El documento describe cuatro casos de disipación de calor en aletas: 1) Disipación convectiva donde la temperatura disminuye con la longitud de la aleta, 2) Extremo aislado donde la temperatura en el extremo es 0, 3) Temperatura del extremo fija, y 4) Aleta muy larga donde la temperatura tiende a la temperatura de convección a medida que aumenta la distancia de la base. En cada caso se presenta la ecuación para calcular la temperatura a lo largo de la aleta y la ecuación para calcular el calor disipado

1. Cuatro casos de disipación de calor en aletas.
Caso 1: Disipación convectiva.
El más común de los casos. La temperatura θ disminuye mientras la longitud de la aleta L aumenta.
Por lo tanto, en la base 𝜃(0) = 𝜃 𝑏𝑎𝑠𝑒 y en el extremo de la aleta el calor de conducción es igual al
calor disipado, dónde x = L, entonces: −𝑘𝐴(𝑑𝜃 𝑑𝑥⁄ ) = ℎ𝐴𝜃(𝐿).
Como la conducción de calor en una aleta es una ecuación diferencial con exponenciales, y cuya
temperatura dependen de la longitud x, la ecuación general para el caso 1 se puede proponer con
funciones hiperbólicas. La temperatura a cualquier longitud x es:
𝜃(𝑥) = 𝜃 𝑏 {
cosh[𝑚(𝐿 − 𝑥)] + (ℎ 𝑚𝑘⁄ ) sinh[𝑚(𝐿 − 𝑥)]
cosh(𝑚𝐿) + (ℎ 𝑚𝑘⁄ ) sinh(𝑚𝐿)
}
La ecuación para calcular el calor disipado es:
𝑞 = 𝑀 [
sinh(𝑚𝐿) + (ℎ 𝑚𝑘⁄ ) cosh(𝑚𝐿)
cosh(𝑚𝐿) + (ℎ 𝑚𝑘⁄ ) sinh(𝑚𝐿)
]
Donde 𝑀 ≡ 𝜃 𝑏√ℎ𝑝𝑘𝐴
Caso 2: Extremo aislado.
En este caso el extremo de la aleta no toma en cuenta el flujo de calor tanto conductivo como
convectivo. Al igual que el anterior, la temperatura en x = 0 es 𝜃 𝑏𝑎𝑠𝑒, pero en el extremo se considera
una θ = 0, por lo tanto, al resolver la ecuación diferencial se obtiene:
𝜃(𝑥) = 𝜃 𝑏 {
cosh[𝑚(𝐿 − 𝑥)]
cosh(𝑚𝐿)
}
La ecuación para calcular el calor disipado es:
𝑞 = 𝑀 tanh(𝑚𝐿)
Donde 𝑀 ≡ 𝜃 𝑏√ℎ𝑝𝑘𝐴
Caso 3: Temperatura del extremo fija.
Esto podría deberse a una fuente de calor en el extremo de la aleta. En este caso la temperatura θ
cuando x = 0 es la temperatura base, y cuando x = L, la temperatura es igual a la temperatura en el
extremo 𝜃 𝐿. Al resolver la ecuación diferencial se obtiene:
𝜃(𝑥) =
sinh(𝑚𝑥) + cosh(𝑚𝑥)
sinh(𝑚𝐿)
La ecuación para calcular el calor disipado es:
𝑞 = 𝑀 [
cosh 𝑚𝐿 − 𝜃 𝐿 𝜃 𝑏⁄
sinh⁡( 𝑚𝐿)
]
Donde 𝑀 ≡ 𝜃 𝑏√ℎ𝑝𝑘𝐴

2. Caso 4: Aleta muy larga.
Para calcular este caso, se considera que la temperatura disminuye conforme se aleja la aleta de la
base. Donde la temperatura θ en x = 0 sigue siendo la temperatura base. Pero conforme x se aleja,
en otras palabras, 𝑥 → ∞, entonces la temperatura tenderá a la temperatura de convección 𝑇∞. Al
resolver la ecuación diferencial se reduce a:
𝜃(𝑥) = 𝜃 𝑏 𝑒−𝑚𝑥
La ecuación para calcular el calor disipado es:
𝑞 = 𝑀 = 𝜃 𝑏√ℎ𝑝𝑘𝐴