b) 2 2
1 2( ): 5 6; ( ): 14C y x x C y x x= - + = - - -

c) 2 3
1 2( ): 5 6; ( ): 3 10C y x x C y x x= - + = + -
VẤN ĐỀ 4: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó
tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước
· Gọi M(x0; y0) Î (C). D là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính f¢ (x0).
· Vì D // d nên f¢ (x0) = kd (1)
hoặc D ^ d nên f¢ (x0) =
1
dk
- (2)
· Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x0. Từ đó tìm được M(x0; y0) Î (C).
Baøi 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d cho
trước:
a) (C):
2
3 6
1
x x
y
x
+ +
=
+
; d:
1
3
y x=
b) (C):
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
; d là tiệm cận xiên của (C)
c) (C):
2
1
1
x x
y
x
+ -
=
-
; d là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C).
d) (C):
2
1x x
y
x
- +
= ; d: y = x
Baøi 2. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng d cho
trước:
a) (C): 3 2
10y x x x= + + + ; d: 2y x= b) (C):
2
1x x
y
x
- +
= ; d: y = –x
VẤN ĐỀ 5: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được
1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x)
Giả sử d: ax + by +c = 0. M(xM; yM) Î d.
· Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM
· D tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
( ) ( ) (1)
'( ) (2)
M Mf x k x x y
f x k
ì = - +
í
=î
· Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f¢ (x) + yM (3)
· Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)
Baøi 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):
a) 3 2
( ) : 3 2C y x x= - + - b) 3
( ) : 3 1C y x x= - +
Baøi 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):
a)
1
( ) :
1
x
C y
x
+
=
-
; d là trục tung b)
2
2
( ) :
1
x x
C y
x
+ +
=
-
; d là trục hoành
c)
2
2
( ) :
1
x x
C y
x
+
=
+
; d: y = 1 d)
2
3 3
( ) :
2
x x
C y
x
+ +
=
+
; d: x = 1
e)
3
( ) :
1
x
C y
x
+
=
-
; d: y = 2x + 1

Baøi 3. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ít nhất một tiếp tuyến với (C):
a)
2
6 9
( ) :
2
x x
C y
x
- +
=
- +
; d là trục tung b)
2
3 3
( ) :
1
x x
C y
x
+ +
=
+
; d là trục tung
c)
2 1
( ) :
2
x
C y
x
+
=
-
; d: x = 3 d)
3 4
( ) :
4 3
x
C y
x
+
=
-
; d: y = 2
Baøi 4. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với (C):
a)
2
2
( ) :
2
x x
C y
x
+ -
=
+
; d là trục hoành b)
2
1
( ) :
1
x x
C y
x
- -
=
+
; d là trục tung
c)
2
3 3
( ) :
2
x x
C y
x
+ +
=
+
; d: y = –5
Baøi 5. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ba tiếp tuyến với (C):
a) 3 2
( ) : 3 2C y x x= - + - ; d: y = 2 b) 3
( ) : 3C y x x= - ; d: x = 2
c) 3
( ) : 3 2C y x x= - + + ; d là trục hoànhd) 3
( ) : 12 12C y x x= - + ; d: y = –4
e) 4 2
( ) : 2C y x x= - - ; d là trục tung e) 4 2
( ) : 2 1C y x x= - + - ; d là trục tung
Baøi 6. Từ điểm A có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C):
a) 3 2
( ) : 9 17 2C y x x x= - + + ; A(–2; 5) b) 3 21 4 4
( ) : 2 3 4; ;
3 9 3
C y x x x A
æ ö
= - + + ç ÷
è ø
c) 3 2
( ) : 2 3 5; (1; 4)C y x x A= + - -
Baøi 7. Từ một điểm bất kì trên đường thẳng d có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C):
a) 3 2
( ) : 6 9 1C y x x x= - + - ; d: x = 2 b) 3
( ) : 3C y x x= - ; d: x = 2
VẤN ĐỀ 6: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được
2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau
Gọi M(xM; yM).
· Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM
· D tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
( ) ( ) (1)
'( ) (2)
M Mf x k x x y
f x k
ì = - +
í
=î
· Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f¢ (x) + yM (3)
· Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) Û (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.
· Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau Û f¢ (x1).f¢ (x2) = –1
Từ đó tìm được M.
Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục
hoành thì
1 2
(3) 2
( ). ( ) 0
coù nghieäm phaân bieät
f x f x
ì
í <î
Baøi 1. Chứng minh rằng từ điểm A luôn kẻ được hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau.
Viết phương trình các tiếp tuyến đó:
a) 2 1
( ) : 2 3 1; 0;
4
C y x x A
æ ö
= - + -ç ÷
è ø
b)
2
1
( ) : ; (1; 1)
1
x x
C y A
x
+ +
= -
+
c)
2
2 2
( ) : ; (1;0)
1
x x
C y A
x
+ +
=
+
d)

