2. Función Lineal
Una función lineal corresponde a
una función polinómica de primer
grado que puede ser expresada
de la siguiente forma:
𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑐
Donde m ≠ 0 y 𝑐 son constantes y
corresponden a la pendiente y
coeficiente de posición
respectivamente.
3. Coeficiente de posición
Corresponde a la intersección
de la recta en el eje y
¿cómo podemos determinar el
coeficiente de posición?
Analizando “¿Cuál es el valor
de la componente y cuando
x=0?”
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
0 10 20 30 40
Frecuencia
cardiaca
lpm
Temperatura °C
Temperatura vs Frecuencia
cardiaca
4. Pendiente de una Recta
Considerando dos puntos de una
recta 𝑃1 = (𝑥1, 𝑦1) y 𝑃2 = (𝑥2, 𝑦2), la
pendiente de una recta está dada
por:
Donde 𝑥2 ≠ 𝑥1 y Δ𝑦 corresponde al
crecimiento de la función, mientras
que Δx está asociado al recorrido
de la función, por lo que:
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚 =
𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
V
a
ri
a
b
l
e
D
e
p
e
n
d
i
e
n
t
e Variable independiente
5. Ejercicio 1: Pendiente de una Recta
Los puntos A(1,3) y B(3,-2) pertenecen a una recta cuya
pendiente es :
a) -2
b) -2/5
c) -4/5
d) -5/4
e) -5/2
Solución
Considerando A(1,3) y B(3,-2), donde
𝐴 𝑥1, 𝑦1 = 1,3
𝐵 𝑥2, 𝑦2 = 3, −2
Tenemos que la pendiente de la recta está dada por:
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
=
−2 − 3
3 − 1
=
−5
2
6. 𝑓 𝑥 = −𝑚𝑥 + 𝑐
𝑓 𝑥 = 𝑐
𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 +c
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
x=c
Relación directamente
proporcionales entre
ambas variables
Relación
inversamente
proporcionales
entre ambas
variables
m>0 m<0
m=0 m→ indefinida
7. Estatura de un
niño
Edad de un
niño
“La estatura depende de la
edad del niño”
El gráfico que observamos a continuación corresponde a una función
creciente o decreciente?
Como al aumentar a componente
x aumenta la componente y
estamos en presencia de una
relación directamente
proporcional, lo que implica que es
una función creciente
M>0
8. Días de trabajo
Cantidad de trabajadores
Mientras más trabajadores hayan
contratados se necesitarán menos
días para realizar el mismo trabajo
El gráfico que observamos a continuación corresponde a una función
creciente o decreciente?
Como a medida que
aumenta la componente x
disminuye la componente
y tenemos que estamos en
presencia de una relación
inversamente
proporcional, lo que
implica que es una función
decreciente
m<0
10. Ejercicio 2: Pendiente de una Recta
De acuerdo a la figura ¿Cuál de las afirmaciones es o son siempre verdaderas?
I. La pendiente de L1 es positiva (creciente)
II. La pendiente de L2 es cero ( no es cero, sino indefinida m=w/0)
III. La pendiente de L3 es negativa. (Decreciente)
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) I y II
e) I y III
f) I, II y III
12. Ecuación de una Recta: teorema
Ecuación Punto-Pendiente
Considerando dos puntos de una recta 𝑃1 =
(𝑥1, 𝑦1) y 𝑃2 = (𝑥2, 𝑦2), la ecuación de una recta
está dada por:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1
Donde:
𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑥 − 𝑥1
“Ecuación general de una recta”
¿Cuál es la ecuación de la recta en el
siguiente caso?
𝑦 − 6 =
(−4) − 6
3 − (−2)
𝑥 − (−2)
𝑦 − 6 =
−10
5
x + 2
𝑦 − 6 = −2(𝑥 + 2)
𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟐
¿Cuál es el
coeficiente de
posición?
𝑏 = 2
Intersección de la
recta con el eje y
Función
decreciente (
Al aumentar x
disminuye y)
