Ghf Skript 2009

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Ghf Skript 2009

  1. 1. Institut für Hochfrequenztechnik und Elektronik Skriptum zur Vorlesung Grundlagen der Hochfrequenztechnik von Prof. Dr.-Ing. Thomas Zwick 2. Auflage 2009 Skript überarbeitet von T. Kayser, M. Pauli, A. Lambrecht, S. Beer Postanschrift: Institut für Hochfrequenztechnik und Elektronik Tel.: +49 (0) 721 608 25 22 Kaiserstraße 12 Sekr.: +49 (0) 721 608 2523 D-76131 Karlsruhe Fax: +49 (0) 721 69 18 65 E-Mail: ihe@ihe.uka.de Gebäude: Engesserstraße 5, Geb. 30.10 Web: www.ihe.uni-karlsruhe.de
  2. 2. Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 7 2. Passive, lineare Bauelemente bei höheren Frequenzen 11 2.1. Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1. Einfluss des Skineffekts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2. Einfluss der Eigeninduktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.3. Einfluss der Eigenkapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.4. Vollständiges Ersatzschaltbild eines Widerstandes . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.1. Kapazitätsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.2. Wahl des Dielektrikums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.3. Einfluss der Eigeninduktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.4. Verluste eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.5. Vollständiges Ersatzschaltbild eines Kondensators . . . . . . . . . . . 24 2.3. Induktivitäten, Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.1. Magnetische Energie in einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.2. Eigenkapazität einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.3. Verluste einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.4. Vollständiges Ersatzschaltbild einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3. Passive, lineare Schaltungen 31 3.1. Transformationsschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.1. Wirkleistungsabgabe einer Quelle an den Verbraucher . . . . . . . . . 32 3.1.2. Serienschaltung eines Blindwiderstandes . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.3. Parallelschaltung eines Blindwiderstandes . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.4. Transformation mit zwei Blindwiderständen . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.5. Frequenzabhängigkeit der Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2. Resonanzkompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3. Breitbandkompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.1. Tiefpass- und Hochpasskompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3.2. Bandpasskompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3
  3. 3. 4 Inhaltsverzeichnis 4. Leitungstheorie 53 4.1. Ersatzschaltbild einer TEM-Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2. Telegraphengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3. Wellenausbreitung auf Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4. Leitung mit beliebigem Abschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.5. Die verlustfreie Leitung bei Anpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.6. Strom- und Spannungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.7. Näherungslösung für Leitungen mit kleinen Verlusten . . . . . . . . . . . . . . 70 5. Anwendung von Leitungen bei höheren Frequenzen 75 5.1. Impedanztransformation mit Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.1.1. Strom- und Spannungsverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.1.2. Eingangswiderstand und m-Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.1.3. Eingangsleitwert einer Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.2. Das Smith-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.2.1. Konforme Abbildung in die r-Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.2.2. Anwendung des Smithdiagramms zur Leitungstransformation . . . . . 88 5.2.3. Die Transformation durch Serien- oder Parallelschaltung . . . . . . . . 90 5.3. Leitungstransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.3.1. Leitung mit beliebig komplexem Abschluss . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.3.2. Spezielle Fälle der Transformation mit Leitungen . . . . . . . . . . . . 93 5.3.3. Die fehlangepasste Leitung mit Verlusten . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.4. Leitungen mit stehenden Wellen (Reaktanzleitungen, Blindleitungen) . . . . . 102 5.4.1. Die kurzgeschlossene Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.4.2. Die offene Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.4.3. Leitung mit beliebigem Blindwiderstand als Abschluss . . . . . . . . . 108 5.5. Spezielle Leitungstypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.5.1. Koaxialleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.5.2. Mikrostreifenleitung (Microstrip) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.5.3. Hohlleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6. Mikrowellen Netzwerk-Analyse 125 6.1. Impedanz- und Admittanz-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.2. Streuvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.2.1. Leistungswellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.3. Streumatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.4. Spezielle Eigenschaften von Netzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.5. ABCD-Matrix und Transmissionsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
  4. 4. Inhaltsverzeichnis 5 6.6. Berechnungsmethoden für die Streumatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.6.1. Streuparameterbestimmung aus Strom-Spannungsdefinition . . . . . . 141 6.6.2. Konversion zwischen Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.6.3. Zusammenschaltung von Mehrtoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 7. Mikrowellensysteme 145 7.1. Ebene Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.1.1. Poynting-Vektor und Leistungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 7.2. Antennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.2.1. Abgestrahlte Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.2.2. Antennengewinn und Richtwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 7.2.3. Richtcharakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 7.2.4. Halbwertsbreite und Halbwertswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.2.5. Zusammenhang zwischen Gewinn und Richtcharakteristik . . . . . . . 154 7.2.6. Antennenwirkfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.2.7. Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.3. Wellenausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.3.1. Freiraumausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 7.3.2. Atmosphärische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.4. Rauschen in Mikrowellensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.4.1. Elektrisches Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 7.4.2. Äquivalente Rauschtemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.4.3. Rauschtemperaturmessung durch die Y-Faktor-Methode . . . . . . . . 165 7.4.4. Rauschzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.4.5. Rauschzahl eines kaskadierten Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.5. Komponenten von Mikrowellensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.5.1. Nichtlineare Kennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.5.2. Verstärkung hochfrequenter Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 7.5.3. Schwingungserzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 7.5.4. Zusammenfassung der wichtigsten HF-Komponenten von Mikrowel- lensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7.6. Funkkommunikationssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.6.1. Mikrowellensender und -empfänger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.6.2. Rauschcharakterisierung eines Mikrowellenempfängers . . . . . . . . . 183 7.7. Radarsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 7.7.1. Radargleichung und Radarstreuquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . 188 7.7.2. Pulsradar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 7.7.3. Dopplerradar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
  5. 5. 6 Inhaltsverzeichnis 7.7.4. FMCW-Radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 7.8. Radiometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 7.8.1. Grundlagen der Radiometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 7.8.2. Beispiel eines Radiometers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 7.9. Erwärmen mit Mikrowelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 7.9.1. Grundlagen der Mikrowellenheizung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 A. Schreibweise orts- und zeitabhängiger Größen 203 A.1. Beliebige Orts- und Zeitabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 A.2. Bei harmonischer Zeitabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 B. Verzeichnis der verwendeten Abkürzungen 205 C. Leitungsdiagramme 209