Baøi 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến với (C)
vuông góc với nhau:
a) 3 2
( ) : 3 2C y x x= - + ; d: y = –2 b) 3 2
( ) : 3C y x x= + ; d là trục hoành
c)
2
2 1
( ) :
1
x x
C y
x
+ +
=
+
; d là trục tung d)
2
2 1
( ) :
1
x x
C y
x
- +
=
-
; d là trục tung
e)
2
3 2
( ) :
x x
C y
x
- +
= ; d: x = 1
Baøi 3. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà tại đó hai tiếp tuyến với (C) vuông góc
với nhau:
a)
2
( ) :
2
x x m
C y
x m
- + -
=
+
; d: y = –1 b)
2
8
( ) :
x mx
C y
x m
+ -
=
-
c)
2
2
( ) :
x mx m
C y
x m
- +
=
+
Baøi 4. Tìm m để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía
với trục hoành;
a)
2
( ) : ; (0; )
1
x
C y A m
x
+
=
-
b)
VẤN ĐỀ 7: Các bài toán khác về tiếp tuyến
Baøi 1. Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận.
Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.
1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB.
2) Chứng minh diện tích của DIAB là một hằng số.
3) Tìm điểm M để chu vi DIAB là nhỏ nhất.
a)
2 1
( ):
1
x
H y
x
-
=
-
b)
1
( ) :
1
x
H y
x
+
=
-
c)
4 5
( ):
2 3
x
H y
x
-
=
- +
Baøi 2. Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận.
Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.
1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB.
2) Chứng minh tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là không đổi.
2) Chứng minh diện tích của DIAB là một hằng số.
3) Tìm điểm M để chu vi DIAB là nhỏ nhất.
a)
2
3 4
( ):
2 2
x x
H y
x
- +
=
-
b)
2
3 3
( ):
1
x x
H y
x
- +
=
-
c)
2
2 2
( ):
1
x x
H y
x
+ +
=
+
Baøi 3. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm M bất kì thuộc hypebol (H) cắt hai đường tiệm cận tạo
thành một tam giác có diện tích bằng S:
a)
2 3
( ): ; 8
mx
H y S
x m
+
= =
-
Baøi 4. Tìm điểm M thuộc hypebol (H) tại đó tiếp tuyến cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B
sao cho DOAB vuông cân:
a)
2
1
( ):
1
x x
H y
x
+ +
=
-
b)
2
2 5
( ):
2
x x
H y
x
+
=
+
c)
2
3 3
( ):
2
x x
H y
x
+ +
=
+
Baøi 5. Cho (C):
2
2 1
1
x x
y
x
- +
=
-
. Chứng minh rằng trên đường thẳng d: y = 7 có 4 điểm sao
cho từ mỗi điểm có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 450
.

Baøi 6. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) tạo với các trục toạ độ một tam giác
có diện tích S cho trước:
a)
1
( ) : ; 4C y x S
x
= + = b)
3
1 1
( ) : ;
2
x
C y S
x
+
= =

4. HỌ ĐỒ THỊ
Cho họ đường (Cm): y = f(x, m) (m là tham số).
M(x0; y0) Î (Cm) Û y0 = f(x0, m) (1)
Xem (1) là phương trình theo ẩn m.
Tuỳ theo số nghiệm của (1) ta suy ra số đồ thị của họ (Cm) đi qua M.
· Nếu (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đồ thị của họ (Cm) đều đi qua M.
Khi đó, M được gọi là điểm cố định của họ (Cm).
· Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đồ thị của họ (Cm) đi qua M.
· Nếu (1) vô nghiệm thì không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua M.
VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m)
Cách 1:
· Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (nếu có) của họ (Cm).
M(x0; y0) Î (Cm), "m Û y0 = f(x0, m), "m (1)
· Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:
· Dạng 1: (1) Û Am + B = 0, "m · Dạng 2: (1) Û 2
0Am Bm C+ + = , "m
Û
0
0
A
B
ì =
í
=î
(2a) Û
0
0
0
A
B
C
ì =
ï
=í
ï =î
(2b)
· Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x0; y0) của điểm cố định.
Chú ý: Các hệ (2a), (2b) là các hệ phương trình có 2 ẩn x0, y0.
Cách 2:
· Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (nếu có) của họ (Cm).
M(x0; y0) Î (Cm), "m Û y0 = f(x0, m), "m (1)
· Đặt F(m) = f(x0, m) thì F(m) = y0 không đổi.
Þ F¢ (m) = 0 (3)
· Giải (3) tìm được x0. Thay x0 vào (1) tìm được y0. Từ đósuy ra được các điểm cố định.
Baøi 1. Tìm các điểm cố định của họ đồ thị (Cm) có phương trình sau:
a) ( 1) 2 1y m x m= - - + b) 2
2( 2) 3 1y mx m x m= + - - +
c) 3 2
( 1) 2 ( 2) 2 1y m x mx m x m= + - - - + + d) 2
(1 2 ) (3 1) 5 2y m x m x m= - - - + -
e) 3 2
9 9y x mx x m= + - - f) 3
( 2) 2y m x mx= - - +
g) 4 2
2 4 1y mx x m= - - + h) 4 2
5y x mx m= + - -
i)
( 1) 2
( 1, 2)
m x
y m m
x m
- -
= ¹ - ¹ -
-
k)
3 1
( 2) 4
x m
y
m x m
+ -
=
+ +
l)
2
5 7 2
2 3
x mx
y m
mx
æ ö- +
= ¹ ±ç ÷
- è ø
m)
2
2 ( 2)
( 0)
2
x m x m
y m
x m
- + + +
= ¹
-
n)
2
2
( 1)
2 2 1
x m x m
y
x mx m
+ - +
=
+ + +
o)
2
2
2 6 4
2 (5 2) 6
x x m
y
x m x
+ +
=
+ + +
Baøi 2. Chứng minh rằng họ đồ thị (Cm) có 3 điểm cố định thẳng hàng. Viết phương trình
đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó:
a) 3 2
( 3) 3( 3) (6 1) 1y m x m x m x m= + - + - + + +
b) 3 2
( 2) 3( 2) 4 2 1y m x m x x m= + - + - + -
c) 3 2
( 4) (6 24) 12 7 18y m x m x mx m= - - - - + -

