Qüestions i problemes del tema 1

COM RESOLDRE PROBLEMES?
•

Llig atentament l'enunciat. No podem deixar escapar cap detall, a vegades hi ha
paraules o dades que són molt importants.

•

Escriu les dades numèriques amb les seues unitats (es recomana utilitzar el SI, però
pots fer ús d’altres unitats de forma coherent) que podem extreure de l'enunciat .
Classifica el tipus de problema: MHS; MOH; PROPIETATS D’ONES...
Aclareix què se'ns demana? A vegades en un enunciat hi ha més d'una pregunta.
Fes un dibuix esquemàtic sobre la situació que reflexa l'enunciat. Aquest esquema ha
d'incloure els valors de les magnituds conegudes i també els símbols de les incògnites.
Fes una previsió del resultat que ha de tenir el problema (positiu, negatiu, quin
interval de valors pot prendre ...).
Descriu (mentalment o per escrit) i planifica les diferents etapes del procés a seguir
per a la resolució del problema. Pots utilitzar diagrames i diferenciar etapes.
Realitza els càlculs, tant numèrics com de les unitats. Sempre hauràs de ser coherent
en les unitats. Recorda que la fase cal expressar-la en radiants. Per això, per fer
càlculs amb la calculadora utilitza el MODE RAD.
Analitza el resultat obtingut. Ha de ser del tot coherent amb l'enunciat i la situació,
alhora ha d'estar d'acord amb la previsió feta. Si aquesta anàlisi és negativa aleshores
cal localitzar les possibles errades.
Dona el resultat obtingut amb les unitats corresponents, i fes una valoració d’aquest.

•
•
•
•
•
•
•

PROBLEMA TÍPIC: PROCEDIMENT GENERAL DE RESOLUCIÓ.

Problema tipus: determinació de l’equació del MHS

La Xarxa d’Instruments Oceanogràfics i Meteorològics (XIOM) fa servir boies
marines per a estudiar l’onatge. De les estadístiques dels últims deu anys es pot
extreure que, de mitjana, l’onatge a la costa valenciana té una alçada (distància entre
el punt més baix i el més alt de l’onada) de 70 cm i un període de 5 s. Escriviu l’equació
del moviment d’una boia que es mou com aquesta onada mitjana.

• Suposa que el moviment de
la boia és MHS.
• Fes un anàlisi de l’enunciat i
identifica les dades: A i T.
Determina la pulsació.
• Utilitza una equació de
referència i suposa unes
condicions inicials.
• Aplica les condicions del
problema a l’equació per
determinar l’equació de la
boia.

•

Con 2·A = 70 cm → A = 35 cm (0,35 m) i
T = 5 s. Per això:

ω = 2·π / T = 0,4·π Hz.
• L’equació de referència és:
Y(t) = A sin (ω·t + Ф)
Si suposen;
quan t = 0 → Y = 0; la fase inicial és 0
• L’equació de la boia és:
Y(t) = 0,35 m· sin 0,4·π·t

Problema tipus: determinació de l’equació del MHS

Una partícula vibra de manera que tarda 0,50 s a anar des d’un extrem a la posició
d’equilibri, desplaçant-se 8 cm. Si per a t = 0 l’elongació és 4,0 cm,velocitat
positiva, estableix l’equació de l’elongació i la velocitat en funció del temps.
RECORDA LA FASE EN RADIANTS

• Determina el període i l’amplitud
del MHS.
• Calcula la pulsació: ω= 2π/T
• Utilitza una equació general de
referència:
x(t) = A sin(ω·t + φ)
• Determina la fase inicial a partir
de les condicions inicial.
• Escriure l’equació de l’elongació.
• Deriva la funció de l’elongació per
determinar la funció de la
velocitat.

El temps que tarda des de l’extrem al punt d’equilibri
correspon a T/4. Per això, 0,5 s = T/4 , T = 2 s i l’amplitud
(distància extrem- centre) A = 8 cm.
La pulsació és : ω = π rad/s
L’equació de referència és:
X = A sin (π·t + φ), on A = 8 cm
Per determinar la fase inicial (φ) cal tenir en compte que
si t = 0 s →x = 4 cm
4 cm = 8 cm sin Ф → sin Ф = 0,5 →Ф = π/6 o 5π/6
Però com la velocitat és positiva, V = Vm cos Ф, cal
escollir: π/6
Equació elongació: x (t) = 8 cm sin (π·t + π/6)
Al derivar l’elongació s’obté l’equació de la velocitat:
V (t) = 8· π cos (π·t + π/6) cm/s

Problema tipus: anàlisi equació MHS

• El valor màxim de la posició
és
l’amplitud.
Compara
l’equació amb la general del
MHS i calcula A.
• Per determinar l’equació de la
velocitat deriva l’elongació.
Imposa la condició de màxim,
la funció sin o cos = +/- 1.
• Per determinar l’equació de
l’acceleració
deriva
la
velocitat. Imposa la condició
de màxim, la funció sin o cos
+/- 1.

La velocitat d’una partícula amb MHS correspon a l’equació:
(en unitats del SI)

Problema tipus: anàlisi equació MHS

Determina l’amplitud (A), el període (T) i la freqüència (N).
Si la partícula té una massa de 300 g, quin és el valor màxim de la força resultant?

• Al comparar identifiquem:
ω = 20 π rad/s → N = 20 π/ 2π = 10 Hz
T = 1/N = 0,1 s
Com V m = 10·π m/s → A =10π/20π = 0,5 m
Com en un MHS a = - ω2 x i la força
resultant és : F resultant = m·a = - m ω2 x
D’altra banda F resultant = - K x.
En conseqüència: K = m ω 2
K = 0,3 kg (20 π) 2 = 120 π2 N /m
Finalment:
F màxima = 0,5 m· 120 π2 N /m = 60 π2 N

Problema tipus: anàlisi d’una gràfica del MHS

La gràfica representa l’elongació en funció del temps d’un cos amb
MHS. Analitza-la i calcula:
a) El període i la freqüència.
B) La rapidesa i l’acceleració màxima de vibració.

• Analitza la gràfica per
determinar el període i
calcula la freqüència.
• Recorda que la V màx = Aω i
que l’a màx = Aω2. Per això,
has de calcular ω i
l’amplitud
(analitza
la
gràfica)

• La gràfica permet calcular el temps de
mig cicle; T/2 = 10 s. Per tant,
T = 20 s i N = 1/20 Hz.
• La pulsació del MHS és :
ω = (2·π / 20) Hz = 0,1·π Hz.
Segons la gràfica l’amplitud és 10 cm
• La v màxima = 10 cm·0,1π Hz = π cm/s
• L’a màxima = π·0,1 π cm/s2 = 0,1 π2 cm/s2

Una partícula realitza el moviment harmònic representat en la figura:
a) Calcula l’amplitud, la freqüència angular i la fase inicial d’aquest
moviment. Escriu l’equació del moviment en funció del temps.
b) Calcula la velocitat i l’acceleració de la partícula en t = 2 s.

Problema tipus: anàlisi d’una gràfica del MHS

0,25

PROCEDIMENT

RESOLUCIÓ

V+

1,25
T

V-

Problema tipus: característiques del MH S a partir de gràfics

El gràfic annex representa la variació de la rapidesa
amb el temps d’un cos amb MHS. Analitza’l i :
a) Determina la freqüència, el període i l’amplitud
del mòbil.
B) Escriu l’equació que represente la variació de la
posició amb el temps.

• Utilitza la gràfica per calcular el
període i la rapidesa màxima.
• Determina la freqüència i la
pulsació (ω). Aplica la relació
entre la rapidesa màxima i la
pulsació per calcular l’amplitud.
• Com la rapidesa inicial és nul·la la
partícula comença des d’un
extrem cap l’origen en sentit
positiu. Per la qual cosa, utilitza
de referència la funció cosinus.
• Escriu l’equació general de
l’elongació en funció del temps i
determina els valors.

1,6

6.3


El gràfic annex representa la variació de l’acceleració
amb el temps d’un cos amb MHS. Analitza’l i :
a) Determina la freqüència, el període i l’amplitud
del mòbil.
B) Escriu l’equació que represente la variació de la
posició amb el temps.

•
•

•

•

Utilitza la gràfica per calcular el període
i l’acceleració màxima.
Determina la freqüència i la pulsació
(ω). Aplica la relació entre la rapidesa
màxima i la pulsació per calcular
l’amplitud.
Com l’acceleració inicial és màxima i
negativa i, per tant,
la partícula
comença des de l’extrem x = + A, cap
l’origen en sentit negatiu (velocitat
nul·la). Per la qual cosa, utilitza de
referència la funció cosinus.
Escriu l’equació general de l’elongació
en funció del temps i determina els
valors.

