Në këtë projekt diplome do të studiohet kontrolli i robotëve të lëvizshëm, të komanduar në distancë, që të lëvizin në mënyrë të sigurtë, efektive dhe të përcaktuar. Kjo nënkupton që roboti të lëvizë pa u përplasur me objekte te ndryshme gjithashtu të lëvizë pa luhatje drejt destinacionit. Mjeti më i mirë për të arritur këtë, është sigurisht studimi i “teorisë së kontrollit”, nëpërmjet së cilës, mësohet se si mund te influencosh në sistemet dinamike të robotëve, mënyra e të sjellurit e të cilëve ndryshon gjatë kohës...

1. i
REPUBLIKA E SHQIPËRISË
UNIVERSITETI POLITEKNIK - TIRANË
FAKULTETI I INXHINIERISË ELEKTRIKE
DEPARTAMENTI I AUTOMATIKËS
PROJEKT DIPLOME
TEMA: PROJEKTIMI DHE NDËRTIMI I ROBOTIT
ME KONTROLL AUTOMATIK TË
LËVIZJES NË NJË MJEDIS TË
PANJOHUR
DEKANI I FAKULTETIT Prof. Raimonda BUHALJOTI
PERGJEGJESI DEPARTAMENTIT Prof. Asc. Dr. Aida SPAHIU
UDHEHEQESI Prof. Dr. Petrika MARANGO
KONSULENTI Prof. Dr. Petrika MARANGO
DIPLOMANTI Evis VASIU
TIRANË 2014

2. ii
REPUBLIKA E SHQIPËRISË
UNIVERSITETI POLITEKNIK I TIRANËS
FAKULTETI I INXHINIERISË ELEKTRIKE
DEPARTAMENTI I AUTOMATIKËS
Sheshi Nënë Tereza, Nr.1, Tiranë
Tel/Fax: (+355) 4 228360
D E K A N I
Prof.Dr.Raimonda BUHALJOTI
FLETË -DETYRË
MBI PROJEKTIN – DIPLOMËN
Studenti ................EVIS ARISTIDHI VASIU..................................Nr.Regj....... POIELA010221.................
(emri, atësia, mbiemri)
Dega .......ELEKTRIKE.................. Drejtimi .......... AUTOMATIZIMI I INDUSTRISË......................................
I. Tema e projektit të diplomës
Projektimi dhe ndërtimi i robotit me kontroll automatik të lëvizjes në një mjedis të
panjohur......................................................................................................................................
II. Afati i dorëzimit të projektit të mbaruar nga studenti:
.......................03 Tetor, 2014....................................................................................................................

3. iii
III. Të dhëna mbi projektin
1. Ndërtimi i robotit me rrota të diferencuara, “QuickBot”………………………………………………..................
2. Sensorët me rreze infra të kuqe (infrared) Sharp GP2Y0A41SK0F ……….............................................
3. Rregullatori linear i tensionit LD1085 (5V, 3A) …………........................................................................
4. Enkoder numerik pozicioni FAIRCHALID SEMICONDUCTOR QRE1113 …………………………………..……...
5. QUADRUPLE HALF-H DRIVER Texas Instruments SN754410 …………………………………………………..…...
6. Motori me hapa (stepper motor) DG01D-A130GEARMOTOR......……………………………………….………...
III. Përmbajtja e projektit të diplomës
A. Relacioni
1. HYRJE...................................................................................................................................................
2. MODELIMI MATEMATIK I ROBOTIT ME RROTA TË DIFERENCUARA ………...........................................
3. RREGULLATORËT E BAZUAR NË KËRKESAT E ROBOTIT………….............................................................
4. EKUACIONET E GJENDJES NË FORMË MATRICORE DHE SISTEMET LINEARE.…….................................
5. SISTEMET HIBRIDE……..........................................................................................................................
6. PROBLEMATIKA E NAVIGIMIT……........................................................................................................
7. ARKITEKTURA E PLOTË E KONTROLLIT………………………………………………………………………….……...………....
8. MODELIMI I ROBOTËVE TË TJERË SIPAS MODELIT UNICYCLE…………………………………………….…………….
9. REALIZIMI PRAKTIK………………………………………………………………………………………………………………..……….
10.PËRFUNDIME……………………………………………………………………………………………………………………..…………..
11.REFERENCA……………………………………………………………………………………………………………………………….……
B. Vizatimet (me tregim të saktë të vizatimeve)
1. Figura 6. a) Grafiku i varësisë së tensionit në dalje nga distanca e matur nga sensori, fq. 8 .........
2. Figura 28. Paraqitja grafike e ndryshimit të pafundëm të gjendjeve gjatë një çasti të vetëm
kohe, fq 31 ...................................……………………………………………………………………………………….….….
3. Figura 29. Dalja nga fenomeni Zeno, nëpërmjet kontrollit me “rrëshqitje”, fq. 32 ……………..….…..
4. Figura 19. Lëvizja e robotit sipas modelit hibrid të fig. 18, fq. 26 …………………………………………….….
5. Figura 50. Ngecja e robotit në fenomenin Zeno. Me vijë të gjelbër tregohet rruga e duhur e
lëvizjes së robotit për devijuar pengesën, fq. 45 ………...................................................................
6. Figura 53. Vendimi i zgjedhjes së kahut për fillimin e lëvizjes përgjatë kontureve, fq. 48 ..……......
7. Figura 54. Këndi ndërmjet drejtimit antiorar dhe vektorit GTG, më i vogël se 90 gradë. Ky do të
jetë drejtimi i lëvizjës përgjatë konturit, fq. 48 ..…………………………………………………………………………..
8. Figura 57. Plotësimi i kushtit “rrugë e pastër”, për të lejuar shkëputjen e robotit nga lëvizja
përgjtatë konturit, fq. 50 .................................................................................................................
9. Figura 58. Modeli hibrid për sistemin e plotë të navigimit të robotit në një mjedis të panjohur,
fq. 51 ………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4. iv
V. Kontrolloi në departament (Studenti është i detyruar që me materialet e përgatitura në
atë kohë të paraqitet në departament).
1. ...............................................................Kontrolloi..............................................................
2. ...............................................................Kontrolloi..............................................................
3. ...............................................................Kontrolloi..............................................................
Udhëheqësi Prof. Dr. Petrika MARANGO
Konsulent Prof. Dr. Petrika MARANGO
Data e dhënies së detyrës: Qershor, 2014
Detyrën e mori për ta kryer studenti Evis VASIU
Përgjegjësi i Departamentit
Prof. Asc. Dr. Aida SPAHIU
1. Kjo fletë detyrë plotësohet në dy kopje, një i bashkëngjitet Projekt-Diplomës të kryer që bashkë
me të paraqitet në Komisionin Shtetëror të mbrojtjes së Projekt-Diplomave, ndërsa tjetra i jepet
studentit.

5. v
MIRËNJOHJE
Para se të filloj me zhvillimin e kësaj teme dua së pari të falenderoj pedagoget e
departamentit të Automatikës, të cilët më anë të njohurive dhe disponimit që më kanë ofruar
gjatë masterit në Fakultetin e Inxhinierisë Elektrike, kanë stimuluar tek unë interesin për
shkencën automatizimit dhe robotikës. Meritojnë falenderime dhe mirënjohje.
Në mënyrë specifike dua të falenderoj udhehëqesin shkencor të temës, Prof. Petrika Marango,
për të gjitha këshillat dhe udhëzimet e marra përmes këtij projekti.
Gjithashtu, do të doja të falenderoja stafin e kursit online “Control of Mobile Robots” në Coursera,
veçanërisht Dr. Magnus Egerstedt, për dijet e ofruara për realizimin e këtij projekti.
Dhe në fund, por jo për nga rëndësia, dua të falenderoj të gjithë përsonat që më kanë mbështetur, jo
vetëm gjatë realizimit të projektit, por gjatë gjithë kohës së studimeve. Veçanërisht, këtu dua të
falenderoj prindërit e mi, për të gjithë mbështjetjen dhe besimin që më kanë ofruar gjatë gjithë kësaj
kohe. Ju faleminderit shumë!

