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Problemi sui teoremi di Euclide. Eserciziario ragionato con soluzioni. - 1
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Raccolta di problemi sui teoremi di Euclide (triangoli)
Similarity and Right Triangles (Altitude Rule and Leg Rule)
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
1. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’ipotenusa e la
proiezione di un cateto sull’ipotenusa sono rispettivamente di 50 cm e di 32 cm.
2. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che le proiezioni
dei cateti sull’ipotenusa misurano rispettivamente di 63 cm e 112 cm.
dei cateti sull’ipotenusa misurano rispettivamente di 36 cm e 64 cm.
proiezione di un cateto sull’ipotenusa sono rispettivamente di 20 cm e di 7,2 cm.
5. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che un cateto e la
sua sull’ipotenusa sono rispettivamente di 16 cm e di 12,8 cm.
6. Calcola l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo, sapendo che
l’ipotenusa e la proiezione di un cateto sull’ipotenusa sono rispettivamente di 50 cm e
di 18 cm.
7. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’altezza
relativa all’ipotenusa è di 24 cm e la proiezione di un cateto sull’ipotenusa è di 18 cm.
dei cateti sull’ipotenusa misurano rispettivamente di 9 m e 16 m.
proiezione di uno dei suoi cateti sull’ipotenusa sono rispettivamente di 100 cm e di 36
cm.
10. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che un suo cateto
misura 15 cm e la sua ipotenusa 25 cm.
11. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che un cateto e la
sua proiezione sull’ipotenusa misurano rispettivamente 20 cm e 16 cm.
12. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’ipotenusa e
la proiezione di uno dei cateti sull’ipotenusa sono rispettivamente di 175 cm e di 112
cm.
dei cateti sull’ipotenusa sono rispettivamente di 63 cm e di 112 cm.
14. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’ipotenusa è
di 25 cm e una delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa è i 2/3 dell’altra.
15. In un triangolo rettangolo le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa sono una i 9/16
dell’altra. Sapendo che l’altezza relativa all’ipotenusa misura 36 cm, calcola perimetro
e area del triangolo.
16. In un triangolo rettangolo un cateto è 5/3 della sua proiezione sull’ipotenusa.
Sapendo che la loro somma è 48 cm, calcola il perimetro e l’area del triangolo.
relativa all’ipotenusa è di 12 cm e la proiezione di un cateto sull’ipotenusa misura 9
cm.

dei cateti sull’ipotenusa misurano rispettivamente 18 cm e 32 cm.
dei cateti sull’ipotenusa misurano rispettivamente 2,7 cm e 4,8 cm.
relativa all’ipotenusa misura 7,2 cm e una proiezione di un cateto sull’ipotenusa
misura 9,6 cm.
21. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo ABC rettangolo in C, sapendo che
l’altezza AH relativa all’ipotenusa AB e la proiezione del cateto BC sull’ipotenusa AB
sono rispettivamente di 8 cm e di 4 cm.
22. Calcola il perimetro di un triangolo ABC rettangolo in C, sapendo che l’ipotenusa
AB e la proiezione BH del cateto BC sull’ipotenusa AB sono rispettivamente di 8 cm e
di 2 cm.
23. Un cateto di un triangolo rettangolo misura 6 m e la sua proiezione sull’ ipotenusa
2 m. Determinare gli altri due lati, l’altezza relativa all’ipotenusa e il raggio della
circonferenza inscritta.
24. In un triangolo rettangolo ABC, le proiezioni dei cateti AC e BC sull’ipotenusa AB
misurano rispettivamente 3 cm e 7 cm. Determina l’altezza relativa all’ipotenusa, il
perimetro e l’area del triangolo dato.
25. In un triangolo rettangolo ABC, la somma delle proiezioni dei cateti AC e BC
sull’ipotenusa AB è di 25 e la loro differenza è di 7 cm. Determina il perimetro e l’area
del triangolo dato.
26. In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in C, il cateto AC misura 75 cm e la
sua proiezione sull’ipotenusa AH è di 45 cm. Determina il perimetro e l’area del
triangolo dato.
27. In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in C, le proiezioni dei cateti
sull’ipotenusa AB sono di 36 e 64 cm. Determina il perimetro e l’area del triangolo
dato.
28. In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, l’altezza AH relativa all’ipotenusa
BC misura 4,8 cm e la proiezione CH del cateto AC sull’ipotenusa è di 6,4 cm. Dopo
aver disegnato la figura, calcola l’area e il perimetro del triangolo dato.
29. In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, l’ipotenusa BC misura 75 cm e la
proiezione CH del cateto AC sull’ipotenusa è di 15 cm. Dopo aver disegnato la figura,
calcola l’area e il perimetro del triangolo dato.
30. In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, il cateto AC misura 120 cm e la
sua proiezione CH sull’ipotenusa è di 96 cm. Calcola l’area e il perimetro del triangolo
dato.
31. In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, il cateto AB misura 4,5 cm e la
sua proiezione BH sull’ipotenusa è di 2,7 cm. Calcola l’area e il perimetro del triangolo
dato.
32. In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, l’ipotenusa BC misura 25 cm e la
proiezione BH del cateto AB sull’ipotenusa è di 9 cm. Calcola l’area e il perimetro del
triangolo dato.
33. In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, l’altezza AH relativa all’ipotenusa
BC misura 12 cm e la sua proiezione BH sull’ipotenusa è di 5 cm. Calcola l’area e il
perimetro del triangolo dato.