1,6
6.3

Problema tipus: anàlisi dinàmic d’un MHS

Una massa de 250 g suspesa d'una molla oscil·la verticalment amb una freqüència
d'1,5 Hz. Quant val la constant recuperadora k de la molla?

• Cal tenir en compte la
relació: K = m ω 2 . Per
això s’ha de calcular ω i
després aplicar la relació.

• Càlcul de ω:
ω = 2·π·1,5 Hz = 3·π Hz
Per tant;
K = 0,250 kg·(3·π Hz) 2 = 2,25·π 2 N/m

ATENCIÓ A LES UNITATS, TREBALLA EN UNITATS DE SI
(TOTES LES MAGNITUDS) PER EVITAR ERRADES

Problema tipus: relació entre la K i ω en un MHS

Una mosca (Musca domestica) de 0,30 g de massa queda enganxada en una teranyina
d'una aranya que vibra amb una freqüència N = 15 Hz.
(a) Què val la constant elàstica de la teranyina?
(b) Amb quina freqüència vibrarà si hi queda enganxat un mosquit (Anopheles
maculipennis) de 0,10 g de massa?

• La
constant
elàstica
està
relacionada
amb
la
força
recuperadora del MHS:
F = K· x = m· ω2 x. Per això;
K = m·ω2
Per calcular K s’ha de calcular ω.
•Donat que el mosquit s'enganxa a
la mateixa teranyina és manté K i
canvia la pulsació de vibració. Per
calcular la N s’ha de calcular la nova
pulsació a partir de K i m.

• La pulsació del MHS de la
mosca és:
ω = 2·π· 15 Hz = 30·π Hz
I la constant elàstica és:
K = 0,30·10-3 kg· (30·π)2 = 2,7 N/m
• La nova pulsació és:
K
m

2,7
164,31Hz
0,0001

Per això, la nova freqüència és:
N = ω/2·π = 26,15 Hz

Problema tipus: càlcul del període d’un sistema en MHS

Quin dels sistemes, representats en les figures
annexes, té un major període de vibració?

• Cal diferenciar el tipus de
sistema per calcular el
període:
• Massa amb ressort has
d’aplicar la relació:

• Sistema a (ressort):
T

2·

10
400

1s

• Sistema b (ressort)
T

• Pèndol simple:

2·

5
800

0,5s

2
9,8

2,8s

• Sistema c (pèndol):
T

2·

Problema tipus: Anàlisi de la relació del període d’un ressort

Per a estudiar les característiques del MHAS fem oscil·lar subjectes a una molla
diferents masses i calculem el temps invertit en 5 oscil·lacions, com mostra la taula.
a) Afegeix a la taula una columna amb els valors de T i altra amb els de T 2 .
b) Representa gràﬁcament T 2 enfront de m; quina conclusió n’obtens? Justiﬁcala des del punt de vista teòric. Finalment, determina la constant elàstica de la
molla?

PROCEDIMENT

RESOLUCIÓ
• La nova
taula és:
• La representació gràfica és:
Interpretació:
El quadrat del període
és
directament
proporcional
a
la
massa.
L’equació és:
T2 (s2)= 0,793 m (kg)

Problema tipus: anàlisi energètic del MHS

El següent diagrama representa diferents partícules que vibren amb MHS.
Totes vibren al voltant del mateix punt d’equilibri amb la mateixa amplitud
(20 cm). Analitza els diagrames i, per a la situació representada, indica quin
sistema té:
A) Més energia mecànica.
B) Més energia potencial.
C) Més energia cinètica.

Procediment • L’energia mecànica d’un MHS és
Em = 0,5 K A2, com tots tenen la
mateixa amplitud quan major
siga K més gran serà l’energia
mecànica (a, c, d).
• L’energia
potencial
és
determinada per Ep = 0,5 K x2,
com al cas c la K és major i X = A
l’energia potencial és major.
• La major energia cinètica
correspon al de menor energia
potencial amb idèntica energia
mecànica. En conseqüència, serà
el d.

Un cos de 400 g de massa es connecta a un ressort elàstic de K = 10 N/m i el sistema oscil·la amb
un moviment harmònic de 20 cm d’amplitud. Calcula:
a) L’energia cinètica i potencial del sistema quan l’elongació del cos és de 10 cm.
B) L’acceleració i la velocitat màxima del cos.

Problema tipus: Estudi energètic del MHS

PROCEDIMENT
•
•
•

•
•

Analitza l’enunciat i determina
les dades.
Aplica la fórmula de l’energia
potencial d’un cos en MHS.
Per determinar l’energia cinètica
calcula, en primer lloc, l’energia
mecànica (energia potencial
màxima). Desprès determina
l’energia cinètica per diferencia.
Per calcular l’acceleració i
velocitat màxima de vibració has
de calcular la pulsació (ω).
Aplica les formules operatives de
la rapidesa i l’acceleració
màxima.

RESOLUCIÓ


Les gràfiques següents representen la variació de la posició en funció del
temps per a dos mòbils amb MHS. Analitza les representacions i determina:
MÒBIL A

MÒBIL B

PROCEDIMENT- RESOLUCIÓ
1)

1) Les condicions inicials de cada
mòbil.
2) El període i la pulsació de cada
mòbil.
3) La rapidesa màxima de cada
mòbil.
4) Si el mòbil A té una massa de
400 g i el mòbil B de 1 kg,
l’energia mecànica de cada
mòbil.

Mòbil A (x = - 5 cm, velocitat
negativa); mòbil B (x = 10 cm, velocitat
positiva).
2) Mòbil A (T= 2 s; ω = 2·π/T = π Hz);
mòbil B (T = 4 s, ω = π/2).
3) La rapidesa màxima correspon a :
v màxima = A·ω.
Mòbil A ( Vm = 0,1·π m/s).
Mòbil B (Vm = 0,2·π/2= 0,1 π m/s).
4) L’energia cinètica màxima correspon a
l’energia mecànica de cada mòbil. Al
mòbil A és:
Em= 0.5·0.4 (0,1·π)2 =0,02 J
I al mòbil B és:
Em= 0.5·1· (0,1·π)2 =0,05 J

Problema tipus: determinació del valor de la velocitat

L’èmbol d’una màquina de vapor té un recorregut D = 100 cm i comunica a l’eix una
velocitat angular de 60 rpm. Si considerem que el moviment de l’èmbol descriu un
moviment harmònic simple, calcula el valor de la velocitat que té quan és a una distància
de 20 cm d’un dels extrems del recorregut.

TREBALLA EN UNITATS DEL S.I.
PER EVITAR ERRADES
FES UNA LECTURA ATENTA DE
L’ENUNCIAT I IDENTIFICA LES DADES.
RECORDA QUE EL RECORREGUT DEL
PISTÓ ÉS 2·A.
UTILITZA L’EQUACIÓ GENERAL DEL
MHS I APLICA-LI LES CONDICIONS DEL
PROBLEMA (SUPOSSA UNES INICIALS)
PER DETERMINAR L’EQUACIÓ DEL
PISTÓ.
CALCULA EL TEMPS MÍNIM QUE TARDA
EN PASSAR PER LA POSICIÓ INDICADA I
APLICA L’EQUACIÓ DE LA VELOCITAT
DEL MHS.

•
Les dades del problema són:
100 cm = 2·A → A = 50 cm = 0,5 m; ω = 60 rpm = 2·π rad/s.
•
L’equació de referència és: x(t) = A·cos (ω·t +Ф)
Si suposen que les condicions inicial són: t = 0 → x= A
L’equació del pistó és:
x(t) = 0,5 m cos 2·π·t
•
Quan l'èmbol és a 20 cm d’un extrem l’elongació,
posició respecte al centre, és de 30 cm. Per calcular el
temps mínim que tarda en arribar es planteja l’equació:
0,3 = 0,5·cos 2·π·t → t = 0,1476 s
•
La velocitat del mòbil correspon a l’equació:
v(t) = - (0,5 m)· (2·π)·sin 2·π·t
I quan t = 0,1476 s el valor de la velocitat és
v = 2,51 m/s

Problema tipus: característiques energètiques del MHS

Un cos d’3,75 kg de massa es connecta a una molla de constant elàstica 15 N/m. El sistema
oscil·la sobre un pla horitzontal sense fregament. Si l’amplitud és de 20 cm.
Calcula: a) L’energia total del sistema; b) L’energia cinètica del sistema quan el desplaçament del
cos és de 11,5 cm; c) la rapidesa màxima del cos.