6. vi
PËRMBAJTJA
1. HYRJE.................................................................................................................................................. 1
2. MODELIMI MATEMATIK I ROBOTIT ME RROTA TË DIFERENCUARA ................................................ 2
2.1 ODOMETRIA.................................................................................................................................. 5
2.1.1 ENKODERËT E POZICIONIT..................................................................................................... 5
2.1.2 SENSORËT ME RREZE INFRA TË KUQE, INFRARED................................................................. 7
3. RREGULLATORËT E BAZUAR NË KËRKESAT E ROBOTIT..................................................................... 9
3.1 RREGULLATORI “GO-TO-GOAL”.................................................................................................. 11
3.2 RREGULLATORI “AVOID-OBSTACLES”......................................................................................... 12
3.3 IMPLEMENTIMI I RREGULLATORIT ............................................................................................. 14
4. EKUACIONET E GJENDJES NË FORMË MATRICORE DHE SISTEMET LINEARE ................................. 16
4.1 MODELI UNICYCLE ...................................................................................................................... 18
4.2 LINEARIZIMI I MODELIT............................................................................................................... 18
4.3 LINEARIZIMI I MODELIT UNICYCLE.............................................................................................. 22
5. SISTEMET HIBRIDE............................................................................................................................ 23
5.1 NDRYSHIMET E GJENDJEVE......................................................................................................... 23
5.2 MODELET HIBRIDE ...................................................................................................................... 24
5.3 RREZIQET E PËRDORIMIT TË SISTEMEVE HIBRIDË ...................................................................... 26
5.4 FENOMENI “ZENO” ..................................................................................................................... 30
5.5 METODA E KONTROLLIT ME “RRËSHQITJE”................................................................................ 32
5.6 RREGULLATORËT E PROJEKTUAR SIPAS KËRKESAVE TË ROBOTIT .............................................. 36
5.6.1 RREGULLATORI “GO-TO-GOAL”........................................................................................... 36
5.6.1.1 PROBLEMI I RREGULLATORIT LINEAR.......................................................................... 37
5.6.2 RREGULLATORI “AVOID-OBSTACLES”.................................................................................. 38
5.7 KOMBINIMI I RREGULLATORËVE ................................................................................................ 39
6. PROBLEMATIKA E NAVIGIMIT ......................................................................................................... 43
6.1 KARAKTERISTIKAT KRYESORE TË MJEDISIT................................................................................. 43
6.3 NAVIGIMI I ROBOTIT................................................................................................................... 45
6.2 RREGULLATORI PËR LËVIZJEN PËRGJATË KONTURIT.............................................................. 46
6.2 SISTEMI I PLOTË I NAVIGIMIT ................................................................................................. 51
6.4 SUGJERIME PRAKTIKE ................................................................................................................. 52

7. vii
7. ARKITEKTURA E PLOTË E KONTROLLIT ............................................................................................ 56
7.1 EKUIVALENTIMI I MODELIT TË ROBOTIT..................................................................................... 56
7.3 NIVELET E KONTROLLIT............................................................................................................... 56
7.4 ARKITEKTURA E KONTROLLIT ME BLLOK GJURMIMI .................................................................. 57
7.5 TRANSFORMIMI I MODELIT UNICYCLE ....................................................................................... 59
8. MODELIMI I ROBOTËVE TË TJERË SIPAS MODELIT UNICYCLE......................................................... 63
8.1 MODELI UNICYCLE I KUFIZUAR “DUBINS” .................................................................................. 64
8.2 MODELIMI I AUTOMJETEVE ME AUTOPILOT.............................................................................. 65
9. REALIZIMI PRAKTIK .......................................................................................................................... 67
9.1 BORDI “BEAGLEBONE BLACK”..................................................................................................... 67
9.2 ENKODERI I POZICIONIT.............................................................................................................. 69
9.3 ENKODERI H-BRIDGE................................................................................................................... 70
9.4 RREGULLATORI LINEAR I TENSIONIT........................................................................................... 71
9.5 SENSORËT ME RREZE INFRA TË KUQE......................................................................................... 72
9.6 MOTORËT ME HAPA ................................................................................................................... 75
9.7 NDËRTIMI I ROBOTIT................................................................................................................... 75
9. PËRFUNDIME.................................................................................................................................... 76
10. REFERENCA..................................................................................................................................... 77

8. 1
HYRJE
Në këtë projekt diplome do të studiohet kontrolli i robotëve të lëvizshëm, të
komanduar në distancë, që të lëvizin në mënyrë të sigurtë, efektive dhe të përcaktuar. Kjo
nënkupton që roboti të lëvizë pa u përplasur me objekte te ndryshme gjithashtu të lëvizë pa
luhatje drejt destinacionit. Mjeti më i mirë për të arritur këtë, është sigurisht studimi i “teorisë
së kontrollit”, nëpërmjet së cilës, mësohet se si mund te influencosh në sistemet dinamike të
robotëve, mënyra e të sjellurit e të cilëve ndryshon gjatë kohës.
Konkretisht, pikat kryesore teorike të projektit do të jenë: modelimi matematik i robotëve me
rrota të diferencuara, linearizimi i modeleve të përftuara, projektimi i rregullatorëve përkatës
për gjendje të ndryshme të robotit si edhe përdorimi i sistemeve hibride. Gjithashtu,
implementimi në softuer i rregullatorëve të përftuar matematikisht, skemat e kontrollit,
simulimi, testimi, etj.
Edhe pse fokusi kryesor i projektit do të jetë teoria, do të ishte jo më pak i rëndësishëm edhe
zbatimi i teorisë së studiuar në këtë projekt, mbi një platformë fizike reale. Për këtë arsye, në
këtë projekt do të jepet në mënyrë të detajuar ndërtimi i një roboti të lëvizshëm në mënyrë
autonome, të komanduar në distancë nga kompjuteri personal.
Pjesa praktike e projektit konsiston në ndërtimin dhe kontrollin e nje roboti me me dy rrota te
diferencuara nga njëra tjetra (kontroll i pavarur i rrotave). Roboti do të ketë si detyrë kalimin
në pozicione të ndryshme duke u devijuar automatikisht nga pengesat që i hasen rrugës.
Roboti do të ketë enkoder (shaft encoder) për secilën rrotë për të njohur pozionin e rrotave
dhe pesë sensorë infrared (IR) për të matur distancën e robotit nga pengesat.
Ekzekutimi i softuerit do të realizohet nga mikrokompjuteri BeagleBone Black (BBB). Në
bordin BBB do të vendoset një antenë Wifi për të bërë ndërlidhjen në kohë reale të robotit me
softuerin (Matlab) në kompjuter. Në Matlab do të realizohet simulimi dhe komandimi i
robotit.
Objekti i realizimit të kësaj teme për mbrojtjen e diplomës është i shprehur qartë dhe në
titullin e temës dhe konsiston në zbatimin ideve të përftuara nga studimi teorisë së kontrollit,
mbi një robot të ndërtuar në praktikë.