34. In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, la proiezione BH del cateto
minore AB sull’ipotenusa misura 19,8 cm. Sapendo che l’ipotenusa BC misura 55 cm
calcola l’area e il perimetro del triangolo dato (usa il I teorema di Euclide).
35. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A,
sapendo che la somma delle proiezioni (BH+CH) dei cateti sull’ipotenusa BC è di 25
cm e che la differenza delle proiezioni (BH-CH) dei cateti sull’ipotenusa è di 7 cm.
36. Un cateto di un triangolo rettangolo ABC misura 6 cm e la sua proiezione
sull’ipotenusa 2 cm. Calcolane il perimetro e l’area.
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Soluzioni
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’ipotenusa e la
proiezione di un cateto sull’ipotenusa sono rispettivamente di 50 cm e di 32 cm.
Per il I teorema di Euclide
√ √
Per il teorema di Pitagora
√ √ √ √
pc1 = 32 cm
i = 50 cm
2p = ?; A = ?
in un triangolo rettangolo i
cateti base e altezza si ha
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che le proiezioni dei
cateti sull’ipotenusa misurano rispettivamente di 63 cm e 112 cm.
Per il II Teorema di Euclide
oppure AH:CH=CH:BH
√ √
√ √ √ √
√ √ √ √
pc1 = AH = 63 cm
pc2 = BH = 112 cm
2p = ?; A = ?
in un triangolo rettangolo i
cateti base e altezza si ha
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
cateti sullipotenusa misurano rispettivamente di 36 cm e 64 cm.
Per il I Teorema di Euclide
oppure AB:CB=CB:BH
√ √
√ √
pc1 = AH = 36 cm
pc2 = BH = 64 cm
2p = ?; A = ?

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
proiezione di un cateto sull’ipotenusa sono rispettivamente di 20 cm e di 7,2 cm.
Per il I teorema Euclide si ha i : c1 = c1 : pc1
20 : c1 = c1 : 7,2
c1= 121442,720  cm
per il teorema di Pitagora
162561444001220 222
1
2
2  cic cm
2p = c1+ c2+i = 20+12+16= 48 cm
Essendo in un triangolo rettangolo i cateti la base e l’altezza si ha:
166
2
1612
22
21







cchb
Area = 96 cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che un cateto e la sua
sull’ipotenusa sono rispettivamente di 16 cm e di 12,8 cm.
Per il I teorema Euclide si ha i : c1 = c1 : pc1
i : 16 = 16 : 12,8
i =
1,0
2
8,0
161
2,3
164
4,6
168
8,12
1616








= 20 cm
121442564001620 222
1
2
2  cic cm
2p = c1+ c2+i = 20+12+16= 48 cm
166
2
1612
22
21







cchb
Area = 96 cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo, sapendo che
l’ipotenusa e la proiezione di un cateto sull’ipotenusa sono rispettivamente di 50 cm e
di 18 cm.
Per il II teorema di Euclide
√ √
pc1 = 32 cm
i = 50 cm
h_ipot = ?
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’altezza relativa
all’ipotenusa è di 24 cm e la proiezione di un cateto sull’ipotenusa è di 18 cm.
Per il II teorema Euclide si ha pc2 : h = h : pc1
18 : 24 = 24 : pc1
pc1=
1
48
3
424
18
2424 




