1. 1.Tập số phức và các phép toán
1.1.Định nghĩa số phức
Cho a, b   . Mỗi biểu thức dạng a  bi được gọi là một số phức
a : phần thực của z. a  e z b : phần ảo của z. b  m z
Tập các số phức ký hiệu là ℂ .
a   , a  a  0i  z . Vậy   
Ta cần định nghĩa phép cộng và nhân hai số phức
Cho hai số phức z1  a  bi, z2  c  di .
Tổng z1  z2  (a  c)  (b  d )i
Tích z1.z2  (ac  bd )  (ad  bc)i
Công thức trên đúng cho trường hợp hai số thực z1  a  0i, z2  c  0i .
Thật vậy z1  z2  (a  0i )  (c  0i )  a  c ; z1.z2  (a  0i )(c  0i )  ac
Như vậy: i 2  i.i  (0  1i)(0  1i )  (0.0  1.1)  (0.1  1.0)i  1
1.2.Các phép toán
Khi thực hành cộng và nhân hai số phức, chỉ cần thực hiện theo quy tắc cộng và nhân đa thức với chú ý
i 2  1 .
Ví dụ: Tính
a. (58−i)+(2−17i) b. (6+3i)(10+8i) c. (4+2i)(4−2i)
Bài giải
a. (58−i)+(2−17i)=58−i+2−17i=60−18i
b. (6+3i)(10+8i)=60+48i+30i+24i2=60+78i−24=36+78i
c. (4+2i)(4−2i)=16−(2i)2=16+4=20 .
Phép nhân hai số phức , cho ta đẳng thức : ( a  bi )( a  bi)  a 2  b 2 .
Bây giờ xét đến phép trừ và chia hai số phức.
Ví dụ :
(58  i )  (2  17i)  58  i  2  17i  56  16i
6  3i (6  3i) (10  8i) 60  48i  30i  24i 2 84  18i 84 18 21 9
= . =    i=  i
10  8i (10  8i ) (10  8i) 100  64 164 164 164 41 82
5i 5i (1  7i ) 35  5i 7 1
=    i
1  7i (1  7i)(1  7i ) 50 10 10
Số đối của số phức z ký hiệu –z , thỏa mãn z + (−z) = 0
Trong trường ℂ ta có  z  (1).z  a  bi
Hiệu hai số phức z1 , z 2 : z1  z 2  z1  (  z2 )
Nên z1  z2  z1  ( z2 )  (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i
Số nghịch đảo của số phức z (z ≠ 0) là một số phức ký hiệu z−1 sao cho z.z−1=1.
Số nghịch đảo của số phức được làm rõ qua đoạn sau:
Giả sử z 1  u  vi là số nghịch đảo của z  a  bi ,
z.z 1   a  bi  u  vi    au  bv    av  bu  i  1
 a
 au  bv  1 u  a 2  b 2
 a b
Nên  ⇒  ⇒ z 1  2  2 i.
 av  bu  0  v  b a  b a  b2
2

 a 2  b2
Mọi số phức z khác 0 tồn tại số nghịch đảo z−1.
Định nghĩa thương hai số phức.
z1
Cho hai số phức z1, z2 (z2≠ 0)  z1.z2 1

z2
Theo định nghĩa trên , ta có
Ví dụ :
6  3i 10 8 5 2
 (6  3i )(10  8i ) 1 , vì (10  8i ) 1  2 2  2 2 i   i
10  8i 10  8 10  8 82 41