9. MODELIMI MATEMATIK I ROBOTIT ME RROTA TË DIFERENCUARA
Për të projektuar kontrollin e robotëve, patjetër duhet të dihet model
roboti lëviz ose sillet në rrethana të caktuara. Në këtë rast, do të studiohet modeli matematik
për robotët me rrota të diferencuara, siç është edhe roboti që do të realizohet praktikisht.
Roboti me rrota të diferencuara ka dy rrota, ku
me shpejtësi të ndryshme nga njëra
realizohet rrotullimi i robotit dhe lëvizja e tij në pozicione të ndryshme.
Mënyra se si roboti funksionon është duke kontrolluar shpejtësinë e lëvizjes së rrotës së majtë
dhe të djathtë. Konkretisht, duke i rrotulluar rrotat me shpejtësi të njëtë, roboti l
të drejtë. Nëse një rrotë rrotullohet me shpejtësi më të vogël se tjetra, roboti do të rrotullohet
në anën e rrotës me shpejtësi më të vogël
Për modelimin matematik të robotit është e nevojshme njohja e vetëm dy parametrave
konstruktiv, distanca ndërmjet rrotave
kontrollojmë tek roboti janë shpejtësitë e rrotave. Kështu që, dy inputet (parametrat e
kontrollit) për robotin do të jenë
Figura 3. Parametrat konstruktiv dhe pa
MODELIMI MATEMATIK I ROBOTIT ME RROTA TË DIFERENCUARA
Për të projektuar kontrollin e robotëve, patjetër duhet të dihet model
roboti lëviz ose sillet në rrethana të caktuara. Në këtë rast, do të studiohet modeli matematik
për robotët me rrota të diferencuara, siç është edhe roboti që do të realizohet praktikisht.
Roboti me rrota të diferencuara ka dy rrota, ku secila rrotë rrotullohet në mënyrë të pavarur
me shpejtësi të ndryshme nga njëra-tjetra. Duke rrotulluar rrotat me shpejtësi të ndryshme,
realizohet rrotullimi i robotit dhe lëvizja e tij në pozicione të ndryshme.
Mënyra se si roboti funksionon është duke kontrolluar shpejtësinë e lëvizjes së rrotës së majtë
dhe të djathtë. Konkretisht, duke i rrotulluar rrotat me shpejtësi të njëtë, roboti l
të drejtë. Nëse një rrotë rrotullohet me shpejtësi më të vogël se tjetra, roboti do të rrotullohet
në anën e rrotës me shpejtësi më të vogël.
Për modelimin matematik të robotit është e nevojshme njohja e vetëm dy parametrave
tanca ndërmjet rrotave L dhe rrezja e rrotave R (fig.3). Parametrat që mund të
kontrollojmë tek roboti janë shpejtësitë e rrotave. Kështu që, dy inputet (parametrat e
kontrollit) për robotin do të jenë vl dhe vr.
Figura 2. Paraqitja skematike e
diferencuara
Figura 3. Parametrat konstruktiv dhe parametrat e kontrollit të robotit
2
MODELIMI MATEMATIK I ROBOTIT ME RROTA TË DIFERENCUARA
Për të projektuar kontrollin e robotëve, patjetër duhet të dihet modeli matematik se si
roboti lëviz ose sillet në rrethana të caktuara. Në këtë rast, do të studiohet modeli matematik
për robotët me rrota të diferencuara, siç është edhe roboti që do të realizohet praktikisht.
secila rrotë rrotullohet në mënyrë të pavarur
tjetra. Duke rrotulluar rrotat me shpejtësi të ndryshme,
Mënyra se si roboti funksionon është duke kontrolluar shpejtësinë e lëvizjes së rrotës së majtë
dhe të djathtë. Konkretisht, duke i rrotulluar rrotat me shpejtësi të njëtë, roboti lëvizë në vijë
të drejtë. Nëse një rrotë rrotullohet me shpejtësi më të vogël se tjetra, roboti do të rrotullohet
Për modelimin matematik të robotit është e nevojshme njohja e vetëm dy parametrave
). Parametrat që mund të
kontrollojmë tek roboti janë shpejtësitë e rrotave. Kështu që, dy inputet (parametrat e
Figura 2. Paraqitja skematike e robotit me rrota të
rametrat e kontrollit të robotit

10. 3
Përgjithsisht, çfarë na intereson për gjendjen e robotit janë pozicioni i tij dhe këndi i
orientimit të tij. Kështu që, variablat e gjendjes për sistemin (sistemin e kontrollit të robotit)
do të jenë pozicioni i tij X dhe Y, si dhe këndi i rrotullimit (orientimi i robotit) Φ në planin
2D (fig. 3).
Modeli matematik i robotit duhet të bëjë lidhjen ndërmjet inputeve të robotit vl , vr dhe
variablave të gjendjes , dhe .
Nga Kinematika, ekuacionet përkatëse që bëjnë lidhjen e inputeve me variablat e gjendjes do
të jenë:
Ky sistem ekuacionesh përbënë modelin matematik të robotit me rrota të diferencuara. Ky
model më tregon se si roboti mund të transferohet në një pozicion të caktuar dukë përdorur
inputet vl , vr.
Problemi me këtë model qëndron në faktin se gjatë projektimit të rregullatorit nuk është
normale të mendosh në termat e shpejtësive të secilës rrotë, si parametra të kontrollit. Për
këtë arsye ky model zakonisht nuk përdoret gjatë projektimit të rregullatorit, megjithatë kur
implementohet rregullatori ky do të jetë modeli i përdorur për kontrollin e robotit. Prandaj,
vetëm gjatë projektimit, në vend të përdorimit të modelit të robotit me parametra kontrolli vl
dhe vr, do të përdoret modeli i përgjithshëm i quajtur “modeli unicycle”. Në modelin unicycle
bëhet kontrolli direkt i gjendjes (X,Y) dhe , duke u interesuar për shpejtësinë e ndryshimit
të këndit dhe për shpejtësinë e ndryshimit të kordinatave X dhe Y.
Në këtë mënyrë inputet e modelit matematik do të jenë shpejtësia drejtvizore v dhe shpejtësia
këndore ω. Përsëri nga kinematika, modeli matematik i robotit për këto inpute do të jetë:
( 1 )

11. 4
Ky është modeli matematik i robotit që do të përdoret për projektimin e rregullatorëve të
robotit. Por ky model nuk nuk mund implementohet tek roboti. Prandaj, është e nevojshshme
të bëjmë lidhjen ndërmjet këtij modeli dhe modelit me rrota të diferencuara, i cili është i
implementueshëm tek roboti.
Në modelin unicycle v dhe ω janë inputet për kontrollin e gjendjes së robotit. Ndërsa, vl dhe
vr janë parametrat real të kontrollit të robotit që paraqiten nëpërmjet modelit me rrota të
diferencuara.
Duke barazuar anët e djathta në ekuacionet e të dy modeleve, përftojmë sistemin me dy
ekuacione dhe dy të panjohura vl dhe vr, pasi v dhe ω janë parametrat e nxjerrë nga
projektimi i kontrollit. Nga zgjidhja e sistemit përftojmë shprehjet matematikore që bëjnë
lidhjen ndërmjet parametrave vl dhe vr të modelit diferencial me parametrat v dhe ω të
modelit unicycle.
( 2 )
(3)

12. 5
ODOMETRIA
Odometria është përdorimi i të dhënave të përftuar nga sensorët, për të përcaktuar ndryshimin
e pozicionit të objektit në varësi të kohës. Në këtë mënyrë mund të marrim informacion mbi
vendodhjen e robotit x,y dhe orientimin e tij φ, në planin 2D.
Për marrjen e këtij informacioni sigurisht që duhen sensorët. Janë dy mundësi të përdorimit të
sensorëve:
- Sensorë të jashtëm, janë sensorët që japin informacion për mjedisin rrethues të robotit,
si p.sh distanca e robotit nga një objekt, ose distanca nga destinacioni përfundimtar.
Të tillë janë sensorët ultrasound, sensorët infrared, kamerat, skanerat me lazer,
pajisjet GPS etj.
- Sensorë të brendshëm janë sensorër që japin informacion për gjendjen aktuale te
robotit, pozicionin dhe orientimin e tij. P.sh: akselerometrat, xhiroskopët, enkoderët
etj.
ENKODERËT E POZICIONIT
Enkoderi i pozicionit jep informacion për distancën e kryer nga secila rrotë e robotit. Si fillim
pranojmë se për një cast të kohës secila rrotë gjatë lëvizjes përshkruan një hark. Kjo do të
thotë që në këtë cast të kohës secila rrotë është duke u kthyer me një shpejtësi këndore ω=cte
,
dhe duke lëvizur me një shpejtësi lineare v=cte
.
Në figurën 4, Dl është gjatësia e harkut e kryer nga rrota e majtë, ndërsa Dr është gjatësia e
harkut e kryer nga rrota e djathtë. Kështu, rrota e djathtë është duke u kthyer më shpejtë se
rrota e majtë, sepse ka lëvizur më shumë se rrota e majtë për të njëjtën kohë. Por variablat e
gjendjes së robotit që më interesojnë janë pozicioni X,Y që ndodhet në qendrën e robotit.
Figura 4 Llogaritja e distancës së kryer nga roboti
(4)

13. 6
Kështu që në figurën 4, Dc është gjatësia e harkut e kryer nga qendra e robotit dhe
përcaktohet me shprehjen e figures 4.
Duke njohur distancën Dc të kryer nga qendra e robotit gjatë një intervali kohe, mund të
njihen vlerat e reja të parametrave të gjendjes së robotit x, y, φ pas këtij intervali kohe.
Me fjalë të tjera, ekuacioniet e mësiperme bëjnë “rifreskimin” e parametrave të gjendjës gjatë
çdo intervali kohe. Roboti me rrota të diferencuara i ndërtuar në këtë projekt, do të përdorë
enkoderët e pozicionit si burim të vetëm informacioni për njohjen e pozicionit të tij.
Por, si do të njihet distanca e harkut të përshkuar nga secila rrotë?
Supozojmë se secili enkoder lëshon “N” impulse për një rrotullim të plotë të rrotës. Pra,
2 * π = N
Në përgjithsi enkoderët japin numrin total të impulseve që nga fillimi i lëvizjes së rrotës. Pra,
ajo çfarë përftohet është se sa impulse janë prodhuar që nga nisja e sistemit. Për të njohur
numrin e impulseve në një interval të caktuar kohe, përdorim formulën e mëposhtme:
Për shembull, për njohjen e impulseve nga çasti i kohës t1 deri në çastin t2 të kohës, bëhet
diferenca midis numrit total të impulseve deri në çastin t2(tick’), me nurmin total të impulseve
deri në çastin t1(tick).
Bazuar në numrin e impulseve (∆tick), llogaritet distanca e harkut e pëshkuar nga secila rrotë:
Cilësia e enkoderëve luan një rol mjaft të rëndësishëm në cilësinë e kontrollit të sistemeve
robotike. Në këtë rast, rezolucioni relativisht i ulët e enkoderëve të përdorur, shkakton një
(5)
(6)
(7)