= 32 cm
i = pc1 + pc2 = 32 + 18 = 50 cm
600
1
1250
2
2450
22









hihb
Area cm2
309003245761824 222
1
2
1  pchc cm
40160010245763224 222
2
2
2  pchc cm
2p = c1+ c2+i = 30+40+50= 120 cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
cateti sull’ipotenusa misurano rispettivamente di 9 m e 16 m.
oppure AB:CB=CB:BH
√
√
pc1 = AH = 9 m
pc2 = BH = 16 m
2p = ?; A = ?
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo , sapendo che le proiezioni dei
cateti sull’ipotenusa sono rispettivamente di 36 cm e di 64 cm.
per il II teorema di Euclide si ha 36 : h = h : 64
h_ip = 4823046436  cm
6036004836 22
1 c cm
8064004864 22
2 c cm
2p = 60+80+(36+64) = 240 cm
2400
2
8060
22
21







cchb
Area cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

proiezione di uno dei cateti sull’ipotenusa sono rispettivamente di 100 cm e di 36 cm.
Problema derivato dal precedente.
essendo la proiezione dell’altro cateto = 100 -36 = 64 cm
h_ip = 4823046436  cm
6036004836 22
1 c cm
8064004864 22
2 c cm
2p = 60+80+(36+64) = 240 cm
2400
2
8060
22
21







cchb
Area cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che un suo cateto
misura 15 cm e la sua ipotenusa 25 cm.
per il I teorema Euclide si ha i : c1 = c1 : pc1
25 : 15 = 15 : pc1
pc1=
25
1515
=9 cm
204002256251525 222
1
2
2  cic cm
2p = c1+ c2+i = 15+20+25= 60 cm
150
2
2015
22
21







cchb
Area cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che un cateto e la sua
proiezione sull’ipotenusa misurano rispettivamente 20 cm e 16 cm.
per il I teorema Euclide si ha i : c1 = c1 : pc1
i : 20 = 20 : 16
i =
16
2020
=25 cm
152254006252025 222
1
2
2  cic cm
2p = c1+ c2+i = 15+20+25= 60 cm
Essendo in un triangolo rettangolo i cateti base e altezza si ha:
150
2
2015
22
21







cchb
Area cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo , sapendo che l’ipotenusa e la
proiezione di uno dei cateti sull’ipotenusa sono rispettivamente di 175 cm e di 112 cm.
per il I teorema Euclide si ha 175 : c1 = c1 : 112
140196001121751 c cm
per il I teorema Euclide si ha 175 : c2 = c2 : (175-112)
10511025631751 c cm
2p = 140+105+175 = 420 cm
7350
2
105140
22
21







cchb
Area cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
cateti sull’ipotenusa sono rispettivamente di 63 cm e di 112 cm.
essendo ipotenusa = 112+63 = 175 cm
140196001121751 c cm
per il I teorema Euclide si ha 175 : c2 = c2 : (175-112)
10511025631751 c cm
2p = 140+105+175 = 420 cm
7350
2
105140
22
21







cchb
Area cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo, sapendo che l’ipotenusa è di 50
cm e una delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa è i 9/16 dell’altra.
L’ipotenusa è data dalla somma delle proiezioni dei cateti su di essa, per cui
i = pc1 + pc2 = 25 cm
pc1 = (50/(9+16)) * 9 = 18 cm
pc2 = (50/(9+16)) * 16 = 32 cm
per il II teorema di Euclide si ha pc2 : h = h : pc1
18 : h = h : 32
h= 24836496493218  cm
600
1
1250
2
2450
22









hihb
Area cm2
309003245761824 222
1
2
1  pchc cm
40160010245763224 222
2
2
2  pchc cm
2p = c1+ c2+i = 30+40+50= 120 cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