  6. 6. 1. Einleitung Der Begriff „Hochfrequenztechnik“ unterlag im Laufe der Zeit mehrfachen Änderungen. Es zeigte sich, dass die Angabe fester Frequenzen nicht sinnvoll ist. Die Hochfrequenztechnik wird am besten durch charakteristische Merkmale, die der theoretischen und praktischen Behandlung zugrunde gelegt werden, gekennzeichnet. Hierzu gehören: • verteilte Wirk- und Blindelemente • Berücksichtigung der Wellenlänge • Berücksichtigung der Wellenwiderstände • Einbeziehung parasitärer Bauelemente • Bauelemente in der Größenordnung der Wellenlänge (oder größer) In Bild 1.1 sind die internationalen Vereinbarungen der Definition der Frequenzbereiche dar- gestellt. Danach umfasst der klassische Bereich der Hochfrequenztechnik (HF) die Frequenzen Bild 1.1.: Übersicht der internationalen Frequenzdefinitionen 7
  7. 7. 8 1. Einleitung von 3 MHz bis 30 MHz. Im deutschen Sprachraum hat sich allerdings die Verwendung des Begriffs Hochfrequenztechnik stellvertretend für das gesamte Gebiet bis in den Bereich von mehreren hundert Gigahertz etabliert. Dies zeigt sich z.B. an der Bezeichnung von Univer- sitätsinstituten, Bezeichnungen von und in Firmen. Im englischen Sprachraum (insbesondere den USA) wird der Begriff „High Frequency“ tatsächlich nur für den Frequenzbereich von 3 MHz bis 30 MHz benutzt. Für das gesamte Gebiet der Hochfrequenztechnik nutzt man dort die Begriffe „Radio Frequency Techniques“ oder „Microwave Engineering“ . Wie aus Bild 1.1 ersichtlich ist, werden für bestimmte Frequenzbänder Buchstaben verwendet, die aber je nach Anwendung und normierender Stelle unterschiedlich sind. Die Hochfrequenztechnik (HF) ist eine wesentliche Grundlage für alle Funksysteme wie Rund- funk, Mobilfunk, Satellitenfunk usw. sowie jegliche Sensorik basierend auf elektromagneti- schen Wellen (z.B. Radar). Neuerdings werden allerdings auch bei der Entwicklung extrem schneller Digitalschaltungen (z.B. Prozessoren mit Taktraten über 1 GHz) HF-Experten gesucht (z.B. bei AMD und Intel). Im Automobilbereich ist vor allem die rasante Entwicklung radarbasierter Fahrerassistenzsyste- me ein Technologietreiber. Mittlerweile sind erste Produkte auf dem Markt erfolgreich, so dass in den nächsten Jahren ein immenses Wachstum in diesem Bereich erwartet wird. Hierbei wer- den Frequenzen verwendet, bei denen die Wellenlänge des Radars im Millimeterwellenbereich (ca. 30 − 300 GHz) liegt. Dies hat den Vorteil, dass das Radarsystem als ultrakompakte Bau- gruppe realisiert werden kann. Zukünftige Millimeterwellensysteme für Nachbereichs-Radar und Kommunikation werden sehr wahrscheinlich komplette System-on-Chip Lösungen sein, mit bereits auf dem Chip realisierter Antenne und Hochfrequenzarchitektur. Namhafte Unter- nehmen wie Bosch, Continental, Valeo, TRW, Delphi usw. haben als Automobilzulieferer ein ausgeprägtes Interesse an diesem Thema. Ein weiterer sehr kapitalintensiver Bereich, in welchem ständig anspruchvolle Lösungen für Hochfrequenzsysteme zu entwickeln sind, ist die Satellitentechnik. Die Satelliten werden hier- bei entweder für Kommunikationssysteme oder zur Fernerkundung der Erdoberfläche oder aber des Weltalls benötigt. Die wichtigsten Komponenten der Satelliten sind hierbei die Leistungs- endstufen und die Antennen, welche die meist bei mehreren Gigahertz liegenden Signale ab- strahlen. Extreme Anforderungen an die Funktionalität solcher Antennensysteme können nur basierend auf einer genauen Kenntnis theoretischer Zusammenhänge erfüllt werden. Obwohl in letzter Zeit durch negative Schlagzeilen belastet, ist auch die mobile Funkkommu- nikation (Handy, Laptop, Car-Entertainment) nach wie vor ein wichtiges Feld der Hochfre- quenztechnik. Hier wird die technologische Entwicklung hauptsächlich durch einen enormen Kostendruck voran getrieben, welcher auf den Herstellern der Mobilkommunikationsendgeräte (Basisstationen, Handys, etc.) liegt. So müssen beispielsweise zu einer effizienteren Ausnutzung der vorhanden Frequenzspektren alte Techniken erweitert und neue Methoden entwickelt wer-
  8. 8. 9 den. Für moderne Kommunikationsendgeräte werden immer mehr Standards definiert (WLAN, WiMax, UMTS, GSM, Bluetooth, GPS etc.), welche möglichst alle von einem kleinen Gerät be- herrscht werden sollen. Hierzu bedarf es nicht nur der Miniaturisierung der Antennen, sondern auch fortschrittlicher Signalverarbeitung, welche z.B. auf den Eigenschaften mehrerer verteilter Antennen beruht, sog. „Intelligente Antennen“. Ein aktuelles Forschungsgebiet ist ein weiterer Kommunikationsstandard für ultrakurze Abstände (<7 m), welcher auf der Abstrahlung ultrab- reitbandiger Impulse im Frequenzbereich von 3,1 − 10,6 GHz (Ultra-Wide-Band) basiert. Dies soll die Verbindung unterschiedlicher technischer Geräte mit sehr hohen Datenraten und einer hohen Störsicherheit gewährleisten. Das Thema Störsicherheit hat unter der Überschrift EMV (Elektromagnetische Verträglichkeit) einen eigenen Stellenwert in der Hochfrequenztechnik. Nicht nur die Tatsache, dass alle mög- lichen Geräte zur Kommunikation „strahlen“, sondern auch Schaltnetzteile etc., erfordert einen hohen Aufwand zur Abschirmung von elektronischen Baugruppen, um eine Einkopplung der hochfrequenten Störungen zu vermeiden. Viele weitere Themengebiete können genannt werden. So z.B. die Hochleistungsmikrowelle zur Prozessierung von Materialien, oder aber die Erzeugung hoher Leistungen bei Frequen- zen über 100 GHz für die Kernfusion, welche alle ein tiefes Verständnis der Wechselwirkung hochfrequenter Felder erfordern. Auch in der Medizintechnik spielen hochfrequenztechnische Fragestellungen eine immer stärkere Rolle, sei es die echtzeitfähige Videoübertragung von Ope- rationen, die Verbesserung der Magnetresonanztomographie oder bildgebende Verfahren mit Terahertzstrahlung. Die theoretischen Grundlagen, die in den folgenden Abschnitten abgeleitet werden, sind in den Bereichen • Hochfrequenztechnik • Mikrowellentechnik und • Millimeterwellentechnik sinngemäß anwendbar, so dass von diesen Grundlagen her keine Einschränkungen bestehen. Das Skriptum basiert in manchen Teilen auf den Werken [25] und [22], die auch zur zusätzlichen Lektüre empfohlen werden. Im Anhang ist eine Übersicht zur Schreibweise der zeitabhängigen Größen sowie zu den in diesem Skript verwendeten Begriffen, Einheiten und Definitionen zusammengestellt.
  9. 9. 2. Passive, lineare Bauelemente bei höheren Frequenzen Die wichtigsten passiven, linearen Bauelemente der Schaltungen sind Widerstände, Konden- satoren, Spulen und Übertrager. Ein Bauelement wird als passiv bezeichnet, wenn es keine Spannungs- oder Stromquellen enthält. Es wird als linear bezeichnet, wenn die komplexe Am- plitude der Spannung und die komplexe Amplitude des Stromes stets proportional sind, also der Quotient aus beiden eine amplitudenunabhängige Impedanz Z ist. 2.1. Widerstände Ein Widerstand, im engeren Sinne auch ohmscher Widerstand genannt, ist eine Anordnung, die einen möglichst phasenfreien Wirkwiderstand enthält. Bei solchen Widerständen entstehen mit wachsender Frequenz folgende Probleme: • Zunahme des Widerstandswertes mit wachsender Frequenz durch den Skineffekt • Induktiver Phasenwinkel durch die Eigeninduktivität des Widerstandes • Kapazitiver Phasenwinkel durch die Eigenkapazität des Widerstandes 2.1.1. Einfluss des Skineffekts Aufgrund des Skineffekts wird jeder Widerstand, da er aus mehr oder weniger gut leitendem Material aufgebaut ist, mit steigender Frequenz in seinem Wert wachsen. Da Widerstände je- doch bei unterschiedlichen Frequenzen auch breitbandig eingesetzt werden, sollten sie mög- lichst frequenzunabhängig sein, da sonst der Widerstandswert als Funktion der Frequenz ange- geben werden müsste. Ziel ist es, sowohl für die NF-, die HF- als auch für die Digitaltechnik, Widerstände einzusetzen, die ihren Gleichstromwert bis zu möglichst hohen Frequenzen beibe- halten, deren Grenzfrequenz also möglichst hoch liegt. Wenn man Widerstände aus Draht wickelt, muss der Durchmesser des verwendeten Drahtes 2 kleiner als die Eindringtiefe s = ωµκ sein. Dadurch entsteht bei gegebener Drahtstärke eine obere Frequenzgrenze, bei der der Widerstand beginnt, eine Frequenzabhängigkeit zu zeigen. Je 11