d) 3
( 1) (2 1) 1y m x m x m= + - + - +
VẤN ĐỀ 2: Tìm điểm mà không có đồ thị nào của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua
· Gọi M(x0; y0) là điểm mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua.
M(x0; y0) Ï (Cm), "m Û y0 = f(x0, m) vô nghiệm m (1)
· Dạng 1: (1) Û Am + B = 0 vô nghiệm m Û
0
0
A
B
ì =
í
¹î
(2a)
· Dạng 2: (1) Û 2
0Am Bm C+ + = vô nghiệm m Û
2
0
0
0
4 0
A B
C
A
B AC
éì = =
íê ¹îê
ì ¹ê
íê - <îë
(2b)
Chú ý: · Kết quả là một tập hợp điểm.
· Những điểm nằm trên tiệm cận đứng cố định của hàm hữu tỷ là những điểm đồ thị
không đi qua.
Baøi 1. Tìm các điểm trong mặt phẳng mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua:
a) 2
( 2) 2y m x m m= + + + b)
2
2 2
1
1 1
m m
y x
m m m m
+
= +
+ + + +
c) 2
2(1 ) 1 ( 0)y mx m x m m= + - + + ¹ d) 2 3 2
2y x m x m= - + -
e) 3 2 3 2
2 3 5 4y x mx m m= + - - - f) 3 2 2 2
4 4 6y mx m x mx m= - - + -
g)
2
( 2) 2 4m x m m
y
x m
- - + -
=
-
h)
2
(3 1)m x m m
y
x m
+ - +
=
+
i)
2
8
1
x mx m
y
x
+ + -
=
-
k)
2
2 2x mx m
y
x m
- + +
=
-
l)
2
2
2 4
2 5
x mx m
y
x x
+ - +
=
+ +
m)
2
2
(3 1) 10
3 2
x m x
y
x x
+ - -
=
- +
Baøi 2. Tìm các điểm thuộc (L) mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua:
a) (Cm): 3 2 2 2
4 4 6y mx m x mx m= - - + - ; (L) là trục hoành.
b) (Cm): 3 2
2 3( 3) 18 6y x m x mx= - + + + ; (L): 2
14y x= + .
c) (Cm):
2 2
2
1
1
x mx m m
y
mx m m
- + - +
=
+ + +
; (L) là trục tung.
d) (Cm):
2 2
( 1) 1m x m x
y
x m
+ + +
=
+
; (L): x = 2.
e) (Cm):
2 2
1m x
y
x
+
= ; (L): y = 1.
VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm mà một số đồ thị của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua
· Ta có: M(x0; y0) Î (Cm) Û y0 = f(x0, m) (1)
Am + B = 0 (2a) hoặc 2
0Am Bm C+ + = (2b)
· Số nghiệm của (2a) hoặc (2b) theo m = Số (Cm) đi qua M.

