2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Propiedad Señal Transformada ROC
( )tx
( )tx1
( )tx2
X s( )
( )sX1
( )sX2
R
R1
R2
Linealidad ( ) ( )ax t bx t1 2+ ( ) ( )aX s bX s1 2+ Al menos R R1 2∩
Desplazamiento en el tiempo ( )x t t− 0 e X sst− 0 ( ) R
Desplazamiento en el dominio s
( )e x ts t0 X s s( )− 0 Versión desplazada de R
( es decir, s está en la ROC
si s-s0 está en R)
Escalado en el tiempo ( )x at 1
a
X
s
a
ROC escalada (es decir, s
está en la ROC si s/a está
en R)
Conjugación ( )tx*
( )**
sX R
Convolución ( ) ( )x t x t1 2∗ ( ) ( )X s X s1 2 Al menos R R1 2∩
Diferenciación en el dominio
del tiempo.
( )d x t
dt
sX s( ) Al menos R
Diferenciación en el dominio s ( )−tx t
( )
d
ds
X s
R
Integración en el dominio del
tiempo. ( )x d
t
τ τ
−∞∫ ( )
1
s
X s
Al menos
{ }{ }R s∩ >Re 0
Teoremas del valor inicial y final.
Si para t < 0 y no contiene impulsos o funciones singulares de orden superior en( ) 0tx = ( )tx
0t = , entonces
( ) ( )ssXLim0x
x ∞→
+
=
( ) ( )ssXLimtxLim
0st →∞→
=
3. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES ELEMENTALES
SEÑAL TRANSFORMADA ROC
( )δ t 1 Todo s
( )u t 1
s
{ }Re s > 0
( )− −u t 1
s
{ }Re s < 0
( )
( )
t
n
u t
n−
−
1
1 !
1
sn
{ }Re s > 0
( )
( )−
−
−
−
t
n
u t
n 1
1 !
1
sn
{ }Re s < 0
( )e u tt−α 1
s + α
{ }Re s > −α
( )− −−
e u ttα 1
s + α
{ }Re s < −α
( )
( )
t
n
e u t
n
t
−
−
−
1
1 !
α
( )
1
s
n
+ α
{ }Re s > −α
( )
( )−
−
−
−
−t
n
e u t
n
t
1
1 !
α
( )
1
s
n
+ α
{ }Re s < −α
( )δ t T− e sT− Para todo s
[ ] ( )cosω0t u t s
s2
0
2
+ ω
{ }Re s > 0
[ ] ( )senω0t u t ω
ω
0
2
0
2
s +
{ }Re s > 0
[ ] ( )e tt−α
ωcos 0 u t
( )
s
s
+
+ +
α
α ω
2
0
2
{ }Re s > −α
[ ] ( )e tt−α
ωsen 0 u t
( )
ω
α ω
0
2
0
2
s + +
{ }Re s > −α
( ) ( )
n
n
n
dt
td
tu
δ
=
n
s Para todo s
( ) ( ) ( )
vecesn
n tu**tutu =− n
s
1 Re{s} > 0
4. PROPIEDADES DE LA SERIE CONTINUA DE FOURIER
Propiedad Señal Periódica Coeficientes de la serie
( )
( )
ty
tx
Periódicas de periodo T y
frecuencia fundamental T20 π=ω
ak
bk
( ) tjk
k
kT
0
eatx ω
∞
−∞=
∑= ( )∫
ω−
=
T
tjk
k dtetx
T
1
a 0
x(t) Señal par ( ) ( )∫ ω=
2T
0 0k dttkcostx
T
2
a
Obtención de coeficientes
x(t) Señal impar ( ) ( )∫ ω−=
2T
0 0k dttksentx
T
j2
a
Linealidad ( ) ( )tyBtxA + kk bBaA +
Desplazamiento en el tiempo ( )0ttx − 00tjk
k ea ω−
Desplazamiento en frecuencia ( ) tjM 0
etx ω
Mka −
Conjugación ( )tx* ∗
−ka
Inversión de tiempo ( )tx − ka−
Escalamiento en el tiempo ( ) 0,tx >αα (Periódica de periodo T/α) ka
Convolución periódica ( ) ( )∫ ττ−τ
T
dtyx kk baT
Multiplicación ( ) ( )tytx
∑
∞
−∞=
−
p
pkpba
Diferenciación ( )
dt
tdx
k0 ajkω
Integración ( )∫ ∞−
ττ
t
dx (de valor finito y periódica
solo si a 00 = ) k
0
a
jk
1
ω
Simetría conjugada para
señales reales.