  10. 10. 12 2. Passive, lineare Bauelemente bei höheren Frequenzen (a) Chipwiderstand (SMD-Widerstand) (b) Zylindrischer Schichtwiderstand Bild 2.1.: Schichtwiderstände kleiner die Leitfähigkeit des Widerstandsmaterials, desto größer ist die Eindringtiefe und desto besser ist die Eignung des Materials für höhere Frequenzen. Aus Widerstandsdraht gewickelte Widerstände findet man heute fast nur noch für kleine Widerstandswerte und dann auch nur, wenn große Leistungen zu bewältigen sind. Bei drahtgewickelten Widerständen, deren Drähte sehr dicht beieinanderliegen, kann neben dem Skineffekt noch eine frequenzabhängige Wider- standserhöhung durch Nachbarschaftswirkung der Drahtschleifen (Proximityeffekt) auftreten. In der Hochfrequenztechnik werden deshalb fast ausschließlich Schichtwiderstände in zylin- drischer oder planarer Form verwendet. Ein Material schlechter Leitfähigkeit, das gleichzeitig billig ist, ist kristalline Glanzkohle. Sie hat auch noch bei sehr hohen Frequenzen technisch brauchbare Eindringtiefen und wird daher für die Herstellung von billigen Widerständen über 10 Ω verwendet. Da Kohle nur geringe mechanische Festigkeit besitzt und ihre Wandstärke kleiner als die Eindringtiefe sein soll, verwendet man sie in Form von Schichtwiderständen, die eine Kohleschicht auf einer isolierenden, ebenen Unterlage (Bild 2.1(a)) oder auf einem kera- mischen Zylinder nach Bild 2.1(b) besitzen. Mit dünnen Schichten kann man auf diese Weise frequenzunabhängige Wirkwiderstände bis zu Frequenzen von etwa 5 GHz schaffen. Solche Wi- derstände können eine zusammenhängende zylindrische Schicht haben. Die Schicht kann aber auch wendelförmig unterbrochen sein, wodurch der Stromweg länger, der stromdurchflossene Querschnitt kleiner und der Widerstandswert größer wird. Nachteilig bei den billigen Kohlewiderständen ist ihr hoher Temperaturkoeffizient von ca. 3 · 10−4 / ◦ C. Sie vertragen keine höheren Belastungen, da Kohle bei höheren Temperaturen oxi- diert. Die Maximaltemperatur sollte 100 ◦ C nicht überschreiten. Erheblich bessere Eigenschaf- ten haben Metallschichtwiderstände z.B. aus Tantal, Tantalverbindungen oder Nickel-Chrom-
  11. 11. 2.1. Widerstände 13 Bild 2.2.: Integrierte Widerstände eingebunden in Streifenleitungstechnik Verbindungen. Mit ihnen lassen sich Temperaturkoeffizienten von kleiner 10−6 / ◦ C erreichen; zudem sind Schichtdicken im Bereich kleiner 1 µm möglich. Die Temperaturverträglichkeit ist je nach Verbindung ebenfalls wesentlich besser. In der Mikrowellentechnik, aber auch in der schnellen Digitaltechnik, werden bis zu höchsten Frequenzen (> 30 GHz) Schichtwiderstände direkt in die Schaltung integriert oder als soge- nannte Chipwiderstände eingebracht; Bild 2.2 zeigt ein Beispiel. 2.1.2. Einfluss der Eigeninduktivität Jeder Leiter, der von einem Strom durchflossen wird, umgibt sich mit magnetischen Feldern und es entsteht daher an ihm bei Wechselstrom neben der normalen Spannung U = R · I eine Zusatzspannung durch einen Selbstinduktionsvorgang. Der Widerstand wirkt daher so, als ob in Serie zum ohmschen Widerstand R noch eine Induktivität LS nach Bild 2.3 läge. Der Widerstand erhält den komplexen Wert Z = R + jωLS (2.1) und eine induktive Phase ωLS Im {Z} tan ϕ = = , (2.2) R Re {Z} die mit wachsender Frequenz größer wird. Falls man Widerstände aus Draht wickelt, sollte man diesen Draht nicht spulenförmig auf- wickeln, weil dadurch im Innern der Spule ein sehr großes H-Feld in Richtung der Spulenachse entsteht. Gleiches gilt für wendelförmige Schichtwiderstände nach Bild 2.1(b). Wenn man Wi- derstandsdrähte induktionsarm gestalten will, wählt man die Form der Bifilaranordnung nach
  12. 12. 14 2. Passive, lineare Bauelemente bei höheren Frequenzen Bild 2.3.: Widerstand mit Eigeninduktivität (a) bifilar (b) zick-zack Bild 2.4.: induktionsarme Widerstandswicklung Bild 2.4(a) oder die der Zickzackanordnung nach Bild 2.4(b), bei denen dicht neben jedem stromdurchflossenen Drahtstück ein gleichgroßes Drahtstück mit entgegengesetzter Stromrich- tung liegt. Dadurch heben sich die Felder der Drahtstücke weitgehend gegenseitig auf. Bei höheren Frequenzen vermeidet man Widerstandsdrähte und besonders geformte Widerstands- schichten nach Bild 2.1(b) fast immer und zieht die induktionsärmeren glatten Schichtwider- stände wie z.B. Chipwiderstände nach Bild 2.1(a) vor. Neben dieser mit dem Widerstand direkt verknüpften induktiven Erscheinung wirkt noch die Induktivität seiner Zuleitungen. Diese Zuleitungsinduktivität ist oft ein Vielfaches der Eigenin- duktivität und es muss mit wachsender Frequenz immer mehr darauf geachtet werden, dass die Verbindungsdrähte in einer Schaltung nicht zu lang werden. Bei sehr hohen Frequenzen darf es überhaupt keine induktiv wirkenden Zuleitungen mehr geben. 2.1.3. Einfluss der Eigenkapazität Wenn ein Strom durch den Widerstand fließt, entsteht an ihm eine Spannung. Zwischen den beiden Punkten P1 und P2 des Widerstandes in Bild 2.5(a) besteht die Spannung U = I · R, wobei R der Widerstand zwischen P1 und P2 ist. Zwischen den verschiedenen Bereichen der Oberfläche und auch teilweise zwischen dem Widerstand und seiner Umgebung entstehen elektrische Feldlinien nach Bild 2.5(a). Der Raum um den Widerstand herum ist mit elektrischer Feldenergie erfüllt. Dies kann man durch Kapazitäten andeuten, die zwischen den verschiedenen Bereichen der Oberfläche und gegen die Umgebung wirken, wie in Bild 2.5(b) gezeigt. Dadurch wird das Verhalten des Wi- derstandes kompliziert, denn der durch den Widerstand fließende Leitungsstrom I ist nicht konstant, da auch kapazitive Verschiebungsströme längs der in Bild 2.5(a) gezeichneten elek-
  13. 13. 2.1. Widerstände 15 trischen Feldlinien fließen. Solange die kapazitiven Nebenwirkungen klein bleiben, kann man diesen Effekt näherungsweise durch eine einzige Kapazität CP parallel zum ganzen Widerstand R beschreiben. Es entsteht dadurch der komplexe Leitwert gemäß Bild 2.5(c) 1 Y = + jωCP (2.3) R bzw. der komplexe Widerstand 1 R ωCP R2 Z= = −j (2.4) Y 1 + (ωCP R)2 1 + (ωCP R)2 Der kapazitive (negative) Phasenwinkel von Z ist gegeben durch tan ϕ = −ωCP R . (2.5) Er wächst proportional zur Frequenz. Je größer der ohmsche Widerstand R ist, desto größer ist auch die Wirkung dieser Kapazität, da stets das Produkt CP R wirksam ist. Solange die kapaziti- ven Nebenwirkungen klein sind, d.h. solange ωCP R < 0,1 ist, kann man in (2.4) das (ωCP R)2 im Nenner vernachlässigen und erhält die einfache Näherungsformel Z = R − jωCP R2 . (2.6) Die einzige Richtlinie, die man geben kann, um CP klein zu halten, besagt, dass die einzelnen Teile des Widerstandes möglichst weit voneinander entfernt sein sollten. Dieses ist bei einem zylindrischen Schichtwiderstand nach Bild 2.1(b) optimal gelöst. Die Eigenkapazität eines sol- chen Widerstandes beträgt durchweg einige pF. Die folgende Tabelle gibt ungefähr an, bei welcher Frequenz f ein Schichtwiderstand R die Grenze tan ϕ = −0,1 erreicht. R 100 Ω 1000 Ω 10 kΩ 100 kΩ 1 MΩ f 100 MHz 10 MHz 1 MHz 100 kHz 10 kHz Sehr große Widerstände zeigen also schon bei relativ niedrigen Frequenzen merkliche kapazi- tive Nebenwirkungen. 2.1.4. Vollständiges Ersatzschaltbild eines Widerstandes Die Kombination von Bild 2.3 und Bild 2.5(c) lässt sich mit dem vollständigen Ersatzschalt- bild des Widerstandes gemäß Bild 2.6 annähern. Fügt man zu (2.6) das jωLS hinzu, so wird
  14. 14. 16 2. Passive, lineare Bauelemente bei höheren Frequenzen (a) (b) (c) Bild 2.5.: Elektrische Felder und Eigenkapazitäten eines Widerstandes Bild 2.6.: Vollständiges HF-Ersatzschaltbild eines Widerstandes
  15. 15. 2.2. Kondensatoren 17 der Eingangswiderstand Z1 nach Bild 2.6 näherungsweise für nicht zu hohe Frequenzen, d.h ωCP R < 0,1 Z1 = R + jω(LS − CP R2 ) . (2.7) Da die Effekte der Eigeninduktivität nach (2.1) und der Eigenkapazität nach (2.6) verschiedene Vorzeichen haben, ist es naheliegend, dass sich beide Effekte bei richtiger Dimensionierung aufheben können. Der Blindwiderstand von Z1 verschwindet, wenn LS LS = CP R2 oder R= (2.8) CP wird. Die Realisierung dieser Kompensation ist für mittlere Widerstände im Bereich 20 Ω bis 200 Ω sehr einfach, meist durch zweckmäßige Gestaltung der Widerstandsform. 2.2. Kondensatoren Kondensatoren verwendet man vorzugsweise für zwei Aufgaben: • Als negativen Blindwiderstand in Schaltungen. Hierbei legt man großen Wert auf kleine Verlustwinkel und verwendet Blindwiderstände im Bereich von etwa 10 Ω bis 1000 Ω • Als Überbrückungskondensator mit sehr kleinem Blindwiderstand von etwa 1 Ω bis 10 Ω, dessen Aufgabe es ist, einen guten Durchgang für höhere Frequenzen darzustellen, wäh- rend er niedrigere Frequenzen oder Gleichstrom sperrt. Die folgende Tabelle zeigt, welche Kapazitätswerte C in den verschiedenen Frequenzbereichen 1 etwa auftreten werden, um verschiedene Widerstandswerte |XC | = ωC zu erzeugen. |XC | 100 Hz 10 kHz 1 MHz 100 MHz 10 GHz 1Ω 1600 µF 16 µF 160 nF 1600 pF 16 µF 10 Ω 160 µF 1600 nF 16 nF 160 pF 1,6 pF 100 Ω 16 µF 160 nF 1600 pF 16 pF 0,16 pF 1000 Ω 1600 nF 16 nF 160 pF 1,6 pF 0,016 pF Die Elektrotechnik benötigt also sehr verschiedenartige Kapazitäten und kennt daher zahlreiche Bauformen. Im Folgenden sollen die Grundregeln zusammengestellt werden, nach denen man solche Kondensatoren aufbaut.
