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  1. 1. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Untersuchung von Algorithmen zur Generierung uniformer Zufallsgraphen anhand einer Grad-Sequenz Wolfgang Schlauch 1Fachbereich Informatik Technische Universit¨at Kaiserslautern 2FB Knowledge Management Deutsches Forschungszentrum f¨ur K¨unstliche Intelligenz 28. Oktober 2010
  2. 2. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Inhalt 1 Motivation 2 Wichtige Begriffe 3 Experiment 1 4 Experiment 2 5 Zusammenfassung & Erkenntnisse
  3. 3. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Inhalt 1 Motivation 2 Wichtige Begriffe 3 Experiment 1 4 Experiment 2 5 Zusammenfassung & Erkenntnisse
  4. 4. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Fragestellung Ist es m¨oglich h¨aufiges/seltenes Auftreten von Mustern in Graphen zu beobachten?
  5. 5. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Historie der Sozialen Netzwerkanalyse seit Ende 18., Anfang 19. Jahrhunderts vor 1950 eher auf ” Klassenebene“, danach Schwenk auf gr¨oßere Netzwerke Stanley Milgrams ” small-world“ Hypothese auch auf anderen Bereichen interessant (Elektrotechnik, Biologie, . . . )
  6. 6. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Aufgabenstellung Idee Analyse von Mustern mit statistischen Mitteln in Zufallsgraphen
  7. 7. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Aufgabenstellung Idee Analyse von Mustern mit statistischen Mitteln in Zufallsgraphen Ansatz 1 Erd¨os-R´enyi-Modell
  8. 8. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Aufgabenstellung Idee Analyse von Mustern mit statistischen Mitteln in Zufallsgraphen Ansatz 1 Erd¨os-R´enyi-Modell zu regelm¨aßig
  9. 9. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Aufgabenstellung Idee Analyse von Mustern mit statistischen Mitteln in Zufallsgraphen Ansatz 1 Erd¨os-R´enyi-Modell zu regelm¨aßig nicht realit¨atsnah
  10. 10. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Aufgabenstellung Idee Analyse von Mustern mit statistischen Mitteln in Zufallsgraphen Ansatz 1 Erd¨os-R´enyi-Modell zu regelm¨aßig nicht realit¨atsnah Ansatz 2 Konfigurationsmodell
  11. 11. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Aufgabenstellung Idee Analyse von Mustern mit statistischen Mitteln in Zufallsgraphen Ansatz 1 Erd¨os-R´enyi-Modell zu regelm¨aßig nicht realit¨atsnah Ansatz 2 Konfigurationsmodell generiert nicht unbedingt die Sequenz
  12. 12. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Aufgabenstellung Idee Analyse von Mustern mit statistischen Mitteln in Zufallsgraphen Ansatz 1 Erd¨os-R´enyi-Modell zu regelm¨aßig nicht realit¨atsnah Ansatz 2 Konfigurationsmodell generiert nicht unbedingt die Sequenz Ansatz 3 Monte-Carlo-Markov-Ketten-Algorithmen
  13. 13. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Aufgabenstellung Idee Analyse von Mustern mit statistischen Mitteln in Zufallsgraphen Ansatz 1 Erd¨os-R´enyi-Modell zu regelm¨aßig nicht realit¨atsnah Ansatz 2 Konfigurationsmodell generiert nicht unbedingt die Sequenz Ansatz 3 Monte-Carlo-Markov-Ketten-Algorithmen haben durch empirisch bestimmte Faktoren hoch gesetzte Laufzeiten
  14. 14. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Aufgabenstellung Idee Analyse von Mustern mit statistischen Mitteln in Zufallsgraphen Ansatz 1 Erd¨os-R´enyi-Modell zu regelm¨aßig nicht realit¨atsnah Ansatz 2 Konfigurationsmodell generiert nicht unbedingt die Sequenz Ansatz 3 Monte-Carlo-Markov-Ketten-Algorithmen haben durch empirisch bestimmte Faktoren hoch gesetzte Laufzeiten Aufgabe Diesen Faktor minimieren!