( )tx Señal real
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
ϕ−=ϕ
=
−=
=
=
−
−
−
−
∗
−
kk
kk
kmkm
keke
kk
aa
aa
aIaI
aRaR
aa
Señal real y par x(t) real y par ak real y par
Señal real e impar x(t) real e impar ak imaginaria e impar
Relación de Parseval para señales periódicas
( )[ ] ( ) ∑∫
∞
−∞=
==
k
2
kT
2
m adttx
T
1
txP
5. COEFICIENTES DEL DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
SEÑAL PERIÓDICA COEFICIENTES
( ) tjk
k
k
0
eatx ω
+∞
−∞=
∑= ak
( ) tj 0
etx ω
=
≠∀
=∀
=
1k0
1k1
ak
tcos 0ω 1k,0a;
2
1
aa k11 ≠∀=== −
tsen 0ω 1k,0a;
j2
1
aa k11 ≠∀==−= −
( ) 1tx =
0k,0a;1a k0 ≠∀==
( ) ( )∑
∞
−∞=
−δ=
n
nTttx k
T
1
ak ∀=
Onda cuadrada periódica
( ) ( )pulsodelanchura
mTt
Atx
m
τ
τ
−
∏= ∑
∞
−∞=
ó
( ) ( ) (txTtxy
2Tt2,0
2t,A
tx =+
<<τ
τ<
= )
( )
π
τωτ
=
π
τω
=
2
k
csin
T
A
k
2/ksen
Aa 00
k
Onda triangular periódica
( ) ( )pulsodelanchura2
mTt
Atx
m
τ
τ
−
∆= ∑
∞
−∞=
π
τωτ
=
2
k
csin
T
A
a 02
k
( ) tcos
mTt
Atx pω⋅
τ
−
∏= ∑
∞
∞−
τ
π
ω+ωτ
+
τ
π
ω−ωτ
=
2
k
csin
T2
A
2
k
csin
T2
A
a
p0p0
k
6. TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO CONTINUO PROPIEDADES
Propiedad Señal Transformada de Fourier
x(t)
( )ty
X(ω)
( )ωY
( ) ( )∫
∞
∞−
ω
ωω
π
= deX
2
1
tx tj ( ) ( )∫
∞
∞−
ω−
=ω dtetxX tj
x(t) Par ( ) ( )∫
∞
ω=ω
0
dttcostx2X
Ecuaciones
x(t) Impar ( ) ( )∫
∞
ω−=ω
0
dttsentxj2X
Linealidad a x(t) + b y(t) a X(ω) + b Y(ω)
Desplazamiento en el tiempo x(t-t0) ( ) 0tj
eX ω−
ω
Desplazamiento en frecuencia ( ) tj 0
etx ω X(ω-ω0)
Conjugación x*
(t) X*
(-ω)
Inversión de tiempo x(-t) X(-ω)
Escalado de tiempo y
frecuencia
x(at)
ω
a
X
a
1
Convolución x(t)∗y(t) X(ω) Y(ω)
Multiplicación x(t) y(t) ( ) ( )[ ]
1
2π
ω ωX Y∗
Diferenciación en el tiempo ( )
dt
txd ( )j Xω ω
Integración ( )∫ ∞−
ττ
t
dx ( ) ( ) ( )ωδπ+ω
ω
0XX
j
1
Simetría conjugada para
señales reales
x(t) Señal real
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]
ω−ϕ−=ωϕ
ω−=ω
ω−−=ω
ω−=ω
ω−=ω ∗
XX
XX
XIXI
XRXR
XX
mm
ee
Simetría para señales reales y
pares
x(t) Señal real y par ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )[ ]
X R X
X R X
X
e
e
ω ω
ω ω
ϕ ω
π
=
=
=
±
0
Simetría para señales reales y
pares
x(t) Señal real e impar
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )[ ]
X j I X
X I X
X
m
m
ω ω
ω ω
ϕ ω
π=
=
= ±
2
Descomposición par e impar de
señales reales
( ) ( ){ } ( )[ ]
( ) ( ){ } ( )[ ]realtxtxpImtx
realtxtxPartx
I
p
=
= ( ){ }
( ){ }ω
ω
XImj
XRe
( ) ( )
( ) ( )
f t G
G t f
DUALIDAD