m<0
13. Rectas Paralelas y Perpendiculares
Paralelas Perpendiculares
Ambas rectas
son paralelas si
𝑎1 = 𝑎2
Ambas rectas
son
perpendiculares
si
𝑎1 ⋅ 𝑎2 = −1
14. Resumiendo..
Ecuación general de una recta
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Ecuación principal de una recta
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐
Ecuación punto-pendiente
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Ecuación punto-punto
𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
(𝑥 − 𝑥1)
16. Ejemplo: Encuentre y grafique la ecuación de
la recta que pase por los puntos 𝑃1 = (8,1) y
𝑃2 = (−3,1)
A partir de la ecuación de la recta
𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑥 − 𝑥1
𝑦 − 1 =
1 − 1
−3 − 8
𝑥 − 8
𝑦 − 1 =
0
−11
𝑥 − 8
𝑦 − 1 = 0
𝒚 = 𝟏
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
-5 0 5 10
y
x
Ecuacion de la Recta
17. Ejercicio 3: Encuentre y grafique la ecuación
de la recta que pase por los puntos 𝑃1 = (−5,6)
y 𝑃2 = (−3,1)
A partir de la ecuación de la recta
𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑥 − 𝑥1
𝑦 − 6 =
1 − 6
−3 − (−5)
𝑥 − (−5)
𝑦 − 6 =
−5
2
(𝑥 + 5)
𝑦 − 6 =
−5
2
x −
25
2
/+6
𝑦 = −
5
2
𝑥 −
25
2
+ 6
𝑦 = −
5
2
𝑥 +
6
1
−
25
2
𝒚 = −
𝟓
𝟐
𝒙 +
𝟐 ⋅ 𝟔 − 𝟏 ⋅ 𝟐𝟓
𝟐
𝒚 = −
𝟓
𝟐
𝒙 −
𝟏𝟑
𝟐
X -5 -3
y 6 1
0
1
2
3
4
5
6
7
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
Y
X
Gráfico
Decreciente
Pendiente -5/2
Coef. Posición -13/2
18. Ejercicio 4: Encuentre y grafique la ecuación
de la recta que pase por los puntos 𝑃1 = (3,5) y
𝑃2 = (10,2)
A partir de la ecuación de la recta
𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑥 − 𝑥1
𝑦 − 5 =
2 − 5
10 − 3
𝑥 − 3
𝑦 − 5 =
−3
7
𝑥 − 3
𝑦 − 5 =
−3
7
𝑋 +
9
7
/+5
𝑦 = −
3
7
𝑥 +
𝟗
𝟕
+
𝟓
𝟏
𝑦 = −
3
7
𝑥 +
9 + 7 ⋅ 5
𝟕
𝒚 = −
𝟑
𝟕
𝒙 +
𝟒𝟒
𝟕
0
1
2
3
4
5
6
7
0 2 4 6 8 10 12
Y=f(x)
x
Valores Y
Función
decreciente
Pendiente -3/7
Coeficiente posición 44/7
21. Cuando la temperatura (°C) es reducida, la frecuencia cardiaca del gato (en latidos por minuto)
disminuye. Bajo condiciones de laboratorio, un gato a temperatura de 37°C tuvo una frecuencia
cardiaca de 220 y a una temperatura de 32°C una frecuencia cardiaca de 150. Si la frecuencia está
relacionada linealmente con la temperatura, diseñe la función que modela la situación y determine la
frecuencia cardiaca a una temperatura de 28°C. ¿Qué temperatura debe tener el gato para que su
frecuencia cardiaca sea cero? Grafique la función.
Temperatura
°C
Frecuencia
cardiaca
(lpm)
37 220
32 150
Conociendo 2 puntos 𝑃1 = 37,220 𝑦 𝑃2 = (32,150)
podemos determinar la ecuación de la recta
mediante la siguiente ecuación:
𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑥 − 𝑥1
𝑦 − 220 =
150 − 220
32 − 37
𝑥 − 37
𝑦 − 220 = 14 𝑥 − 37
𝑦 = 14𝑥 − 518 + 220
𝑦 = 14𝑥 − 298
𝑭𝒄 = 𝟏𝟒𝑻 − 𝟐𝟗𝟖
¿Cuál es la variable independiente
(variable x)? Temperatura
¿Cuál es la variable dependiente
(variable y)? Frecuencia cardiaca del
gato
“la frecuencia cardiaca depende de la
temperatura”
Al ser directamente
proporcionales la
función es creciente
22. -400
-300
-200
-100
0
100
200
300
0 10 20 30 40
Frecuencia
cardiaca
lpm
Temperatura °C
Temperatura vs Frecuencia
cardiaca
¿Qué valor tiene la temperatura cuando la
frecuencia cardiaca es cero? ¿Cuál es la
preimagen de 0?
𝐹𝑐 = 14𝑇 − 298
0 = 14𝑇 − 298
𝑇 = 21.28 °𝐶
¿ la frecuencia cardiaca a una temperatura de
28°C?¿Cuál es la imagen de 28°C?
𝐹𝑐 = 14(28) − 298
𝐹𝑐 = 94 𝑙𝑎𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜
¿Cuál es la frecuencia cardiaca cuando la
temperatura es cero?
𝐹𝑐 = 14𝑇 − 298
𝐹𝑐 = 14 0 − 298
𝐹𝑐 = −298
“-298 corresponde al coeficiente de posición de la
recta”
¿Cuál es el valor de la pendiente? 14
Preimagen → Componente x
Imagen → Componente y
23. Ejercicio: Un grupo de estudiantes establece que el costo de producción para elaborar 100
desayunos escolares es de 2,000 pesos y 3,000 pesos si elaboran 200. Supón que la relación
entre costo y el número de desayunos es lineal. Obtén una expresión funcional que exprese
esta relación y después grafica la función. ¿Cuál es la intersección con el eje y y qué
representa?
Cantidad
desayunos
Costo de los
desayunos $
100 2000
200 3000
¿Cuál es la variable independiente (variable x)?
Cantidad de desayunos
¿Cuál es la variable dependiente (variable y)?
