1. 102714 Fonaments de Comunicacions
Prova Final. Part I: Comunicacions Anal`ogiques.
18 de Juny, 2014
Instruccions:
Durada: 120 minuts.
No es permeten ni llibres ni apunts ni calculadora. Totes les p`agines han d’incloure nom i
DNI/NIU. Les notes es publicaran a trav´es del Campus Virtual.
En cas de c`opia entre dos o m´es alumnes, tots rebran la mateixa sanci´o independentment
de qui hagi copiat i qui hagi deixat copiar.
1. (10 Punts) Respongui raonadament a les seg¨uents preguntes breus:
(a) Tenim un proc´es aleatori x(t) estacionari en sentit ampli amb autocorrelaci´o Rxx(τ) i mitja mx ̸= 0
constant en el temps. Es demana obtenir l’autocorrelaci´o del proc´es z(t) = cos 2πf0t + αx(t). Es
tracta d’un proc´es estacionari o cicloestacionari? Raonar la resposta. Pel senyal z(t) anterior,
calcular la densitat espectral de pot`encia Szz(f). Nota: tant x(t) com α s´on reals purs.
(b) Es volen unir dos punts situats a 50km l’un de l’altre a trav´es d’un sistema anal`ogic en banda
base. La transmissi´o ´es guiada i les p`erdues de propagaci´o s´on 1, 5 dB/km. El senyal x(t) que es
vol transmetre t´e una pot`encia Px = 10 W. La densitat espectral del soroll ´es Sw(f) = N0/2 W/Hz
amb N0 = 10−10
W/Hz. A continuaci´o es demana analitzar i comparar els seg¨uents dos sistemes de
transmissi´o banda base en termes de pot`encia rebuda en dest´ı SD i relaci´o senyal a soroll en dest´ı
SNRD:
1. Filtre transmissor pas-baix ideal de guany en pot`encia de 70 dB i filtre receptor pas-baix ideal
de guany unitari.
2. Filtre transmissor pas-baix ideal de guany unitari i filtre receptor pas-baix ideal de guany en
pot`encia de 70 dB.
Nota: tots els filtres tenen l’ample de banda del senyal x(t).
(c) Un sistema DBL transmet el senyal sDBL(t) = Ac x(t) cos 2πfct mentre que un sistema FM transmet
el senyal sF M (t) = Ac cos 2πfct + 2πf∆
t
x(λ)dλ (igual senyal modulador x(t) i mateix valor
d’Ac). Suposant que l’ample de banda del senyal x(t) ´es Bx i que la densitat espectral del soroll
a l’entrada dels corresponents receptors ´es Sw(f) = N0/2 (igual pels dos sistemes), determinar a
partir de quin valor de Bx la pot`encia de soroll en dest´ı pel sistema FM supera la del sistema DBL.
Nota: consideri receptors convencionals en amd´os casos, amb filtres ideals que tinguin l’ample de
banda m´ınim necessari. Considerar tamb´e canal ideal sense atenuaci´o.
2. (10 Punts) Un sistema AM s’utilitza per a transmetre un missatge x(t) d’ample de banda Bx sobre un
canal ideal sense atenuaci´o tal i com mostra la figura.
Sw(f) =
N0
2
yD(t)
TRANSMISSOR RECEPTOR
w(t)
SNRD
sAM (t)
fc, 2Bx
s(t)
HP E(f) HDE(f)
DETECTOR
ENVOLUPANT
+ DC BLOCK
s(t) + n(t)
P`agina 1 de 2
3
3
4
15 punts
2. El sistema utilitza filtres de pre-`emfasi i de-`emfasi amb la intenci´o de millorar-ne el rendiment en termes
de relaci´o senyal a soroll en dest´ı, SNRD. Tenint en compte que
sAM (t) = Ac (1 + m x(t)) cos 2πfct
Sx(f) = 0, 5 Π
f
2Bx
+ 0, 5 ∆
f
Bx
HP E(f) = 0, 5 +
|f| − fc
Bx
2
Π
|f| − fc
2Bx
es demana:
(a) Obtenir la densitat espectral del senyal sAM (t) i dibuixar-la. Suposar E{x(t)} = 0.
(b) Dibuixar de forma aproximada la densitat espectral del senyal s(t), Ss(f), i calcular-ne la pot`encia,
ST , que ser`a la pot`encia de transmissi´o del sistema. Nota: HP E(f) ´es una funci´o parell.
(c) Considerant que podem expressar s(t) = sAM (t) ∗ hP E(t) = s1(t) + s2(t) amb s1(t) = Ac cos 2πfct ∗
hP E(t) i s2(t) = Ac m(x(t) cos 2πfct)∗hP E(t), i sabent a m´es que s1(t) = Ac α cos 2πfct, determinar
quin ´es el valor d’α.