  16. 16. 18 2. Passive, lineare Bauelemente bei höheren Frequenzen (a) (b) Bild 2.7.: Flächen- und Zylinderkondensator 2.2.1. Kapazitätsformeln Die Grundformel für alle Kondensatoren ist dadurch gegeben, dass zwei Flächen A im Abstand a nach Bild 2.7(a) die Kapazität A A/ cm2 C = ε0 εr = 0,089 · εr pF (2.9) a a/ cm besitzen, wenn zwischen den Flächen ein Dielektrikum mit der relativen Dielektrizitätskonstan- ten εr liegt. Diese Formel gilt exakt nur für ebene Flächen, die unendlich groß sind. Wenn die Flächen gekrümmt sind, können sie im einfachsten Fall nur in einer Richtung ge- krümmt sein, wie beispielsweise zwei gleichachsige Zylinder nach Bild 2.7(b). Wenn hier d der Durchmesser des inneren Zylinders und D der Durchmesser des äußeren Zylinders ist, so lautet die Kapazität 2πε0 εr l l/ cm C= D = 0,55 · εr pF . (2.10) ln d ln Dd Wenn die Flächen des Kondensators in beiden Richtungen gekrümmt sind, im einfachsten Fall wie die Teile zweier konzentrischer Kugeln nach Bild 2.8, so lautet ihre Kapazität r1 r2 r2 /cm C = ε0 εr Θ = 0,089 · εr r2 Θ pF . (2.11) r2 − r 1 r1 −1 Dabei ist r2 der Radius der äußeren Kugel, r1 der Radius der inneren Kugel und Θ der Raum- winkel der verwendeten Kugelflächenteile. Für ganze Kugeln ist Θ = 4π. Die genannten Kapazitäten sind durch die Streukapazitäten der Flächenränder zu ergänzen. Diese Streukapazitäten sind an sich sehr klein. Je kleiner der Flächenabstand a gegenüber den Querabmessungen der Flächen ist, desto weniger sind die Streukapazitäten wirksam. Bei nied- rigen Frequenzen, bei denen C und daher auch A/a in Gleichung (2.9) sehr groß sein müssen,
  17. 17. 2.2. Kondensatoren 19 Bild 2.8.: Kugelkondensator Bild 2.9.: Randstreuung kann man daher ohne weiteres mit den streuungsfreien Formeln (2.9) bis (2.11) rechnen. Mit wachsender Frequenz werden jedoch die benutzten C-Werte und daher die Querabmessungen der Flächen kleiner, so dass dann die Berücksichtigung der Randstreuung wichtiger wird. An den Rändern der Flächen entstehen elektrische Feldlinien E nach Bild 2.9 in den umgebenden Raum hinein. Diese Felder besitzen eine elektrische Feldenergie We und erzeugen dadurch eine zusätzliche Kapazität C. Dieses C ist schwer exakt zu berechnen, jedoch kann man sich eine ungefähre Vorstellung von der Größe dieser Zusatzkapazität durch folgende Merkregel verschaffen: Die Zusatzkapazität der Randstreuung wirkt etwa so, als ob die Flächen des Kondensators an den Rändern um die Strecke a/2 verbreitert wären (gestrichelt in Bild 2.9). Auf die so vergrößerten Flächen kann man dann die Formeln ohne Randstreuung anwenden. Bei sehr hohen Frequenzen sind die Kapazitäten und daher auch die Flächen sehr klein, so dass in vielen Fällen die Randstreuung einen entscheidenden Anteil ergibt. Aus (2.11) folgt mit
  18. 18. 20 2. Passive, lineare Bauelemente bei höheren Frequenzen Material εr tan δe (10−3 ) Teflon 2,0 0,1 . . . 0,4 Paraffinöl 2,2 Polystyrol 2,4 0,1 . . . 0,5 Bernstein 2,8 Quarz 4,5 . . . 4,7 0,01 Pertinax 5 Glimmer 7 0,1 . . . 0,4 Al2 O3 9,8 . . . 11,2 0,05 . . . 1,0 Y3 Fe5 O12 15,6 CaZr0,985 Ti0,015 O3 29 BaTi4 O9 38 (ZrSn)TiO4 38 Ba2 Ti9 O2 0 40 (B9 Pb)TiO3 90 Tabelle 2.1.: Dielektrika für die Hochfrequenztechnik r2 r1 , r2 → ∞ und D = 2r1 die Kapazität einer Kugel mit Durchmesser D im freien Raum: D D C ≈ 4πε0 ⇔ C ≈ 0,55 pF (2.12) 2 cm Dieser ungefähre Richtwert stellt eine wertvolle Hilfe bei der Abschätzung von Streukapazi- täten sehr kleiner Gebilde dar. Wenn also ein kleines Leitergebilde (wie z.B. ein Lötklecks) etwa Kugelform hat, so ist seine Kapazität gegen eine etwas weiter entfernte Umgebung, ge- messen in pF, zahlenmäßig etwa gleich der Hälfte seiner mittleren Querabmessung D in cm. Daher ist es schwierig, Kapazitäten unter 0,1 pF herzustellen, weil schon kleinste Leitergebilde Streukapazitäten dieser Größe haben. Die genannten Regeln über die Kapazität von Kondensatoren reichen im allgemeinen aus, um solche Gebilde annähernd zu berechnen. Es ist üblich und fast immer unvermeidbar, die letzten Feinheiten der Dimensionierung experimentell oder durch numerische Berechnungen zu ermit- teln. 2.2.2. Wahl des Dielektrikums Aus Gleichung (2.9) erhält man die Merkregel, dass die Kapazität eines Flächenkondensators in Luft, gemessen in pF, bei einem Flächenabstand a = 1 mm nahezu gleich dem Zahlenwert der Fläche A, gemessen in cm2 , ist. Daraus folgt, dass Luftkondensatoren praktisch nur für
  19. 19. 2.2. Kondensatoren 21 Kapazitäten bis zu einigen 1000 pF gebaut werden können, da sie sonst zu groß würden. Di- elektrika finden daher auch schon bei kleineren C-Werten rege Anwendung. Durch sie können bei vorgeschriebenem Kapazitätswert die räumlichen Abmessungen (d.h. die Fläche A) wesent- lich kleiner gestaltet werden als beim Luftkondensator, der bei gleicher Dimensionierung eine um den Faktor εr kleinere Kapazität besitzt. Störend sind allerdings die dielektrischen Verluste, so dass stets zu prüfen ist, ob der durch die dielektrischen Verluste entstehende Verbrauch an Wirkleistung P für den jeweiligen Zweck tragbar ist und ob sich die damit verbundene Erwär- mung des Kondensators in zulässigen Grenzen hält. Die heute verwendeten Dielektrika für die Hochfrequenztechnik überspannen den Bereich 2 < εr < 40. Im niederen Bereich werden Kunststoffe, Teflon usw., um εr = 10 Keramiken und darüber Titanate u.ä. verwendet. In Tabelle 2.1 sind einige Materialien zusammengestellt. Der Faktor tan δe stellt dabei die Größe der dielektrischen Verluste dar. 2.2.3. Einfluss der Eigeninduktivität Der Ladestrom I(t) fließt über die leitenden Flächen des Kondensators nach Bild 2.10. Mit wachsendem Abstand von den Anschlusspunkten wird der Strom auf den Flächen kleiner, weil die von ihm transportierten Ladungen längs des Stromweges stetig verteilt liegen bleiben. Die- ser Strom ist von magnetischen Feldern umgeben, die eine magnetische Feldenergie besitzen. Letztere ist die Ursache induktiver Wirkungen. Das wirkliche Verhalten des Kondensators er- läutert das Ersatzschaltbild in Bild 2.10(b) Man denkt sich den Kondensator in viele kleine Kapazitäten aufgeteilt, die durch die Indukti- vität der zwischen ihnen liegenden Leiter verbunden sind. Das exakte Verhalten einer solchen LC-Kombination ist ziemlich kompliziert, jedoch kann man es für nicht allzu hohe Frequenzen durch das Verhalten der Schaltung in Bild 2.10(c) beschreiben, in dem der gesamten Kapazität C eine einzige Induktivität LS in Serie geschaltet ist. Dieses LS bezeichnet man als Eigenin- duktivität des Kondensators. In Schaltungen, in denen mehrere Schaltelemente kombiniert sind, kommt zum LS noch die Zuleitungsinduktivität hinzu, d.h. die Induktivität der Verbindungs- drähte, die vom Kondensator zu den Anschlusspunkten der Schaltung führen. Mit wachsender Frequenz muss man immer mehr darauf achten, diese Zuleitungen so kurz wie möglich zu hal- ten, um die Wirkung der Zuleitungsinduktivität klein zu halten. Der Kondensator nach Bild 2.10(c) besitzt den Blindwiderstand 1 1 jX = j ωLS − = −j . (2.13) ωC ωCers |X| ist kleiner als der Betrag 1/ωC des Blindwiderstandes des Kondensators C allein. Die Anordnung wirkt wie der Blindwiderstand eines gedachten Kondensators Cers , der größer als C
  20. 20. 22 2. Passive, lineare Bauelemente bei höheren Frequenzen I(t) (a) I(t) (b) I(t) LS C (c) Bild 2.10.: Eigeninduktivität des Kondensators ist. Nach (2.13) wäre die Ersatzkapazität C Cers = . (2.14) 1 − ω 2 LS C Je höher die Frequenz, desto größer ist Cers . Für eine bestimmte Frequenz, die als die Eigenfre- quenz fR des Kondensators bezeichnet wird und für die 2 1 ωR LS C = 1 ; fR = √ (2.15) 2π LS C gilt, ist Cers unendlich groß; der Kondensator ist ein Serienresonanzkreis. Nur für Frequenzen, die kleiner als 1/10 der Eigenfrequenz sind, verhält sich ein Kondensator wie eine frequen- zunabhängige Kapazität. Je größer die Kapazität C und je größer die Länge des Stromweges im Kondensator ist, desto niedriger ist die Eigenfrequenz und auch diejenigen Frequenzen, bei denen der Kondensator noch seine normale Wirkung hat. Je höher also die gewünschte Be- triebsfrequenz, desto mehr muss auf induktionsarmen Aufbau, d.h. auf kurze Stromwege, Wert gelegt werden. Bei Überbrückungskondensatoren ist der Effekt nach (2.14) in manchen Fällen
  21. 21. 2.2. Kondensatoren 23 Bild 2.11.: Kondensator mit Polarisationsverlusten wertvoll, weil er |X| in seinem Wert verkleinert, jedoch in wesentlichem Umfang nur in einem relativ kleinen Frequenzbereich in der Umgebung der Eigenfrequenz. 2.2.4. Verluste eines Kondensators Der Verlustfaktor eines Kondensators tan δC ist der Quotient der Wirkleistung PW und der Blindleistung PB PW RS GP tan δC = = = = ωRS C (2.16) PB |XC | BC mit XC = Blindwiderstand BC = Blindleitwert des Kondensators GP = Verlustleitwert nach Bild 2.11. Die Hauptursache der Kondensatorverluste sind die Polarisationsverluste im Dielektrikum. Wenn der Kondensator ganz mit Dielektrikum gefüllt ist, ist sein Verlustfaktor tan δC gleich dem Verlustfaktor tan δe des Dielektrikums. Wenn der Kondensator nur zum Teil mit Dielek- trikum, zum restlichen Teil mit (praktisch verlustfreier) Luft gefüllt ist, wird tan δC < tan δe . Nur in dem durch das Dielektrikum beeinflussten Teil des elektrischen Feldes im Kondensator entstehen dielektrische Verluste. Diese dielektrischen Verluste lassen sich nach Bild 2.11 durch einen parallel zum Kondensator liegenden Wirkleitwert GP = ωC tan δC (2.17) beschreiben.
