ôn tập

1. 3.1 Cho ∆DEF có DF = 24cm. L y P, Q l n lư c thu c DE và DF sao cho
EP = 10,5cm và DQ = 9cm. Bi t PQ // EF. Tính DP.
3.2 Cho ∆ABC, ñư ng th ng song song v i c nh BC c t AB, AC l n lư t t i M và N. Bi t AM = 17cm, BM
= 10cm, CN = 9cm. Tính AN.
3.3 Cho ∆PQR, ñư ng th ng song song v i c nh QR c t PQ, PR l n lư t t i E và F. Bi t PF = 20cm, FR =
15cm, EP = 16cm. Tính PQ.
3.4 Cho ∆ABC, có AB = 5cm, BC = 6,5cm. Trên AB l y ñi m D sao cho
DB = 3cm, t D v ñư ng th ng song song v i BC c t AC t i E. Tính DE.
3.5 Cho ∆OPQ, có PQ = 5,2cm. Trên tia ñ i c a tia OP l y ñi m N sao cho ON = 2cm. T N v ñư ng th ng
song song v i PQ c t ñư ng th ng OQ t i M. Tính ñ dài ño n th ng OP khi MN = 3cm.
3.6 Cho ∆ABC, có AB = 12cm, AC = 20cm và BC = 28cm. Trên các c nh AB, BC, CA l n lư t l y các ñi m
P, N, M sao cho AP = 3cm,
BN =
1
BC
4
, 3AM = MC. Ch ng minh: BNMP là hình bình hành.
3.7 Cho ∆OAB vuông t i A, có OA = 6cm. Trên tia ñ i c a tia OA l y A′ sao cho
1
BC
4
. T A′ v ñư ng
vuông góc v i AA′ t i A′, ñư ng th ng này c t OB kéo dài t i B′. Tính OB và AB, bi t A′B′ = 4,2cm.
3.8 Cho góc xÔy. Trên tia Ox l y theo th t 2 ñi m A, B sao cho:
OA = 2cm, AB = 3cm. Trên tia Oy l y ñi m C v i OC = 3cm. T B k ñư ng th ng song song v i AC
c t Oy t i D.
a) Tính ñ dài ño n th ng CD.
b) N u OA = m, AB = n, OC = p. Tính CD theo m, n, p.
3.9 G i G là tr ng tâm c a ∆ABC. T G k các ñư ng th ng song song v i 2 c nh AB và AC, c t BC l n
lư t t i D và E.
a) So sánh các t s
BD
BC
và
EC
BC
.
b) So sánh 3 ño n th ng BD, DE, EC.
3.10 Cho ∆ABC có ñư ng cao AH. ðư ng th ng d song song v i BC, c t các c nh AB, AC và ñư ng cao AH
theo th t t i các ñi m B′, C′ và H′.
a) Ch ng minh:
AH' BC'
AH BC
=
b) Cho AH′ =
3
1
AH và di n tích ∆ABC là 67,5cm2
. S∆AB′C′.
3.11 Cho ∆ABC có AB = 7,5cm. Trên AB l y ñi m D v i:
DB 1
DA 2
= .
a) Tính ñ dài ño n th ng DA, DB.
b) G i DH, BK l n lư t là kho ng cách t D, B ñ n AC. Tính
BD
BC
.
c) Cho bi t AK = 4,5cm. Tính HK.
3.12 Cho ∆ABC có BC = a. Trên ñư ng cao AH l y các ñi m I, K sao cho
AK = KI = IH. Qua I và K v các ñư ng EF // BC, MN // BC.

2. a) Tính ñ dài các ño n th ng MN và EF theo a.
b) Tính SMNFE, bi t a = 15cm và S∆ABC = 270cm2
.
3.13 Cho hình bình hành ABCD. G i E, F, G l n lư t là trung ñi m c a AB, BC, CD. Dùng ñ nh lý Talét ñ
ch ng minh:
a) 2 ño n th ng DE và BG chia AC thành 3 ño n b ng nhau.
b) AG và AF chia BD thành 2 ño n b ng nhau.
3.14 Cho hình thang ABCD (AB // CD). M t ñư ng th ng song song v i 2 ñáy, c t c nh bên AD M và c t
c nh BC N. Bi t
AB CB 2
AD CD 3
= = . Ch ng minh:
AB CB 2
AD CD 3
= =
3.15 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai ñư ng chéo AC và BD c t nhau t i O. G i M, N theo th t
là trung ñi m c a BD và AC. Cho bi t MD = 3MO, ñáy l n CD = 5,6cm.
a) Tính ñ dài ño n th ng MN và ñáy nh AB.
b) So sánh ñ dài ño n MN v i n a hi u các ñ dài c a CD và AB.
3.16 Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). G i trung ñi m c a các ñư ng chéo AC, BD theo th t là
N và M. Ch ng minh:
a) MN // AB b)
CD AB
MN
2
−
=
3.17 Cho ∆ABC. T D trên c nh AB, k ñư ng th ng song song v i BC c t AC t i E.
a) Ch ng minh:
AB CB 2
AD CD 3
= = .
b) Trên tia ñ i c a tia CA, l y ñi m F sao cho CF = DB. G i M là giao ñi m c a DF và BC. Ch ng minh:
DM AC
MF AB
= .
3.18 Cho hình bình hành ABCD. M t ñư ng th ng qua A l n lư t c t BD I, BC J và CD K.
a) So sánh
IB
ID
và
IB
ID
b) Ch ng minh: IA2
= IJ . IK
c) Ch ng minh:
DC BJ
DK BC
= .
3.19 Cho hình thang ABCD (AB // CD). M là trung ñi m c a CD. G i I là giao ñi m c a AM và BD, K là giao
ñi m c a BM và AC.
a) Ch ng minh: IK // AB.
b) ðư ng th ng IK c t AD, BC theo th t t i E và F.
Ch ng minh: EI = IK = KF.
3.20 Cho ∆ABC. ði m D thu c c nh BC. Qua D k các ñư ng th ng song song v i AC, AB c t AB, AC l n
lư t t i E và F.
a) Ch ng minh:
AE AF
1
AB AC
+ =
b) Xác ñ nh ñi m D trên BC ñ EF // BC.
c) N u
DB 1
DC 2
= , ch ng minh: EF song song v i trung tuy n BM.