• L’energia potencial màxima
correspon
a
l’energia
mecànica.
• L’energia cinètica es pot
calcular per diferència:
Ec = Em – Ep
• La rapidesa màxima és A·ω,
per la qual cosa has de
calcular ω a partir de K
(dada
del
problema).
Recorda K = m·ω2

• Com Em = Ep, màxima = 0,5·K·A2.
Segons les dades K = 15 N/m i A = 0,2 m:

Em = 0,5·15·0,2 2 = 0,3 J
• L’energia potencial del mòbil
quan x = 0,115 m és:
EP = 0,5·15· (0,115)2= 0,1 J i
Ec = 0,3 J - 0,1 J = 0,2 J
• Càlcul de la pulsació:
K
m

15

3,75

2 Hz

La velocitat màxima és:
V màxima = 0,2 m·2 Hz = 0,4 m/s

Problema tipus: característiques energètiques del MHS

Una massa de 0,5 kg descriu un moviment harmònic unida a l’extrem d’una molla, de
massa negligible, sobre una superfície horitzontal sense fregament. En la gràfica següent es
relaciona el valor de l’energia mecànica de la molla amb el quadrat de l’amplitud d’oscil·lació
del moviment harmònic, calcula: a) El valor de la freqüència d’oscil·lació.
b) El valor de la velocitat màxima de la massa quan l’amplitud d’oscil·lació del moviment és
0,141 4 m.

•

•

•

•

Analitza el gràfic i estableix el tipus
de relació entre l’energia i
l’amplitud.
Recorda l’expressió de l’energia
mecànica d’un MHS en funció de
l’amplitud i compara-la amb
l’equació de la gràfica.
Relaciona el valor de la K (constant
elàstica)
amb
la
pulsació.
Determina el valor de la pulsació i,
després, calcula la freqüència.
Recorda la fórmula de la rapidesa
màxima d’un MHS i calcula el seu
valor.

Problema tipus: determinació equació i energia MHS

Un oscil·lador que consisteix en un cos d'1,50 kg unit a una molla, i que oscil·la sense fricció,
descriu un moviment harmònic simple de 2 cm d'amplitud amb una freqüència de 4 Hz.
A) Escriu l'equació de moviment que dóna l'elongació en funció del temps
(considerar que t = 0 → x = 1 cm, velocitat positiva).
B) Què val l'energia total d'aquest oscil·lador?

FASE
• Segons
• Utilitzar l’equació general EN RADIANTS dades A = 2 cm =0,02 m;
ω = 2·π·N = 8π Hz
X = A sin (ω·t + φ), identifica
termes i calcula la fase Per determinar la fase inicial:
inicial a partir de les 1 cm = 2 cm sin (φ) →sin Ф = 0,5
Pot ser: π/6 o 5 π/6. Però com la
condicions inicials.
velocitat és positiva cal escollir π/6
• Calcula la velocitat màxima (recorda v = Vm cos Ф). Per tant:
de vibració (Vm = A·ω) i
x = 0,02 m sin (8π ·t + π/6)
determina l’energia cinètica • La velocitat màxima és:
màxima, que correspon a V m = 0,02 m · 8π Hz = 0,16 π m/s
l’energia mecànica del En conseqüència:
mòbil.
Em = Ec,m = 0,5·1,5· (0,16 π )2 = 0,2 J

Problema tipus: Aplicar les equacions del MHS

Un cos té un MHS horitzontal de període 12,6 s. Quan t = 0 s està a
10 cm de la posició d’equilibri amb una velocitat de 5 cm/s cap el
punt d’equilibri (segons es representa a la figura annexa). Calcula el
temps que tardarà en passar pel punt d’equilibri.

• En primer lloc cal escriure
l’equació de l’elongació en funció
del temps. Per la qual cosa
s’apliquen les condicions inicials i
es
planteja
un
sistema
d’equacions.
• Resolt el sistema d’equacions
reduint a una equació (recorda la
relació tg θ = sen θ/cos θ )
• Escriu l’equació de l’elongació,
i aplica la condició X= 0 per
calcular t.

•

Les equacions de referència són:

Condicions inicials:
t = 0 s; x = 10 cm; v = - 5 cm/s
On ω = 2π/12,6 s= 0,5 Hz
•

Sistema d’equacions:
(eq-1) 10 cm = A cos θ0
(eq-2) - 5 cm/s =- A· 0,5 sin θ0

•

Resolució del sistema, dividint eq-2/eq-1:

tg θ0 = 1 →θ0 = 0,8 rad;
A = 10 cm /cos 0,8 = 14,4 cm
Equació: X = 14,4 cm cos (0,5· t + 0,8)
•
Quan 0 = 14,4 cos (0,5· t + 0,8) implica que
(0,5· t + 0,8) = π /2

Aïllant s’obté: t = 1,5 s

CAL UTILITZAR LES UNITATS DE FORMA COHERENT.
Per això, si la velocitat s’expressa en cm/s l’elongació
cal indicar-la en cm


Un cos de massa 200 g està penjat d’un ressort elàstic (de constant elàstica K = 5 N/m). El cos s’estira, des de la seua
posició d’equilibri, per l’acció d’una força de 3 N cap a baix. Tot seguit s’allibera i descriu un moviment harmònic
vertical. Calcula:
a) L’amplitud, la pulsació i el període.
b) Escriu l’equació de l’elongació en funció del temps, si inicialment la posició del cos és la de màxima elongació.
c) El valor de la velocitat màxima, l’acceleració màxima i l’energia mecànica del MHS.

•
•
•
•
•
•
•

PROCEDIMENT
Analitza l’enunciat i identifica les
dades rellevants.
Relaciona la força aplicada amb
l’amplitud.
Relaciona la constant elàstica
amb la pulsació.
Calcula el període a partir de la
fórmula operativa de la pulsació.
Tria una equació de referència
apropiada i determina la fase
inicial.
Aplica les fórmules de la rapidesa
màxima i l’acceleració màxima.
Determina l’energia mecànica
per l’energia potencial màxima.

RESOLUCIÓ


Una molla de constant k = 125 N/m té un extrem fix i, en l’altre. lligada a una massa de 200 g que pot lliscar
sobre una superfície horitzontal sense fregament. Desplacem inicialment la massa 12 cm de la posició
d’equilibri, tot allargant la molla, i la deixem anar. Determina
a) El valors màxims de les energies cinètica i potencial assolides durant el moviment i la velocitat màxima de la
massa.
b) El període i la freqüència del moviment harmònic resultant. Escriu l’equació d’aquest moviment
prenent t = 0 com l’instant en què s’ha deixat anar la massa.

PROCEDIMENT

RESOLUCIÓ

Una molla, situada sobre una taula horitzontal sense fregament, està fixada per un dels extrems
a una paret i a l’altre extrem hi ha lligat un cos de 0,5 kg de massa. La molla no està deformada
inicialment. Desplacem el cos una distància de 50 cm de la seua posició d’equilibri i el deixem
moure lliurement, amb la qual cosa descriu un moviment vibratori harmònic simple. L’energia
potencial del sistema en funció del desplaçament es representa amb la paràbola de la gràfica
annexa. A) Determina el valor de la constant recuperadora de la molla i el valor de la velocitat
del
cos
quan
té
una
elongació
de
20
cm.
B) Determina la freqüència i la posició (o posicions) on l’energia cinètica és 37,5 J

PROCEDIMENT
•

•

•

•

Aplica la condició que l’energia
mecànica és l’energia potencial
màxima. Determina el valor de K a
partir de la fórmula de l’energia
potencial màxima.
Calcula el valor de l’energia potencial
quan x = 0,2 m. Dedueix el valor de
l’energia cinètica i aplica la fórmula per
calcular la velocitat.
Utilitza la relació entre la K i la pulsació
per calcular-la. Aplica la fórmula
operativa de la pulsació i calcula la
freqüència.
Aplica el principi de conservació de
l’energia mecànica per calcular el valor
de l’energia potencial. Després aplica la
fórmula de l’energia potencial per
calcular l’elongació.

RESOLUCIÓ


Una massa m= 0,3 kg, situada en un pla horitzontal sense fricció i unida a una molla horitzontal,
descriu un moviment vibratori harmònic. L’energia cinètica màxima de la massa és 15 J.
a) Si sabem que entre els dos punts del recorregut en què el cos té una velocitat nul·la hi ha una distància
de 50 cm. Calcula l’amplitud, la freqüència, el període del moviment i la constant elàstica de la molla.
b) Calcula la posició, la velocitat i l’acceleració del cos en l’instant t= 3 s, considerant que quan t= 0 s el cos té
l’energia cinètica màxima.