Baøi 1. Tìm các điểm trong mặt phẳng sao cho có đúng k đồ thị của họ (Cm) đi qua:
a) (Cm):
2
2 2
2( )
mx m m
y
x m
+ +
=
+
; k = 1. b) (Cm):
2 2
x mx m
y
x m
- + -
=
-
; k = 2.
c) (Cm): 2
2 2 4 0xy my mx m x m- - + - = ; k = 1.
Baøi 2. Tìm các điểm thuộc (L) sao cho có đúng k đồ thị của họ (Cm) đi qua:
a) (Cm): 3 2 2
( 1) 4y x m x m= + + - ; (L): x = 2; k = 1.
b) (Cm): 3 2 2
( 1) 4y x m x m= + + - ; (L): x = 2; k = 2.
c) (Cm): 3 2 2
( 1) 4y x m x m= + + - ; (L): x = 2; k = 3.
Baøi 3. Chứng minh rằng các điểm thuộc (L) có đúng k đồ thị của họ (Cm) đi qua:
a) (Cm):
2 2 2
( 1) 2mx m m x m m
y
x m
- + - + - +
=
-
; (L): x > 1; k = 2.
b) (Cm):
2 2
( 1)m x m
y
x m
+ -
=
-
; (L): x > 0; k = 2.
c) (Cm): 4 2 2
2 1y x mx m= - + + ; (L): y = 1; k = 1.
d) (Cm): 3 2 3
( 1) (2 3 2) 2 (2 1)y x m x m m x m m= - + - - + + - ; (L): x = 1, y > –2; k = 2.

5. TẬP HỢP ĐIỂM
Bài toán: Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả tính chất a.
· Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng toạ độ là tìm phương trình của tập hợp
điểm đó.
Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm M.
1) Tìm điều kiện (nếu có) của tham số m để tồn tại điểm M.
2) Tính toạ độ điểm M theo tham số m.
Có các trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: M
( )
( )
x f m
y g m
ì =
í
=î
Khử tham số m giữa x và y, ta có một hệ thức giữa x, y độc lập với m có dạng:
F(x, y) = 0 (gọi là phương trình quĩ tích)
( )
( )
x a haèng soá
y g m
ì =
í
=î
Khi đó điểm M nằm trên đường thẳng x = a.
( )
( )
x f m
y b haèng soá
ì =
í
=î
Khi đó điểm M nằm trên đường thẳng y = b.
3) Giới hạn quĩ tích: Dựa vào điều kiện (nếu có) của m (ở bước 1), ta tìm được điều kiện
của x hoặc y để tồn tại điểm M(x; y). Đó là giới hạn của quĩ tích.
4) Kết luận: Tập hợp các điểm M có phương trình F(x, y) = 0 (hoặc x = a, hoặc y = b) với
điều kiện của x hoặc y (ở bước 3).
Dạng 2: Trong trường hợp ta không thể tính được toạ độ của điểm M theo tham số m mà chỉ
thiết lập được một hệ thức chứa toạ độ của M thì ta tìm cách khử tham số m trong hệ thức
để tìm được hệ thức dạng F(x, y) = 0.
Chú ý: Nếu bài toán chỉ hỏi : Điểm M chạy trên đường nào thì ta chỉ tìm phương trình
F(x, y) = 0 mà không cần tìm giới hạn của quĩ tích.
Baøi 1. Tìm tập hợp các điểm đặc biệt của họ đồ thị đã cho.
a) (Pm): 2
2 ( 2) 2 4y x m x m= - - + - . Tìm tập hợp các đỉnh của (Pm).
b) (Cm): 3 2
3 2 3 1y x mx x m= - + - - . Tìm tập hợp các điểm uốn của (Cm).
c) (Cm): 3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= - + + + + . Tìm tập hợp các điểm cực đại của (Cm).
d) (Hm):
( 1) 1
1
m x
y
mx
- +
=
-
. Tìm tập hợp các tâm đối xứng của (Hm).
e) (Hm):
2
2 3 5
2
x mx m
y
x
- +
=
-
. Tìm tập hợp các điểm cực đại của (Hm).
Baøi 2. Cho (C) và (C¢). Tìm tập hợp trung điểm của đoạn thẳng.
1) Tìm m để (C) và (C¢) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B.
2) Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng AB.
a) (C): 3 2
3 1y x x mx= + + + và (C’): 3 2
2 7y x x= + + .
b) (C): 2
3y x mx= - + và (C¢): 2y mx= + .
c) (C):
1
1
x
y
x
-
=
+
và (C¢): 2 0x y m- + =
d) (C):
2
( 2)
1
x
y
x
-
=
-
và (C¢) là đường thẳng đi qua A(0; 3) và có hệ số góc m.

e) (C):
2
4 3
2
x x
y
x
+ +
=
+
và (C¢): 1y mx= + .
Baøi 3. Cho (C) và (C¢).Tìm tập hợp các điểm.
1) Tìm m để (C) cắt (C¢) tại 3 điểm phân biệt A, B, C (trong đó xC không đổi).
2) Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng AB.
a) (C): 3 2
3y x x= - và (C¢): y mx= .
b) (C): 3 2 2 2
2( 1) ( 1)y x m x m x m= - + + + - và (C¢): 3y mx m= - + .
c) (C): 3 2
6 9y x x x= - + và (C¢): y mx= .
d) (C): 2
( 2)( 1)y x x= + - và (C¢) là đường thẳng đi qua C(–2; 0) và có hệ số góc m.
Baøi 4. Cho (C). Tìm tập hợp các điểm từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến của (C) vuông góc
với nhau.
a) (C):
1
y x
x
= + b) (C):
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
Baøi 5.
a) Cho (C):
2
1
x
y
x
-
=
-
. Tìm tập hợp các điểm trên trục tung mà từ đó có thể kẻ được tiếp
tuyến với (C).
b) Cho (C): 3 2
3 2y x x= - + - . Tìm tập hợp các điểm trên đường thẳng y = 2 mà từ đó có
thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).

6. HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài toán: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị.
· Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
· Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
· Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định.
Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị.
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số ( )y f x= .
Đồ thị (C¢) của hàm số ( )y f x= có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x)
như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành.
+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành.
+ Đồ thị (C¢) là hợp của hai phần trên.
Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số ( )y f x= .
Đồ thị (C¢) của hàm số ( )y f x= có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x)
như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung.
+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung.
+ Đồ thị (C¢) là hợp của hai phần trên.
Baøi 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). Từ đó suy ra đồ thị C¢). Dùng đồ thị (C¢) biện
luận số nghiệm của phương trình (1):
a) (C): 3 2
3 6y x x= - - ; (C¢): 3 2
3 6y x x= - - ; 3 2
3 6x x m- - = (1)
b) (C): 4 2
2 3y x x= - - ; (C¢): 4 2
2 3y x x= - - ; 4 2
2 3x x m- - = (1)
c) (C):
2
2 5 2
1
x x
y
x
+ -
=
+
; (C¢):
2
2 5 2
1
x x
y
x
+ -
=
+
;
2
2 5 2
1
x x
m
x
+ -
=
+
(1)
d) (C):
2
1
2
x x
y
x
- -
=
-
; (C¢):
2
1
2
x x
y
x
- -
=
-
;
2
1
2
x x
m
x
- -
=
-
(1)

e) (C):
2 2
2
x
y
x
-
=
-
; (C¢):
2 2
2
x
y
x
-
=
-
;
2 2
2
x
m
x
-
=
-
(1)
Baøi 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). Từ đó suy ra đồ thị C¢). Dùng đồ thị (C¢) biện
luận số nghiệm của phương trình (1):
a) (C): 3 2
2 9 12 4y x x x= - + - ; (C¢):
3 2
2 9 12 4y x x x= - + - ;
3 2
2 9 12x x x m- + =
b) (C):
2
1
x
y
x
=
-
; (C¢):
2
1
x
y
x
=
-
; ( 2). 0m x m- - = (1)
c) (C):
2
4 5
2
x x
y
x
+ +
=
+
; (C¢):
2
4 5
2
x x
y
x
+ +
=
+
;
2
4 5
2
x x
m
x
+ +
=
+
(1)
Baøi 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). Từ đó suy ra đồ thị C¢). Dùng đồ thị (C¢), tìm
m để phương trình (1) có k nghiệm phân biệt:
a) (C): 4 2
2 1y x x= - - ; (C¢): 4 2
2 1y x x= - - ; 4 2
22 1 logx x m- - = ; k = 6.
b) (C): 3 2
6 9y x x x= - + ; (C¢):
3 2
6 9y x x x= - + ;
3 2
6 9 3 0x x x m- + - + = ; k = 6.
c) (C):
2
2 5 2
1
x x
y
x
+ -
=
+
; (C¢):
2
2 5 2
1
x x
y
x
+ -
=
+
;
2
2 5 2
1
x x
m
x
+ -
=
+
; k = 4.
d) (C):
4
2 5
3
2 2
x
y x= - + ; (C¢):
4
2 5
3
2 2
x
y x= - + ;
4
2 25
3 2
2 2
x
x m m- + = - ; k = 8.

7. ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyên
Tìm các điểm trên đồ thị hàm số hữu tỉ
( )
( )
P x
y
Q x
= có toạ độ là những số nguyên:
· Phân tích
( )
( )
P x
y
Q x
= thành dạng ( )
( )
a
y A x
Q x
= + , với A(x) là đa thức, a là số nguyên.
· Khi đó
x
y
ì Î
í
Îî
¢
¢
Û Q(x) là ước số của a. Từ đó ta tìm các giá trị x nguyên để Q(x) là
ước số của a.
· Thử lại các giá trị tìm được và kết luận.
Baøi 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có toạ độ nguyên:
a)
2
1
x
y
x
+
=
+
b)
10
2
x
y
x
-
=
+
c)
2
2
x
y
x
+
=
-
d)
2
1
2
x x
y
x
+ +
=
+
e)
2
2
1
x x
y
x
+
=
+
f)
4
1
1
y x
x
= + +
-
Baøi 2. Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có toạ độ nguyên:
a) 2
2( 1) 4y x y x y x= + + + + b) 2
2 4( 1) 6y x y x y x= + + - +
VẤN ĐỀ 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x)
đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b
Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua d Û d là trung trực của đoạn AB
· Phương trình đường thẳng D vuông góc với d: y = ax = b có dạng:
D:
1
y x m
a
= - +
· Phương trình hoành độ giao điểm của D và (C):
f(x) =
1
x m
a
- + (1)
· Tìm điều kiện của m để D cắt (C) tại 2 điểm
phân biệt A, B. Khi đó xA, xB là các nghiệm của (1).
· Tìm toạ độ trung điểm I của AB.
· Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d Û I Î d, ta tìm
được m Þ xA, xB Þ yA, yB Þ A, B.
Chú ý: · A, B đối xứng nhau qua trục hoành Û A B
A B
x x
y y
ì =
í
= -î
· A, B đối xứng nhau qua trục tung Û A B
A B
x x
y y
ì = -
í
=î
· A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b Û
2
A B
A B
x x
y y b
ì =
í
+ =î
· A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a Û
2A B
A B
x x a
y y
ì + =
í
=î
Baøi 1. Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d:
(d)
(C)
(D)
B
A I

a) 3
( ) : ; : 2 0C y x x d x y= + + = b)
4
( ) : ; : 2 6 0
2
x
C y d x y
x
+
= - - =
-
c)
2
( ) : ; : 1
1
x
C y d y x
x
= = -
-
d)
2
1
( ) : ; : 1
1
x x
C y d y x
x
+ -
= = -
-
Baøi 2. Cho đồ thị (C) và đường thẳng d. Viết phương trình đồ thị (C¢) đối xứng với (C) qua
đường thẳng d:
a) 3 2
( ) : 3 5 10 2; : 2C y x x x d x= - + - = - b)
2
2 3 7
( ) : ; : 2
1
x x
C y d x
x
- +
= =
-
c)
2
2
( ) : ; : 2
2
x x
C y d y
x
+ -
= =
-
d)
2
2 5 3
( ) : ; : 1
1
x x
C y d y
x
+ -
= = -
-
Baøi 3. Tìm m để trên đồ thị (C) có một cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d:
a) 3 2 2
( ) : 3 2 ; :C y mx x x m d Ox= + + +
VẤN ĐỀ 3: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)
Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I Û I là trung điểm của AB.
· Phương trình đường thẳng d qua I(a; b),
có hệ số góc k có dạng: ( )y k x a b= - + .
· Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
f(x) = ( )k x a b- + (1)
· Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
A, B. khi đó xA, xB là 2 nghiệm của (1).
· Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I Û I là trung điểm của AB, ta tìm được k Þ xA, xB.
Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O Û A B
A B
x x
y y
ì = -
í
= -î
Baøi 1. Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua điểm I:
a) 3 2
( ) : 4 2; (2;4)C y x x x I= - + + b)
2
2 5
( ) : ; 0;
1 2
x x
C y I
x
æ ö+ +
= ç ÷
- è ø
c) 3 2
( ) : 3 2 1; (0;0)C y x x x I O= - - + º d)
4
( ) : ; (0;0)
1
x
C y I O
x
+
= º
+
e)
3 4
( ) : ; (1;1)
2 1
x
C y I
x
+
=
-
e) ( )
2
2 5 1
( ) : ; 2; 5
1
x x
C y I
x
- +
= - -
+
Baøi 2. Cho đồ thị (C) và điểm I. Viết phương trình đồ thị (C¢) đối xứng với (C) qua điểm I:
a) 3 2
( ) : 2 3 5 1; (1;2)C y x x x I= + + + b)
2
( 1)
( ) : ; (1;1)
2
x
C y I
x
-
=
-
c)
2
1
( ) : ; (2;1)
1
x x
C y I
x
- +
=
-
d)
3 2
2 5 1
( ) : ; (2;1)
2 3
x x x
C y I
x
- - +
=
-
Baøi 3. Tìm m để trên đồ thị (C) có một cặp điểm đối xứng nhau qua điểm:
a) 3 2 2 2
( ) : 3 3( 1) 1 ; (0;0)C y x mx m x m I O= - + - + - º
b) 3 2
( ) : 7 3; (0;0)C y x mx x I O= + + + º
c) 3 2
( ) : 9 4; (0;0)C y x mx x I O= + + + º d)
2 2 2
2
( ) : ; (0;0)
1
x m x m
C y I O
x
+ +
= º
+
A
BI
sđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.comsđt : 01695316875 ymail: nguyenvanvietbkdn@gmail.com

VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách
Kiến thức cơ bản:
1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB = 2 2
( ) ( )B A B Ax x y y- + -
2) Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng D: ax + by + c = 0:
d(M, D) = 0 0
2 2
ax by c
a b
+ +
+
3) Diện tích tam giác ABC:
S = ( )2
2 21 1
. .sin . .
2 2
AB AC A AB AC AB AC= -
u uuur uuur
Baøi 1. Cho đồ thị (C) và điểm A. Tìm điểm M trên (C) sao cho AM nhỏ nhất. Chứng minh
rằng khi AM nhỏ nhất thì đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến của (C) tại M.
a) 2
( ) : 1; (0;0)C y x A O= - º b) 2
( ) : ; (3;0)C y x A=
c) 2
( ) : 2 1; (9;1)C y x A= +
Baøi 2. Cho đồ thị (C) và đường thẳng d. Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến
d là nhỏ nhất.
a) 4 2
( ) : 2 3 2 1; : 2 1C y x x x d y x= - + + = - b)
2
4 5
( ) : ; : 3 6
2
x x
C y d y x
x
+ +
= = - -
+
c) 2
( ) : ; : 2( 1)C y x x d y x= - = + d)
1
( ) : ; : 2 3
1
x
C y d y x
x
+
= = - +
-
Baøi 3. Tìm các điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho d(M,Ox) = k.d(M,Oy) với k cho trước.
a)
2
( ) : ; 1
2
x
C y k
x
+
= =
-
b)
2
1
( ) : ; 1
1
x x
C y k
x
+ -
= =
-
c)
2
1
( ) : ; 2
1
x x
C y k
x
+ -
= =
-
d)
2
2 2
( ) : ; 2
1
x x
C y k
x
+ +
= =
+
Baøi 4. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm
cận là nhỏ nhất.
a)
2
( ):
2
x
H y
x
+
=
-
b)
2 1
( ):
1
x
H y
x
-
=
+
c)
4 9
( ):
3
x
H y
x
-
=
-
d)
2
2
( ):
3
x x
H y
x
+ -
=
-
e)
2
1
( ):
2
x x
H y
x
- +
=
-
f)
2
3 3
( ):
2
x x
H y
x
+ +
=
+
Baøi 5. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai trục
toạ độ là nhỏ nhất.
a)
1
( ) :
1
x
H y
x
-
=
+
b)
2 1
( ):
2
x
H y
x
+
=
-
c)
4 9
( ):
3
x
H y
x
-
=
-
d)
2
11
( ):
1
x x
H y
x
+ -
=
-
e)
2
3
( ):
2
x
H y
x
-
=
-
f)
2
6
( ):
3
x x
H y
x
+ -
=
-
Baøi 6. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho khoảng cách từ đó đến giao điểm của hai
tiệm cận là nhỏ nhất.
a)
2
2 2
( ):
1
x x
H y
x
+ +
=
-
b)
2
1
( ): ; 1
1
x x
H y x
x
- +
= >
-
Baøi 7. Cho hypebol (H). Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của (H) sao cho độ
dài AB là nhỏ nhất.

a)
1
( ) :
1
x
H y
x
-
=
+
b)
2 3
( ):
2
x
H y
x
+
=
-
c)
4 9
( ):
3
x
H y
x
-
=
-
d)
1
( ): 2 1H y x
x
= + + e)
2
3 3
( ):
1
x x
H y
x
- +
=
-
f)
2
2 5
( ):
1
x x
H y
x
- +
=
-
Baøi 8. Cho (C) và đường thẳng d. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho độ dài AB là
nhỏ nhất.
a)
2
6 4
( ): ; :
1
x x
H y d y k
x
+ -
= =
+
b)
1
( ): ; : 2 0
1
x
H y d x y m
x
+
= - + =
-