In un triangolo rettangolo le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa sono una i 9/16
dell’altra. Sapendo che l’altezza relativa all’ipotenusa misura 36 cm, calcola perimetro
e area del triangolo.
ugualipartiugualipartih 12169169  pari a 36 cm
27939
12
36
1 pc cm
4816316
12
36
2 pc cm
i = 27+48 = 75 cm
459332527751 c cm
6016332548751 c cm
2p = 75+45+60 = 120+60 = 180 cm
1350
2
6045
22
21







cchb
Area cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
In un triangolo rettangolo un cateto è 5/3 della sua proiezione sull’ipotenusa. Sapendo
che la loro somma è 48 cm, calcola il perimetro e l’area del triangolo.
30565
8
48
5
35
48
1 

c cm
18363
8
48
3
35
48
1 

pc cm
per il I teorema Euclide si ha i : 30 = 30 : 18
50
2
1010
18
3030




i cm
4016003050 22
2 c cm
2p = 50+30+40 = 120 cm
600
2
4030
22
21







cchb
Area cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

all’ipotenusa è di 12 cm e la proiezione di un cateto sull’ipotenusa misura 9 cm.
9 : 12 = 12 : pc2
44
3
124
9
1212
2 



pc = 16 cm
ipotenusa = pc1 + pc2 = 16+9 = 25 cm
per il teorema Pitagora
4002561441612 22
1 c = 20 cm
22581144912 22
2 c = 15 cm
2p = 25+20+15 = 60 cm
1510
2
1520
22
21







cchb
Area = 150 cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
cateti sull’ipotenusa misurano rispettivamente 18 cm e 32 cm.
18 : h = h : 32
43243242323218 22222
h = 24 cm
ipotenusa = pc1 + pc2 = 18+32 =50 cm
9003245761824 22
1 c = 30 cm
160010245763224 22
2 c = 40 cm
2p = 50+30+40 = 120 cm
2030
2
4030
22
21







cchb
Area = 600 cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
cateti sull’ipotenusa misurano rispettivamente 2,7 cm e 4,8 cm.
2,7 : h = h : 4,8
√ √
ipotenusa = pc1 + pc2 = 2,7+4,8 = 7,5 cm
√ √ √
√ √ √
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

all’ipotenusa misura 7,2 cm e una proiezione di un cateto sull’ipotenusa misura 9,6
cm.
ipotenusa = = 9,6+5,4 = 15 cm
√ √ √
√ √ √
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo ABC rettangolo in C, sapendo che l’altezza
AH relativa all’ipotenusa AB e la proiezione del cateto BC sull’ipotenusa AB sono
rispettivamente di 8 cm e di 4 cm.
per il II teorema di Euclide si ha 4 :8 = 8 : AH
AH = 1628
4
88


cm
AB = AH + BH = 16+4= 20 cm
AC = 58544432064256416 22
 cm
CB = 5454480166448 22
 cm
2p = 20+ 54 + 58 = (20+ 512 ) cm
80420
2
820
22







CHABhb
Area cm2
oppure essendo in un triangolo rettangolo i cateti la base e l’altezza si ha:
8055165454
2
5458
22
21







cchb
Area cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro di un triangolo ABC rettangolo in C, sapendo che l’ipotenusa AB e
la proiezione BH del cateto BC sull’ipotenusa AB sono rispettivamente di 8 cm e di 2
cm.
per il I teorema di Euclide si ha 8 : BC = BC : 2
BC = 41628  cm
AH = AB – BH = 8 - 2 = 6 m
per il I teorema di Euclide si ha 8 : AC = AC : 6
AC = 3431668  cm
2p = 8+4+ 34 = (12+ 34 ) cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Un cateto di un triangolo rettangolo
misura 6 m e la sua proiezione sull’
ipotenusa 2 m. Determinare gli altri due
lati, l’altezza relativa all’ipotenusa e il
raggio della circonferenza inscritta.
C^ = 90°
AC = 6 cm
AH = 2 cm
A = ?;
2p = ?
AB : AC = AC : CH
AB : 6 = 6 : 2
AB = 6·6/2 = 6·3 = 18 cm
BH = AB-CH = 18 – 2 = 16 cm
HC = 243243626 2222
 AHAC = 5,66 cm
BC =   212288256321624 2222
 BHCH = 16,97 cm
Per un triangolo qualsiasi si ha r_cerchioinscritto = A/p e R_cerchiocircoscritto = (a·b·c)/(4·A)
A = 236
2
6212
22
21





 cchb
= 59,91 cm2
2p = AB+BC+AC = 18+ 212 +6 = 24+ 212 = 40,97 cm
r = 


48,20
91,59
21224
236
p
A
2,48 cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
In un triangolo rettangolo ABC, le
proiezioni dei cateti AC e BC sull’ipotenusa
AB misurano rispettivamente 3 cm e 7
cm. Determina l’altezza relativa
all’ipotenusa, il perimetro e l’area del
triangolo dato.
C^ = 90°
AH = 3 cm
BH = 7 cm
A = ?;
2p = ?
AH : CH = CH : BC
3 : CH = CH : 7
CH = 2173  = 4,58 cm
AC =   30219213
2222
 CHAH = 5,47 cm
BC =   702149217
2222
 CHBH = 8,36 cm
A = 215
2
2100
2
3070
22
21





 cchb
= 22,91 cm2
2p = AB+BC+AC = 3+7+5,47+8,36 = 23,83 cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