  22. 22. 24 2. Passive, lineare Bauelemente bei höheren Frequenzen LS RL C GP Bild 2.12.: Vollständiges Ersatzschaltbild eines Kondensators 2.2.5. Vollständiges Ersatzschaltbild eines Kondensators Berücksichtigt man auch die Serieninduktivität LS aus Bild 2.10(c) und setzt statt XC das X aus Gleichung (2.13), so wird der Verlustfaktor des Kondensators mit LS näherungsweise 1 Cers tan δC,ers = = tan δC . (2.18) |X|GP C Da Cers > C ist, vergrößert LS die Wirkung der Kondensatorverluste. Die zweite Verlustursache des Kondensators sind die Widerstände der Leiter, über die nach Bild 2.10(a) die Ladeströme fließen. Diese Verluste kann man als einen Serienwiderstand RL zur Eigeninduktivität LS dar- stellen. Insgesamt hat das vollständige Ersatzschaltbild eines Kondensators die Form nach Bild 2.12. 2.3. Induktivitäten, Spulen Induktivitäten verwendet man vorzugsweise für zwei Aufgaben: • Als positiven Blindwiderstand in Schaltungen. Hierbei legt man großen Wert auf kleine Verlustwinkel und verwendet Blindwiderstände im Bereich von etwa 10 bis 1000 Ω. • Als Drossel mit sehr großem Blindwiderstand von etwa 1000 bis 10 000 Ω, deren Auf- gabe es ist, eine Sperre für Wechselströme höherer Frequenzen darzustellen, während niedrigere Frequenzen oder Gleichstrom einen guten Durchgang vorfinden. Im Folgenden werden vorwiegend Luftspulen behandelt, wie sie primär in der Hochfrequenz- technik eingesetzt werden. 2.3.1. Magnetische Energie in einer Spule Ein vom Strom I durchflossener Drahtring umgibt sich mit magnetischen Feldern H, die teils in Luft, teils in einem eventuell vorhandenen ferromagnetischen Kern verlaufen (siehe Bild 2.13). Diese Felder besitzen eine magnetische Feldenergie Wm , die sich aus drei Teilen zusammen- setzt:
  23. 23. 2.3. Induktivitäten, Spulen 25 I H Bild 2.13.: Prinzip einer Spule • der Feldenergie Wm1 der Felder innerhalb des Drahtes • der Energie Wm2 der Felder in der Luft • der Energie Wm3 der Felder im ferromagnetischen Kern 2.3.2. Eigenkapazität einer Spule Bei einer stromdurchflossenen Spule bestehen Spannungen zwischen benachbarten Windungen und daher auch elektrische Felder in der Umgebung der Wicklung. Die Feldlinien verlaufen nach Bild 2.14(a) vorzugsweise zwischen benachbarten Windungen, aber auch zwischen ent- fernteren Windungen und zwischen der Wicklung und dem Eisenkern bzw. der anderen Umge- bung. Man muss diese Feldstärke bei Spulen mit größerer Blindleistung annähernd kennen, um durch ausreichende Leiterabstände und isolierendes Dielektrikum die Spannungsfestigkeit der Spule zu sichern. Diese Felder enthalten eine elektrische Feldenergie, die kapazitive Wirkungen verursacht. Zwischen den Spulendrähten und auch gegen die Umgebung entstehen daher nach Bild 2.14(b) zahlreiche Kapazitäten, deren Leitwerte mit wachsender Frequenz zunehmen und ein kompliziertes Verhalten der Spule ergeben. Für niedrigere Frequenzen kann man diese kapazitiven Wirkungen durch eine einzige Parallel- kapazität CP nach Bild 2.14(c) näherungsweise beschreiben. Dieses CP nennt man die Eigen- kapazität der Spule. Die Spule hat dann den Blindleitwert 1 1 jB = j ωCP − = −j . (2.19) ωL ωLers
  24. 24. 26 2. Passive, lineare Bauelemente bei höheren Frequenzen (a) (b) (c) Bild 2.14.: Eigenkapazität einer Spule Sie wirkt wie eine größere Induktivität L Lers = . (2.20) 1 − ω 2 LCP Wenn in (2.20) der Nenner gleich Null wird, d.h. bei der Frequenz 1 fR = √ (2.21) 2π LCP hat die Spule ihre Eigenresonanz, eine Parallelresonanz. Nur für Frequenzen f < 0,1 · fR wirkt eine Spule wie eine reine Induktivität L mit einem frequenzproportionalen Blindwiderstand ωL. Möglichkeiten zur Verringerung der Eigenkapazität In vielen Fällen werden die Verminderung der Eigenkapazität einer Spule und die der dielektri- schen Verluste dieser Eigenkapazität erstrebenswert sein. Hierzu können folgende Maßnahmen dienen:
  25. 25. 2.3. Induktivitäten, Spulen 27 (a) Wicklung lagenweise (b) Wicklung scheibenweise Bild 2.15.: Mehrlagige Spulen • Vergrößerung des Abstandes benachbarter Windungen • Vermeidung dielektrisch wirkenden Isolationsmaterials zwischen den Windungen, • Wickelkörper aus Isoliermaterial mit kleinem εr und kleinem Verlustwinkel, • Verwendung von Bauformen mit möglichst wenig dielektrischem Material, • Vergrößerung des Abstandes zwischen Wicklung und Kern bzw. zwischen Wicklung und Umgebung allgemein. Bei mehrlagigen Spulen muss man insbesondere beachten, dass der Abstand zwischen den Win- dungen um so größer sein sollte, je größer die zwischen ihnen bestehende Spannung ist. Wenn wie in Bild 2.15(a) die Spule lagenweise gewickelt wird und man das Ende jeder Lage (Marke 2 in Bild 2.15(a)) mit dem Anfang der nächsten Lage verbindet, so liegt der Anfang jeder Lage sehr nahe am Ende der nächsten Lage. Zwischen den Marken 1 und 4 besteht eine relativ hohe Spannung und wegen des kleinen Abstandes auch eine sehr hohe Feldstärke. Da die Feldstärke quadratisch in die Feldenergie eingeht, entsteht hohe elektrische Feldenergie und daher große kapazitive Wirkung. Man vermindert diese Kapazität durch die Scheibenwicklung nach Bild
  26. 26. 28 2. Passive, lineare Bauelemente bei höheren Frequenzen (a) (b) Bild 2.16.: Spule mit Verlusten 2.15(b), bei der die Wicklung in Scheiben senkrecht zur Spulenachse aufgeteilt ist und Anfang und Ende der Wicklung sehr weit auseinander liegen. 2.3.3. Verluste einer Spule Eine Spule besitzt vier Ursachen für Verluste: 1. Der ohmsche Widerstand der Leiter einschließlich Skineffekt und Proximityeffekt: RD . 2. Falls ein magnetischer Kern vorhanden ist, der Verlustwinkel δµ des Materials: RK . 3. Wirkleistung, die durch Ströme verbraucht wird, die in benachbarten Leitern erzeugt wer- den. Dies gilt bei Luftspulen insbesondere für Ströme in metallischen Hüllen, die zum Zwecke der Abschirmung um die Spule gelegt werden. Bei Eisenkernspulen betrifft dies auch die Wirbelströme im Kern: RA . 4. Dielektrische Verluste in den Eigenkapazitäten der Spule: RC . Eine exakte Berechnung der Gesamtverluste ist kaum möglich, so dass die genauere Bestim- mung der Verluste meist durch Messung erfolgt. Solange die Verluste klein sind, kann man ihre Wirkung durch einen Serienwiderstand RS nach Bild 2.16(a) oder einen parallelen Leitwert GP nach Bild 2.16(b) beschreiben. Während RD ein wirklicher Widerstand ist, sind die übrigen drei Komponenten gedachte Widerstände, die mit Hilfe der verbrauchten Wirkleistung definiert werden. Fließt durch die Spule ein Strom mit dem Scheitelwert I und verbraucht die Spule insgesamt die Wirkleistung PW , so ist RS definiert durch 1 2PW PW = I 2 RS ⇔ RS = . (2.22) 2 I2 Entsprechendes gilt für GP : 1 2PW PW = U 2 GP ⇔ GP = (2.23) 2 U2
  27. 27. 2.3. Induktivitäten, Spulen 29 Die Spule stellt nach Bild 2.16(a) einen komplexen Widerstand Z = RS + jωL dar, der die j Phase ( π − δL ) hat, oder nach Bild 2.16(b) einen komplexen Leitwert Y = GP − ωL mit der 2 Phase (− π + δL ) ; δL ist der Verlustwinkel der Spule. 2 Weiterhin ist der Verlustfaktor einer Spule tan δL durch Gleichung (2.24) definiert, der Güte- faktor QL einer Spule durch den Reziprokwert des Verlustfaktors: RS tan δL = = GP ωL (2.24) ωL 1 ωL 1 QL = = = (2.25) tan δL RS GP ωL Es wird ωL 1 1 RS = ωL · tan δL = ; GP = tan δL = ωL (2.26) QL ωL QL Der Verlustfaktor ist auch der Quotient der Wirkleistung PW und der Blindleistung 2 ωL U2 PS = I 2 = 2ωL in der Spule. Die Erwärmung der Spule erfolgt durch die Wirkleistung 1 1 1 U2 PW = I 2 RS = I 2 ωL · tan δL = tan δL = PS tan δL (2.27) 2 2 2 ωL wenn I der Scheitelwert des Stromes durch die Spule und U der Scheitelwert der Spannung an der Spule ist. Sofern die Verluste der Spule reine Eisenverluste sind, ist der Verlustfaktor der Spule Rs tan δL = = tan δµ (2.28) XL gleich dem Verlustfaktor des magnetischen Materials, das gesamte Spulenfeld liegt im Eisen und keine anderen Verlustarten sind wirksam. Die hier erzeugte Wirkleistung PW erwärmt den magnetischen Kern. Der Gütefaktor QL einer Spule steigt im allgemeinen mit wachsender Frequenz, weil in ωL/RS die Frequenz im Zähler steht, während der Nenner RS , soweit es den Anteil RD betrifft, mit wachsender Frequenz wesentlich langsamer wächst. Bei sehr niedrigen Frequenzen ist der Gü- tefaktor stets sehr klein, weil ωL mit abnehmendem ω sehr klein wird, während RS nicht unter seinen Gleichstromwert sinken kann. Bei magnetischen Kernen wächst bei niedrigen Frequen- zen wegen des zunächst wenig frequenzabhängigen tan δµ des Materials der Anteil RK pro- portional zur Frequenz. Dagegen wächst oberhalb einer bestimmten Frequenz der Verlustfaktor