↔
↔ −
ω
π ω2
Relación de Parseval para
señales no periódicas
( )[ ] ( ) ( )∫∫
∞
∞−
∞
∞−
ωω
π
== dX
2
1
dttxtxE
22
7. EJEMPLOS DE TRANSFORMADAS DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
SEÑAL TRANSFORMADA
( ) tjk
k
kT
0
0
eatx ω
∞
−∞=
∑= ( )∑
∞
−∞=
ω−ωδπ
k
0k ka2
x(t) = A ( )2π δ ωA
( ) tj 0
Aetx ω
= ( )0A2 ω−ωδπ
x(t) = A cos ω0 t ( ) ( )[ ]00A ω+ωδ+ω−ωδπ
x(t) = A sen ω0 t ( ) ([ ]00A
j
ω+ωδ−ω−ωδ )π
Pulso rectangular
( ) ( )x t A
t
anchura del pulso= ∏
τ
τ
ó
( )
τ>
τ<
=
2t,0
2t,A
tx
( ) ( )
π
ωτ
τ=
ω
τω
=ω
2
csinA
2senA2
X
Pulso triangular
( ) ( )pulsodelanchura2
2
t
Atx τ
τ
∆= ( )X A sincω τ
ωτ
π
=
2
2
( ) ( )∑
∞
−∞=
−δ=
n
nTttx ∑
∞
∞−
π
−ωδ
π
T
k2
T
2
( )
t
Wtsen
tx
π
= ( )
>ω
<ω
=ω
W,0
W,1
X
x(t) = A δ(t) A
x(t) = A δ(t-t0) 0tj
eA ω−
u(t) ( )ωπδ+
ωj
1
( ) ( ) { } 0aRe,tuetx at
>= −
ω+ ja
1
( ) ( ) { } 0aRe,tutetx at
>= −
( )2
ja
1
ω+
( )
( )
( ) { } 0aRe,tue
!1n
t
tx at
1n
>
−
= −
−
( )n
ja
1
ω+
8. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA z
Propiedad Señal Transformada z ROC
[ ]
[ ]
[ ]nx
nx
nx
2
1
( )
( )
( )zX
zX
zX
2
1
2
1
R
R
R
Expresión x[n]
( ) [ ]∑
∞
−∞=
−
=
k
n
znxzX R
Linealidad [ ] [ ]nxbnxa 21 + ( ) ( )zXbzXa 21 + Al menos la intersección de R1 y R2
Desplazamiento en el
tiempo
[ ]0nnx − ( )zXz 0n− R, excepto para la posible adición o
supresión del origen
Escalado en el dominio z
[ ]
[ ]
[ ]nxa
nxz
nxe
n
n
0
nj 0ω
( )
( )
( )zaX
zzX
zeX
1
0
j 0
−
ω−
Rz
R
0
Versión escalada de R (es decir, |a|R = el
conjunto de puntos{|a|z} para z en R
Inversión en el tiempo [ ]nx − ( )1
zX − R invertida (es decir, R-1
= el conjunto de
puntos z-1
, donde z está en R
Expansión en el tiempo ( )[ ]
[ ]
≠
=
=
rkn,0
rkn,rx
nx k
para algún entero r
( )k
zX
k1
R es decir, el conjunto de
puntos
k1
z donde z está en R
Conjugación [ ]nx*
( )**
zX R
Convolución [ ] [ ]nx*nx 21 ( ) ( )zXzX 21
Al menos la intersección de R1 y R2
Primera diferencia [ ] [ ]1nxnx −− ( ) ( )zXz1 1−
− Al menos la intersección de R y
|z|>0
Acumulación
[ ]∑
−∞=
n
k
kx
( )
( )1
z1
zX
−
−
Al menos la intersección de R y
|z|>1
Diferenciación en el
dominio z
[ ]nnx ( )
dz
zXd
z−
R
Teorema del valor inicial
Si x[n] = 0 para n < 0, entonces,
[ ] ( )zXLim0x
z ∞→
=
9. TABLA DE TRANSFORMADAS z FRECUENTES
Secuencia x[n] Transformada z X(z) ROC
[ ]nδ 1 Todo z
[ ]mn −δ m
z− Para todo z excepto 0 (si m > 0) o
infinito (si m < 0)
[ ]nu
1
z1
1
−
−
1z >
[ ]1nu −−−
1
z1
1
−
−
1z <
[ ]nuan
1
az1
1
−
−