14. 7
mospërputhje relativisht të vogël të realitetit me informacionin që jep enkoderi. Por, në disa
rrethana, kur vështirsohen kushtet e qëndrueshmërisë, nevojitet cilësi më e lartë e
enkoderëve, në të kundërt kontrolli i robotit mund të kalojë në gjendje të paqëndrushme.
SENSORËT ME RREZE INFRA TË KUQE, INFRARED (IR)
Robotit i nevojitet të dallojë objektet në afërsi të tij, që më pas të ketë mundësi t’i shmangë
ato. Kjo është një nga detyrat kryesore të robotit. Për këtë qëllim, përdoren sensorët infrared
(IR) që klasifikohen në grupin e sensorëve të jashtëm.
Nga sensori (1) deri në sensorin (5) orientimi relativ i sensorëve është respektivisht 90o
, 45o
,
0o
, -45o
, -90o
.
Sensorët IR të përdorur në këtë projekt janë të tipit, “Sharp GP2D120XJ00F”. Distanca
efektive e të maturit për këtë tip sensori, është vetëm (0.04 - 0.3) m. Megjithatë ky tip sensori
IR ka një diapason të gjerë të ndryshimit të sinjalit në dalje, me vlerë nga (0.4 – 2.75) [V].
Figura 6-a paraqet grafikisht funksionin e sinjalit në dalje në varësi të distancës që sensori
mat. Mikrokompjuteri “BeagleBone Black” dixhitalizon sinjalin analog në dalje të sensorit
duke përdorur një ndarës tensioni dhe një konvertues ADC (Analog to Digital Converter) 12
bit, 1.8 V. Figura 6-b paraqet me tabelë vlerat respektive të: tensionit në dalje të konvertuesit
ADC; tensionit në dalje të sensorit IR; për distancën e matur nga sensori IR. Nga tabela, duke
kryer interpolimin e vlerave, nxirret funksioni matematik që paraqet varësinë e vlerave në
1
2
3
4
5
x
y
Figura 5. Simulimi i robotit në Matlab, pozicionimi i sensorëve

15. 8
dalje të ADC-së me vlerat e matura nga sensori. Interpolimi i vlerave kryhet direkt nga
Matlab-i nëpërmjet komandave polyfit dhe polyval.
Është e rëndësishme të dihet, që sensorët IR ndikohen nga ndryshimet e dritës të ambientit
përreth. Prandaj, duhet patur parasysh që roboti të ruhet nga ambientet me ndryshime të
shpeshta të dritës.
Figura 6. a) Grafiku i varësisë së tensionit në dalje nga distanca e matur nga
sensori (funksioni transferues). b) Vlerat respektive te tensionit

16. 9
3. RREGULLATORËT E BAZUAR NË KËRKESAT E ROBOTIT
Mjedisi përreth robotit është thellësisht dinamik dhe i ndryshueshëm për nga natyra
dhe i panjohur për robotin. Kështu që, nuk është e logjikshme të projektosh sisteme kontrolli
që parashikojnë çdo ndërveprim të mundshëm të robotit me mjedisin përreth. Kjo mund të
ketë kuptim kur projektohen sisteme kontrolli për robotët industrial në fabrikat e prodhimit,
ku robotët planifikohen për të përsëritur të njëjtat veprime në çdo cikël pune.
Në rastin e një roboti që vetksploron mjedisin rrethues, ku nuk dihet saktësisht se çfarë është
duke ndodhur me këtë mjedis, është e pajustifikueshme të shpenzosh të gjitha fondet për të
projektuar mënyrën më të mirë të mundshme që roboti duhet të lëvizë. Sepse nuk ka për të
qenë mënyra më e mirë e mundshme, sepse në të vërtetë mjedisi është i paparishikueshëm.
Kështu që, zgjidhja e justifikueshme e këtij problemi, është të ndërtosh një listë me
rregullatorët më të përdorshëm dhe të domosdoshëm. Rregullatorë, të cilët janë të projektuar
për kërkesa të ndryshme që ka roboti në momente të ndryshme, si p.sh. rregullatorët për
shmangien nga pengesat, rregullatorët për lëvizjen në një destinacion të caktuar, etj.
Le të ndërtojmë një rregullator të tillë për robotin me rrota të diferencuara. Rregullatori do të
ketë si qëllim kontrollin e orientimit të robotit në një kënd të dëshiruar nga përdoruesi.
Supozojmë se roboti me model matematik si më poshtë, lëvizë me një shpejtësi konstante, v0.
Pra, parametri i vetëm që mund të kontrollohet është ndryshimi shpejtësisë këndore së
robotit. Ekuacioni i tretë i modelit, tregon se shpejtësia këndore e robotit ndikon direkt në
përcaktimin e ndryshimit të këndit të robotit.
Supozojmë se trekëndëshi i verdhë në fig. 7, është roboti në fjalë. Aktualisht roboti ndodhet i
Figura 7. Në të majtë, Modeli Unicycle. Në të djathtë të figurës, orientimi aktual i robotit
dhe orientimi i dëshiruar i robotit, .

17. 10
drejtuar me një kënd nga boshti i referimit. Supozojmë se për arsye të caktuara, roboti
duhet të drejtohet me një kënd d nga boshti i referimit.
Nga ekuacioni (8), del se detyra e rregullatorit mbetet gjetja e vlerës ω, e cila është sinjali i
komandës për kontrollin e dëshiruar të këndit.
Si do funksionojë skema e kontrollit të këndit?
Deri tani kemi të dhënë: modelin matematik të robotit, referencën , sinjalin e shmangies së
sistemit që krahason referencën ϕ me këndin që roboti ndodhet aktualisht, pra daljen e
sistemit. Kemi të dhënë edhe dinamikën e sistemit = .
Pra, kemi të dhënë gjithçka që nevojitet për të projektuar rregullatorin e sistemit, rr. PID. Nga
ekuacioni matematik i rregullatorit PID del se:
Por, kontrolli i ndryshimit të shmangies në këtë mënyrë, nëpërmjet rr. PID, nuk do të
funksionojë. Sepse shmangia , fizikisht është një kënd. Dhe kontrolli i këndit është një rast i
veçantë në teorinë e kontrollit. Kjo ndodh sepse diferenca ndërmet këndit të referencës ϕ
dhe këndit aktual , mund të zmadhojë së tepërmi koeficientin e transmetimit. P.sh për
ϕ = 0 dhe = 100 shmangia do të ishte: = − = −100 . Kjo do të thotë një
vlerë e shmangies mjaft e madhe, dhe bazuar në ekuacionin e PID-së do të kishte një vlerë
mjaft të madhe, çka do të shkaktonte luhatje të papranueshme të robotit.
Por, këndi 100π ka të njëjtin ndikim si këndi 0 gradian. Prandaj, gabimi duhet të ishte zero.
Zgjidhja e këtij problemi është duke siguruar një mënyrë që shmangia ∈ [− , ]. Kjo
realizohet duke zëvendësuar me ′:
=
sin ( )
cos ( )
$
Konkretisht, në Matlab shmangia e sistemit kur kemi të bëjme me kënde do të jetë e shkruar
(8)
(9)
(10)

18. 11
si më poshtë:
Përdorimi i siguron që shmangia e sistemit të plotësojë kushtin e kërkuar ∈ [− , ]
dhe në këtë mënyrë rregullatori PID do të punojë më së miri.
NAVIGIMI I ROBOTIT NË MJEDISIN E PANJOHUR
Ky është problemi i lëvizjes së robotit në një mjedis të panjohur për të, pa u përplasur me
objektet përreth, për të arritur në destinacionin e dëshiruar. Në figurën ilustruese, roboti
paraqitet me topin ngjyrë blu, ndërsa destinacioni i dëshiruar me ikonën e diellit.
Përderisa kemi të bëjmë, me objektë që shfaqen si pengesë, dhe me destinacione të kërkuara
nga përdoruesi, del se nevojiten të paktën dy rregullatorë bazë për kërkesat specifike të
robotit. Dy rregullatorët bazë do të jenë: regullatori për lëvizjen e robotit në destinacion (go-
to-goal) dhe rregullatori për shmangien nga pengesat (avoid-obstacles).
RREGULLATORI “GO-TO-GOAL”
Deri tani dihet që për robotin me rrota të diferencuara dhe me model matematik
“modelin unicycle”, për lëvizje me shpejtësi lineare konstante, ajo çfarë mbetet për t’u
kontrolluar është këndi i orientimit të robotit, = . Kontrolli i këndit u realizua më parë,
duke përdorur rregullatorin PID për përpunimin si më poshtë të shmangies .
= %&'( ), =
sin ( )
cos ( )
$ , = −
Figura 8. Roboti edhe destinacioni i dëshiruar i robotit.