•

•

•

•
•

Recorda els punts on l’energia cinètica
és nul·la (extrems) i determina
l’amplitud.
Determina la rapidesa màxima de la
partícula a partir de la seua energia
cinètica màxima.
Calcula la pulsació. Després aplica la
fórmula operativa de la pulsació per
calcular N i T.
Aplica la relació entre K i la pulsació
per calcular la constant elàstica.
Determina l’equació
general de
l’elongació a partir de les condicions
inicials. Després deriva per obtenir les
equacions
de
la
velocitat
i
l’acceleració. Finalment substitueix el
valor de t i calcula els valors.


PROCEDIMENT
•
•
•
•

Compara l’equació del mòbil amb
l’equació general del MHS i
determina l’amplitud i la pulsació.
Estableix la relació de la constant
elàstica amb la pulsació. Calcula la
constant elàstica.
Relaciona l’energia mecànica amb
l’energia
potencial
màxima.
Calcula l’energia mecànica.
Imposa la condició d’igualar
l’energia cinètica amb la potencial i
estableix una equació en funció
del temps. Resol l’equació i calcula
el temps mínim.

RESOLUCIÓ

La gràfica següent representa l’energia cinètica d’un oscil·lador harmònic en funció de
l’elongació (x).
a) Determina el valor de l’energia cinètica i de l’energia potencial quan x = 0 m (i quan x
= 0,20 m . Quin és el valor de la constant recuperadora ?
b) Calculeu la massa de l’oscil·lador, si sabem que la freqüència de vibració és(100/2π)
Hz.

PROCEDIMENT
•

•
•

•
•

Analitza la gràfica i determina
l’amplitud del MHS, l’energia
cinètica en el centre (x = 0) i
l’extrem (x = 0,20 m).
Determina l’energia cinètica i
potencial als punt d’equilibri (x = 0)
i l’extrem (x = 0,20 m).
Utilitza la definició d’energia
potencial màxima per calcular la
constant recuperadora.
Calcula la velocitat màxima de la
partícula en MHS.
Aplica la definició d’energia cinètica
màxima per calcular la massa de la
partícula.

RESOLUCIÓ

• http://concurso.cnice.mec.es/cnice2005/56_ondas/index.htm

Analitza l’applet i modifica les característiques de l’ona:
http://www.xtec.cat/~ocasella/applets/ones/appletsol.htm
Per valorar la comprensió de l’applet respon les següents qüestions:

Anàlisi d’un applet que representa un MOH

•

Quines diferències hi ha entre el moviment d’unt punt (el vaixell) i el de l’ona?

L’ona té un moviment uniforme, v X, mentre que el punt té un moviment periòdic on la
velocitat i l’acceleració ( v y , a y ) canvien de sentit i de valor entre un valor nul i un màxim.
•

Què passa al modificar sols el període de l’ona?

Si no canvia la longitud d’ona la velocitat de propagació (v x) ha de variar, ja que la rapidesa
d’ona és inversament proporcional al període de l’ona. D’altra banda, la velocitat i
l’acceleració de vibració ( v y , a y ) dels punts de l’ona disminueixen a l’augmentar el
període.
•

Què passa al modificar sols l’amplitud de l’ona sense variar el període ni la longitud
d’ona?

La velocitat ona d’ona no es modifiquen, però el valor màxim de l’acceleració i velocitat de
vibració dels punts de l’ona augmenten amb l’amplitud.

Problema tipus: equació de la velocitat d’ona

Una cubeta d’ones consisteix en un recipient amb un líquid en què, mitjançant una punta que
percudeix la superfície del líquid, es generen ones superficials. Regulem el percussor perquè
colpege el líquid 300 vegades per minut. Si l’ona tarda 0,6 s a arribar al límit de la cubeta, situat a
30 cm del percussor, calcula la longitud d’ona. Què passa si augmenten el ritme del percussor a
600 colps per minut?

PROCEDIMENT
•
•
•

•
•

Calcula la freqüència del focus.
Determina
la
rapidesa
de
propagació de l’ona.
Aplica la fórmula operativa de la
rapidesa de l’ona en funció de la
longitud d’ona. Calcula la longitud
d’ona.
Com el medi no canvia la rapidesa
d’ona és constant.
A l’augmentar la freqüència la
longitud d’ona disminueix per no
variar la rapidesa d’ona. Aplica
l’equació d’ona per calcular la
longitud d’ona amb la nova
freqüència.

RESOLUCIÓ

Problema tipus: Anàlisi de l’equació d’ona

En un medi elàstic s'estableix un moviment ondulatori descrit per l'equació:
y(x, t) = 0,02 sin( 10π x + 30π t ) en unitats del SI. Determina:
A) La longitud d'ona i la freqüència de l'ona.
B) La velocitat i el sentit de propagació de l'ona.
C) La velocitat màxima amb que oscil·la un punt del medi pel qual es propaga l'ona.

•

SIGNE POSITIU ←
ATENCIÓ AL
COMPARAR
Compara amb l’equació

general d’ona:
Y (x,t) = A sin (ω·t K x)
I identifica termes.
• Per calcular la velocitat d’ona
aplica l’equació:
V ona = λ· N
Recorda que el signe indica el
sentit de propagació.
• La velocitat màxima de
vibració correspon a la del
MHS: V màxima = A·ω

• Al comparar s’obté:
Com K = 2π/λ = 10 π m-1 → λ = 1/5 m.

ω = 2·π N = 30 π, per tant N = 15 Hz.
• La velocitat d’ona és:
V ona = (1/5 m)·15 Hz = 3 m/s
El sentit de propagació és cap
l’esquerre (x negatives)
• La velocitat màxima de vibració
és A ω, i com A = 0,02 m;
V màxima = 0,6 π m/s

Problema tipus: diferenciar la velocitat d’ona i de vibració

PROCEDIMENT
•

•
•
•
•
•

En primer lloc opera l’argument de la
funció sinus per proporcionar-li
l’estructura de l’equació general.
Després compara-les i identifica
termes.
Calcula la longitud d’ona i la
freqüència de l’ona.
Aplica la fórmula operativa de la
rapidesa d’ona.
Per calcular la rapidesa de vibració
deriva l’equació d’ona respecte el
temps.
Substitueix la posició del punt i el
temps en la equació de la velocitat
de vibració.
Identifica el tipus d’ona i compara la
direcció, el sentit i el valor de la
velocitat d’ona i de vibració.

RESOLUCIÓ

Mode
radiant

Problema tipus: diferenciar la velocitat d’ona i de vibració

Quina de les ones representades en les equacions té una rapidesa de propagació
major:
A) A quina ona correspon una velocitat de vibració de les partícules major?
B) Quina ona es propaga més ràpida?

• La velocitat de vibració
màxima correspon a la del
focus (MHS) que és:
V vibració, màxima = A·ω
• La velocitat d’ona és
uniforme i pots calcular-la
mitjançant la fórmula:
V ona = ω / K
(pots demostrar la fórmula?)

•

En la primera ona A = ½ m i ω = 4 π Hz. Per
tant, V vibració, m = 2 π m/s. A la segona ona
A = 2 m i ω = 2 π/5 Hz, i la seua
v vibració, m = 4 π /5 m/s.
En la primera ona les partícules tenen una
rapidesa de vibració major.

•

A la primera ona ω = 4 π Hz i K = 8 π m-1, la
qual cosa implica V ona = 0,5 m/s, mentre que
a la segona ω = 2 π/5 Hz i K = 2 π/10 m-1, i
per això la seua velocitat és v ona = 2 m/s. En
conseqüència la segona ona es propaga més
ràpida.

Problema tipus: analitzar l’equació d’ona i calcular la velocitat

L’equació d’una ona harmònica transversal que es propaga en una corda tensa de gran
longitud és y (x, t) = 0,03 · sin (2π t – π x), on x i y s’expressen en metres i t, en segons.
Calcula:
a) La velocitat de propagació de l’ona, el període i la longitud d’ona.
b) A l’instant t = 2,0 s, el valor del desplaçament i la velocitat d’un punt de la corda
situat a x = 0,75 m.
RECORDA
CALCULADORA EN
• En el nostre cas, y(x,t)=0,03⋅sin(2πt−πx):
MODE RADIANS
A=0,03m, ω=2π rad/s; k=π rad/m; ϕ=0. Per

• Compara amb l’equació
general d’ona:
I identifica termes. La velocitat de
l’ona és V ona = λ·N
• Per calcular la velocitat de
vibració deriva la funció d’ona
i desprès substitueix les dades
a l’equació resultant de la
derivació.

això:

N = ω/ 2π = 1 Hz; T = 1/N =1 s
λ = 2·π/K =2 m.
La velocitat de propagació és:
V ona = 2 m·1 Hz = 2 m/s
• Per calcular la posició
y(x=0,75;t=2)=0,03⋅sin(2π⋅2−π⋅0,75)=−0,021m
La velocitat de vibració és v = dy/dt. Per això:
V (x,t )= 0,06 π cos (2πt – π x),
al substituir t = 2 s i x = 0,75 m s’obté:
V vibració = - 0,13 m/s

Problema tipus: Deducció de les característiques d’ona

Es fa vibrar una corda de 3,6 m de longitud amb oscil·lacions harmòniques transversals
perpendiculars a la corda. La freqüència de les oscil·lacions és de 400 Hz i l'amplitud és
d'1 mm. Les ones generades tarden 0,01 s a arribar a l'altre extrem de la corda.
A) Calcula la longitud d'ona, el període i la velocitat de transmissió de l'ona.
B) Quant valen el desplaçament, la velocitat i l'acceleració màximes transversals?