In un triangolo rettangolo ABC, la somma
delle proiezioni dei cateti AC e BC
sull’ipotenusa AB è di 25 e la loro
differenza è di 7 cm. Determina il
C^ = 90°
AH+BH = 25 cm
BH-AH = 7 cm
A = ?;
2p = ?
AB = AH+BH = 25 cm
AH = ((AH+BH)-(BH-AH))/2 = (25-7)/2 = 18/2 = 9 cm
HB = AH+(BH-AH) = 9+7 = 16 cm
AH : CH = CH : BH
9 : CH = CH : 16
CH = 22
43169  = 12 cm
AC = 22514481129 2222
 CHAH = 15 cm
BC = 4001442561216 2222
 CHAH = 20 cm
A =
2
2015
22
21 



 cchb
= 150 cm2
2p = AB+BC+AC = 25+15+20 = 60 cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo
in C, il cateto AC misura 75 cm e la sua
proiezione sull’ipotenusa AH è di 45 cm.
Determina il perimetro e l’area del
triangolo dato.
C^ = 90°
AC = 75 cm
AH = 45 cm
A = ?
2p = ?
AB : AC = AC : AH
AB : 75 = 75 : 45
i = AB = 75*75/45 = 5*25 = 125 cm
BC = 1000056251562517125 2222
 ACAB = 100 cm
A = 5075
2
10075
22
21





 cchb
= 3750 cm2
2p = AB+BC+AC = 125+100+75 = 300 cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo
in C, le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa
AB sono di 36 e 64 cm. Determina il
C^ = 90°
AH = 36 cm
BH = 64 cm
A = ?
2p = ?
AH : CH = CH : BH
75 : CH = CH : 45
CH = 6836643664  = 48 cm
i = AB = AH + BH = 36+64 = 100 cm
A = 24100
2
48100
22





 CHABhb
= 2400 cm2
AB : AC = AC : AH
100 : AC = AC : 36
AC = 6103610036100  = 60 cm
AB : BC = BC : BH
100 : BC = BC : 64
BC = 8106410064100  = 80 cm
2p = AB+BC+AC = 100+80+60 = 240 cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo
rettangolo ABC, rettangolo in C, sapendo
che le proiezioni dei cateti AC e BC
sull’ipotenusa sono rispettivamente di 3
cm e di 7 cm.
C^ = 90°
AH = 3 cm
BH = 7 cm
A = ?
2p = ?
AH : CH = CH : BH
7 : CH = CH : 3
CH = 2173  = 4,58 cm
i = AB = AH + BH = 3+7 = 10 cm
A = 215
2
2110
22





 CHABhb
= 22,91 cm2
AB : AC = AC : AH
10 : AC = AC : 3
AC = 30310  = 5,47 cm
AB : BC = BC : BH
10 : BC = BC : 7
BC = 70710  = 8,36 cm
2p = AB+BC+AC = 10+5,47+8,36 = 23,83 cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, l’altezza AH relativa all’ipotenusa BC
misura 4,8 cm e la proiezione CH del cateto AC sull’ipotenusa è di 6,4 cm. Dopo aver
disegnato la figura, calcola l’area e il perimetro del triangolo dato.
AH = 4,8 cm
CH = 6,4 cm
BH : AH = AH : CH
BH : 4,8 = 4,8 : 6,4
BH = 32,1
6,1
8,42,1
2,3
8,44,2
4,6
8,48,4






= 3,6 cm
AB = 3604,2396,128,46,3 2222
 AHBH = 6 cm
AC = 6404,2396,408,44,6 2222
 AHCH = 8 cm
A = 83
2
86
2