19. 12
Rregullatori i kontrollit të këndit është i domosdoshëm për arritjen në destinacionin e
deshiruar. Ajo çfarë nuk dihet në këtë problem është këndi i dëshiruar që i duhet robotit për
arritjen e destinacionit. Supozojmë se roboti është i pozicionuar në kordinatat (x,y) dhe dihet
që kordinatat e destinacionit të deshiruar janë (xg, yg), të cilat jepen nga përdoruesi.
Llogaritja e këndit të dëshiruar (referimit) kryhet thjeshtë me formulën e mësipërme. Dhe më
pas, kalohet në problemin e kontrollit të këndit, të diskutuar më parë. Por, pa harruar
rregullimin e koeficientëve të rr. PID për një kontroll sa më optimal të arritjes së
destinacionit.
RREGULLATORI “AVOID-OBSTACLES”
Rregullatori “avoid-obstacles”, i shmangies së pengesave, është mëse i domosdoshëm
për arritjen e qëllimit të dëshiruar, arritjen e destinacionit. Për të mos shkaktuar përplasjen e
robotit me pengesat që i shfaqen rrugës, robotit i nevojitet një rregullator që të kontrollojë
ndryshimin e drejtimit të robotit për të devijuar këto pengesa.
Për kontrollin e shmangies së pengesave do të përdoret e njëjta ide si për kontrollin e arritjes
së destinacionit, pra, duke llogaritur drejtimin e duhur që roboti duhet të lëvizë.
Figura 9. Llogaritja e këndit të dëshiruar
Figura 10. Vlerësimi i mundësive të lëvizjes së robotit
(11)

20. 13
Në figurën e mësipërme është paraqitur roboti i ilustruar me topin ngjyrë blu, pengesa e
ndodhur në pozicionin ( (, () e paraqitur me ngjyrë të kuqe, dhe destinacioni përfundimtar
“goal-location” me ikonën e diellit. Bazuar në këtë këtë figurë, nisur nga ideja e projektimit
të drejtimit të dëshiruar, shihet që ka disa mundësi zgjedhjeje të këtij drejtimi të dëshiruar.
Një mundësi do të ishte devijimi i “pastër” i pengesës duke e drejtuar robotin 180o
nga
pengesa. Por kjo zgjedhje duket tepër kaotike, pasi një zgjidhje e tillë mund të largojë së
tepërmi robotin nga destinacioni i dëshiruar. Një mundësi e dytë më e “shkathët” do ishtë
devijimi me 90o
nga pengesa.
Për devijim me kënd -
)
*
roboti shkon në drejtimin e destinacionit. Për devijim +
)
*
roboti i
largohet destinacionit të deshiruar. Prandaj, në këtë rast është e rëndësishme të njihet
pozicioni i destinacionit, për të pasur një devijim sa më efektiv. Për këtë arsye, kjo nuk është
një strategji e pastër devijimi, por një strategji e kombinuar, sepse duhet të dihen kordinatat e
destinacionit.
Sipas figurës 10, një mundësi e tretë do të ishte thjeshtë shpërfillja e pengesës dhe kalimi
direkt në drejtimin e destinacionit përfundimtar. Një zgjedhje mjaft e rrezikshme për
pozicione të ndryshme të pengesave.
Dhe mundësia e fundit është një kombinim i drejtimit për në destinacion, me drejtimin e
shmangies së pengesës. Kjo metodë është qartësisht një mekanizëm i përzierë devjimi.
Ky shembull nxjerr në pah dy mekanizma arbitrimi themelorë:
- Ndryshime të forta (hard switches), rasti i lëvizjes në drejtim të kundërt me
pengesën, pa u interesuar për drejtimin e destinacionit dhe rasti i lëvizjes në drejtim të
destinacionit pa u interesuar për pengesat.
- Sjellje të kombinuara, (blending) , dy mundësitë e tjera të paraqitura më lartë
Figura 11. Devijimi me 90o
i robotit

21. 14
Analiza se cila strategji do të përdoret për devijimin e pengesave, do të përcaktohet nga një
algoritëm i caktuar. Ky algoritëm do të analizojë situatën në çdo çast dhe do të zgjedhë
strategjinë më të mire, bazuar në kushtet që do të analizohen në kapitujt pasardhës.
IMPLEMENTIMI I RREGULLATORIT
Pasi të jetë projektuar rregullatori i përshtatshëm për kontrollin optimal të lëvizjes së robotit,
lind nevoja e implementimit të tij, në softuerin që do të ekzekutohet nga simulatori në
kompjuter ose nga mikrokompjuteri. Rregullatorët e përdorur në të gjithë konturet e mbyllur
të robotit, do të jene vetem të tipit Rr. PID, prandaj kërkohet vetëm transformimi i
rregullatorit PID nga një shprehje matematike si më poshtë, në një kod të ekzekutueshëm nga
mikrokompjuteri BeagleBoneBlack.
Variabli i kohës në rrafshin diskret, është kampioni i kohës ∆t, i cili krijohet më një frekuencë
(shpeshti) të caktuar, konkretisht me një frekuencë të njëjtë me atë të mikrokompjuterit BBB.
Ajo çfare duhet të bëhet në këtë rast, është konvertimi i pjesëve të ekuacionit të PID-së nga
rrafshi i vazhduar i kohës, në rrafshin diskret të kohës.
Si fillim kemi pjesën e parë proporcionale të rregullatorit, e cila përbën vlerën e shmangies së
sistemit nga vlera e dëshiruar. Për shmangien nuk eshtë e rëndësishme nëse jemi në rrafshin e
vazhduar apo diskret të kohës. Pra, thjesht bëhet diferenca midis vlerës së daljes së sistemit
me vlerën e referencës, kjo e shumëzuar me koeficientin e rregullueshëm proporcional Kp.
Pjesa derivative e rregullatorit në rrafshin diskret përftohet nga shprehja përkufizuese e
derivatit. Konkretisht, derivati i funksionit të shmangies e(t) për ∆t 0 (mqs ∆t <<0),do të
ishte përafërsisht:
Kështu që, nëse ruaj gabimin e kaluar të sistemit, llogaris gabimin e ri dhe më pas llogaris
diferencën ndërmjet dy vlerave dhe në fund e pjesëtoj me vlerën ∆t, atëherë përftoj një
(12)
(13)

22. 15
përafrim të mirë të pjesës derivative të rregullatorit, de(t)/dt të shumëzuar në fund me
koeficientin Kd.
Pjesa integrale e rregullatorit përfohet nga përkufizimi grafik i integralit të përcaktuar.
Integrali i përcaktuar është i barabartë me vlerën e sipërfaqes të krijuar nga funksioni dhe
boshti i kohës (t).
Llogaritja e përafërt e kësaj sipërfaqeje mund të bëhet duke mbledhur sipërfaqet e
drejtkëndëshave si në figurë, ku gjerësia e të cilëve është ∆t dhe gjatësia është sa vlera e
funksionit e(t) në castin e caktuar të kohës. Kështu, formula e llogaritjes së integralit do të
ishte:
Në këtë mënyrë, programimi i rr. PID në mënyrë thjeshtuar do të ishte:
Ku: Kd=kd/∆t dhe Ki=ki*∆t.
Kodi i mësipërm ekzekutohet në cdo kampion kohe ∆t. Vlera e_dot përfaqëson vlerën e
fundit të gabimit të matur. Variabli E përfaqëson shumën e të gjithë gabimeve të matur deri
në castin k∆t. Pjesa e fundit e kodit, bën “rifreskimin” e vlerës së gabimit të fundit old_e.
read e ;
e_dot = e – old_e ;
E = E + e ;
u = Kp * e + Kd *e_dot + Ki * E ;
old_e = e ;
PID
Figura 12. Llogaritja e Integralit me metodën e drejtkëndëshave
e
(14)
(15)