az >
[ ]1nuan
−−−
1
az1
1
−
−
az <
[ ]nunan
( )21
1
az1
az
−
−
−
az >
[ ]1nunan
−−−
( )21
1
az1
az
−
−
−
az <
( )[ ] nuncos 0Ω [ ]
2
0
1
0
1
zcosz21
cosz1
−−
−
+Ω−
Ω− 1z >
( )[ ] nunsen 0Ω [ ]
2
0
1
0
1
zcosz21
senz
−−
−
+Ω−
Ω 1z >
( )[ ] [ ]nuncosr 0
n
Ω [ ]
[ ] 221
0
1
0
zrzcosr21
zcosr1
−−
−
+Ω−
Ω− rz >
( )[ ] [ ]nunsenr 0
n
Ω [ ]
[ ] 221
0
1
0
zrzcosr21
zsenr
−−
−
+Ω−
Ω rz >
10. SERIES DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO
Propiedad Señal periódica Coeficiente
[ ]
[ ]
ny
nx
Periódicas con periodo N y
frecuencia fundamental Ω0=2π/N
k
k
b
a
Periódicas de periodo N
Ecuaciones [ ] ∑=
π
=
Nk
njk
k
N
2
eanx [ ]∑=
− π
=
Nn
njk
k
N
2
enx
N
1
a
Linealidad [ ] [ ]nxBnxA 21 + kk bBaA +
Desplazamiento de tiempo [ ]x n n− 0
0N
2
njk
k ea
π
−
Desplazamiento en
frecuencia
[ ] njM N
2
enx
π
Mka −
Conjugación [ ]nx∗ ∗
−ka
Inversión en el tiempo [ ]nx − ka−
Escalado en el tiempo
( )[ ]
[ ]
=
valoresderesto
mdemultiplon
,0
,mnx
nx m
(periódica de periodo mN)
1
m
ak (vistas como periódicas de periodo
mN)
Convolución periódica
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑
=
−=⊗=
Nr
rnyrxnynxnz kk baN
Multiplicación [ ] [ ]nynx ∑
=
−
Nr
rkr ba
Primera diferencia [ ] [ ]1nxnx −− ( )
( ) k
N2jk
ae1 π−
−
Suma consecutiva
[ ]∑
−∞=
n
k
kx (de valor finito y periódica sólo
si a0=0)
( )
( )N2jk
k
e1
a
π−
−
Simetría conjugada para
señales reales. [ ] alRenx
[ ] [ ]
[ ] [ ]
kk aa
kk
kk
kk
kk
aa
aImaIm
aReaRe
aa
−
ϕ−=ϕ
=
−=
=
=
−
−
−
∗
−
Señales reales y pares [ ]x n REAL y PAR ak real y par
Señales reales e impares [ ]x n REALe IMPAR ak imaginaria e impar
Descomposición par e impar
de señales reales
[ ] [ ]{ } [ ][ ]
[ ] [ ]{ } [ ][ ]realnxnxparImnx
realnxnxParnx
I
p
=
= [ ]
[ ]k
k
aImj
aRe
Relación de Parseval para señales periódicas
[ ] ∑∑ ==
==
Nk
2
k
Nn
2
m anx
N
1
P
11. EJEMPLOS DE CÁLCULO DE COEFICIENTES DEL DESARROLLO EN SERIE DE
FOURIER DE SEÑALES DISCRETAS
SEÑAL COEFICIENTES
n
N
2
jk
Nk
k ea
π
=
∑
ak
nj 0
e Ω
aperiódicaseñalirracional
2
)b(
valorotro,0
,N2m,Nm,mk,1
a
N
m2
)a(
0
k
0
⇒
π
Ω
±±=
=
π
=Ω
ncos 0Ω
aperiódicaseñalirracional
2
)b(
valorotro,0
,N2m,Nm,mk,2/1
a
N
m2
)a(
0
k
0
⇒
π
Ω
±±±±±=
=
π
=Ω
nsen 0Ω
aperiódicaseñalirracional
2
)b(
valorotro,0
,N2m,Nm,mk,j2/1
,N2m,Nm,mk,j2/1
a
N
m2
)a(
0
k
0
⇒
π
Ω
±−±−−=−
±±=
=
π
=Ω
[ ] 1nx =
±±=
=
valorotrocon,0
N2,N,0k,1
ak
[ ] ( )∑
∞
−∞=
−δ=
k
kNnnx k
N
1
ak ∀=
Onda cuadrada periódica
[ ] [ ] [nxNnxy
2NnN,0
Nn,1
nx
1
1