  15. 15. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Inhalt 1 Motivation 2 Wichtige Begriffe Grad-Sequenz Zufallsgraphen 3 Experiment 1 4 Experiment 2 5 Zusammenfassung & Erkenntnisse
  16. 16. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Was ist eine Grad-Sequenz? F¨ur ungerichtete Graphen: S = (d1, d2, . . . , dn). Graph mit n Knoten, die jeweils mit di Kanten inzident sind.
  17. 17. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Was ist eine Grad-Sequenz? F¨ur ungerichtete Graphen: S = (d1, d2, . . . , dn). Graph mit n Knoten, die jeweils mit di Kanten inzident sind. F¨ur gerichtete Graphen: S = d+ 1 , d− 1 , d+ 2 , d− 2 , . . . , (d+ n , d− n ) der i-te Knoten hat d+ i eingehende und d− i ausgehende Kanten.
  18. 18. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Was ist eine Grad-Sequenz? F¨ur ungerichtete Graphen: S = (d1, d2, . . . , dn). Graph mit n Knoten, die jeweils mit di Kanten inzident sind. F¨ur gerichtete Graphen: S = d+ 1 , d− 1 , d+ 2 , d− 2 , . . . , (d+ n , d− n ) der i-te Knoten hat d+ i eingehende und d− i ausgehende Kanten. Beispiel: S = (2, 2) , (1, 2) , (2, 1) 1 3 2
  19. 19. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Idee des Zufallsgraphen Wunsch: ein zuf¨allig konstruierter Graph, der an ihn gestellte Bedingungen erf¨ullt.
  20. 20. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Idee des Zufallsgraphen Wunsch: ein zuf¨allig konstruierter Graph, der an ihn gestellte Bedingungen erf¨ullt. L¨osung: viele verschiedene Modelle (Konfigurationsmodell, Erd¨os-R´enyi-Graph, . . . )
  21. 21. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Idee des Zufallsgraphen Wunsch: ein zuf¨allig konstruierter Graph, der an ihn gestellte Bedingungen erf¨ullt. L¨osung: viele verschiedene Modelle (Konfigurationsmodell, Erd¨os-R´enyi-Graph, . . . ) Problem: erf¨ullen nicht unbedingt die gestellten Bedingungen
  22. 22. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Erd¨os-R´enyi-Modell Gegeben: Anzahl der Knoten n, feste Wahrscheinlichkeit 0 ≤ p ≤ 1
  23. 23. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Erd¨os-R´enyi-Modell Gegeben: Anzahl der Knoten n, feste Wahrscheinlichkeit 0 ≤ p ≤ 1 F¨ur jedes Knotenpaar wird eine Zufallszahl 0 ≤ q ≤ 1 gezogen. Wenn q < p bekommt das Paar eine Kante.
  24. 24. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Erd¨os-R´enyi-Modell Vorteile: sehr einfache Implementierung poisson-verteilte Knotengrade
  25. 25. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Erd¨os-R´enyi-Modell Vorteile: sehr einfache Implementierung poisson-verteilte Knotengrade Nachteile: nicht realit¨atsnah
  26. 26. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Skalenfreie Netzwerke Nachteil bisher: Regelm¨aßigkeit
  27. 27. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Skalenfreie Netzwerke Nachteil bisher: Regelm¨aßigkeit Man ben¨otigt f¨ur Modellierung realer Netzwerke ” unregelm¨aßige“ Netzwerke.
  28. 28. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Skalenfreie Netzwerke Nachteil bisher: Regelm¨aßigkeit Man ben¨otigt f¨ur Modellierung realer Netzwerke ” unregelm¨aßige“ Netzwerke. ⇒ Skalenfreie Netzwerke
  29. 29. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Skalenfreie Netzwerke Algorithmische Idee Knoten, die bereits viele Verbindungen haben, werden eher mit anderen verbunden.
  30. 30. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Skalenfreie Netzwerke Algorithmische Idee Knoten, die bereits viele Verbindungen haben, werden eher mit anderen verbunden. Knotengerade folgen Powerlaw: P (X = x) ∼ x−k
  31. 31. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Skalenfreie Netzwerke Algorithmische Idee Knoten, die bereits viele Verbindungen haben, werden eher mit anderen verbunden. Knotengerade folgen Powerlaw: P (X = x) ∼ x−k Beispiele hierf¨ur: Internet, Kevin-Bacon-Netzwerk, Stromnetz westliche USA, . . .