Costo de los desayunos
Relación directamente
proporcional→creciente→m>0
Conociendo 2 puntos 𝑃1 = 100,2000 𝑦 𝑃2 = (200,3000)
podemos determinar la ecuación de la recta mediante
la siguiente ecuación:
𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑥 − 𝑥1
𝑦 − 2000 =
3000 − 2000
200 − 100
𝑥 − 100
𝑦 − 2000 = 10 𝑥 − 100
𝑦 − 2000 = 10𝑥 − 1000/+2000
𝑦 = 10𝑥 + 1000
Por lo tanto la función lineal está dada por:
𝑪𝒅 = 𝟏𝟎𝑪𝒂𝒅 + 𝟏𝟎𝟎𝟎
Donde
𝐶𝑑: 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑦𝑢𝑛𝑜𝑠
𝐶𝑎𝑑: 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑦𝑢𝑛𝑜𝑠
24. y = 10x + 1000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250
Costo
de
los
desayunos
Cantidad de desayunos
Costo de Desayunos
¿Cuál es la intersección con el
eje y y qué representa?¿Cuál
debería ser el valor de x para
que la recta intersecte con el eje
y?
𝑪𝒅 = 𝟏𝟎𝑪𝒂𝒅 + 𝟏𝟎𝟎𝟎
𝑪𝒅 = 𝟏𝟎 𝟎 + 𝟏𝟎𝟎𝟎
𝑪𝒅 = 𝟏𝟎𝟎𝟎
¿Cuál es el costo para 50
desayunos?
𝑪𝒅 = 𝟏𝟎 𝟓𝟎 + 𝟏𝟎𝟎𝟎
𝑪𝒅 = 𝟓𝟎𝟎 + 𝟏𝟎𝟎𝟎
𝑪𝒅 = 𝟏𝟓𝟎𝟎
25. Los biólogos han descubierto que el número de chirridos que los grillos de cierta especie emiten por
minuto está relacionado con la temperatura. La relación es una función lineal. A 60°F los grillos chirrían
124 veces por minuto aproximadamente, mientras que a 80°F, lo hacen 172 veces por minuto.
a) Obtener la función que relaciona el número de chirridos por minuto con la temperatura en
Fahrenheit.
b) Si la temperatura es de 72°F ¿Cuántas veces chirrían por minuto? ¿Y si es de 83°F?
c) ¿Cuál es la temperatura si se contaron 132 chirridos?
Temperatura
°F
Cantidad de
chirridos por
minuto
60 124
80 172
Relación directamente
proporcional→creciente→m>0
¿Cuál es la variable independiente (variable x)?
temperatura
¿Cuál es la variable dependiente (variable y)?
Cantidad de chirridos
“La cantidad de cirridos depende de la
temperatura”
Conociendo 2 puntos 𝑃1 = 60,124 𝑦 𝑃2 = (80,172)
podemos determinar la ecuación de la recta
mediante la siguiente ecuación:
𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑥 − 𝑥1
𝑦 − 124 =
172 − 124
80 − 60
𝑥 − 60
𝑦 − 124 =
172 − 124
80 − 60
𝑥 − 60
𝑦 − 124 =
12
5
𝑥 − 60
𝑦 − 124 =
12
5
𝑥 − 144/+124
𝑦 =
12
5
𝑥 − 20 por lo tanto 𝐂𝐜 =
𝟏𝟐
𝟓
𝑻 − 𝟐𝟎
26. y = 2,4x - 20
-50
0
50
100
150
200
0 20 40 60 80 100
Cantidad
de
chirridos
Temperatura
Cantidad de chirridos en función
temperatura
𝐂𝐜 =
𝟏𝟐
𝟓
𝑻 − 𝟐𝟎
Si la temperatura es de 72°F
¿Cuántas veces chirrían por minuto?
¿Y si es de 83°F?
𝐂𝐜 =
𝟏𝟐
𝟓
𝟕𝟐 − 𝟐𝟎 = 𝟏𝟓𝟐, 𝟖 𝒄𝒉𝒊𝒓𝒓𝒊𝒅𝒐𝒔
𝐂𝐜 =
𝟏𝟐
𝟓
𝟖𝟑 − 𝟐𝟎 = 𝟐𝟐𝟗 𝒄𝒉𝒊𝒓𝒓𝒊𝒅𝒐𝒔
¿Cuál es la temperatura si se
contaron 132 chirridos?
𝟏𝟑𝟐 =
𝟏𝟐
𝟓
𝑻 − 𝟐𝟎
𝑇 =
5 132 + 20
12
= 63,3𝐹
27. En una experiencia realizada en invernaderos se determinó que el porcentaje de semillas
germinadas depende de la temperatura ambiental. Para una variedad de semillas de tomates
el 40% germina a 12°C, mientras que a 15°C germina el 17% de las mismas. Si el porcentaje de
semillas germinadas (p) es función lineal de la temperatura (t en °C):
a) Obtener la función matemática que relaciona p y t.
b) Calcular el porcentaje de germinación a 10°C.
c) Hallar la temperatura necesaria para obtener un 90% de semillas germinadas.
d) Representar gráficamente.
Temperatura
ambiental °C
% semillas
germinadas