23. 16
EKUACIONET E GJENDJES NË FORMË MATRICORE DHE SISTEMET LINEARE
Në modelimin matematik përdoren gjerësisht matricat dhe sidomos vetitë e tyre, pasi
lehtësojnë zgjidhjen dhe kompjuterizimin e problemit. Një ekuacion diferencial linear i rendit
mund të shprehet me anë të ekuacioneve diferencial linear të rendit të parë, duke formuar
kështu një sistem ekuacionesh diferencialë linear të rendit të parë. Pikërisht, variablat që do të
formohen në këtë rast, do të jenë gjendjet e sistemit fillestar që kemi modeluar.
Përftimi i variablave të gjendjes, për modelimin matematik të një procesi industrial, kërkon si
hap të parë zgjedhjen e variablave që do të përcaktojnë gjendjen e tij. Nuk ka një rrugë të
vetme për të përcaktar variablat. Ndër to përmendet metoda e variablave fizikë të pavarur, që
bazohet në elementët që akumulojnë energji.
Me idetë e dhëna nga Kalman, modeli matematik me pamje përgjithsuese do të shkruhet:
+ = ,+ + ./
0 = 1+
ku respektivisht kemi:
A → ( 3) Matrica e objektit Y → (1 3) Vektori i daljeve
X → ( 1) Vektori i gjendjeve U → (1 4) Vektori i kontrollit
B → ( 3) Matrica e kontrollit
Dimensionet e matricave A, B dhe C varen nga dimensionet e vektorëve përkatës , 5 6ℎ .
Kjo ilustrohet në figurën e mëposhtme:
Për thjeshtësi, marrim si shembull ekuacionet lineare te gjendjes për “robotin” më të thjeshtë
të mundshëm, për një pikë mase.
(16)

24. 17
Në figurë (fig.13) paraqitet lëvizja e një pike mase në një vijë të drejtë, nxitimi i së cilës
kontrollohet direkt nëpërmjet inputit të kontrollit 5. Variabli 8 shpreh pozicionin e pikës
(robotit). Nxitimi i pikës, i cili është i barabartë me derivatin e dytë të pozicionit, është
thjeshtë 89 = 5 . Për krijimin e sistemit të ekuacioneve të gjendjes, duhet që ekuacioni
diferencial i rendit të dytë i sistemit, të kalohet në një sistem me dy ekuacione diferencialë të
rendit të parë. Kështu që, dy variablat që na interesojnë do të jenë pozicioni dhe shpejtësia e
robotit:
Më tej derivatet ose dinamika e variblave të përzgjedhur do të jenë 6ℎ *. Në këtë mënyrë
mund të krijojmë ekaucionet e gjendjes për sistemin, ku variablat e gjendjes do të jenë x1 dhe
x2.
Parametri që interesohemi për të kontrolluar do të jetë dalja e sistemit, .
Figura 13. Lëvizja e pikës p.
(17)
(18)
(19)

25. 18
MODELI I UNICYCLE
Për sa i përket modelit unicycle për robotin me rrota të diferencuara, vëmë re që prania e
sinusit dhe konsinusit në ekuacionet e modelit, bënë që ky model të mos jetë linear dhe nuk
mund të shkruhet drejtëpërdrejtë në formën e përgjithshme të ekuacioneve të gjendjes.
Provojmë të bëjmë një linearizim “të thjeshtë”, duke ditur që për vlera të vogla të këndit
, cos( ) ≈ 1 6ℎ sin ( ) ≈ 0, do të kemi:
Por, ekuacioni i sistemit = ; është jolinear, kjo bënë që edhe modeli i sistemit të jetë
jolinear.
Për këtë arsye duhen provuar metoda të tjera më të avancuara për linearizimin e këtij modeli,
siç mund të jetë linearizimi i modelit në pikën e punës.
LINEARIZIMI I MODELIT
Koncepti “sistem linear” dhe “sistem jolinear” i referohet modelit matematik që ne kemi
pranuar për të përfaqësuar një proces të caktuar dhe në përputhje me të emërtohet edhe vetë
procesi i modeluar. Kështu, në qoftë se do të pranojmë që modelin matematik t’a ndërtojmë
me ekuacione diferenciale lineare, edhe sistemi do të quhet linear.
Por, përgjithësisht karakteristika statike e sistemit është jolineare dhe mbi të është zgjedhur
një pikë pune P (fig. 15), parametrat e së cilës, [u0, y0], përcaktojnë zhvillimin normal të
teknologjisë. Ecuria e procesit teknologjik dhe veçanërisht prania e ngacmimeve në të, sjellin
“shmangie” nga kjo pikë pune (pikat e reja P1 ose P2), dhe do të jetë detyra e sistemit të
Figura 14. Linearizimi i modelit unicycle për kënde të vegjël
(20)

26. 19
kontrollit ti zvogëlojë ato dhe të rikthejë teknologjinë në gjendjen normale, pra në pikën e
pranuar të punë P0.
Fizikisht, këto “lëvizje” janë shmangie relativisht të vogla rreth pikës së punës mbi lakoren
= <(5), dhe shumica e modeleve jolinearë veprojnë njëlloj si modelet linearë në pikat e
tyre të punës. Për këtë arsye është plotësisht i pranueshëm një “linearizim” i kësaj lakore në
pikën e punës.
Ekuacioni i mëposhtëm paraqet një model jolinear të përgjithshëm.
Le të shënojmë regjimin nominal të punës, pra gjendjen në pikën P0 (pika e punës),
respektivisht me x((t) dhe 5(( ). Duke future idenë e shtesave, do të kemi respektivisht
?5( ), ? ( ), mbi vlerat e regjimit nominal të pranuar 5(( ), (( ).
Modeli matematik që përshkruan dinamikën e lëvizjes sipas shtesave do të jetë:
? = − ( = = @( ( + ? , 5( + ?5)
P1
P2
P0
u
y
u0
y0
Figura 15. Devijimi i sistemit nga pika e punës
0
(21)
(22)

27. 20
= ℎ( ( + ? )
Duke patur marrëdhënie lineare, supozojmë që funksionet @ dhe ℎ janë të rregullt dhe mund
të hapen në serinë Taylor në lidhje me dhe 5. Pas kësaj hapje, pranojmë vetëm termat e
parë të serisë, dhe do të kemi këtë rezultat:
Përderisa ( (, 5() = (0, 0) përbëjnë pikën e punës, pranojmë kushtin e mëposhtëm:
Derivatet e pjesshme përbëhen nga konstante, prandaj këta derivate të pjesshme përbëjnë
matricat A, B edhe C.
Pra, në qoftë se një sistem fizik modelohet sipas një modeli matematik jolinear dhe pasi
përcaktojmë pikën e punës për sistemin, plotësohen kushtet (26,25,26). Pasi studiohet
dinamika e shmangieve të vogla nga pika e punës, përftohet modeli i linear i sistemit. Ku
matricat A, B dhe C gjenden nga llogaritja e derivateteve të pjesshme të serisë Taylor, sipas
vlerave ( (, ().
(23)
(24)
(25)

28. 21
Konkretisht, llogaritja e matricave A, B dhe C realizohet si më poshtë;
Fillimisht pranojmë rendin e vektorit të gjendjeve, dhe rendin e vektorit të kontrollit, 5.
Pra, shkruajmë në formë matricore funksionin @( … B, 5 … 5C):
Matricat A, B dhe C gjenden sipas formulës:
Në këtë mënyrë kemi linearizuar modelin fillestar në zonën rreth pikës së punës, dhe kemi
fituar një sistem të linearizuar (sistem linear). Ky përfundim është i vlefshëm vetëm në pikën
e punës %( dhe në zonën rreth saj.
= A = B
= C
(26)
(27)

29. 22
LINEARIZIMI I MODELIT UNICYCLE
Tentojmë të linearizojmë modelin jolinear Unicycle të robotit me rrota të diferencuara.
Variablat e gjendjes , * 6ℎ D janë respektivisht kordinatat e lëvizjes të robotit , si
dhe orientimi i tij <. Supozojmë se po masim njëkohësisht të tre variablat e gjendjes, prandaj
kemi tre dalje të sistemit, , * 6ℎ D. Variablat e kontrollit do të jenë shpejtësia lineare ;
dhe shpejtësia këndore . Pika e punes për sistemin do të pranohet ( (, () = (0, 0).
Matricat A, B dhe C , sipas formulave përkatëse të llogaritjes, do të jenë:
Por, në qoftë se shkrujmë ekuacionin dinamik për variablin e gjendjes *, pra për kordinatën
të lëvizjes, do të kemi:
* = 0 ∙ + 0 ∙ * + 0 ∙ D + 0 ∙ 5 + 0 ∙ 5* = 0
Kjo do të thotë që në qoftë se roboti është duke lëvizur në vijë të drejtë sipas drejtimit ,
atëherë ai nuk mund të kthehet sipas drejtimit . Ky përfundim është i gabuar, pasi roboti në
të vërtetë e ka mundesinë të kthehet. Ky është një rast ku modeli linear i përftuar nuk është
plotësisht i saktë, prandaj nuk mund të aplikohet për kontrollin e robotit.
Si konkluzion, arrihet në dy përfundime të rëndësishme
• Linearizimi disa herë nuk jep modele të arsyeshme, nuk është efikas.
• Kur linearizimi rezulton efikas, ai është mjaft i dobishëm.
(28)
(29)