3. 3.21 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có các ñư ng chéo c t nhau t i O.
a) Ch ng minh: OA . OD = OB . OC
b) K m t ñư ng th ng b t kỳ qua O c t AB M, CD N. Bi t
MA m
MB n
= . Tính
ND
NC
. Áp d ng ñ
ch ng minh ñ nh lý: “Trong m t hình thang, ñư ng th ng ñi qua giao ñi m c a 2 ñư ng chéo và trung
ñi m c a m t ñáy thì ñi qua trung ñi m c a ñáy kia”
c) Qua O, k ñư ng th ng song song v i AB, c t AD và BC l n lư t t i P và Q. Ch ng minh: O là trung
ñi m c a ñư ng th ng PQ.
3.22 Cho t giác ABCD. Qua E ∈ AD k ñư ng th ng song song v i DC c t AC G. Qua G k ñư ng th ng
song song v i CB c t AB H. C.minh:
a) HE // BD b) AE . BH = AH . DE
3.23 Cho t giác ABCD. Trên các c nh AB, BC, CD, DA l y theo th t các ñi m E, F, G, H sao cho: AE =
2EB, BF =
1
2
FC, CG = 2CD,
DH =
1
2
HA. Ch ng minh: EFGH là hình bình hành.
3.24 Cho hình bình hành ABCD. Qua A v tia Ax c t BD I, BC J và c t tia DC K. Ch ng minh: IA2
= IJ
. IK và tích KD.BJ không ñ i.
3.25 Cho hình thang ABCD, ñáy nh CD. T D v ñư ng th ng song song v i BC c t AC M, AB N. T C
k ñư ng th ng song song v i AD c t AB F. Qua N k ñư ng th ng song song v i AC c t BC P.
Ch ng minh: MP // AB và 3 ñư ng th ng MP, CF và DB ñ ng qui.
3.26 Cho ∆ABC (AC > AB). L y các ñi m D, E tùy ý th t n m trên các c nh AB, AC sao cho BD = CE. G i
K là giao ñi m c a các ñư ng th ng DE và BC. Ch ng minh: t s
KD
KE
không ph thu c vào cách ch n
các ñi m D và E.
3.27 Cho ∆ABC, trung tuy n AM. G i I là ñi m b t kỳ trên c nh BC. ðư ng th ng qua I và song song v i AC
c t AB K, ñư ng th ng qua I và song song v i AB c t AM, AC l n lư t D và E. Ch ng minh: DE =
BK.
3.28 Cho hình thang ABCD (AB // CD). ðư ng th ng a song song v i DC, c t các c nh AD và BC theo th t
t i E và F. Ch ng minh:
a)
AE BF
ED FC
= b)
AE BF
AD BC
= c)
DE CF
DA CB
=
3.29 Cho hình bình hành ABCD. V m t ñư ng th ng c t AB E, AD F, AC G. Ch ng minh:
AB AD AC
AE AF AG
+ =
3.30 Cho hình thang ABCD (AB // CD). Hai ñư ng chéo AC và BD c t nhau t i O. ðư ng th ng a qua O và
song song v i ñáy c a hình thang c t các c nh bên AD, BC theo th t t i E và F. Ch ng minh: OE = OF.
3.31 Cho ∆ABC. Trên hai c nh AB, AC l n lư t l y 2 ñi m M và N sao cho:
AM AN
AB AC
= . G i I là trung ñi m
c a BC, AI c t MN K. Ch ng minh: K là trung ñi m c a MN.
Áp d ng ch ng minh: Trong m t hình thang có 2 c nh bên không song song, giao ñi m c a các ñư ng
th ng ch a hai c nh bên, giao ñi m c a 2 ñư ng chéo và trung ñi m c a 2 ñáy cùng n m trên m t ñư ng
th ng.
3.32 Cho hình bình hành ABCD. Trên c nh AB l y m t ñi m M và trên c nh CD l y m t ñi m N sao cho DN
= BM. C/minh: MN, DB, AC ñ ng qui