Baøi 1. Cho hàm số: 3 2
4,y x ax= + - a là tham số.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị với a = 3.
b) Tìm các giá trị của tham số a để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
3 2
4 0x ax+ - =
ĐS: b) a < 3.
Baøi 2. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 3 2
6 9 1y x x x= - + - .
b) Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng x = 2 ta kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thị
của hàm số?
ĐS: b) một tiếp tuyến.
Baøi 3. Cho hàm số: 3
3 (1)y x x= -
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b) Chứng minh rằng m khi thay đổi, đường thẳng d cho bởi phương trình:
( 1) 2y m x= + + luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại một điểm A cố định. Hãy xác định các giá
trị của m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao cho
tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau.
ĐS: b)
2
( 1; 2); 1 2
3
A m- = - +
Baøi 4. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 4 2
2 1 (1)y x x= - -
b) Với những giá trị nào của m thì phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt.
4 2
42 1 log (2)x x m- - =
ĐS: b) 4 < m < 16.
Baøi 5. Cho hàm số: 4 2
5 4 (1)y x x= - +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) của hàm số tại 4
điểm phân biệt.
c) Tìm m sao cho đồ thị (C) của hàm số chắn trên đường thẳng y = m ba đoạn thẳng có
độ dài bằng nhau.
ĐS: b)
9
4
4
m- < < c)
7
4
m =
Baøi 6. Cho hàm số: 4 21 3
2 2
y x mx= - + (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.
b) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua
3
0;
2
A
æ ö
ç ÷
è ø
tiếp xúc với (C).
c) Xác định m để hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại.
ĐS: b)
3 3
; 2 2
2 2
y y x= = ± + c) m £ 0.
Baøi 7. Cho hàm số:
3 4
( )
1
x
y H
x
+
=
-
VIII. ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Với giá trị nào của a, đường thẳng y = ax + 3 không cắt đồ thị (H)?
c) Qua điểm M(2 ; 3) viết phương trình tiếp với đồ thị (H).
ĐS: b) –28 < a £ 0 c) y = –28x + 59.
Baøi 8. a) Khảo sát và vẽ đồ thị
2
( )
1
x
y C
x
-
=
-
.
b) Tìm tất cả những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(0; 0) và B(2; 2).
ĐS: b) (2 ; 0), (0 ; 2).
1
2 ( )y x C
x
= - +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b) Tìm trên (C) các điểm cách đều hai trục tọa độ.
c) Tìm k để đường thẳng y = k cắt (C) tại hai điểm mà tại đó hai tiếp tuyến với (C) vuông
góc với nhau.
ĐS: b)
1 1
;
2 2
M
æ ö
ç ÷
è ø
c) 2 5.k = - ±
2 2
( 1) 4 4 2
( 1)
x m x m m
y
x m
- + + - -
=
- -
a) Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 2.
b) Tìm các giá trị của m để hàm số xác định và đồng biến trên khoảng (0 ; +¥)
ĐS: b)
2 3 3
7 2
m
-
£ £
Baøi 11. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
.
b) Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị (C) và M là một điểm trên (C). Tiếp tuyến tại M với
(C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB và
diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên (C).
ĐS: b) 2 2.IABS =
2
2 2 1
1 ( )
1 1
x x
y x C
x x
+ +
= = + +
+ +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b) Tìm trên đồ thị hàm số đã cho các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với tiệm
cận xiên của nó.
ĐS: b) 1 2
2 3 2 2 3 2
1 ; ; 1 ;
2 2 2 2
M M
æ ö æ ö
- + - - -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
2
( 1) 1
( )m
x m x mx
y C
x m
+ + - +
=
-
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 2.
b) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc đồ thị (C) (với m = 2 ở
câu trên) tới hai đường tiệm cận luôn bằng một hằng số.
c) Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu, đồng thời giá trị cực đại
và giá trị cực tiểu cùng dấu.
ĐS: b)
9 2
2
c) 3 2 3 3 2 3m hay m< - - > - +

Baøi 14. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
2
4 1
2
x x
y
x
+ +
=
+
b) Tìm các điểm trên đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng ( ) : y + 3x + 6 = 0 là nhỏ
nhất.
ĐS: b) 1 2
3 5 5 5
; ; ;
2 2 2 2
M M
æ ö æ ö
- - -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
.
2
2 2
1
x mx
y
x
+ -
=
-
với m là tham số.
a) Xác định m để tam giác tạo bởi hai trục tọa độ và đường tiệm cận xiên của đồ thị của
hàm số trên có diện tích bằng 4.
b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên khi m = –3.
ĐS: a) m = –6 hay m =
2.
2
1x x
y
x
+ +
= .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
b) Xác định m sao cho phương trình sau có nghiệm:
4 3 2
( 1) 3 ( 1) 1 0t m t t m t- - + - - + =
ĐS: b)
3 7
.
2 2
m hay m£ - ³
Baøi 17. Cho hàm số: 3 2 2 2 2
3 3(1 ) (1)y x mx m m m= - + + - + - (m là tham số)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm k để phương trình 3 2 3 2
3 3 0x x k k- + + - = có 3 nghiệm phân biệt.
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
ĐS: b) 1 3; 0; 2;k k k- < < ¹ ¹ c) 2
2y x m m= - +
Baøi 18. Cho hàm số: 4 2 2
( 9) 10y mx m x= + - + (1) (m là tham số)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị.
ĐS: b) 3 0 3.m hay m< - < <
2
(2 1)
(1)
1
m x m
y
x
- -
=
-
(m là tham số)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = –1.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ.
c) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x.
ĐS: b)
4
1 4ln
3
S = + c) m ¹ 1.
2
1
mx x m
y
x
+ +
=
-
(1) (m là tham số)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = –1.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có
hoành độ dương.
ĐS
: b)
1
0.
2
m- < <

Bai tap giai tich 12 htv

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (16)

Andere mochten auch

Andere mochten auch (7)

Ähnlich wie Bai tap giai tich 12 htv

Ähnlich wie Bai tap giai tich 12 htv (20)

Mehr von Hoàng Thái Việt

Mehr von Hoàng Thái Việt (20)

Bai tap giai tich 12 htv