=+
≤<
≤
= ]
( )( )[ ]
( )[ ]
,N2,N,0k,
N
1N2
a
,N2,N,0k,
N2k2senN
NNk2sen
a
1
k
2
1
1
k
±±=
+
=
±±≠
π
+π
=
12. TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO
Propiedad Señal Transformada
[ ]
[ ]
ny
nx ( )
( )
Ω
Ω
Y
X
Periódicas de periodo 2π
Ecuación
[ ] ( )∫
π
Ω
ΩΩ
π
=
2
nj
deX
2
1
nx ( ) [ ]∑
∞
−∞=
Ω−
=Ω
n
nj
enxX
Señal periódica
[ ] ∑
=
π
=
Nk
njk
k
N
2
eanx (señal periódica, N) ( ) ( )∑
∞
−∞=
π
−Ωδπ=Ω
k
N
2
k ka2X
Señal periódica [ ] [ ]Nnxnx += (señal periódica) ( )0k kX
N
1
N
2
kX
N
1
a Ω=
π
=
Linealidad [ ] [ ]nybnxa + ( ) (Ω+ )Ω YbXa
Desplazamiento en el
tiempo
[ ]0nnx − ( ) 0nj
eX Ω−
Ω
Desplazamiento en
frecuencia
[ ] nj 0
enx Ω ( )0X Ω−Ω
Conjugación [ ]nx∗
( )Ω−∗
X
Inversión en tiempo [ ]nx − ( )Ω−X
Expansión en tiempo
( )[ ]
[ ]
=
valoresderesto
kdemultiplon
,0
,knx
nx k
( )ΩkX
Convolución [ ] [ ]nynx ∗ ( ) (Ω⋅ )Ω YX
Multiplicación [ ] [ ]x n y n⋅ ( ) ( )∫
π
θθ−Ωθ
π 2
dYX
2
1
Diferenciación en tiempo [ ] [ ]1nxnx −− ( ) ( )Ω− Ω−
Xe1 j
Acumulación
[ ]∑
−∞=
n
m
mx
( ) ( ) ( )∑
∞
−∞=
Ω−
π−Ωδπ+
−
Ω
k
j
k20X
e1
X
Diferenciación en
frecuencia
[ ]nnx ( )
Ω
Ω
d
dX
j
Simetría conjugada para
señales reales
[ ] REALnx
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )
( ) ( )Ω−Ω
∗
ϕ−=ϕ
Ω−=Ω
Ω−−=Ω
Ω−=Ω
Ω−=Ω
XX
XX
XImXIm
XReXRe
XX
Simetría para señales
reales pares
[ ]x n REAL y PAR ( )ΩX real y par
Simetría para señales
reales impares
[ ]x n REALe IMPAR ( )ΩX imaginaria pura e impar
Descomposición par e
impar de señales reales
[ ] [ ]{ } [ ][ ]
[ ] [ ]{ } [ ][ ]realnxnxparImnx
realnxnxParnx
I
p
=
= ( )[ ]
( )[ ]Ω
Ω
XImj
XRe
Relación de Parseval para señales aperiódicas
[ ] ( )∫∑ π
∞
−∞=
ΩΩ
π
==
2
2
n
2
dX
2
1
nxE
[ ] ( )
[ ] ( )[ ]
Ω=−
Ω→←
Xanx
Xnx
DUALIDAD
k
TF
13. EJEMPLOS DE TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES DISCRETAS
SEÑAL COEFICIENTES
n
N
2
jk
Nk
k ea
π
=
∑ ∑
∞
−∞=
π
−Ωδπ
k
k
N
k2
a2
nj 0
e Ω
( )∑
∞
−∞=
π−Ω−Ωδπ
k
0 k22
ncos 0Ω ( ) ([ ]∑
∞
−∞=
π−Ω+Ωδ+π−Ω−Ωδπ
k
00 k2k2 )
nsen 0Ω ( ) ([ ]∑
∞
−∞=
π−Ω+Ωδ−π−Ω−Ωδ
π
k
00 k2k2
j
)
[ ] 1nx = ( )∑
∞
−∞=
π−Ωδπ
k
k22
[ ] ( )∑
∞
−∞=
−δ=
k
kNnnx ∑
∞
−∞=
π
−Ωδ
π
k N
k2
N
2
[ ] 1anuan
<
Ω−
− j
ae1
1
[ ]
>
≤
=
1
1
Nn,0
Nn,1
nx
( )[ ]
( )2sen
Nsen 2
1
1
Ω
+Ω
π<<
ππ
=
π
W0
Wn
csin
W
n
Wnsen
( ) ( ) πΩ
π≤Ω≤
≤Ω≤
=Ω 2periododeperiódicaX
W,0
W0,1
X
[ ]nδ 1
[ ]nu
( )∑
∞
−∞=
Ω−
π−Ωδπ+
− k
j
k2
e1
1
[ ]0nn −δ 0nj
e Ω−
( ) [ ] 1anua1n n
<+
( )2j
ae1
1
Ω−
−
( )
( )
[ ] 1anua
!1r!n
!1rn n
<
−
−+
( )rj
ae1
1
Ω−
−