•Calcula la velocitat d’ona
(moviment uniforme v = Δx / Δt).

Desprès, com sabem la
freqüència calcula la longitud
d’ona.
•El valors màxims de vibració
corresponen al de focus en
MHS. Per això;
• X màx = A; V màx = A·ω;
•a màx = A·ω2

• La velocitat d’ona és:
v ona = 3,6 m/ 0,01 s = 360 m/s.
Per tant,
λ = V ona / N = 360 / 400 = 0,9 m.
El període és :
T = 1 /N = 1 / 400 Hz = 0,0025 s.
•El màxim desplaçament d’una
partícula vibrant és 1 ·10-3 m.
Com ω = 2·π 400 Hz = 800 π Hz
Per tant:
V màx = 0,8 π m/s
a màxima = 640 π2 m/s2

Problema tipus: Deducció de les característiques d’ona

Una sirena emet la nota musical Fa de la 3ª octava (ones de f = 440 Hz) amb una amplitud A = 0,1 Pa (Pascal,
unitat de pressió del SI equivalent a N/m2). Si l’ona es propaga al llarg de la part positiva de l’eix OX amb una
velocitat de 340 m/s (velocitat del so) i a l’instant inicial hi ha un màxim de pressió en el focus, determina:
(a) L’equació del MVHS del focus.
(b) L’equació de l’ona.
(c) La pressió en un punt a 1,7 m de la sirena a l’instant t = 2,5 s.

RECORDA LA FASE EN
RADIANTS

• El focus té MHS i com les
condicions inicials són (t= 0, x = A)
cal utilitzar l’equació:
X (t) = A cos ω·t
• Per determinar l’equació de l’ona
que es propaga a l’eix X (+) cal
utilitzar:
X(x,t) = A cos (ω·t – K x)
Per la qual cosa has de calcular λ i el
nombre d’ona (k).
• Per calcular la pressió substitueix
les dades a l’equació d’ona.

•

La pulsació del focus és:
ω = 2·π·440 Hz = 880 π Hz
I com A = 0,1 Pa, l’equació del focus és:
P = 0,1Pa·cos 880·π·t
•

La longitud d’ona és:

λ = V ona / N = 340 m/s / 440 Hz = 0,773 m

El nombre d’ona és: K = 2π/λ = 2,6π m-1
L’equació d’ona és:
P(x,t) = 0,1 Pa cos (880π t – 2,6π x)
•

La pressió en x = 1,7 m i t = 2,5 s és:
P = 0,1 Pa cos (880π ·2,5 – 2,6π·1,7)
P = 0,025 Pa

Problema tipus: Deducció de l’equació d’ona

Observem que dues boies de senyalització en una zona de bany d’una platja, separades una distància de 2 m, oscil·len de la
mateixa manera amb l’onatge de l’aigua del mar. Veiem que la mínima distància en què té lloc aquest fet és, justament, la
separació entre les dues boies. Comptem que oscil·len trenta vegades en un minut i mesurem que fan un recorregut de baix a
d’alt d’un metre.
a) Determina la freqüència, la longitud d’ona i la velocitat de les ones del mar.
b) Escriu l’equació de l’ona utilitzant de referència la primera boia (focus), si comencem a comptar el temps quan les boies
són en la posició més alta. Escriu l’equació de la velocitat de les boies en funció del temps.

PROCEDIMENT
•
•
•

•
•
•
•

Analitza l’enunciat i obté les dades.
Calcula la velocitat de propagació de
l’ona.
Per escriure l’equació tria una de
referència. Com les condicions inicials
són: t = 0 → y = A, es convenient
utilitzar l’equació en funció del
cosinus.
Determina la fase inicial.
Determina la pulsació i el nombre
d’ona.
Substitueix els valors de cada terme
en l’equació.
Deriva l’equació d’ona respecte el
temps i obté l’equació de la velocitat.

RESOLUCIÓ

Problema tipus: Deducció de l’equació d’ona

Una ona harmònica transversal de freqüència 50π Hz es propaga en la direcció
positiva de l’eix X. Si en un instant determinat la diferència de fase entre dos punts
separats 25 cm és de π/4, determina: A)El període, la longitud d’ona i la rapidesa de
propagació. Si l’amplitud de l’ona és de 20 cm. B) Escriu l’equació que representa
l’estat de vibració dels punts de l’ona, considera que el focus en t = 0 és en la posició
d’equilibri (Y = 0).

Hz, el període
• A partir de la pulsació calcula • Com ω = 50=π2π /ω = 1/25 s és0,04 s
T
=
el període. Utilitza la
Per determinar la longitud d’ona cal tenir en compte
diferència de fase per calcular que K Δx = Δ ө on
Δx = 0,25 m i Δө = π/4. Per tant,
la longitud d’ona i finalment K = π m-1, i la longitud d’ona λ = 2 π/K = 2 m.
En conseqüència:
calcula la velocitat d’ona.
V ona = 2 m / 0,04 s = 50 m/s
• Determina els factors de l’ona i• Si l’equació de referència és:
Y (x,t) = A sin (ω·t – k x)
utilitza l’equació d’ona en la
funció sinus per evitar la fase S’obté :
Y (x,t) = 0,2 m sin (50π t – π x)
inicial.

Problema tipus: calcular velocitat propagació i diferència fase.

Problema tipus: calcular la diferència de fase

En una cubeta d’ones generem ones de 20 Hz de freqüència i de 2 cm d’amplitud, de manera que tarden 5 s per
a recórrer 10 m. Calcula:
1. La velocitat màxima de vibració dels punts de la superfície de l’aigua .
2. La diferència de fase entre dos punts sobre la superfície de l’aigua, situats en la mateixa direcció de
propagació de l’ona i separats per una distància de 5 cm, en un instant determinat.

•

Identifica les característiques de
l’ona a fi de determinar l’amplitud i
la freqüència. Recorda que la
velocitat màxima dels punts de
l’ona corresponen a la del focus en
MHS (v màxima = A·ω).
• La fase de l’ona és:
Φ = ω·t – K·x + θ0
En conseqüència, la diferència de
fase en un determinat instant és:
∆Ф = k·∆x
Per la qual cosa s’ha de calcular el
valor de la longitud d’ona a
partir de la velocitat d’ona:
V ona = λ·N

• La freqüència és N = 20 Hz i
ω = 2·π·N = 40·π Hz
D’altra banda, l’amplitud és 2·10-2 m. Així
doncs:
v màxima = 2·10-2 m· 40 π Hz = 0,8·π m/s

• Per calcula la diferència de fase cal
determinar K. Com la velocitat d’ona
és 10 m / 5s = 2 m/s, la longitud d’ona
λ= 2 m/s /20 Hz = 0,1 m
Per això, K = 2π / λ= 20·π m-1
Finalment,
∆Ф = k·∆x = 20·π m-1·5·10-2 m= π rad

Problema tipus: escriure l’equació d’una ona

Una ona harmònica transversal es propaga per una corda a una velocitat de 6,00 m/s. L’amplitud de l’ona és 20
mm i la distància mínima entre dos punts que estan en fase és 0,40 m. Considereu la direcció de la corda com
l’eix x i que l’ona es propaga en el sentit positiu d’aquest eix.
a) Calculeu la longitud d’ona, el nombre d’ona, la freqüència, el període i la freqüència angular (pulsació).
b) Escriviu l’equació de l’ona sabent que, en l’instant inicial, l’elongació d’un punt situat a l’origen de
coordenades és màxima.
C) Calculeu l’expressió de la velocitat amb què vibra un punt de la corda situat a una distància de 10 m respecte
de l’origen de la vibració. Quina és la velocitat màxima d’aquest punt?

