200AUFGABENAUS DER TRIGONOMETRIE        MIT L303226SUNGEN               von   Karl   W303266fxe Zur Vorbereitunguf das Abi...
DiesesHeft ist ein Sonderdruckus dem im Rahmen des                             a       Unterrichtswerkesdes BayerischenSch...
Vorbemerkungzum Rechnenmit                                                                                                ...
Beispiel:         Die        H303266he                   einer Stange wurde zu                                            ...
7. Von einem h Meterhoch gelegenen                                  Fenster eines Hauses                                  ...
Er         mit der ruht           auf dem                    Basisfl303244che                                             ...
drei Wege verlaufen geradlinig und befindensich in einer Ebene.Wie      ist die                                           ...
g) An einem Hang, dessenNeigung                                                                                           ...
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25.Durch den Mittelpunkt                       desInkreises esDreiecks                                   d          ABC is...
e) Auf dem einen Schenkeleines    60302260-Winkels wird die StreckeSA = 6 cm, auf       seiner Winkelhalbierenden die Stre...
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Woerle k. 200 aufgaben aus der trigonometrie mit loesungen 1963

  1. 1. 200AUFGABENAUS DER TRIGONOMETRIE MIT L303226SUNGEN von Karl W303266fxe Zur Vorbereitunguf das Abitur an Gymnasien, aRealgymnasien, sowie Wirtschaftsoberrealschulen f303274r Studierendend Freunde u derMathematikHRISCHER SCHULBUCH-VERLAG M303234NCHEN
  2. 2. DiesesHeft ist ein Sonderdruckus dem im Rahmen des a Unterrichtswerkesdes BayerischenSchulbuchverlagesMathematischenerscheinenden Band Geometrie II 342200224 Trigonometrie.Es wendet sich [in erster Linie an die Abiturienten der Gymnasien,Realgymnasien Wirtschaftsoberrealschulen, die es und f303274rreichhaltigen zur Vorbereitung auf die 303234bungsstoflF bietet, Reifepr303274fungsowiean Studierendeder technischenWissenschaften. Hinweise und Anregungen zur weiteren AusgestaltungF303274r sowie Verbesserungsvorschl303244gef303274r sind Verlag und Verfasserdankbar. 1963 Verlegt im Bayerischen Schulbuch-Verlag, M303274nchen 19,Hubertusstra303237e 4,Verlags-Nr. 727 GesamthersteUung: Graphische Betriebe Dr. F. P.Datterer & Cie.- Sellier Inh. - Freising
  3. 3. Vorbemerkungzum Rechnenmit Me303237wertenBeiden bisherigenAufgaben haben wir die Zahlenangabenals absolut genau betrachtet.In der Praxis der Trigonometrie hat man es jedochmeist mit Me303237werten zu tun. Wirdbeispielsweise Streckezu 3,64 m gemessen, o eine s dies, die wahre hei303237t da303237 L303244ngezwischen3,635m und 3,645m liegt. in zu E gemessenerWinkel liegt zwischen 32302260 31,5302260und Im ersten Fall besteht eine Unsicherheitvon 0,005m, im zweitenFall eine 32,5302260. 302261solche von Wie sich diese Unsicherheitenauf das Ergebnisauswirken, zeigt 3022610,5302260.folgendes Beispiel: In einem rechtwinkligen Dreieckist eine Kathete o zu 3,64 gemessen, der ihr anliegende m Winkel konnte nur auf Grad genau zu 303237 bestimmt werden. Berechne die Kathete b!Innerhalb 32302260 welcher Grenzen kann b liegen ? L303266sung: b = o tan/9 = 3,64 342200242 tan 342200242 32302260 logt = 0,5611 +9,7958-10 0,3569 b = 2,274[m] Untere Grenze von b: bu log6w = 0,5605 9,7873 + = 2,228 -=10= 0,3478 3,635 tan 342200242 31,5302260 bu [m] Obere Grenze von b: b0 = 3,645 tan -10 342200242 32,5302260 log&o = 0,5617 9,8042 = 0,3659 + Abb. 1 b0 = 2,322[m] W303274rden wir nun das Ergebnis mit b = 2,274m angeben, so dies, b zwischen 2,2735m hie303237e da303237 und 2,2745 liegen m mit einer Genauigkeit von w303274rde m. 0,0005 Wir erkennen, diese 302261 da303237 Genauigkeit sinnlos ist und wir, um den Schwankungsbereich einigerma303237en da303237 zu erfassen, runden In unserem Fall kann das Ergebnis nur mit 6 2,3m angegeben werden, wobei m303274ssen. = selbst hier noch eine Unsicherheit von 1 Einheit der letzten Stelle besteht. Obwohl also die Kathete o drei geltende Ziffern besitzt, kann das Ergebnis 303274berraschenderweise nur mit 2 Ziffern geltenden angegeben werden. Dies liegt daran, der Winkel nur auf Grad genau bestimmt da303237 303237 werden konnte1). Eine Genauigkeit von in der Winkelma303237zahl also offenbar in der 1302260 l303244303237t Streckenma303237zahl