30. 23
SISTEMET HIBRIDE
NDRYSHIMET E GJENDJEVE
Deri tani, modelet matematike të robotëve janë përshkruar të pandryshuar me kalimin
e kohës, dhe në fakt, për shkak se modelet kanë qenë të pandryshuar, është projektuar vetëm
një rregullator për të gjitha gjendjet e robotit. Mënyra se si i përshtateshim gjendjeve të
ndryshme të robotit, ishte nëpërmjet ndryshimit të vlerave të referimit, për kënde orientimi të
dëshiruara, ose duke ndryshuar vlerat e vet rregullatorit PID.
Por, nuk është asnjëherë e vërtetë që modelet e robotëve qëndrojnë gjithmonë të njëjtë gjatë
lëvizjes së tyre në mjedisin e panjohur. Për këtë arsye, lind nevoja e pranisë të rregullatorëve
të gjendjeve të ndryshme, sipas kërkesës së robotit. P.sh nëse roboti sheh një pengesë do të
aktivizohet rregullatori për shmangien e pengesës, nëse roboti ka rrugën e lirë për të shkuar
në destinacion, aktivizohet rregullatori për arritjen e destinacionit.
Në natyrë dhe në robotikë ka domosdoshmërisht kyçje-shkyçje të gjendjeve të ndryshme.
Topi në figurë ka dy gjendje të ndryshme. Një gjendje është koha që topi është në ajër, deri
në çastin e përplasjes me tokën. Më pas, topi kërcen dhe hyn në një gjendje të re, pasi ligjet
fizike të lëvizjes së tij ndryshojnë. Pra, në këtë rast kemi ndryshime gjendjeje. Në figurën e
dytë është një robot që kopjon “ecjen e njeriut”. Secila këmbë e roboti në momentin që është
në ajër, është në një gjendje të caktuar, deri në momentin e prekjes me tokën. Në castin e
prekjes me tokën, ligjet e lëvizjes së robotit ndryshojnë, roboti është në një gjendje të re, çka
kërkon dhe një rregullator të posaçëm për këtë gjendje.
Figura 16. a) Gjendjet e ndryshme të topit në caste të ndryshme
b) Ndryshimi i gjendjeve të robotit gjatë lëvizjes së tij

31. 24
PROBLEMET E NDRYSHIMIT TË GJENDJEVE TË ROBOTIT
• MODELET – Si do të modelohen këto ndryshime gjendjeje? Si do të modelohen këto
sisteme që nuk janë të njëjtë me kalimin e kohës?
• STABILITETI DHE PERFORMANCA ( ↛ ∞) - Nëse këto modele ndryshojnë, si
do të ndikojë në stabilitetin e robotit? Si do të ndikojë në përformancën e
robotit?Mund të zbatohen metodat e deritanishme për kontrollin optimal të robotit?
Cfarë ndodh me modelin kur ↛ ∞,kur dihet që stabiliteti përkufizohet për → ∞ ?
• KOMPOZICINI – Nëse roboti përbëhet nga shume gjendje, pra dhe shume modele që
përkufizojnë gjendjet e caktuara, si do të bashkohen bashkë të gjithë modelet?
MODELET HIBRIDE
Modelet që do të përdoren të për të përshkruar fenomenet e ndryshimit të gjendjeve do të
quhen Modele Hibride ose “Hybrid Automata”. Këta janë modele që përshkruajnë:
dinamikën e pandërprerë (të vazhduar) që do të thotë se në brendësi të cdo modeli nuk do të
ketë ç’kycje nga një gjendje në tjetrën; logjikën diskrete të modeleve (ndryshimi të modeleve
në kohë).
• Variabli që përfaqëson gjendjen e pandërprerë të modelit, si më parë, do të jetë: .
• Variabli që do të përfaqësojë gjendjet diskrete do të jetë: H. Variabli H do të tregojë se
në cilën gjendje të vazhduar ndodhet roboti në çdo cast të kohës.
• Dinamika e robotit do të përfaqësohet me funksionin: = @I( , 5)
• Kalimi ndërmjet gjendjeve të ndryshme (tranzicione) mund të implementohet në
“makinën e gjendjeve”.
Kalimi ndërmjet tranzicioneve H 6ℎ H′ realizohet gjatë plotësimit të kushteve (të vendosur
nga projektuesi) të makinës që quhen “rojet” e makinës së gjendjeve. Në këtë mënyrë
tranzicioni nga gjendja H ë H′ do të kryhet kur të plotësohet kushti i vendosur nga “roja”:
= @I( , 5) = @I ( , 5)
Figura 17. Model hibrid me dy gjendje, H dhe H

32. 25
∈ KI,I . Më tej është e nevojshme dhe vendosja e një “reset-i” për të rifreskuar variablat e
gjendjes së mëparshme në cdo përfundim tranzicioni ∶= MI,IN( ).
P.sh në robotin me rrota të diferencuara, kalimi në modelin për shmangien e pengesës do të
realizohet kur të plotësohet kushti i vendosur nga projektusi, që roboti të ketë arritur
distancën 10 cm nga pengesa.
Duke përmbledhur përkufizimet e mëparshme, përftojmë modelin e “pasur” të quajtur
“Hybrid Automata” (HA).
Në figurën më poshtë tregohet shembulli i një modeli hibrid për dy gjendjet kryesore të
robotit me rrota të diferencuara.
Roboti “ndizet” me modelin që drejton robotin për në destinacionin e dëshiruar. Kjo është
gjendja “GTG” e robotit. Kur gjatë lëvizjes, distanca ndërmjet robotit dhe pengesës më të
afërt bëhet më e vogël se 6, që do të thotë se roboti ndodhet shumë afër me pengesën, atëherë
do të kalohet në një model tjetër të lëvizjes së robotit, ose në një gjendje tjetër e cila është
gjendja “AO”. Për një projektim të mirë të rregullatorit të modelit, roboti do të arrijë të
shmangë përplasjen me pengesën dhe do të pozicionohet i sigurtë në një distancë ≥ 6′ me
pengesën. Kur distanca e robotit me pengesën plotëson kushtin ‖ − (‖ ≥ 6′, kalohet
përsëri në gjendjen “GTG”. Sigurisht, do të duhet që 6 > 6.
Figura 18. Modeli hibrid për dy gjendjet kryesore të robotit me
rrotat të diferencuara, @RSR( ) dhe @TU( ).
Figura 19. Lëvizja e robotit sipas modelit hibrid të fig. 18

33. 26
RREZIQET E PERDORIMIT TË SISTEMEVE HIBRIDË
Më poshtë do të demonstrohet një shembull ku do të vërehen rreziqet që mund të vijnë si
pasojë e përdorimit të sistemeve hibrid.
Supozojmë se kemi dy modele që përshkruajnë dy gjendje të ndryshme:
Për të dy modelet polet janë të barabarta. Përderisa pjesa reale e poleve M = −V < 0 të dy
sistemet janë të qëndrueshëm. Dhe të dy polet e përbashkët të sistemeve kanë një pjesë
imagjinare të ndryshme nga zero, që do të thotë së dalja e sistemeve do të jetë me luhatje.
Pra, në të dy modelet kemi sistem të qëndrueshëm me luhajte.
Shikojmë se çfarë do të ndodhë nëse kombinojmë të dy modelet në një model hibrid të vetëm.
Përpara kësaj, shikojmë në veçanti secilin model, duke paraqitur në një grafik të vetëm
variablat 6ℎ *.
Modeli 1:
X
( ()
*( ()
Y
Figura 20. Qëndrueshmëria e sistemit, e shprehur sipas modelit 1