(d) Sabent ara que el senyal s2(t) es pot expressar com s2(t) = Ac m x′
(t) cos 2πfct i suposant |x′
(t)| < 1,
determinar el valor m`axim d’m per tal que no hi hagi sobremodulaci´o.
(e) Calcular l’envolupant del senyal s(t)+ n(t) = Ac α cos 2πfct+ Ac m x′
(t) cos 2πfct+ n(t) a l’entrada
del detector d’envolupant. Expressar el resultat en funci´o de x′
(t), in(t) i qn(t), on in(t) i qn(t) s´on
les components en fase i quadratura del soroll pas-banda n(t), respectivament.
(f) Suposant un valor de m que no introdueixi sobremodulaci´o i una relaci´o senyal a soroll suficientment
gran a l’entrada del detector d’envolupant + bloqueig de cont´ınua, expressar el senyal a la sortida
d’aquest bloc, y′
D(t), en funci´o d’x′
(t) i les components pas-baix del soroll. Dibuixar tamb´e de forma
aproximada la densitat espectral de y′
D(t). Nota: en el dibuix es pot obviar la part de soroll.
(g) Determinar raonadament HDE(f) a fi de no distorsionar el missatge x(t) en dest´ı. En concret volem
que yD(t) = x(t) + n′
(t), on n′
(t) ´es el terme de soroll en dest´ı.
(h) A continuaci´o es demana calcular la SNRD i comparar-la amb la d’un sistema AM convencional,
´es a dir, substituint els filtres de pre-`emfasi i de-`emfasi per filtres ideals. Faci la comparaci´o per un
mateix valor de m i per una mateixa pot`encia transmesa ST . Ajuda: 1
a2+x2 dx = 1
a atan x
a + C.
(i) Per ´ultim, raoni si des del punt de vista de SNRD hauria estat m´es adequat situar el filtre de pre-
`emfasi abans del modulador AM que no pas despr´es d’aquest (la soluci´o que acabem d’analitzar) o,
si pel contrari, ambdues solucions s´on equivalents.
102714 Prova final. Part I: Comunicacions Anal`ogiques. Juny 2014 P`agina 2 de 2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3. 102714 Fonaments de Comunicacions
Prova Final. Part II: Comunicacions Digitals
18 de Juny, 2014
Instruccions:
Durada: 120 minuts.
No es permeten ni llibres ni apunts. Totes les p`agines han d’incloure nom i DNI/NIU. Les
notes es publicaran a trav´es del Campus Virtual.
En cas de c`opia entre dos o m´es alumnes, tots rebran la mateixa sanci´o independentment
de qui hagi copiat i qui hagi deixat copiar.
1. (10 Punts) Respongui raonadament a les seg¨uents preguntes. Important: cal resoldre NOM´ES 3
apartats en total. 1 apartat d’entre a) i b). 1 apartat d’entre c) i d). 1 apartat d’entre e)
i f). Per obtenir una puntuaci´o completa cal mostrar com s’obtenen els diferents resultats.
(a) Una font discreta sense mem`oria emet els s´ımbols x1, . . . , x5 amb probabilitats p(x1) = 0, 5, p(x2) =
0, 2, p(x3) = 0, 15, p(x4) = 0, 1 i p(x5) = 0, 05. A fi de codificar aquesta font, ens proposen dues
codificacions bin`aries possibles, que s´on:
• Codificaci´o 1: x1 - 0; x2 - 11; x3 - 011; x4 - 1010; x5 - 1011
• Codificaci´o 2: x1 - 00; x2 - 11; x3 - 011; x4 - 101; x5 - 1011
Sense calcular el codi de Huffman corresponent a la font, es demana analitzar a trav´es de les
propietats d’aquest tipus de codis si alguna d’aquestes codificacions ´es un possible codi de Huffman.
(b) Un sistema PCM amb quantificador uniforme de 10 bits treballa amb un senyal d’entrada x(t)
distribu¨ıt segons la f.d.p. fx(x) = 1/2 e−|x−1|
. Com que es tracta d’un senyal de mitja no nul·la,
abans de quantificar el senyal se li resta la seva mitja, mx, per tal de quantificar aix´ı un senyal
de mitja nul·la x′
(t) = x(t) − mx. Llavors es fixa el valor xmax del quantificador per tal que la
probabilitat de produir error de sobrec`arrega sigui del 0, 1%. En aquestes condicions, es demana:
i) calcular el valor mx que restem al senyal x i ii) calcular la SNRQ obtinguda.