  32. 32. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Skalenfreie Netzwerke Knotengrad-Generierung Gew¨unscht: Ein Netz, 5 Knoten sollen Knotengrad 1 haben, k = 1.7.
  33. 33. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Skalenfreie Netzwerke Knotengrad-Generierung Gew¨unscht: Ein Netz, 5 Knoten sollen Knotengrad 1 haben, k = 1.7. Berechne gem¨aß powerlaw: round 5 · x−k bis Wert 0 = 5 0 , 2 1 , 1 2 Also sind es 5 Knoten mit Grad 1, 2 Knoten mit Grad 2 und einer mit Grad 3.
  34. 34. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Konfigurationsmodell Beispielsgraph Skalenfreies Netzwerk, Konfigurationsmodell Sequenz S = ((3, 3) , (2, 1) , (2, 1) , (1, 1) , (1, 2) , (1, 2) , (1, 1) , (1, 1)) 1 3 2 54 7 6 8
  35. 35. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Konfigurationsmodell Gegeben: Knotengradsequenz S = (d1, . . . , dn)
  36. 36. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Konfigurationsmodell Gegeben: Knotengradsequenz S = (d1, . . . , dn) Konstruiert f¨ur jeden Wert der Sequenz di viele Pseudoknoten und verbindet diese dann durch Kanten miteinander
  37. 37. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Konfigurationsmodell Problem des Konfigurationsmodell Beispiel: S = (3, 2, 1)
  38. 38. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Konfigurationsmodell Problem des Konfigurationsmodell Beispiel: S = (3, 2, 1) 1 1 1 2 2 3
  39. 39. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Konfigurationsmodell Problem des Konfigurationsmodell Beispiel: S = (3, 2, 1) 1 1 1 2 2 3 1 2 3
  40. 40. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Konfigurationsmodell Vorteile: erstellt immer einen Graphen einfach zu implementieren beliebtes Modell f¨ur Zufallsgraphen
  41. 41. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Konfigurationsmodell Vorteile: erstellt immer einen Graphen einfach zu implementieren beliebtes Modell f¨ur Zufallsgraphen Nachteile: Graph kann Multikanten und Schleifen enthalten
  42. 42. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Inhalt 1 Motivation 2 Wichtige Begriffe 3 Experiment 1 Algorithmen Experiment 4 Experiment 2 5 Zusammenfassung & Erkenntnisse
  43. 43. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Monte-Carlo-Markov-Ketten-Algorithmus 1 Graph als Eingabe des Algorithmus 2 n Kantentausche 3 (anderer) Graph als Ausgabe
  44. 44. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse MCMC-Algorithmus Was ist ein Kantentausch? ung¨ultiger Kantentausch → e1 e2 e1 e2
  45. 45. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse MCMC-Algorithmus Was ist ein Kantentausch? ung¨ultiger Kantentausch → e1 e2 e1 e2 G¨ultiger Kantentausch A B → C D e1 e2 A B C D e1 e2
  46. 46. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Graphenerstellung Algorithmus zum Verbinden der einzelnen Knoten: Havel-Hakimi-Algorithmus
  47. 47. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Graphenerstellung Algorithmus zum Verbinden der einzelnen Knoten: Havel-Hakimi-Algorithmus 1 generiert (garantiert) einfachen Graphen 2 terminiert immer wenn Sequenz nicht als einfacher Graph realisierbar, terminiert er mit Fehler
  48. 48. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Graphenerstellung Algorithmus zum Verbinden der einzelnen Knoten: Havel-Hakimi-Algorithmus 1 generiert (garantiert) einfachen Graphen 2 terminiert immer wenn Sequenz nicht als einfacher Graph realisierbar, terminiert er mit Fehler Beweis, dass Havel-Hakimi f¨ur gerichtete Graphen korrekt funktioniert: 2009 von Erd¨os und Mikl´os
  49. 49. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Frage nach der Uniformit¨at Evaluation der Uniformit¨at anhand von Toy-Netzwerk, bestehend aus 12 Knoten und 20 Kanten. Insgesamt 91 g¨ultige m¨ogliche Konfigurationen. (a) (b)
  50. 50. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Auswertung auf Toy-Netzwerk Ergebnisse schwanken um 1.099% → uniformes Vorkommen der einzelnen Netzwerk-Konfigurationen.
