sss

1. ( Pertemuan 8 )
By : BIDA SARI, SP, MSi

2. DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA
 Diferensial membahas tentang tingkat perubahan
suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil
dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan.
 Dengan diferensial dapat disidik kedudukan-
kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari
seperti titik maksimum, titik belok dan titik
minimumnya.
 Secara umum, membentuk turunan sebuah fungsi
dapat dilakukan dengan cara terlebih dahulu
menemukan kuosien diferensinya, kemudian
menentukan limit kuosien diferensi tersebut untuk
pertambahan variabel bebas mendekati nol.
By : BIDA SARI, t SP, MSi

3. Kuosien Diferensi dan Derivatif
 Misal y = f(x) dan terdapat tambahan variabel bebas x
sebesar ∆x ,
 Maka :
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
f
x
x
f
y
y
x
x
f
y
x
x
f
y
y
x
f
y
















 ∆ x adalah tambahan x, sedangkan ∆ y adalah tambahan y
akibat adanya tambahan x. Jadi ∆y timbul karena adanya ∆x.
 Apabila pada persamaan (1) ruas kiri dan ruas kanan sama-
sama dibagi ∆x, maka diperoleh
x
x
f
x
x
f
x
y






 )
(
)
(
By : BIDA SARI, SP, MSi

4.  Bentuk ∆y/ ∆x inilah yang disebut sebagai hasil
bagi perbedaan atau kuosien diferensi (difference
quotient), yang mencerminkan tingkat perubahan
rata-rata variabel terikat y terhadap perubahan
variabel bebas x
 Proses penurunan fungsi disebut juga proses
diferensiasi  merupakan penentuan limit suatu
kuosien diferensi (∆x sangat kecil)
 Hasil proses diferensiasi dinamakan turunan atau
derivatif (derivative).
By : BIDA SARI, SP, MSi

5. Penotasian
 Cara penotasian dari turunan suatu fungsi dapat
dilakukan dengan beberapa macam :
dx
x
df
dx
dy
x
f
y
x
f
y
x
y
x
x
x
)
(
)
(
)
(
'
0
lim '










∆x sangat kecil maka = ∆y / ∆x
Kuosien diferensi ∆y/ ∆x slope / lereng dari
garis kurva y = f(x)
Paling lazim
digunakan
By : BIDA SARI, SP, MSi

6. Hakekat Derivatif dan Diferensial
dx
dy
x
y
x
f(x)
y
x
y









0
lim
kurva
dari
lereng
dy/dx  terdiri dari 2 suku, dy dinamakan diferensial y,
dx merupakan diferensial dari x.
Diferensial dari x : dx = ∆x
Diferensial dari y : dy=(dy/dx) ∆x
Variabel terikat
By : BIDA SARI, SP, MSi

7.  dy/dx  lereng taksiran (approximated slope)
dari kurva y = f(x) pada kedudukan x tertentu.
 ∆y/∆x  lereng yang sesungguhnya (the true
slope)
 Lereng taksiran ini dapat lebih besar (over
estimated), atau lebih kecil (under estimated),
atau sama dengan lereng sesungguhnya
(teragantung pada jenis fungsinya dan besar
kecilnya perubahan pada variabel bebas)
By : BIDA SARI, SP, MSi

8.  Fungsi y = f(x) yang linier,
 lereng taksiran = lereng sesungguhnya,
berapapun ∆x  dy/dx = ∆y/ ∆x
∆x = dx
P
Q
R
∆y = dy
y = f(x) Perubahan x = ∆x
Perubahan y = ∆y
Diferensial x = dx
Diferensial y = dy
Kuosien diferensi =
∆y/ ∆x
Derivatif = dy/dx
dy/dx = ∆y/ ∆x
By : BIDA SARI, SP, MSi

9.  Fungsi y = f(x) yang non-linier
∆x = dx
P
S
R
Q
QS=dy
QR=∆y
P Q
R
S
∆x = dx
QR=dy
QS=∆y
(a) (b)
y y
x x
0 0
dy > ∆y
Over-estimated
dy < ∆y
Under-estimated
By : BIDA SARI, SP, MSi

10. Kaidah-kaidah diferensiasi
1. Diferensiasi konstanta
Jika y = k, dimana k adalah konstanta,
maka : y’ = dy/dx = 0
contoh : y = 5  y’ = dy/dx = 0
2. Diferensiasi fungsi pangkat
Jika y = xn, dimana n adalah konstanta,
maka : y’ = dy/dx = nxn-1
contoh : y=x3  y’ = dy/dx = 3x3-1 = 3x2
By : BIDA SARI, SP, MSi

11. 3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi
Jika y = kv, dimana v = h(x), maka :
 y’ = dy/dx = k dv/dx
contoh : y = 5x3  dy/dx = 5(3x2) = 15x2
4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi
jika y = k/v, dimana v=h(x), maka :
y’ =
2
/
v
dx
kdv
dx
dy