  28. 28. 30 2. Passive, lineare Bauelemente bei höheren Frequenzen L RS CP Bild 2.17.: Ersatzschaltbild einer Spule tan δµ sehr schnell, so dass solche Spulen bei höherer Frequenzen einen mit wachsender Fre- quenz abnehmenden Gütefaktor besitzen. Die erreichbaren Gütefaktoren wachsen mit der Fre- quenz, weil mit wachsender Frequenz kleinere L erforderlich werden, die mit immer kürzeren und immer dickeren Leitern und abnehmender Eisenmenge erzeugt werden können. Man erreicht in den verschiedenen Frequenzbereichen ohne allzu großen Aufwand etwa die in Tabelle 2.2 gegebenen Werte. Tabelle 2.2.: Erreichbare Gütefaktoren mit wachsender Frequenz f 10 kHz 100 kHz 1 MHz 10 MHz 100 MHz 1 GHz QL 100 200 500 1000 2000 5000 2.3.4. Vollständiges Ersatzschaltbild einer Spule Berücksichtigt man bei einer Spule sowohl die parasitäre Kapazität CP als auch die Verluste RS gemäß Bild 2.16 ergibt sich das vollständige Ersatzschaltbild nach Bild 2.17. Für die Gesam- timpedanz folgt daraus: RS + jωL ZL = (2.29) 1 + jωRS CP − ω 2 LCP
  29. 29. 3. Passive, lineare Schaltungen 3.1. Transformationsschaltungen Schaltungen sind passiv, wenn sie keine Strom- oder Spannungsquellen enthalten. Sie sind li- near, wenn sie in ihrem Verhalten aussteuerungsunabhängig sind, d.h. nicht von den absoluten Signalpegeln abhängen (Sättigungseffekte). Im Folgenden werden Schaltungen betrachtet, wel- che aus • Widerständen, • Spulen (Induktivitäten) und • Kondensatoren (Kapazitäten) bestehen. Die Grundaufgabe der Elektrotechnik besteht in der • Erzeugung, • Übertragung und • Nutzbarmachung der Energie in einem Verbraucher. Je höher die Frequenz, um so teurer und schwieriger werden diese drei Hauptaufgaben. Insbesondere sind Signalquellen für hohe und höchste Frequenzen sehr aufwändig. Somit besteht eine der vornehmlichsten Aufgaben der Hochfrequenztechnik darin, einen möglichst hohen Systemwirkungsgrad zu erzielen. Dies bedeutet, dass den Quellen maximale Energie entnommen werden muss, die Übertragungsverluste zu minimieren sind und die übertragene Energie voll dem Verbraucher zugeführt wird. Bild 3.1 zeigt eine schematische Darstellung. Die HF-Quelle liefert nur dann maximale Wirkleistung, wenn der Eingangswider- stand ZÜ des Übertragungssystems an den Innenwiderstand der Quelle angepasst ist. Weiter ist HF− Übertragungs− Quelle system Verbraucher ZÜ ZL ZV Bild 3.1.: Prinzipschaltung einer HF-Übertragung 31
  30. 30. 32 3. Passive, lineare Schaltungen der Widerstand des Verbrauchers an den Wellenwiderstand ZL der Übertragungsleitung anzu- passen. Dies zeigt, dass zahlreiche Aufgaben zur Anpassung und Transformation bestehen, die im Folgenden in ihren Grundzügen behandelt werden. Die Schaltungen, die diese Aufgaben erfüllen, sind je nach den Anforderungen sehr verschieden. Die einfachsten Schaltungen erhält man für Transformationen bei nur einer Frequenz. In der Regel wird man bemüht sein, die Transformation • mit möglichst wenigen Elementen, • mit möglichst kleinen Strömen und Spannungen in bzw. an den Elementen, • verlustarm und • stabil gegen Wertänderungen der Frequenz, der Blindelemente und der Wirkelemente auszuführen. Die Lösung dieser Aufgaben kann sowohl rechnerisch als auch zeichnerisch erfolgen. Zeichne- risch bedient man sich eines der folgenden Diagramme: • Leitwertdiagramm, • Widerstandsdiagramm. In ihnen ist orthogonal jeweils • Blindleitwert B zu Wirkleitwert G, • Blindwiderstand X zu Wirkwiderstand R aufgetragen. Die Bilder 3.2(a) und 3.2(b) zeigen die Diagramme mit Geraden bzw. Kreisen für konstantes R, X, G oder B. 3.1.1. Wirkleistungsabgabe einer Quelle an den Verbraucher Die Wirkleistung, die eine Quelle mit Innenwiderstand Zi an einen Verbraucher abgibt, hängt wesentlich von dessen Impedanz Z ab. Die Aufgabe besteht meistens darin, die abgegebene Wirkleistung zu maximieren, das bedeutet den Verbraucher an die Quelle anzupassen. Dargestellt in Bild 3.3 ist ein Verbraucher Z = R + jX, der an eine Quelle mit dem Innenwi- derstand Zi = Ri + jXi angeschlossen ist. Die Wirkleistung, die die Quelle an den Verbraucher abgibt, ist 2 | I |2 R 1 U0 1 | U0 |2 R Pw = = R= . (3.1) 2 2 (R + Ri ) + j(X + Xi ) 2 (R + Ri )2 + (X + Xi )2 Um maximale Wirkleistung an den Verbraucher zu übertragen, müssen folglich zwei Bedingun- gen erfüllt werden. Einerseits sollten sich die Blindanteile von Quelle und Verbraucher gegen-
  31. 31. 3.1. Transformationsschaltungen 33 B = const. R = const. X X = const. Z = R + jX R G = const. (a) Widerstandsdiagramm (Impedanzebene) B G = const. R = const. Y = G + jB G X = const. B = const. (b) Leitwertdiagramm (Admittanzebene) Bild 3.2.: Transformation variabler Bauelemente in Widerstands- und Leitwertdiagramm
  32. 32. 34 3. Passive, lineare Schaltungen Bild 3.3.: Quelle mit Innenwiderstand und Verbraucher seitig aufheben: X + Xi = 0 (3.2) Andererseits muss ein optimaler Wert für R in Abhängigkeit von Ri gefunden werden. Um den Wert R zu finden, für den P w maximal wird, setzen wir die Bedingung (3.2) in (3.1) ein, differenzieren diese Gleichung anschließend, und erhalten die Bedingung ∂P w | U0 |2 (R + Ri )2 − 2R(R + Ri ) ! = = 0, (3.3) ∂R 2 (R + Ri )4 die erfüllt ist, für R = Ri . (3.4) (3.2) und (3.4) lassen sich zusammenfassen, zu der schon erwähnten Bedingung Z = Zi∗ . (3.5) Eine Quelle gibt also dann die maximale Wirkleistung ab, falls der Verbraucher konjugiert komplex zum Innenwiderstand der Quelle ist. Die maximal verfügbare Wirkleistung für den Verbraucher beträgt | U0 |2 Pw,max = . (3.6) 8Ri
  33. 33. 3.1. Transformationsschaltungen 35 Bild 3.4.: Serienschaltung eines Blindwiderstandes im Widerstandsdiagramm 3.1.2. Serienschaltung eines Blindwiderstandes Gegeben ist der komplexe Widerstand Z = R + jX dem der Blindwiderstand jXS in Serie geschaltet wird, woraus sich ergibt Z1 = Z + jXS = R + j(X + XS ) . (3.7) Die Wirkkomponente bleibt erhalten, die Blindwiderstände werden addiert. Im Widerstands- diagramm verschiebt eine Induktivität LS die Impedanz Z nach Z1L um XS = ωLS nach oben. Eine Kapazität CS verschiebt Z nach Z1C um XS = −1/ωCS nach unten. Die Transformation zeigt Bild 3.4. 3.1.3. Parallelschaltung eines Blindwiderstandes Rechnerisch ermittelt man Parallelschaltungen aus den Leitwerten 1 1 R X Y = G + jB = = = 2 2 −j 2 . (3.8) Z R + jX R +X R + X2 Schaltet man den Blindwiderstand jXP parallel, so folgt mit dem Leitwert jBP = −j/XP Y1 = Y + jBP = G + j(B + BP ) . (3.9)
  34. 34. 36 3. Passive, lineare Schaltungen (a) im Leitwertdiagramm (b) im Widerstandsdiagramm (parallele In- duktivität) Bild 3.5.: Parallelschaltung eines Blindelements Im Leitwertdiagramm verschieben Kapazitäten die Admittanz um ωCP nach oben, Induktivi- täten um 1/ωLP nach unten wie Bild 3.5(a) zeigt. Bleibt man im Widerstandsdiagramm, dann wandert Z1 = 1/Y1 auf einem Kreis G = konst. Die Gleichung dieses Kreises folgt aus R G= (3.10) R2 + X2 zu 2 2 1 1 = R− + X2 . (3.11) 2G 2G Der Radius des Kreises ist 1/2G, der Mittelpunkt liegt auf der Achse bei R = 1/2G. Bei RP = 1/G, dem reziproken Wirkleitwert, schneidet der Kreis die Widerstandsachse. Um die Impedanz Z1 nach der Parallelschaltung eines Blindleitwertes Bp in der Z-Ebene zeich- nerisch zu ermitteln, verwendet man eine Hilfskonstruktion nach Bild 3.5(b). Die Impedanz Z1 (im Bild mit Z1L bezeichnet) ergibt sich dabei als Schnittpunkt des durch Z verlaufenden G = konst.-Kreises mit einer Hilfsgeraden durch den Ursprung und den Hilfspunkt Z . Dieser Hilfspunkt ergibt sich, wenn man vom Punkt Z senkrecht eine bestimmte Strecke ∆X (im Bild ∆XL ) nach oben bzw. unten abträgt. Die Bestimmung von ∆X erfolgt durch den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der zur imaginären Achse parallelen Geraden durch Z. Es gilt: 1 1 G B Z = = = 2 2 −j 2 (3.12) Y G + jB G +B G + B2 1 1 G B + Bp Z1 = = = 2 2 −j 2 (3.13) Y1 G + j(B + Bp ) G + (B + Bp ) G + (B + Bp )2