ONA TRANSVERSAL

•

•

•

Analitza l’enunciat i extrau la • La longitud d’ona és λ = 0,4 m, i com la
longitud d’ona (distancia mínima
velocitat d’ona és V ona = 6 m/s es pot
entre dos punts de l’ona en fase) i
calcular la freqüència N = 6/0.4 Hz = 15 Hz.
RECORDA
la velocitat d’ona. Calcula la
Per això, el període és T = 1/15 Hz = 0,06 s.
freqüència, el període i la resta de
El nombre d’ona és K = 2π/0,4 m = 5π m-1; i
d(A cos ωt) / dt =
Aω sin ωt
dades sol·licitades.
la pulsació és ω = 2·π·15 Hz = 30 π Hz.
Com a l’inici (t= 0) en el focus (x=0) • Com A = 20mm = 0,02 m i substituint en
la vibració és màxima (Y = A) cal
l’equació de referència:
utilitzar l’equació general amb la
Y(x,t) = 0,02 m cos (30π t-5π x)
funció cosinus:
Y (x,t) = A cos (ω·t – K x) Resolució Demostra que la fase inicial és nul·la
Deriva l’equació de l’ona alternativa:Al derivar l’equació anterior s’obté:
per • també
V (x,t)
obtenir l’equació de vibració s'admet si posen = - 0,6·π m/s sin (30π t - 5π x)
d’un
y=Asin(ωt−kx+ϕ);
punt, i desprès substitueix pel valor Per al punt x = 10 m:
d’x.
Però la fase inicial = - 0,6·π m/s sin (30π t - 50π)
V (x,t)

-

SENTIT EIX X POSITIU →

serà π/2 velocitat màxima de vibració és:
La
V màxima = 0,6·π m/s

Problema tipus: Anàlisi de l’equació d’ona

Una ona transversal té la següent equació d'ona en unitats SI:
Y ( x ,t ) =10· sin π (1,6 · x − 0,80 · t)
a) Determina la velocitat de propagació i la longitud d'ona.
b) Calcula la velocitat de vibració d'un punt situat a 1,25 m quan han passat 2,5 s de temps.
c) Quina diferència de fase hi ha entre dos punts separats 2,50 m?

•

Introdueix el factor π dins del
parèntesis i compara amb l’equació
general :
Identifica els termes i calcula la velocitat
d’ona i longitud d’ona ( λ).
•

•

•

L’equació es pot expressar com:
Y ( x ,t ) =10· sin (1,6 π· x − 0,80 π ·t)
Al comparar amb l’equació general s’obté:
K = 1,6 π m-1 i ω = 0,80 · π Hz.
Per això, la v ona = ω / K = 0,8 π / 1,6 · π =0,5 m/s.
D’altra banda; λ = 2 π/k = 1,25 m.
Per calcular la velocitat de vibració
• Al derivar l’equació de l’ona s’obté:
caldrà derivar l'equació de l'ona
respecte del temps (podem emprar
v=− 8 ·π· cos π· (1,6· x − 0,8· t )
l'original que és més senzilla).
Al substituir per les dades:
v (1,25 ; 2,5)=−8 ·π · cosπ·(1,6 · 1,25 − 0,8 · 2,5)=
La diferència de fase la calcularem amb
= −8 π· cos 0= − 8 π m/ s
un factor de conversió sabent que quan
l'ona s'ha desplaçat una distància igual • Per calcular la diferència de fase.
a la longitud d'ona la fase ha variat en
Δө =2,50m· 2·π rad / 1,25m = 4·π rad
2·π rad (una oscil·lació completa).

Problema tipus: càlcul de la diferència de fase

Una ona de freqüència 0,523 kHz (nota musical Do de la 4ª octava) avança dins l'aigua amb una
velocitat de 1 440 m/s.
A) Determina la separació entre dos punts que tInguen 3π/2 de diferència de fase.
b) Quina diferència de fase hi ha entre dues elongacions en un cert punt entre dos instants
separats un interval Δt = 2,00 s?

• Calcula la longitud d’ona i
després el nombre d’ona.
• Recorda que la diferència de
fase entre dos punts en un
instant és : Δθ = K·Δx
• La diferència de fase d’un
punt en un interval de
temps és: Δθ = ω·Δt

•

La longitud d’ona és:
λ = 1440 m/s / 523 HZ = 2,75 m
I el nombre d’ona és K= 0,726·π m-1
La separació entre el punts és:
Δx = Δθ / K = 3π/2 / 0,726 π = 2,07 m

•

La pulsació de l’ona és:
ω = 2·π· 523 Hz = 1046 π Hz
En conseqüència:
Δθ = 1046·π Hz·2 s = 2092 π rad

Problema tipus: CONCEPTE D’INTENSITAT

Un focus puntual emet ones esfèriques. Una placa plana de 2 cm2 es col·loca a 50 m
del focus perpendicular a la direcció de propagació de les ones. En 3,00 minuts arriben
a la superfície 5 000 J d'energia. Calcula:
(a) La intensitat de l'ona en la posició on està la placa.
(b) La potència del focus.

• Aplica la definició d’intensitat;
I = ΔE /S· Δt
• Com l’energia rebuda per la placa
per unitat de temps (potència)
procedeix del focus situat a 50 m,
que té fronts d’ona esfèrics:
P = I· 4·π·R2

• Com:
ΔE = 5000 J; S = 2·10-4 m2; Δt = 180 s,
aplicant la fórmula de la intensitat s’obté:
I = 5000 / 2·10-4 ·180 = 139 kW/m2
•

La potència del focus és:
P = 139·103 ·4·π· 50 2 = 4,37 ·109 W

Problema tipus: fenomen d’ATENUACIÓ

Si la intensitat d'una ona sísmica P a 100 km de l'epicentre és 1,0 MW/m2,
quina serà la intensitat a 400 km de l'epicentre?

• Cal aplicar el principi de
conservació d’energia:
ΔE = I1 S1 = I2 S2
I suposant que el front d’ona
és esfèric: S = 4·π·R2
Es dedueix:
I1 R12 = I2 R22

• Com es verifica:
I1 R12 = I2 R22
S’obté:
I2 = 1 MW/m2 (100 km/ 400km)2
Per tant:
I2 = 6,25·10-2 MW/m2

Problema tipus: fenomen d’ABSORCIÓ

Un tren d’ones d'intensitat I0 = 20 W/m2 i amplitud A0 = 4,0 mm penetra dins
un medide coeficient d’absorció β = 20 m—1. Determina la intensitat I
l’amplitud de l’ona després de travessar 3,5 cm del material.

• Aplica la llei d’absorció per
calcular la intensitat
desprès de travessar el
material.
• Com la intensitat es
directament proporcional a
A2, lla llei que es verifica és:
A2 = A02 e – β x

•

La llei d’absorció és:
I = I0 e – β x
On I0 = 20 W/m2 ; β = 20 m—1 i x = 0,035 m
Al substituir s’obté:
I = 20 e – 20·0,035 = 9,9 W/m2
• Per cacular l’amplitud s’aplica la relació:
A2 = (4 mm)2 · e – 20·0,035
Per això:
A = 2,8 mm

Problema tipus: fenomen d’ABSORCIÓ

Una ona plana disminueix la seua intensitat el 40% quan travessa un medi i recorre 60
cm. Determina el coeficient d’absorció del medi i la distància que ha de recórrer l’ona,
perquè la seua intensitat siga la meitat de la inicial.

• Aplica les condicions del
problema a la llei d’absorció
per calcular el coeficient
d’absorció (β).
• Una vegada determinat el
valor de β cal aplicar la llei
d’absorció i aïllar x.

• Com I = 0,4·I0 quan x = 60 cm,
a l’aplicar la llei d’aborció es
planteja l’equació:
0,4·I0 = I0 e – β·0,6 m
Aïllant β (per aplicació de
logaritmes) s’obté:
β = 1,527 m-1
• A fi que I = 0,5 I0 l’espessor a
travessar (x) verifica:
0,5·I0 = I0 e – 1,527 m-1 x
Al calcular x, s’obté: x = 0,454 m

Problema tipus: fenomen de refracció

Una ona de 2,0 cm de longitud d'ona, que es desplaça dins l'aire amb una velocitat de
0,5 m/s, incideix damunt la superfície de l'aigua d'un sèquia d'un hort
amb un angle de 30º respecte a la normal de dita superfície. Si la longitud d'ona dins
l'aigua és de 2,4 cm, quina és l'angle de refracció?

• En primer lloc, calcula la velocitat
de l’ona dins de l’aigua a partir
del canvi de longitud d’ona
(recorda que la freqüència es
conserva).

•

V2 = (λ2/λ1)·v1 = (2,4/2)·0,5 m/s = 0,6 m/s
•

• Aplica la llei de Snell al fenomen
de refracció i calcula l’angle de
refracció (r).