4
6
2
2
3
2
3
x
15
x
x
15
x
x
3
5
dx
dy
y
x
5
y
contoh 







)
(
)
(
'
,
:
By : BIDA SARI, SP, MSi

12. 
4
4
4
3
2
2
3
2
x
20
x
8
x
12
x
8
x
x
3
x
4
dx
du
v
dx
dv
u
dx
dy
x
x
4
y
contoh
u
v
v
u
dx
du
v
dx
dv
u
dx
dy
y
maka














)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
:
'
.
'
.
'
By : BIDA SARI, SP, MSi

13. 7. Diferensiasi pembagian fungsi
Jika y = u/v. dimana u = g(x) dan v = h(x)
2
2
6
4
4
2
3
2
2
3
2
3
2
2
2
x
4
x
4
x
x
12
x
8
x
x
3
x
4
x
8
x
v
dx
dv
u
dx
du
v
dx
dy
y
x
x
4
y
contoh
v
v
u
u
v
v
dx
dv
u
dx
du
v
dx
dy
y
maka



















)
(
)
)(
(
)
)(
(
'
:
'
.
'
.
'
By : BIDA SARI, SP, MSi

14. 8. Diferensiasi Fungsi komposit
Jika y=f(u) sedangkan u=g(x),dengan bentuk lain
y=f{g(x)} = , maka :
2
5
2
3
2
2
2
3
2
3
x
120
x
96
x
12
5
x
4
2
x
12
u
2
dx
du
du
dy
dx
dy
y
u
2
du
dy
x
12
dx
du
u
y
5
x
4
u
misal
5
x
4
y
contoh
dx
du
du
dy
dx
dy
y




















)
)(
(
)
(
'
,
:
)
(
:
'
By : BIDA SARI, SP, MSi

15. 9. Diferensiasi fungsi berpangkat
Jika y=un, dimana u=g(x) dan n adalah konstanta,
maka dy/dx =nun-1 .(du/dx)
Contoh :
2
5
2
3
1
2
3
2
3
120
96
)
12
)(
5
4
(
2
12
5
4
:
,
)
5
4
(
x
x
x
x
dx
du
nu
dx
dy
x
dx
du
x
u
misal
x
y
n














By : BIDA SARI, SP, MSi

16. 10. Diferensiasi fungsi balikan
Jika y = f(x) dan x = g(y) adalah fungsi-fungsi yang
saling berbalikan (inverse functions)
Maka :
)
(
/
,
:
/
3
3
4
y
2
5
1
dy
dx
1
dx
dy
y
2
5
dy
dx
y
5
0
y
5
x
contoh
dy
dx
1
dx
dy









By : BIDA SARI, SP, MSi

17. 11. Diferensiasi Implisit
Jika f (x, y)=0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak
mungkin dieksplisitkan), dy/dx dapat diperoleh dengan
mendiferensiasi kan suku demi suku, dengan menganggap y
sebagai fungsi dari x
 
1
xy
4
y
2
x
2
xy
8
y
4
x
2
dx
dy
y
4
x
2
dx
dy
2
xy
8
0
dx
dy
2
x
2
y
4
dx
dy
xy
8
dx
dy
tentukan
,
0
y
2
x
xy
4
:
contoh
2
2
2
2
2
2
















By : BIDA SARI, SP, MSi

18. Soal ke-1
Jika f(x) = 3x2
+ 4 maka nilai f1
(x) yang mungkin
adalah ….
A. 3x C. 9x2
E. 12x2
B. 6x D. 10x2
3
3x
D.
3x
B.
1
x
3
E.
2
x
3
C.
x
3
A.
...
adalah
3
x
y
dari
1
-
ke
Turunan
2
2
6





Latihan :
Soal ke-2
By : BIDA SARI, SP, MSi

19. Derivatif dari derivatif
 Setiap fungsi bisa diturunkan lebih dari 1 kali
(tergantung derajatnya).
 Turunan pertama (turunan dari fungsi awal),
turunan kedua (turunan dari fungsi pertama, dst.)
0
dx
y
d
y
6
dx
y
d
y
8
x
6
dx
y
d
y
5
x
8
x
3
dx
dy
y
7
x
5
x
4
x
x
f
y
contoh
4
4
v
3
3
2
2
2
2
3
















/
/
'
'
'
/
'
'
/
'
)
(
:
'
By : BIDA SARI, SP, MSi

20. Hubungan antara fungsi dan Derivatifnya
 Dengan mengetahui hub. antara fungsi dan
derivatifnya  besarnya turunan pertama dan turunan
kedua  akan bisa dikenali bentuk gambar dari fungsi
tersebut
 Kita akan mengetahui kurva menaik atau menurun,
titik ekstrim dan juga titik beloknya.
By : BIDA SARI, SP, MSi

21. konstanta
2
dx
y
d
y
linear
fungsi
8
x
2
dx
y
d
y
kuadrat
fungsi
12
x
8
x
dx
dy
y
kubik
fungsi
5
x
12
x
4
x
3
1
x
f
y
contoh
3
3
2
2
2
2
3


















/
'
'
'
/
'
'
/
'
)
(
:
Perhatikan pengurangan derajat fungsi pada masing-
masing turunannya.
By : BIDA SARI, SP, MSi