  35. 35. 3.1. Transformationsschaltungen 37 Für die Geradengleichung der Hilfsgeraden gilt: Z (s) = Z1 s mit s>0 (3.14) Der Hilfspunkt Z ergibt sich aus der Bestimmungsgleichung ! G G2 + (B + Bp )2 Re Z (s) = Re Z = 2 + B2 ⇔ s= (3.15) G G2 + B 2 zu G B + Bp Bp Z = −j 2 =Z −j 2 G2 + B 2 G + B2 G + B2 (3.16) Bp = Z − j 2 = Z − jBp |Z|2 = Z + j∆X |Y | mit |Z|2 ∆X = −|Z|2 Bp = . (3.17) Xp Bei positivem XP , also beim Parallelschalten einer Induktivität L, wandert man von Z senkrecht nach oben um die Strecke R2 + X 2 |Z|2 |Z|2 ∆XL = = = . (3.18) XP XP ωL Beim Parallelschalten einer Kapazität C geht man von Z aus um ∆XC nach unten: ∆XC = −|Z|2 BP = −|Z|2 ωC (3.19) 3.1.4. Transformation mit zwei Blindwiderständen Mit den Transformationen der Abschnitte 3.1.2 und 3.1.3 lassen sich durch ein Blindelement nur Anpassungen auf vorgegebenen Wegen erreichen, wie in Bild 3.6 zusammenfassend gezeigt wird. Für eine Transformation von Z in beliebige komplexe Werte benötigt man mindestens zwei Blindelemente, von denen eines parallel und das andere in Serie zu schalten ist. Bild 3.7 zeigt für eine häufig vorkommende Schaltung mit zwei Blindelementen ein Beispiel. Die Transforma- tion wird in der Widerstandsebene ausgeführt. Die Parallelkapazität CP verschiebt Z auf einem
  36. 36. 38 3. Passive, lineare Schaltungen LS Z LP Z X CP Z CS Z R (a) Widerstandsdiagramm CS CP Z Z B Y LS Z LP Z G (b) Leitwertdiagramm Bild 3.6.: Transformation mit einem Blindelement
  37. 37. 3.1. Transformationsschaltungen 39 Bild 3.7.: Transformationsbereiche für CP und LS Kreis konstanten Wirkleitwertes im Uhrzeigersinn nach Z1 . Die Serieninduktivität verschiebt Z1 um ωLS senkrecht nach oben zu Z2 . Das Beispiel zeigt, dass eine gegebene Anordnung aus zwei Blindelementen Z in beliebige Werte transformiert. Der in Bild 3.7 doppelt schraffierte Bereich kann dabei durch zwei ver- schiedene Wertepaare CP und LS mehrfach erreicht werden. Untersucht man die zu Bild 3.7 duale Schaltung, wie sie in Bild 3.8 dargestellt ist, so zeigt sich, dass mit ihr der nicht schraffierte und der doppelt schraffierte Bereich aus Bild 3.7 erreicht werden kann. Fasst man die Ergebnisse aus Bild 3.7 und 3.8 zusammen, so zeigt sich, dass sich die beiden CP Z2 Z1 X LS LS Z CP Z R Z2 Z1 Bild 3.8.: Transformationsbereiche für CP und LS
  38. 38. 40 3. Passive, lineare Schaltungen LS2 LS1 LS Z2 CP Z2 CP2 CP1 Z Z (a) T-Glied (b) π-Glied Bild 3.9.: Transformationsschaltungen Schaltungen ergänzen und mit einem T -Glied, wie in Bild 3.9(a) gezeigt, jede beliebige Im- pedanz erreichbar ist, solange Z eine Wirkkomponente enthält. Ohne Wirkkomponente in Z ergeben sich wieder nur Blindwiderstände. Für T -Glieder, oder auch für π-Glieder sind darüber hinaus im Allgemeinen viele Wertekombinationen möglich. Die Auswahl ist dann nach den am Beginn des Kapitels 3.1 dargelegten Gesichtpunkten zu treffen. In der Regel ist die Schaltung mit den kürzesten Transformationswegen die günstigste. 3.1.5. Frequenzabhängigkeit der Transformation Die Transformationen in den vorangegangenen Abschnitten wurden für nur jeweils eine Fre- quenz ausgeführt. Alle Transformationsschaltungen mit wenigen Ausnahmen erweisen sich als frequenzabhängig. Am Beispiel des Bildes 3.10 ist dies für eine Transformation von 100 Ω in verschiedene reelle Widerstände von 200 Ω bis 500 Ω anhand zweier Blindwiderstände gezeigt. Für Frequenzen unter der Sollfrequenz f0 werden die Blindwerte XS und BP kleiner, die Impe- danz Z wird nicht mehr reell, sondern induktiv. Umgekehrt verhält es sich für Frequenzen über f0 , bei denen die Impedanz kapazitiv wird. Es gilt mit wenigen Ausnahmen die Regel: Die Frequenzabhängigkeit steigt mit der Länge des Transformationsweges.
  39. 39. 3.2. Resonanzkompensation 41 Bild 3.10.: Frequenzabhängigkeit der Transformationsschaltung 3.2. Resonanzkompensation Ein in der Hochfrequenztechnik sehr häufiges Problem stellen reelle Verbraucher dar, denen ein parasitäres Blindelement in Serie oder parallel geschaltet ist. Aufgabe in diesen Fällen ist es, die Blindelemente zu kompensieren. Der theoretisch einfachste Fall der Kompensation besteht darin, einen Serienblindwiderstand jXS durch einen negativen, gleich großen Blindwiderstand −jXS zu kompensieren wie Bild 3.11(a) zeigt. Bild 3.11(b) zeigt den Fall für eine parallelgeschaltete Blindstörung. Diese Art der Resonanz- kompensation hat sich jedoch nicht bewährt, da Frequenzänderungen und Bauteiltoleranzen zu großen Fehlern führen. Abseits der Resonanzfrequenz verschlechtert sich die Kompensation sehr schnell, da XL und XC bzw. BL und BC dort nicht proportional verlaufen.
  40. 40. 42 3. Passive, lineare Schaltungen (a) (b) Bild 3.11.: Resonanzkompensation von Serien- und Parallelblindstörungen 3.3. Breitbandkompensation Im Gegensatz zu den vorher besprochenen Transformationen haben Breitbandschaltungen die Aufgabe, Anpassung nicht nur für eine Frequenz, sondern für ein gegebenes Frequenzband zu erzeugen. Um Breitbandkompensationen konzipieren zu können, ist es erforderlich, das Fre- quenzverhalten der Impedanzen zu kennen. Bei einer Breitbandkompensation soll für einen gegebenen Frequenzbereich die resultierende Impedanz innerhalb eines bestimmten, vorgegebenen Bereichs bleiben (Fehlerkreis). Fehler- kreise werden in der Regel als die Grenzen für minimale Leistungsanpassung angegeben. Kompensationen laufen in der Praxis darauf hinaus, dass man versucht, eine Schleife in den Fehlerkreis zu bringen. Bild 3.12 zeigt bezogen auf das Bild 3.11(a) die Wirkung einer Serien- resonanzkreiskompensation. Gegeben ist ein frequenzabhängiger Widerstand Z, von dessen Verlauf ein Teil einer Schleife in der Widerstandsebene gezeichnet ist. In Serie zu ihm wird ein Serienresonanzkreis mit dem Blindwiderstand jXS geschaltet. Bei der Resonanzfrequenz ist XS = 0 und Z bleibt unver- ändert. Für Frequenzen oberhalb der Resonanz ist XS induktiv (positiv) und Z wird senkrecht nach oben verschoben und zwar umso mehr, je weiter man sich von der Resonanzfrequenz entfernt. Liegt die betrachtete Frequenz dagegen unterhalb der Resonanzfrequenz, so wird XS kapazitiv (negativ) und transformiert Z nach unten. Bei richtiger Wahl von L und C bildet sich eine Schleife. Die Schaltungen werden desto breitbandiger, je mehr benachbarte Schleifen in den Fehlerkreis gelegt werden können. Jedoch benötigt man hierzu einen vergrößerten Schaltungsaufwand und
  41. 41. 3.3. Breitbandkompensation 43 C f L X C Z Z1 Z R Z1 Fehlerkreis f L Bild 3.12.: Erzeugung einer kleinen Schleife durch Resonanzkompensation die Dimensionierung wird kritischer, so dass man nur in Ausnahmefällen diese Verbesserung anwenden und erfolgreich durchführen wird. In Bild 3.13 sind drei Beispiele für Breitbandkompensation dargestellt: • Tiefpasskompensation, • Bandpasskompensation, • Hochpasskompensation. Nur bei reinen Wirkwiderständen Z0 = R0 gibt es die Möglichkeit des Tiefpasses, bei dem der Widerstand Z von der Frequenz Null bis zu einer oberen Grenzfrequenz in einem möglichst großen Frequenzbereich in seinem Anfangswert R0 annähernd festgehalten wird. Die ersten Schleifen der Kurve in Bild 3.13 sind dann sehr klein und liegen bis zur Frequenz fC innerhalb des zulässigen Fehlerkreises um den Punkt R0 herum. Ebenso gibt es nur bei reinen Wirkwi- derständen Z0 = R∞ die Form des Hochpasses, bei dem der Widerstand in einem möglichst großen Frequenzbereich oberhalb einer unteren Grenzfrequenz bis zu beliebig hohen Frequen- zen in seinem Endwert R∞ annähernd festgehalten wird. Die letzten Schleifen der Kurve in Bild 3.13 sind dann sehr klein und liegen oberhalb einer Frequenz fC innerhalb des zulässigen Fehlerkreises um den Punkt R∞ herum. Prinzipiell ist es auch nicht ausgeschlossen, einen ins- gesamt frequenzunabhängigen Wirkwiderstand zu schaffen, wenn R0 = R∞ realisiert werden kann. In diesem Fall können sämtliche Schleifen innerhalb des zulässigen Fehlerkreises um den Punkt R0 = R∞ herum liegen. Bei der Kompensation versucht man, den Wirkanteil R der Impedanz Z = R + jX zu erzeugen und den Blindanteil zu beseitigen. Die einfachsten Schaltungen zur Kompensation bestehen aus
  42. 42. 44 3. Passive, lineare Schaltungen Bild 3.13.: Mehrfache Breitbandschleifen nur einem Blindelement. Hier gilt die wichtige Regel der Breitbandkompensation: Breitbandig können Serienblindwiderstände nur durch Parallelblindleitwerte kompensiert wer- den und umgekehrt. Daraus folgt: kompensiert jXS ←− − −→ −−−− jBP kompensiert −jXS ←− − −→ −−−− −jBP . (3.20) Bild 3.14 zeigt als Beispiel die Frequenzabhängigkeit des Widerstandes Z1 durch den Störpar- allelblindleitwert BP und die Kompensation dieser Störung. Schaltet man den Blindwiderstand jXS in Serie zu Z1 , so gilt: 1 Z2 = + jXS 1 + jBP R R R2 BP (3.21) = + j XS − 1 + (BP R)2 1 + (BP R)2 = R2 + jX2 .