(c) En un sistema de comunicacions digitals en banda base s’utilitza el pols p(t) = 1/T sinc(t/T ), on
T ´es el temps de s´ımbol. Suposant que el canal es modela com hc(t) = δ(t) i que el soroll ´es AWGN,
es demana:
1. Determinar la resposta impulsional del filtre receptor `optim. ´Es possible fer-lo causal?
2. Dir sota quin criteri el filtre calculat ´es `optim.
3. Determinar si el sistema treballa amb ISI.
4. Determinar si el filtre dissenyat permet recuperar l’amplitud original dels s´ımbols enviats.
(d) En un sistema de comunicacions banda base que utilitza una modulaci´o 4-`aria polar amb s´ımbols
a −3 V, −1 V, 1 V i 3 V, la pot`encia de soroll al receptor ´es σ2
n = 0, 1 V2
. Suposant que el sistema
est`a dissenyat correctament i per tant es recuperen les amplituds originals i sabent que els s´ımbols
tenen probabilitats p(−1 V) = p(1 V) = 0, 4, p(−3 V) = p(3 V) = 0, 1, determinar els llindars de
decisi´o `optims i calcular la probabilitat d’error del sistema (amb els llindars `optims).
(e) Un sistema de comunicacions digitals pas banda 2-FSK ortogonal utilitza les seg¨uents funcions base:
ϕ1(t) = cos(2πf1t), 0 ≤ t ≤ T
ϕ2(t) = cos(2πf2t), 0 ≤ t ≤ T
on f1 = fc − 1/4T i f2 = fc + 1/4T . Es demana comprovar si compleixen les propietats d’ortogo-
nalitat i norma unit`aria necess`aries per ser utilitzades com a funcions base.
P`agina 1 de 2
4
4
3
3
3
4. (f) La modulaci´o bin`aria 1 treballa amb dues dues funcions base i els seus s´ımbols en l’espai de senyal
s´on ˆs1 = [
√
Eb, 0]T
i ˆs2 = [0,
√
Eb]T
. La modulaci´o bin`aria 2 treballa amb una sola funci´o base i els
seus s´ımbols s´on ˆs1 = −
√
Eb i ˆs2 =
√
Eb. Es demana: i) dir quina de les dues modulacions presenta
millor BER en les mateixes condicions de Eb/N0 i ii) per un mateix valor de N0, quin increment de
Eb ´es necessari en la modulaci´o menys eficient per igualar en BER a la m´es eficient.
2. (10 Punts) Un sistema de transmissi´o digital pas banda fa servir una modulaci´o QPSK amb s´ımbols
equiprobables. El senyal transm`es es pot expressar com a
s(t) = Ac
+∞
i=−∞
(I(i) cos 2πfct − Q(i) sin 2πfct) p(t − iT ), p(t) = Π
t − T/2
T
s´ımbol ˆs1 ˆs2 ˆs3 ˆs4
I A/2 −A/2 −A/2 A/2
Q A/2 A/2 −A/2 −A/2
Els valors que prenen les components en fase i quadratura per a cadascun del s´ımbols de la modulaci´o
es poden veure a la taula.
A continuaci´o es demana:
(a) Calcular l’energia mitja de s´ımbol de la modulaci´o o Es i tamb´e l’energia mitja de bit Eb. Expressi
aquestes energies en funci´o de la distancia d entre s´ımbols consecutius, ´es a dir, d = ||ˆs1 − ˆs2||.
Per ´ultim, raoni com canviarien aquestes energies en el cas que la constel·laci´o pat´ıs una rotaci´o de
φ rad en creuar el canal de comunicacions.
(b) Considerant ara que els s´ımbols enviats pateixen una rotaci´o de φ rad, obtingui la probabilitat
d’error de bit o BER en funci´o de la relaci´o Eb/N0 i de φ, Pb(Eb/N0, φ). Suposi que el receptor
desconeix la rotaci´o (i per tant no la pot compensar), de manera que les regions de decisi´o que
utilitza no es veuen alterades respecte al cas ideal. Suposi tamb´e que la rotaci´o en cap cas ´es major
de π/4.
(c) La rotaci´o que provoca el canal ´es aleat`oria i est`a uniformement distribu¨ıda entre −π/16 rad i
π/16 rad. Doni una expressi´o del BER mig del sistema tenint en compte l’estad´ıstica de φ. En altres
paraules, si Pb(Eb/N0) = f (Pb(Eb/N0, φ)), determini f. Per ´ultim, obtingui una cota superior i
una cota inferior de Pb(Eb/N0) per Eb/N0 = 10 dB.
102714 Prova final. Part II: Comunicacions Digitals. Juny 2014 P`agina 2 de 2
3
3
3
4