34. 27
Nga grafiku i modelit 1, vërejmë qëndrueshmërine e sistemit. Pra, pas një kohe relativisht të
gjatë, sistemi arrin të stabilizohet.
Modeli 2:
Gjithashtu, modeli 2 është i qëndrueshëm, por përsëri, pas një kohe relativisht të gjatë,
sistemi arrin të stabilizohet.
I vendosim të dy modelet në një model të vetëm hibrid.
Modeli hibrid nr.1:
Sistemi do të funksionojë sipas modelit 1 deri kur të plotësohet kushti I (roja I): * = 0. Pas
plotësimit të kushtit përkatës, sistemi funksionon sipas modelit 2. Dhe kur = 0 (kushti II)
sistemi rikthehet në modelin 1. Grafiku i variablave për këtë sistem hibrid do të jetë:
X
( ()
*( ()
Y
Figura 21. Qëndrueshmëria e sistemit, e shprehur sipas modelit 2
Figura 22. Modeli hibrid nr. 1

35. 28
Në grafikun mësipërm vihet re që kalohet deri në origjinë për një kohë më të shkurtër, ose me
një shpejtësi më të madhe. Kështu që, sistemi i ri, nuk është vetëm i qëndrueshëm por është
dhe më i shpejtë se të dy modelet në veçanti. Por, ky është një fakt pozitiv dhe anët negative
të hibridizimit të sistemeve do të shpjegohen në modelin hibrid nr.2:
Modeli hibrid nr.2:
Ky model hibrid, është i njëjtë si modeli hibrid nr. 1, por vetëm janë ndërruar vendet e
kushteve të gjendjeve. Kalimi nga modeli (gjendja) 1 në modelin 2 do të bëhët kur të
plotësohet kushti: = 0. Dhe kalimi nga modeli 2 në modelin 1 do të bëhet kur të plotësohet
kushti: * = 0. Një ndryshim “i thjeshtë” i kushteve, por që ndikon në një ndryshim drastik të
qëndrueshmërisë.
X
( ()
*( ()
Y
X2=0
X1=0
X2=0 1
2
1
2
Figura 23. Modeli hibrid nr. 1, i qëndrueshëm
Figura 24. Modeli hibrid nr. 2

36. 29
Grafiku i variablave për këtë sistem hibrid do të jetë:
Dhe ky grafik, paraqet një sistem hibrid të paqëndrueshëm. Pra, nga dy sisteme të
qëndrueshme, duke i bashkuar në një sistem të vetëm hibrid, përfunduam në një sistem të ri të
paqëndrueshëm.
Si konkluzion do të kemi:
• Duke kombinuar dy sisteme të qëndrueshme në një sistem të vetëm hibrid, sistemi
hibrid mund rezultojë i paqëndrueshëm.
Pra, për të pasur një sistem hibrid të qëndrueshëm nuk mjafton vetëm prania e
sistemeve të qëndrueshëm në veçanti
Për këtë arsye, duhet patur gjithmonë parasysh se gjatë krijimit të sistemeve hibrid, mund të
krijohen paqëndrueshmëri të sistemit, dhe kjo duhet analizuar analitikisht.
Studimi i sistemeve hibridë të paqëndrueshëm realizohet duke gjetur Funksionin e
Përbashkët të Lyapunov-ti. Në këtë projekt do të studiojmë vetëm sistemet hibrid të
qëndrueshëm.
X
( ()
*( ()
Y
X1=0
X2=0
Figura 25. Modeli hibrid nr. 2, i paqëndrueshëm

37. 30
FENOMENI “ZENO”
Në qoftë se do të modelonim matematikisht hedhjen e topit nga një
lartësi ℎ nga toka, do të dilej në konkluzionin që topi do të kryej një
numër të pafundëm kërcimesh nga toka, gjatë një kohe të fundme.
Kjo dukuri njihet me emrin “Fenomeni Zeno”. Kjo dukuri mund të
jetë e pranishëme gjatë hibridizimit të modelit në formën e
ndryshimeve të pafundme të gjendjeve, në një kohë të fundme.
Kjo është një dukuri negative për këto arsye kryesore:
• Simulimi dështon – sepse kompjuteri nuk mund të kryej një numër të pafundëm
llogaritjshesh gjatë një intervali kohe të caktuar.
• Modeli nuk është i saktë – në rastin e shfaqjes së Fenomenit Zeno, është e kuptueshme
që modeli matematik ka një gabim. P.sh, dihet që praktikisht topi nuk do të kryej
pafundësisht kërcime, por do të kryej një numër të caktuar kërcimesh deri kur të
stabilizohet.
Shembulli nr.1 :
Modeli matematik i mësipërm paraqet një model hibrid. Paraqitja grafike e këtij e këtij
modeli është:
Nëse do të ndërtohet grafiku i variablit në varësi të kohës për këtë model, do të vërehej një
tjetër fenomen negativ.
Figura 26. Fenomeni
teorik “Zeno”, gjatë
modelimit matematik të
kërcimeve të tij nga toka
Figura 27. Modeli hibrid i shembullit nr. 1

38. 31
Sistemi fillon për ≥ 0, dhe sistemi do të jetë në gjendjen = −1, pra grafiku i x-it do të
jetë një drejtëz me pjerrësi -45o
. Në çastin kur < 0, sistemi do të kalojë në gjendjen = 1,
dhe do të përfaqësohet nga drejtëza me pjerrësi 45o
. Menjëhërë pas fillimit të kësaj drejtëze,
≥ 0, sistemi kalon menjëherë në gjendjen e mëparshme.
Teorikisht, sistemi do të vazhdojë të ndryshojë gjendje pafundësisht gjatë një çasti të vetëm
kohe. Kjo dukuri negative njihet si një tip tjetër i Fenomenit Zeno.
Pra, ekzistojnë dy tipe të fenomenit “Zeno”:
- Tipi 1: Ndryshime të pafundme gjendjeje gjatë në kohë të fundme (kërcimi i topit) – i
vështirë për t’u zbuluar dhe i vështirë për t’u eleminuar si efekt negativ. Në rastin e
shfaqjes së një fenomeni të tillë, duhet rishikuar me kujdes modeli matematik i
përftuar.
- Tipi 2: Ndryshime të pafundme gjendjeje gjatë një çasti të vetëm të kohës – është i
lehtë për t’u zbuluar, gjithashtu mund të eleminohet si efekt negativ.
METODA E KONTROLLIT ME “RRËSHQITJE”
Fenomeni Zeno i tipit 2 mund të eleminohet nëpërmjet metodës së ashtëquajtur “Kontrolli me
rrëshqitje” i ndryshimit të gjendjeve. Për shembullin e mësipërm të fenomenit Zeno (tipi 2),
tregohet grafikisht logjika e elemenimit e këtij fenomeni.
X
-1
t
Figura 28. Paraqitja grafike e ndryshimit të pafundëm të gjendjeve gjatë një
çasti të vetëm kohe

39. 32
Sistemi në çastin e ndryshimit të parë të gjendjes, duhet të kalojë në një gjendje të re me
ekuacion = 0, që grafikisht tregohet me drejtëzën pa pjerrësi.
Formulimi matematik që përfaqëson këtë logjikë kontrolli, quhet Metoda e Kontrollit me
Rëshqitje (Sliding Mode Control).
Supozojmë se kemi sistemin hibrid si më poshtë (fig.30)
Në këtë rast, kushti i ndryshimit të gjendjes përfaqësohet nga një funksion Z( ), grafiku i të
cilit paraqitet në fig. 30. Kur Z( ) < 0, sistemi kalon në gjendjen e dytë @*( ) . Kur
Z( ) ≥ 0, sistemi kalon në gjendjen fillestare @ ( ).
Që sistemi të mos ndikohet nga pasojat negative të f. Zeno, duke kaluar nga njëra gjendje në
tjetrën, duhet që kushti i ndryshimit të gjendjeve të mbetet i barabartë me zero, Z( ) = 0.
Pikërisht, ky është edhe formulimi matematik se si mund të realizohet metoda e kontrollit me
rrëshqitje.
Bazuar edhe në ilustrimin e figures 31, gjendja @ 6ℎ @* tentojnë drejtime të ndryshe, por
zgjidhja e duhur do të ishte kur sistemi të rrëshqasë përgjatë lakores Z( ).
X
-1
t
Kontrolli me rreshqitje
Figura 29. Dalja nga fenomeni Zeno, nëpërmjet kontrollit me “rrëshqitje”
Figura 30. Kushti i realizimit të kontrollit me rrëshqitje

40. 33
Për të lexuar versionin e plotë të projektit, kontaktoni autorin e projektit, Evis Vasiu:
evis.vasiu@gmail.com