2. 6  3i  5 2   5 2  5 2  21 9
 (6  3i )   i    6.  3.    3.  6.  i   i
10  8i  82 41   82 41   82 41  41 82
Ta có lại kết quả trước đây khi tiến hành chia hai số phức một cách hình thức.
Dựa vào nhận xét này, ta có thể tiến hành chia hai số phức mà không cần bận tâm đến công thức tìm số
nghịch đảo của số phức.
3  i (3  i )(1  i) 2  4i
Chẳng hạn    1  2i
1  i (1  i )(1  i ) 2
1 10  8i 10  8i 5 2
hay (10  8i )1    2 2   i
10  8i 10  8i  (10  8i ) 10  8 82 41
2.Bất đẳng thức tam giác
2.1 Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của z  a  bi ( ký hiệu z ) là z  a  bi .
(nói cách khác chỉ cần đối dấu phần ảo của z, ta được z )
Một số tính chất của số phức liên hợp
 z1  z1
z  z, z1  z2  z1  z2 , z1.z2  z1.z2 ,  
 z 2  z2
Ví dụ : Tính
a. z , z  3  15i b. z1  z2 , z1  5  i, z2  8  3i c. z1  z2 , z1  5  i, z2  8  3i
Bài giải
a. z  3  15i  z  3  15i  3  15i  z
b. z1  z2  13  2i  z1  z2  13  2i  13  2i
c. z1  z2  5  i  (8  3i )  5  i  (8  3i)  13  2i
Với số phức z  a  bi , ta có
z  z  a  bi  (a  bi)  2a, z  z  a  bi  (a  bi )  2bi
2.2 Môđun của số phức
Cho z  a  bi , Môđun của z ký hiệu |z|,
| z | a 2  b2
Môđun của một số phức là số thực không âm.
z là số thực ( z  a  0i ), | z | a 2 | a | . Vậy Môđun của một số thực chính là giá trị tuyệt đối của số ấy.
| z |2  a 2  b2  a 2 | z || a | ≥ a.
Tương tự | z || b | b
Các hệ thức diễn tả mối quan hệ giữa Môđun và số liên hợp của z:
z.z  (a  bi )(a  bi )  a 2  b 2 ⇒ z.z | z |2
z1 z1 z2 zz
| z || z | , |  z || z | ,   1 22
z2 z 2 z2 | z2 |
6  3i
Ví dụ:Tính
10  8i
Bài giải
z1  6  3i, z2  10  8i, z2  10  8i,| z |2  164
6  3i (6  3i )(10  8i) 60  48i  30i  24i 2 21 9
    i
10  8i 164 164 41 82
Tính chất của Môđun số phức
z1 | z1 |
| z | 0  z  0 , | z1 z2 || z1 || z2 | , 
z2 | z2 |
Thật vậy:
| z | 0  a 2  b 2  0  a  b  0  z  0
2
z1 z2  ( z1 z2 )( z1 z2 )  ( z1 z2 )( z1 z2 )  z1 z1 z2 z2 | z1 |2 | z2 |2 | z1 z2 || z1 || z2 |
Trang 2

3. 2.3 Bất đẳng thức tam giác
Mối quan hệ giữa Môđun số hạng và Môđun tổng hai số phức: | z1  z2 || z1 |  | z2 |
Chứng minh
| z1  z2 |2  ( z1  z2 )( z1  z2 )  ( z1  z2 )( z1  z2 )
⇒ | z1  z2 |2  z1 z1  z1 z2  z2 z1  z2 z2
Lưu ý rằng z2 z1  z2 z1  z2 z1 Nên
z1 z2  z2 z1  z1 z2  z1 z2  2e( z1 z2 )  2 | z1 z2 | 2 | z1 || z2 | 2 | z1 || z2 | z1 z1 | z1 |2 ; z2 z2 | z2 |2
| z1  z2 |2  z1 z1  z1 z2  z2 z1  z2 z 2 | z1 |2  z1 z2  z2 z1  | z2 |2 | z1 |2 2 | z1 || z2 |  | z2 |2  (| z1 |  | z2 |)2
Nên | z1  z2 || z1 |  | z2 |
| z1 || z1  z2  z2 || z1  z2 |  |  z2 || z1  z2 |  | z2 | | z1  z2 || z1 |  | z2 | 0
(giả sử | z1 || z 2 | , | z1 || z 2 | luôn đúng)
Tương tự
| z1  z2 || z2 |  | z1 | (| z1 |  | z 2 |)  0
(giả sử | z1 || z 2 | , | z1 || z2 | luôn đúng)
Do đó | z1  z2 ||| z1 |  | z2 ||
Bây giờ thay z2 bởi –z2, ta có
| z1  z2 || z1 |  | z2 |
| z1  z2 ||| z1 |  | z2 ||
3.Dạng lượng giác và dạng mũ
3.1 Biểu diễn hình học của số phức
Xét mặt phẳng Oxy, mỗi số phức z  a  bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) hoặc
Vectơ có tọa độ (a;b)
Trục Ox gọi là trục thực, Oy gọi là trục ảo, mặt phẳng trên gọi là mặt phẳng phức.
3.2 Dạng lượng giác
Xét số phức z  a  bi ≠ 0, M(a;b) trong mặt phẳng phức. Số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia
đầu Ox, tia cuối OM gọi là một acgumen của z.
Cho z  a  bi ≠ 0
 a  r cos 
|z| = r >0, θ là acgumen của z. Khi đó 
b  r sin 
z  a  bi  r (cos   i sin  ) : dạng lượng giác của số phức.
Trang 3