  51. 51. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Frage nach der Uniformit¨at F¨ur kleines Beispiel ok, wie sieht es mit gr¨oßeren aus?
  52. 52. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Frage nach der Uniformit¨at F¨ur kleines Beispiel ok, wie sieht es mit gr¨oßeren aus? Z¨ahlung des Vorkommens bestimmter Motive: feed-forward-loop
  53. 53. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Frage nach der Uniformit¨at F¨ur kleines Beispiel ok, wie sieht es mit gr¨oßeren aus? Z¨ahlung des Vorkommens bestimmter Motive: feed-forward-loop A B C
  54. 54. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Frage nach der Uniformit¨at Vergleich des Vorkommens des Motives mit den Werten einer anderen Forschungsgruppe [Alon, Uri et al, 2004]. E. coli Yeast iterations mean std. dev. Z-value mean std. dev. Z-value 1000 7.79 3.14 10.89 14.35 4.13 14.2 (10.26) (11.54——13.47) 10000 7.65 3.08 11.15 14.54 4.14 14.2 (10.5) (11.46——13.39) 100000 7.66 3.11 11.04 14.58 4.19 13.94 (10.4) (11.31——13.22)
  55. 55. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Inhalt 1 Motivation 2 Wichtige Begriffe 3 Experiment 1 4 Experiment 2 Algorithmen Experiment 5 Zusammenfassung & Erkenntnisse
  56. 56. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Bis jetzt... Bis jetzt haben wir Algorithmen die h¨ochstwahrscheinlich uniform generieren. Das Problem ist die Zahl n der Kantentausche. Bisher auf 100 · #Kanten festgesetzt.
  57. 57. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Bis jetzt... Bis jetzt haben wir Algorithmen die h¨ochstwahrscheinlich uniform generieren. Das Problem ist die Zahl n der Kantentausche. Bisher auf 100 · #Kanten festgesetzt. Gen¨ugt nicht auch schon ein wesentlich kleinerer Faktor?
  58. 58. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Markov-Kette Idee: Betrachte verschiedene Konfigurationen des Graphen als Elemente einer Markov-Kette.
  59. 59. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Markov-Kette Idee: Betrachte verschiedene Konfigurationen des Graphen als Elemente einer Markov-Kette. von jedem Zustand aus ist jeder andere Zustand erreichbar Wahrscheinlichkeit in einem Zustand zu bleiben ungleich 0 Wahrscheinlichkeit zu einem anderen Zustand zu gelangen bleibt konstant f¨ur jeden ¨Ubergang
  60. 60. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse PageRank-Algorithmus auf Markov-Kette ” Der PageRank-Algorithmus ist ein Verfahren, eine Menge verlinkter Dokumente, wie beispielsweise das World Wide Web, anhand ihrer Struktur zu bewerten bzw. zu gewichten [...]“ wikipedia Modifikation: Nur ein Knoten der Markov-Kette hat Initialwert ungleich 0. Wenn uniform, verteilt sich Gewicht gleichm¨aßig.
  61. 61. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Ergebnisse Mit schwachem Konvergenzkriterium dennoch gute Werte: Netzwerk Kantenzahl Iterationen q ± δ Toy-Netzwerk 12 21 ∼ 2 0 negativ korrelierte Knotengrade 12 61 ∼ 5 0.009 positiv korrelierte Knotengrade 12 89 ∼ 7 0.02 zuf¨allige Knotengrade 12 78 ∼ 7 0.15
  62. 62. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Inhalt 1 Motivation 2 Wichtige Begriffe 3 Experiment 1 4 Experiment 2 5 Zusammenfassung & Erkenntnisse
  63. 63. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Zusammenfassung & Erkenntnisse entwickelte Algorithmen sind korrekt aber haben noch Optimierungsspielraum multiplikativer Faktor stark vom Netz abh¨angig weitere Forschung in Hinsicht auf Faktorsch¨atzung n¨otig
  64. 64. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse Vielen Dank f¨ur die Aufmerksamkeit Noch Fragen?
  65. 65. Motivation Wichtige Begriffe Experiment 1 Experiment 2 Zusammenfassung & Erkenntnisse 1 26 2 3 4 5 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 6 7 8 9 10 11 12 13 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91

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