Com N = v 1 / λ1 = v 2 / λ2, la velocitat
de propagació a l’aigua és:

Aplicant la llei de refracció:
Sin I / sin r = v1 / v2
S’obté:
sin r = (0,6/0,5) sin 30º = 0,6
En conseqüència:
r = inv sin 0,6 = 36º52’

Una ona sinusoïdal viatja per un medi en el qual la seua velocitat de propagació és v 1 .
En un punt de la seua trajectòria canvia el medi de propagació i la velocitat passa a
ser v 2 = 2·v 1 . Explica com canvia l’amplitud, la freqüència i la longitud d’ona.
Raona breument les respostes.


PROCEDIMENT

RESOLUCIÓ

Els grills perceben sons de freqüència d’entre 20 Hz i 100 kHz i els llagostins perceben sons d’entre 15 Hz i 35 kHz de
freqüència. Les balenes blanques emeten sons de 20 Hz. Si el so de la balena arriba a la superfície amb un angle de 60°
respecte de la normal, calcula a) L’angle amb què sortirà el so de la balena a l’aire. Podran sentir aquest so els
grills i els llagostins que són arran de la costa? I dalt d’un penya-segat? b) La longitud d’ona, dins i fora de l’aigua, del so
produït per la balena.
DADES: v so a l’aire = 340 m/s; v so a l’aigua = 1 500 m/s.


PROCEDIMENT
• Aplica la llei de refracció
de Snell al sistema aigua –
aire.
• Analitza el resultat i
interpreta’l.
• Recorda que sempre es
conserva la freqüència del
so. Aplica l’equació de la
velocitat d’ona per calcular
la longitud d’ona.

RESOLUCIÓ


La longitud d'ona de la nota la a l'aire és de 0,773 m. Quines són la seua
freqüència i la seua longitud d'ona a l'aigua?
La velocitat del so a l'aire és de 340 m/s i a l'aigua d'1,44 km/s

• Calcula la freqüència de la
nota la a l’aire a partir de la
velocitat ona a l’aire.
• Al canviar de medi es manté
constant la freqüència de
l’ona. Per això, al canviar la
velocitat d’ona canvia la
longitud de la nota.

• Com v aire = λ aire ·N
La freqüència de la nota és:
N = 340 m/s / 0,773 m = 440 Hz

Per calcular la nova longitud
d’ona al canviar de medi:
λ aigua = V aigua / N =
= 1440 m/s / 440 Hz = 3,27 m
RECORDA L’ONA AL CANVIAR DE MEDI
MANTÉ LA SEUA FREQÜÈNCIA

Analitza el següent applet, que representa la interferència de dues ones
coherents:
http://www.xtec.cat/~ocasella/applets/interf/appletsol.htm
Contesta les qüestions:
•

Què val el màxim valor de la pertorbació i la mínima pertorbació?

Anàlisi d’un applet d’interferència d’ones

El màxim valor de la pertorbació correspon a 2·A i el mínim no dona lloc a cap pertorbació. Entre aquestes situacions extremes hi ha
punts on la pertorbació oscil·la entre aquests valors.
•

Quina condició verifiquen els punts on la pertorbació és màxima?
Les dues ones arriben en fase (Interferència constructiva), i això implica que la diferència de distàncies dels focus al punt és n λ

•

Quina condició verifiquen els punts on la pertorbació és nul·la?
Les dues ones arriben en fase aposades (interferència destructiva), i això implica que la diferència de distàncies dels focus al punt és
(2n +1) λ /2

•

Què són les línies nodals?
Són hipèrboles on les ones s’anul·len per estar sempre en oposició de fase, això ho pots comprovar al desplaçar el cursor per una línia
nodal i observar les representacions de les ones.

•

Com varia l’amplitud de l’ona al desplaçar el cursor d’una línia nodal a una altra?
En la línia nodal l’amplitud és nul·la i a l’apropar-se a la línia de interferència màxima augmenta l’amplitud al valor màxim 2A (corba
blava), per a desprès disminuir de valor fins a l’altra línia nodal on torna a ser nul·la.

Problema tipus: MHS i interferències d’ones

Cadascun dels extrems d’un diapasó presenta un moviment vibratori harmònic amb una freqüència de 1 000 Hz i
una amplitud d’1 mm. Aquest moviment genera en l’aire una ona harmònica de so de la mateixa freqüència. El
moviment dels dos extrems està en fase.
a) Calculeu, per a un dels extrems del diapasó, l’elongació i la velocitat del seu moviment vibratori quan passen
3,3 · 10 –4 s de començar a vibrar, comptat a partir de la posició que correspon a la màxima amplitud.
b) Raona si, en l’aire, es produiria el fenomen d’interferència a partir de les ones de so que es generen en els dos
extrems del diapasó. Si s’esdevé aquest fenomen, indica en quins punts es produiran els màxims d’interferència.
Dada: velocitat del so a l’aire = 340 m/s.

• Cada extrem del diapasó té un • Con A = 1 mm i N = 1000 Hz, la
MHS.
Escriu
l’equació
de ω= 2000 π Hz. L’equació de referència és:
X = A cos ωt ( per la condició inicial t = 0 → x =A).
l’elongació i de la velocitat i Per tant;
substitueix
el
temps
de
X = 1 ·10 -3 cos 2000 π t (SI)
L’equació de la velocitat és:
referència.
v = - 2 π sin 2000 π t (SI)
• Al considerar els focus en fase Al substetuir el temps t = 3,3 ·10 -4 s, s’obté:
s’originen
interferències
x = - 0,48 ·10-3 m i v = - 5,506 m/s .
constructives als punts on la • Calculem λ = 340 /1000 = 0,340 m
En conseqüència:
diferència de distància siga n·λ
Interferència constructiva (màxims):
Δr = n 0,340 m, on n = 1, 2….

En cas d’utilitzar : x =A sin(ωt+ϕ)
condicions inicials: t=0; y=A: A = A sin(ω·0+ϕ) ⇒ sinϕ = 1 ⇒ ϕ = π/2

Problema tipus: determinar els tipus d’interferència

Dues ones coherents, de 40 Hz de freqüència, es propaguen a la velocitat de
20 cm/s. Calcula el tipus d’interferència que es produirà en:
a) un punt A que dista 12 cm d’un focus i 10,5 cm de l’altre.
b) un punt B que dista 6,25 cm d’un focus i 8 cm de l’altre.

• Calcula en primer lloc la
longitud d’ona a partir de N
i la velocitat d’ona.
• Recorda les condicions
d’interferència:
Constructiva: Δx = n λ
Destructiva : Δx = (2·n +1 ) λ/2

Problema tipus: determinar els tipus d’interferència

Dos focus puntuals situats a 20 cm l'un de l'altre en la superfície de l'aigua emeten ones circulars de la mateixa
amplitud, freqüència i fase. La velocitat de propagació de les ones és de 60 cm/s i la seua freqüència de 20 Hz.
(a) Què passarà si les dues ones interfereixen en un punt situat a 20 cm d'un focus i a 12,5 cm de l'altre?.
(b) I en un punt situat a 30 cm d'un focus i 24 cm de l'altre?

PROCEDIMENT

• Calcula en primer lloc la
longitud d’ona a partir de
la freqüència i la velocitat
d’ona.
• Recorda les condicions
d’interferència:
Constructiva:
Δx = n λ
Destructiva :
Δx = (2·n +1 ) λ/2

RESOLUCIÓ

Explica perquè una barrera acústica d’una alçada d’un metre és molt eficaç
per a sons aguts (majors de 2 kHz) i poc eficaç per a sons greus (de 20 Hz a
300 Hz). V so, aire = 340 m/s

Problema tipus: difracció

PROCEDIMENT

RESOLUCIÓ

Un tub mesura 1,25 m de llargària. Determina la freqüència dels dos primers harmònics:
a) si el tub està obert pels seus dos extrems;
b) si només ho està per un d’ells.
Considera la velocitat del so igual a 342 m/s.

Problema tipus: ones estacionàries

•

•

•

Cal aplicar la condició del harmònic, per a
cada situació, fes un diagrama del
harmònic, extrem obert (ventre) i tancat
(node) i calcula la longitud d’ona (recorda
d node - node = λ/2 ; d node – ventre = λ/4).
Després calcula la freqüència, N,
mitjançant la v ona.
Situació, tub obert pels dos extrems: es
formen ventres als extrems (oberts).
Situació, tub tancat per un extrem i obert
per l’altre: a l’extrem tancat s’origina un
node i a l’obert un ventre.