  43. 43. 3.3. Breitbandkompensation 45 XS X R BP Z1 Z2 Z2 R R XS BP Z1 Bild 3.14.: Kompensation eines Blindelementes Für eine sinnvolle Kompensation muss R2 ≈ R gelten, d. h. (RBP )2 muss klein gegen 1 sein. Dann gilt Z2 ≈ R + j(XS − R2 BP ) (3.22) und man erhält als Bedingung für die Kompensation XS = R2 BP . (3.23) Damit die Kompensation in einem größeren Frequenzbereich gültig ist, muss die Frequenz- abhängigkeit von XS (f ) und von BP (f ) gleich sein. Dies lässt sich durch folgenden Ansatz erfüllen F (f ) XS (f ) = R · F (f ) ; BP (f ) = R XS F (f ) = XS BP ; R= . (3.24) BP Wie aus Bild 3.14 zu erkennen ist, wird der Verbraucher R nicht exakt wieder nach R transfor- miert. Der wirkliche Eingangswiderstand Z2 lautet 1 F3 Z2 = R · +j . (3.25) 1 + F2 1 + F2 Der Frequenzbereich der Kompensation ist also beschränkt. Er wird definiert als derjenige Be- reich, in dem der Fehler der kompensierten Schaltung kleiner ist als der der unkompensierten
  44. 44. 46 3. Passive, lineare Schaltungen Bild 3.15.: Duale Schaltung zu Bild 3.14 Schaltung. Dieser Bereich ist gegeben durch |Z2 − R| < |Z1 − R| (3.26) mit 1 F Z1 = R · 2 +j . (3.27) 1+F 1 + F2 und somit durch |F | < 1, bzw. |XS BP | < 1 oder |RBP | < 1 . (3.28) Die Frequenzen, bei denen F = ±1 ist, nennt man Grenzfrequenz fc , bzw. ωc oder die kritische Frequenz der Kompensation. Für die duale Schaltung nach Bild 3.15 lassen sich die entsprechenden Gleichungen herleiten: 1 Y2 = +jBP (3.29) R + jXS 1 Y1 = Z 1 1 1 F3 1 Y2 = +j ; Z2 = (3.30) R 1 + F2 1 + F2 Y2 Auch hier lautet die Bedingung für die Grenzfrequenz |F | < 1, bzw. XS |XS BP | < 1 oder | |<1 . (3.31) R
  45. 45. 3.3. Breitbandkompensation 47 L L C R C R Z1 Z2 Z1 Z2 (a) (b) Bild 3.16.: Tiefpasskompensation C C R L R L Z1 Z2 Z1 Z2 (a) (b) Bild 3.17.: Hochpasskompensation 3.3.1. Tiefpass- und Hochpasskompensation Aus den allgemeinen Betrachtungen des letzten Abschnitts lassen sich durch entsprechende Wahl der Größen BP und XS die in Bild 3.16 und 3.17 gezeigten Schaltungen ableiten. Man unterscheidet zwei verschiedene Kompensationsarten, deren besondere Eigenschaften sich mit den Ergebnissen des vorigen Abschnitts direkt angeben lassen. Tiefpasskompensation Beim Vergleich von Bild 3.14 und 3.16(a) ergibt sich BP = ωC und XS = ωL . (3.32) Nun erhält man als Kompensationsbedingung nach (3.23) L L = R2 C bzw. C= (3.33) R2
  46. 46. 48 3. Passive, lineare Schaltungen und als Grenzfrequenz nach (3.26) mit Einsetzen von (3.23) 1 1 fc = √ = wobei 0 < f < fc . (3.34) 2π LC 2πRC Der Impedanzverlauf dieser Schaltung wird in Bild 3.18(a) gezeigt. Bei sehr tiefen Frequenzen wird Z2 = R. Mit steigender Frequenz nähert sich die Impedanz asymptotisch der positiven imaginären Achse. Der Schnittpunkt mit dem Kreis der Impedanz Z1 liegt bei der Grenzfre- quenz fc . Zusätzlich dargestellt in Bild 3.18(a) ist die Leistung einer Quelle mit der Innenimpedanz R, die an die Verbraucher Z1 und Z2 abgegeben wird, über der Frequenz aufgetragen. Es zeigt sich, dass diese nur für f = 0 mit der in (3.6) berechneten Maximalleistung Pw,max übereinstimmt. Es wird außerdem deutlich, dass im Bereich 0 ≤ f ≤ fc mehr Leistung an die kompensierte Last abgegeben werden kann. Aufgrund des Dualitätsprinzips gelten diese Formeln auch für die duale Tiefpasskompensati- onsschaltung (Bild 3.16(b)). Hochpasskompensation Es ergeben sich nun beim Vergleich von Bild 3.14 und 3.17(a) 1 1 BP = − und XS = − . (3.35) ωL ωC Die Kompensationsbedingung nach (3.23) lautet hier L L = R2 C bzw. C= (3.36) R2 und die Grenzfrequenz nach (3.26) durch Einsetzen von (3.23) ist gegeben durch 1 R fc = √ = , wobei hier fc < f < ∞ . (3.37) 2π LC 2πL Der Impedanzverlauf dieser Schaltung ist in Bild 3.18(b) gezeigt. Bei sehr hohen Frequenzen wird Z2 zu R, mit sinkender Frequenz nähert sich die Impedanz asymptotisch der negativen imaginären Achse an. Der Schnittpunkt mit dem Kreis der Impedanz Z1 liegt bei der Grenzfre- quenz. Zusätzlich dargestellt in Bild 3.18(b) ist die Leistung einer Quelle mit der Innenimpedanz R, die an die Verbraucher Z1 und Z2 abgegeben wird, über der Frequenz aufgetragen. Es zeigt sich, dass diese nur für f → ∞ mit der in (3.6) berechneten Maximalleistung Pw,max übereinstimmt.
  47. 47. 3.3. Breitbandkompensation 49 (a) Tiefpasskompensation (b) Hochpasskompensation Bild 3.18.: Impedanzverlauf und Leistungsbetrachtung einer Tief- und Hochpasskompensation
  48. 48. 50 3. Passive, lineare Schaltungen Bild 3.19.: Impedanzverlauf der dualen Tief- und Hochpasskompensationsschaltungen Es wird außerdem deutlich, dass im Bereich fc ≤ f ≤ ∞ mehr Leistung an die kompensierte Last abgegeben werden kann. Dank des Dualitätsprinzips gelten diese Formeln auch wieder für die duale Hochpasskompen- sationsschaltung nach Bild 3.17(b). Allgemein gilt: Der Breitbandigkeit bei der Kompensation sind durch die gegebene Impedanz Z1 Grenzen gesetzt, da durch R und BP bzw. R und XS die Grenzfrequenz für die Kompensa- tion bereits festliegt. Keine noch so komplizierte Schaltung kann sie verbessern. 3.3.2. Bandpasskompensation Bandpasskompensationen sind möglich, wenn das störende Blindelement einen Resonanzkreis darstellt. Kompensiert wird mit dem dualen Resonanzkreis wie ihn Bild 3.20 zeigt. Die beiden Reso- nanzkreise haben die gleiche Resonanzfrequenz fR . Bei fR ist Z1 = R. Auch hier können die allgemeinen Betrachtungen zur Breitbandkompensation herangezogen und auf die Schaltung in Bild 3.20(a) angewendet werden; entsprechend dem Dualitätsprinzip gelten die Ergebnisse auch für die Schaltung in Bild 3.20(b). 1 LP CP = LS CS = 2 (3.38) ωR Für die Dimensionierung gelten danach die nachfolgenden Gleichungen, wobei die Frequenz-
  49. 49. 3.3. Breitbandkompensation 51 Ls Cs Ls Cs Lp Cp Lp Cp R R Z1 Z2 Z1 Z2 (a) (b) Bild 3.20.: Bandpasskompensation abhängigkeit gegeben ist durch 1 LS f fR XS (f ) = ωLS − = · − , ωCS CS fR f 1 CP f fR BP (f ) = ωCP − = · − . (3.39) ωLP LP fR f XS und BP haben also die gleiche Frequenzabhängigkeit. Da auch hier (3.23) gilt, folgt 1 4 LS LP LS LP 4 R= = . (3.40) CS CP CS CP Im Widerstandsdiagramm durchläuft die Impedanz Z2 bei Resonanzkompensation die Summe der Kurven für Hoch- und Tiefpasskompensation. Der Impedanzverlauf von Z2 für die Schal- tung aus Bild 3.20(a) ist in Bild 3.21(a) dargestellt, der der Schaltung aus Bild 3.20(b) in Bild 3.21(b). Die Grenzfrequenzen sind wiederum bereits durch Z1 mit R und XS bzw. BP gegeben und liegen dort, wo sich die Impedanzkurven von Z2 und Z1 schneiden. Z2 (fC ) = Z1 (fC ) (3.41) Auch hier kann man zur Berechnung der Grenzfrequenz auf (3.26) zurückgreifen und erhält diese nach Einsetzen der Terme (3.39). Die Impedanzschleifen der Eingangswiderstände der kompensierten Schaltungen (Bild 3.21) sind zur Spitze entartet. Durch geringfügiges Ändern der Kompensationselemente erhält man ausgeprägte Schleifen.
  50. 50. 52 3. Passive, lineare Schaltungen Z1 X f Z2 R f (a) (b) Bild 3.21.: Impedanzverlauf der Bandpasskompensation Allgemein gilt: Je komplizierter eine Kompensationsschaltung ist, desto präziser müssen die Elemente gewählt werden, da schon kleine Fehler zum Abwandern der Impedanz führen.
  51. 51. 4. Leitungstheorie Die Energieübertragung zwischen Generator und Verbraucher findet bei höheren Frequenzen in der Regel über Leitungen statt. Eine Leitung im engeren Sinn besteht aus zwei voneinander iso- lierten Leitern und evtl. einer Abschirmung. Die Abschirmung ist häufig mit einem der beiden Leiter identisch, z.B. bei der koaxialen Leitung. Die Leitung wird als homogen bezeichnet, wenn sie eine über die Leitungslänge völlig gleich- mäßige Querschnittsstruktur sowohl der Leiter als auch des Dielektrikums besitzt; sie gilt als quasi homogen, wenn gewisse Querschnittsabweichungen, z.B. Stützisolatoren, sich in kurzen Abständen periodisch wiederholen. Wann diese Abstände als kurz zu bezeichnen sind, kann erst nach Entwicklung der Theorie definiert werden. Der Anwendungsbereich von Leitungen umfasst allgemein • Energie- und Signalübertragung, • Mess- oder Abtastleitungen, • Erzeugung von Blindelementen in der HF-Schaltungstechnik. In der Praxis existiert eine große Vielfalt von Leitungen, die auf die jeweilige Anwendung optimiert sind. Beispiele sind in Bild 4.1 dargestellt. 53
  52. 52. 54 4. Leitungstheorie Bild 4.1.: Querschnitte durch verschiedene TEM-Leitungstypen

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