 ACAB
= 24 cm2
BC = BH+CH = 3,6+6,4 = 10 cm
2p = AB + BC + AC = 6+10+8 = 24 cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, l’ipotenusa BC misura 75 cm e la
proiezione CH del cateto AC sull’ipotenusa è di 15 cm. Dopo aver disegnato la figura,
calcola l’area e il perimetro del triangolo dato.
BC = 75 cm
CH = 15 cm
BC : AC= AC : CH
75 : AC= AC : 15
AC = 515533251575  = 33,54 cm
BH = BC – CH = 75 – 15 = 60 cm
BC : AB= AB : BH
75 : AB= AB : 60
AB = 5304533256075  = 67,08 cm
A = 51515
2
51530
2
515530




= 1125 cm2
2p = AB + BC + AC = 530 +75+ 515 = (75+ 545 ) = 175,62 cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, il cateto AC misura 120 cm e la sua
proiezione CH sull’ipotenusa è di 96 cm. Calcola l’area e il perimetro del triangolo
dato.
AC = 120 cm
CH = 96 cm
AH = 518492161440096120 2222
 AHAC = 72 cm
BH : AH= AH : CH
BH : 72= 72 : 96
BH =
1
96
4
366
24
3636
96
7272 






= 54 cm
BC = BH+CH = 54+96 = 150 cm
AB = 8100518429167254 2222
 AHBH = 90 cm
A = 6090
2
12090
2



 ACAB
= 5400 cm2
2p = AB + BC + AC = 90+150+120= 360 cm
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, il cateto AB misura 4,5 cm e la sua
proiezione BH sull’ipotenusa è di 2,7 cm. Calcola l’area e il perimetro del triangolo
dato.
BC : AB= AB : BH
BC : 4,5= 4,5 : 2,7
5,75,015
3,0
5,05,4
7,2
5,45,4




BC cm
CH = BC – BH = 7,5 – 2,7 = 4,8 cm
BC : AC= AC : CH
7,5 : AC = AC : 4,8
6368,45,7 AC cm
2p = AB + BC + AC = 4,5+7,5+6= 18 cm
5,1335,4
2
65,4
2





ACAB
A cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, l’ipotenusa BC misura 25 cm e la
proiezione BH del cateto AB sull’ipotenusa è di 9 cm. Calcola l’area e il perimetro del
triangolo dato.
BC : AB= AB : BH
25 : AB = AB : 9
1553259259 AB cm
CH = BC – BH = 25 – 9 = 16 cm
BC : AC= AC : CH
25 : AC = AC : 16
205425162516 AC cm
2p = AB + BC + AC = 15+25+20= 60 cm
1501015
2
2015
2





ACAB
A cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, l’altezza AH relativa all’ipotenusa BC
misura 12 cm e la sua proiezione BH sull’ipotenusa è di 5 cm. Calcola l’area e il
perimetro del triangolo dato.
AB = 16914425125 2222
 AHBH = 13 cm
BC : AB= AB : BH
BC : 13 = 13 : 5
8,33
5
169
5
1313


BC cm
HC = BC – BH = 33,8 – 5 = 28,8 cm
AC = 2,3144,97314444,829128,28 2222
 AHHC cm
2p = AB + BC + AC = 13+33,8+31,2= 78 cm
8,2026,1513
2
2,3113
2





ACAB
A cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, la proiezione BH del cateto minore AB
sull’ipotenusa misura 19,8 cm. Sapendo che l’ipotenusa BC misura 55 cm calcola
l’area e il perimetro del triangolo dato (usa il I teorema di Euclide).
oppure BH:AB=AB:BC
√ √
√ √
i = BC = 55 cm
pc2 = BH = 19,8 cm
2p = ?; A = ?
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, sapendo
che la somma delle proiezioni (BH+CH) dei cateti sull’ipotenusa BC è di 25 cm e che la
differenza delle proiezioni (BH-CH) dei cateti sull’ipotenusa è di 7 cm.
( ) ( )
( )
BH : AB = AB : BC
9 : AB = AB : 25
√
CH : AC = AC : BC
16 : AC = AC : 25
√
BC = ipotenusa
BH+CH= 25 cm
BH-CH= 7 cm
2p = ?; A = ?
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
In un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, il cateto AB misura 6 cm e la sua
proiezione sull’ipotenusa 2 cm. Calcolane il perimetro e l’area.
oppure BH:AB=AB:BC
√ √ √ √
√
√
√ √
√ ( √ )
c1 = AB = 6 cm
pc1 = BH = 2 cm
2p = ?; A = ?
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

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