22. Fungsi Menaik dan Menurun
 Turunan pertama dari sebuah fungsi non-linear dapat
digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi
yang bersangkutan menaik atau menurun pada kedudukan
tertentu.
Lereng
positif
fungsi
menaik
Lereng negatif
fungsi
menurun
Lereng nol
Lereng nol
y = f(x)
f’(a) > 0, y = f(x) menaik
f’(a) < 0, y = f(x)menurun
By : BIDA SARI, SP, MSi

23. Uji Tanda
 Apabila turunan pertama f’(x) = 0, berarti
y = f(x) berada di titik ekstrim
 Untuk menentukan apakah titik ekstrim tersebut
merupakan titik maksimum ataukah minimum,
maka perlu dilakukan uji tanda terhadap f’(a) = 0.
 Jika f’(x) > 0 untuk x < a dan f’(x) < 0 untuk x > a,
maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum.
 Jika f’(x) < 0 untuk x < a dan f’(x) > 0 untuk x > a,
maka titik ekstrimnya adalah titik minimum.
By : BIDA SARI, SP, MSi

24. Titik ekstrim fungsi parabolik
 Turunan pertama dari fungsi parabolik y = f(x) berguna
untuk menentukan letak titik ekstrimnya.
 Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0.
 Sedangkan turunan kedua berguna untuk mengetahui
jenis titik ekstrim yang bersangkutan.
 Jika y” < 0 : bentuk parabolanya terbuka ke bawah, titik
ekstrimnya adalah titik maksimum.
 Jika y” > 0 : bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik
ekstrimnya adalah titik minimum.
By : BIDA SARI, SP, MSi

25. Contoh: titik ekstrim fungsi parabolik
 Perhatikan fungsi parabolik berikut dan turunan-
turunannya, serta hubungan secara grafik.
y = f(x) = x2 - 8x + 12 ……………fungsi parabolik
y’ = f’(x) = dy/dx = 2x – 8 …….fungsi linear
y” = f”(x) = d2y/dx2 = 2 …………konstanta
 y’ = 0,  2x – 8 = 0 maka nilai variabel bebas x = 4.
x = 4  dimasukkan ke dalam persamaan parabola
 y = f(x) = 42 – 8(4 )+ 12 = -4
 Parabola y = f(x) = x2 - 8x + 12 , mencapai titik ekstrim pada
koordinat (4, -4) dan merupakan titik ekstrim minimum
By : BIDA SARI, SP, MSi

26. 4
2 6
-4
-8
2
12
(4,-4)
y” = 2
x
y
y’= 2x - 8
y = x2 – 8x + 12
0
By : BIDA SARI, SP, MSi
Grafik Fungsi y = x2 – 8x + 12
Titik Esktrim Minimum

27. Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik
 Titik maksimum atau minimum fungsi kubik, serta titik
beloknya dapat dicari melalui turunan pertama dan
kedua dari fungsi tersebut.
 Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0
 Jika y” < 0 : bentuk parabolanya terbuka ke bawah, titik
ekstrimnya adalah titik maksimum.
 Jika y” > 0 : bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik
ekstrimnya adalah titik minimum.
 Fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada y” = 0
 Perhatikan fungsi kubik dan turunannya berikut :
y = 1/3x3 – 3x2 + 8x – 3 …………. fungsi kubik
y’ = x2 – 6x + 8 ……………………… fungsi kuadratik
y” = 2x – 6 …………………………… fungsi linear
By : BIDA SARI, SP, MSi

28.  Jika y’ = 0,  x2 – 6x + 8 = 0
(x – 2)(x – 4) = 0  x1 = 2, x2 = 4
 Untuk x1 = 2 dimasukkan pada persamaan kubik 
y = 1/3(2)3 – 3(2)2 + 8(2) – 3 = 3,67
maka y = 3.67  koordinat titik ekstrim(2, 3.67)
 Untuk x1 = 2 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, y”= 2.2 – 6 =-2
maka y” = -2 < 0 (turunan kedua negatif)  titik ekstrim maksimum
 Untuk x2 = 4 dimasukkan pada persamaan kubik 
y = 1/3(4)3 – 3(4)2 + 8(4) – 3 = 2,33
maka y = 2.33  koordinat titik ekstrim (4, 2.33)
 Untuk x2 = 4 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, y”= 2.4 – 6 =2
maka y” = 2 > 0 (turunan kedua positif)  titik ekstrim minimum
 Jika y” = 0  2x – 6 = 0  x = 3, nilai x = 3 dimasukkan dalam
persamaan kubik  y = 1/3(3)3 – 3(3)2 + 8(3)– 3 = 3  titik belok (3,3)
By : BIDA SARI, SP, MSi

29. 3
2 4
-4
-6
2
8
(3,-1)
y” = 2
x
y
y’’= 2x – 6
y’ = x2 – 6x + 8
0
-2
3.67 y = 1/3x3 – 3x2 + 8x - 3
(3,3)
(2,3.67)
(4,2.33)
Grafik Fungsi y = 1/3x3 – 3x2 + 8x - 3
By : BIDA SARI, SP, MSi

30. By : BIDA SARI, SP, MSi
Thank You
Semoga Bermanfaat