•

Cas tub obert. Primer harmònic: L = λ/2,
per tant λ = 2· L = 2· 1,25 m = 2,5 m.
La freqüència fonamental és:
N = V ona / λ = 342 m/s / 2,5 m = 136,8 Hz
El segon harmònic correspon a:
L = λ= 1,25 m→ N = 342/1,25 = 273,6 Hz

• Cas tub tancat –obert.
Primer harmònic:
L = λ/4, per això λ = 4·L = 4·1,25 = 5 m.
La freqüència del primer harmònic és:
N = 342/ 5 Hz = 68,4 Hz
El segon harmònic correspon a L = 3·λ/4, i
aïllant λ = 4·L/3 = 1,67 m i té una
N = 204,8 Hz

Problema tipus: ones estacionàries

Una corda de guitarra té una longitud de 78 cm entre els seus dos extrems fixos.
Amb quina velocitat es transmet l’ona que origina l’ona estacionària del seu primer
harmònic, de freqüència 125 Hz?
Quina és l’equació d’ona estacionària si l’amplitud de l’ona incident és de 0,8 cm?

• Imposat la condició del primer
harmònic; un node a cada
extrem. Com la distància node –
node = λ/2, calcula la longitud
d’ona. Amb la freqüència i la
longitud d’ona calcula la velocitat
d’ona.

• Recorda l’equació general
d’una ona estacionària:
Y (x,t) = 2·A cos K x sin ω·t
Identifica el termes i substitueix

• Com L = λ/2 → λ= 2·78 cm
Per tant; λ = 156 cm = 1,56 m
La velocitat d’ona és:
V ona = 125 Hz · 1,56 m = 195 m/s
• El termes de l’ona estacionària
són:
K = 2 π/ 1,56 m = 1,28·π m-1
ω = 2 π·N = 250 π Hz
A = 0,8 cm
Al substituir en l’equació s’obté:
Y (x,t) = 1,6 cm cos 1,28π x (m) sin 250π t (s)

La corda d’una guitarra mesura 0,65 m de llargària i vibra amb una freqüència fonamental
de 440 Hz. Explica raonadament quina és la longitud d’ona de l’harmònic fonamental i digues en
quins llocs de la corda hi ha els nodes i els ventres. Calculeu la velo-citat de propagació de les
ones que, per superposició, han generat l’ona estacionària de la corda.

El dibuix annex representa una ona estacionària que s’ha generat en una corda tensa quan una ona
harmònica que es propagava cap a la dreta s’ha superposat amb la que s’ha reflectit en un extrem.
a) Determina la distància entre nodes i la longitud d’ona estacionària .Quina és l’amplitud de les
ones que, en superposar-se, han originat l’ona estacionària ?
b) Sabent que cada punt de la corda vibra a raó de trenta vegades per segon, escriu l’equació de
l’ona inicial (si suposem que y (0, 0) = 0) i calcula la velocitat de propagació.de l’ona.

PROCEDIMENT
• Analitza el dibuix annex i
determina la distància nodenode.
• Relaciona la distancia node-node
amb la longitud d’ona.
• Recorda que l’amplitud màxima
de l’ona estacionària és 2·A.
• utilitza una equació de referència.
• Determina la freqüència, la
pulsació i el nombre d’ona.
• Calcula la fase inicial de l’ona.
• Substitueix les dades en l’equació
d’ona.

RESOLUCIÓ

Al campionat mundial de futbol de 2010 celebrat en Sud-àfrica, guanyaT per la selecció espanyola, la
vuvuzela, un instrument musical d’animació molt sorollós, atesa la forma cònica i acampanada que
té, va despertar una gran controvèrsia per les molèsties que causava. Aquest instrument produeix el so a
una freqüència de 235 Hz crea uns harmònics, és a dir, sons múltiples de la freqüència fonamental (235
Hz), d’entre 470 Hz i 1 645 Hz de freqüència. La vuvuzela és molt irritant, perquè els harmònics amb
freqüències més altes són els més sensibles per a l’oïda humana. NOTA: Considereu que el tub sonor és
obert pels dos cantons. a) Amb les dades anteriors, calculeu la longitud aproximada d’una vuvuzela. b)
Un espectador es troba a 1 m d’una vuvuzela i percep 116 dB. Molest pel soroll, s’allunya fins a una
distància
de
50
m.
Quants
decibels
percep,
aleshores?

Problema tipus: ones estacionàries i dB

DADES: v so a l’aire = 340 m/s; I 0 =

10 –12 W/m

2.

PROCEDIMENT
•

•

•
•

•

Estableix les condicions del primer
harmònic per a un tub obert pels dos
extrems. Relaciona la longitud del
primer harmònic amb la longitud del
tub.
A partir de la freqüència del primer
harmònic calcula la seua longitud
d’ona. Després determina la longitud
del tub.
Aplica la definició de dB per calcular la
intensitat del so a 1 m.
Aplica el principi de conservació
d’energia per calcula la intensitat del so
al 50 m.
Aplica la definició del dB per calcular el
seu valor als 50 m.

RESOLUCIÓ

d

Problema tipus: efecte Doppler

El conductor d'un cotxe s'acosta a una fàbrica a 72 km/h mentre la sirena d'aquesta emet un so
de 300 Hz.
Quina freqüència percep aquesta persona?
Si va més enllà de la fàbrica, quina freqüència percep mentre se n'allunya? V so = 340 m/s

• Com hi ha una aproximació
focus – observador la
freqüència aparent serà
major que la real.

•

• Quan l'observador s’allunya
del focus
la freqüència
aparent serà menor que la
real.

• L’equació és:
N ‘ = N (V so + V obs )/ v so
on N = 300 Hz, V obs = 20 m/s
Per tant:
N’ = 300 (340 - 20)/340 = 282,23 Hz

L’equació a aplicar és :
N ‘ = N (V so + V obs )/ v so
on N = 300 Hz, V obs = 20 m/s
Per tant:
N’ = 300 (340+20)/340 = 317,64 Hz

Problema tipus: efecte Doppler

Un tren EuroMed travessa una estació sense reduir la seva velocitat. Quan s'acosta a l'estació
comença a fer sonar el xiulet. El cap d'estació sent un so de 280 Hz de freqüència quan s'acosta el
tren i de 240 Hz quan s'allunya. Quina és la velocitat d'aquest tren?
Quina és la freqüència del xiulet? V SO = 340 m/s

• Has de diferenciar
dues
situacions, la primera quan
s’acosta i quan s’allunya de
l’estació el tren.
• Aquestes situacions tenen de
comú la freqüència real i la
velocitat del focus (velocitat
tren). L’observador és aturat.
• Planteja utilitzant l’equació de
l’efecte Doppler un sistema
d’equacions.

•

Quan s’acosta el tren(vtren =?) a
l’estació (observador, v observador = 0) hi
ha un augment de la freqüència
aparent, per això:
340
280Hz

N

340

•

tren

Quan s’allunya el tren a l’estació
(observador, aturat) hi ha una
disminució de la freqüència aparent.
Per consegüent:
340
240Hz

N

340

•

v

Al resoldre el sistema s’obté:
V tren = 26,11 m/s = 94 km/h;
N = 258,5 Hz

v

tren

Un dispositiu per mesurar la velocitat del flux sanguini per ecografia empra ones ultrasòniques de 500 kHz. Si la sang
s'allunya per les artèries de les cames a 2,000 cm/s i la velocitat del so dins els teixits humans és de 1 540 m/s, calcula:
(a) La freqüència que arriba als glòbuls vermells. Sol. f ' = 499 994 Hz. (b) La freqüència que retorna al dispositiu. Sol. f
''
=
499
987
Hz.
(c)
La
freqüència
de
pulsació
(diferència
de
freqüències).
Sol. Δf = –13 Hz.

Una ona de freqüència 0,523 kHz (nota musical Do de la 4ª octava) avança dins l'aigua amb una velocitat de 1
440 m/s.(a) És la mateixa nota dins l'aigua que dins l'aire? Per què?
(b) Determina la separació entre dos punts que tenguin 3π/2 de diferència de fase. Sol. Δx = 2,07 m.
(c) Quina diferència de fase hi ha entre dues elongacions en un cert punt entre dos instants separats un
interval Δt = 2,00 s? Sol. Δφ = 2,09·π rad.

Dos altaveus petits emeten ones en totes direccions. L’altaveu S 1 emet amb una potència d’1
mW i l’altaveu
S 2 ho fa amb una potència d’1.5 mW. Determinau el nivell d’intensitat (en dB) al punt
P de la figura.
(Dada: I 0 = 10 -12 W/m 2 .) (a) quan només emet S 1 ; (b) quan només emet S 2 ; (c) quan
emeten S 1 i S 2 simultàniament.

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/andared0
1/paisaje_sonoro/sonido.htm

Qüestions i problemes del tema 1

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Ähnlich wie Qüestions i problemes del tema 1

Ähnlich wie Qüestions i problemes del tema 1 (14)

Qüestions i problemes del tema 1