4. Lưu ý
 r | z |

z  a  bi, a  0 :  b , θ sai khác k2π, thường chọn     
 tan   a


a=0, chọn   .
2
Vi dụ. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác
z  1  3i
z = −9
z = 12i
Bài giải
r=|z|= 1  3  2
3 2  2 2 
     , tan    ⇒ z  2  cos  i sin 
1 3  3 3 
  
Không được viết: z  2   cos  i sin  : dấu trừ trước cosin!
 3 3
  
Cũng như z  2  cos  i sin  : r < 0
 3 3
 r  81  0  9

 ⇒ z  9  cos   i sin  
  

 r  144  0  12
   
  ⇒ z  12  cos  i sin 
   2 2
 2
3.3 Dạng mũ của số phức
Công thức Euler
ei  cos   i sin  .
Dùng công thức trên số phức có thể được viết dưới dạng mũ:
z  r (cos   i sin  )  rei
Làm việc với số phức dạng mũ có nhiều tiện lợi :
| z || rei || r || cos   i sin  | r 2  0 cos 2   sin 2   r
1 1
Với z≠ 0, z 1  ( rei ) 1  r 1e i  ei (  ) ⇒ z 1  cos     i sin    
r r 
z1 z2  (r1ei1 )(r2ei 2 )  r1r2ei (1 2 )  z1 z2  r1r2 cos 1  2   i sin 1   2  
 
z1 r1ei1 r1 i (1 2 ) z r
 i2  e  1  1 cos 1   2   i sin 1  2   , z2  0
z2 r2 e r2 z2 r2  
Lưu ý
acgumen( z1 z2 )  acgumen z1  acgumen z2
z
acgumen 1  acgumen z1  acgumen z2
z2
z1  r1ei1 , z2  r2 ei2
r  r .
z1  z 2   2 1 ( k  )
 2  1  2k
4.Lũy thừa và khai căn
4.1 Lũy thừa với số mũ n nguyên dương
Cho z là số phức có |z| = r, θ là một acgumen của z. Tức là
z  rei .
z n  ( rei ) n  r n ein
Trang 4

5. n
  r  cos   i sin     r n  cos n  i sin n  :công thức Moivre
 
Ví dụ: Tính (3  3i )5
Bài giải
3 
r  9  9  3 2 , tan   , chọn  
3 4
5
    5 5
 3  3i   3 2  cos  i sin    3 2  cos  i sin 
5
5


 4

4 

 4

4 
 
 2 2 
 2  2 i   972  972i
 972 2   
 
4.2 Căn bậc n của số phức
Khi r =1, ta có (cos   i sin  ) n  cos n  i sin n .
Trước hết tìm căn bậc n của đơn vị, tức là tìm số phức z sao cho z n  1 .
n
Giả sử nghiệm z  rei   rei   1  r n ein  1ei 0
r  1
r n  1 
Nên  ⇒  2 k . k  
 n  0  2k 
 n
2 k
i
n
2 k 2 k
Do đó căn bậc n của đơn vị là n sô phân biệt e  cos  i sin , k  0,1, 2, n  1 .
n n
Ví dụ: Giải phương trình z 2  1 , z 3  1 , z 4  1
Bài giải
2 k
i
Căn bậc hai của đơn vị gồm hai số k  e 2
 ei k , k  0;1
0  e 0  1 .
1  ei  cos   i sin   1
2 k
i
Căn bậc ba của đơn vị gồm ba số k  e 3
, k  0;1; 2
0
0  e  1
2
i 2 2 1 3
1  e 3
 cos  i sin   i
3 3 2 2
4
i 4 4 1 3
2  e 3
 cos  i sin   i
3 3 2 2
2 k k
i i
Căn bậc bốn của đơn vị gồm bốn số k  e 4
e 2
, k  0;1; 2;3
0
0  e  1

i  
1  e 2  cos  i sin i
2 2

i
2  (e 2 ) 2  ei  cos   i sin   1
 3
i 3 i 3
3  (e 2 )3  e  i sin2
 i
 cos
2 2
Lưu ý : tổng các căn bậc n của đơn vị bằng 1. Thật vậy
2 k
i
Các căn bậc n của đơn vị là k  e n
, k  0;1; 2;; n  1
2
 i 
 k 0 1k  1     n 1 ,    e n 
k
n
 
n
1
  0 , (  n  ei 2  cos 2  i sin 2  1 )
1 
Trang 5

6. Xét căn bậc n ( n   , n>1)của một số phức w tùy ý . Tức là tìm nghiệm phương trình z n  w . Giả sử
R=|w|, α là một acgumen của w. Tức là w  Rei
r =|z|, θ là một acgumen của z. Tức là z  r ei
(rei )n  Rei  r n eni  Rei
  2 k
suy ra r  n R ,   , k  .
n
Vậy căn bậc n của w  Rei là n số phân biệt:
  2 k 
i      2 k    2 k  
ak  n R e  n n 
 n R  cos     i sin    , k=0,1,2… n−1.
 n n  n n  
Ví dụ: Tìm
Căn bậc hai của 2i, Căn bậc ba của 3 i
Bài giải
 
i i (  k )
4
2i  2e 2 . Căn bậc hai của 2i có hai giá trị: ak  2e , k=0,1

i
4   
a0  2e 2  cos  i sin   1  i
 4 4
  5
i    i  5 5 
a1  2e  4 
 2e 4
 2  cos  i sin   1  i .
 4 4 
 
i  
6
3  i  2e  . Có 3 giá trị căn bậc ba là:
  2 k 
i   
ak  3 2e  18 3 
, k=0,1,2
  
   
i  
  
a0  3 2e  18 
 3 2  cos     i sin      1, 24078  0, 21878i
  18   18  
 2 11
i(  ) i  11 11 
a1  3 2e 18 3  3 2e 18  3 2  cos  i sin   0, 43092  1,18394i
 18 18 
  2 2  23
i    i  23 23 
a2  3 2e  18 3 
 3 2e 18
 3 2  cos  i sin   0,80986  0,96516i
 18 18 
Lưu ý .
Với w≠ 0, các căn bậc n (n ≥ 3) của w biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi các đỉnh n giác đều nội tiếp
đường tròn bán kính n R , R | w | .
Mục lục
1.Tập số phức và các phép toán
1.1Định nghĩa tập số phức
1.2.Các phép toán
2.Bất đẳng thức tam giác
2.1 Số phức liên hợp
2.2 Môđun của số phức
2.3 Bất đẳng thức tam giác
3.Dạng lượng giác và dạng mũ
3.1 Biểu diễn hình học của số phức
3.2 Dạng lượng giác
3.3 Dạng mũ của số phức
4.Lũy thừa và khai căn
4.1 Lũy thừa với số mũ n nguyên dương
4.2 Căn bậc n của số phức
Trang 6