nur 2 geltende Ziffern zu. Wir erkennen:Die Genauigkeit desErgebnisseswird durch die ungenaueste, an der Rechnung beteiligte Ma303237gr303266303237ebestimmt.Mit der Berechnung der Fehler und Schwankungen sich ein besonderer weig Z befa303237tder Mathematik, in den wir mit unserenbisherigenKenntnissenjedochnicht eindringen Wir werden aber den Verh303244ltnissenk303266nnen. einigerma303237en gerecht, wenn wir folgendeFaustregelbeachten:Es entsprechen:2 geltendeZiffern der Streckenma303237zahl einer Winkelgenauigkeit von ^ 1 302260 und umgekehrt3 geltendeZiffern der Streckenma303237zahl einer Winkelgenauigkeit von ^ und umgekehrt ^ 1 030227313022604 geltendeZiffern der Streckenma303237zahl einer Winkelgenauigkeit von und umgekehrt5 geltendeZiffern der Streckenma303237zahl einer Winkelgenauigkeit von ^5" und umgekehrtl) Hier liefert nicht nur die 48tellige Tafel, sondern sogar der Rechenstab ein zu genaues Ergebnis I 1
  4. 4. Beispiel: Die H303266he einer Stange wurde zu 1,72m, die L303244nge ihres Schattens zu 1,42 gewessen. m Wie hoch steht die Sonne ? L303266sung: Mit der 4stelligen Tafel man a = Dieser ert ist zu genau. Wir geben nach der W erh303244lt 50,45302260. Faustregel alsErgebnis an: a = womit wir uns der Genauigkeit desRechenstabes angepa303237t 50,5302260, haben. der Schatten, etwa wegen unscharfer Konturen, nur auf Dezimeter genau gemessen H303244tte werden k303266nnen, so der Winkel a auf ganze Grad zu runden gewesen. w303244re Bei allen folgenden Aufgaben, in denen aus dem Text eindeutig zuZur Beachtung:erkennen die beteiligten ist, da303237 sind, ist die Genauigkeit,falls nicht mit Gr303266303237en Me303237wertedem Rechenstabgerechnetwurde, nach obigerFaustregelsinnvoll zu begrenzen. AUFGABENI. Rechtwinkliges Dreieck 1.Wie lang ist die Winkelhalbierende wa im rechtwinkligen Dreieck den Katheten mit a = 5 cm und 6=7cm? 2.Ein DreieckABC ist beiB rechtwinklig. Es ist a = und AB = c = 6,5 cm. Wie 35302260 lang ist das der Mittelsenkrechten Hypotenuse,das durch die Schenkel zur St303274ck von a begrenzt wird ? 3.a) In einem gleichseitigenDreieckwird eine Seitein 3 gleiche Teile geteilt. Die Teilpunkte werden mit der gegen303274berliegenden Ecke verbunden. In welche Teilwinkelwird dadurch der zerlegt? 60302260-Winkel b) In einem gleichschenkligen Dreieck,dessenBasiswinkel doppeltso sind gro303237 wie der Winkel an der Spitze,wird die Basis 3 gleicheTeile geteilt. Die in Teilpunkte werden mit der gegen303274berliegenden Ecke verbunden. In welche Teilwinkel dadurch der Winkel an der Spitze? zerf303244llt 4.Die Grundlinie a eines gleichschenkligenDreiecksmit dem Basiswinkel wird 303237 beiderseitsm den Schenkel esDreiecks u d Die Endpunkte werden mit verl303244ngert. der Spitzeverbunden.Wie lang sind die Seitendesneuen Dreiecks a = 35 mm; ? 0=69302260 18. 5. Von einem stumpfwinkligen Dreieckist die Grundlinie c und der Winkel a Der bekannt. F der hc liegt auf der Verl303244ngerung von AB so, H303266he da303237 des Dreiecks c = 6 cm; = Fu303237punkt BF= AB. Berechnedie fehlenden 302243 I St303274cke oc 35302260. 6.Auf eine a Meterhohe Bretterwand fallen die Sonnenstrahlenunter dem Winkel a gegen die Horizontale, d Meter vor der Wand steht eine h Meterhohe Stange. Um wie vieleMeter ragt der Schattender Stange aus dem Schlagschattender Bretterwand heraus, wenn die durch die Sonnenstrahlen und die Stange bestimmte Ebene auf der Wand senkrecht steht (Abb.2) ? a = 2; h= 5 ; d = Abb. 2 Ma303237stab a= 1:3; Zeichnung im 100. 32302260.2
  5. 5. 7. Von einem h Meterhoch gelegenen Fenster eines Hauses sieht man die Spitzeeines Turmes unter dem H303266henwinkel a, den desTurmes unter demTiefenwinkel Fu303237 303237. Wie hoch ist der Turm und wie weit ist er vom Haus entfernt, wenn er mit diesem auf der gleichenwaagrechtenEbenesteht ? h = 9,95 m; a = Me303237werte: ; = 19,2302260 303237 3,9302260. 8.1)Von einem Punkt A des Talgrundes aus erscheint ein Berghotel H unter dem H303266henwinkel a, vom Punkt B desTalgrundes unter dem H303266henwinkel Wie hoch dem Tal, wenn AB = s horizontal 303237. liegt das Berghotel Ay By H in 303274ber verl303244uft, einer Lotebene liegen und die Augenh303266he des Beobachtersh betr303244gt? s Me303237werte: = 295 m; = ; = h = m. <x 32,6302260 303237 23,4302260; 1,1 9.1)Ein Billard hat die Form eines Rechtecks ABCD.Eine Kugel K hat von der BandeAB den Abstand x, von der BandeBCden Abstand y. Unter welchemWinkel die Kugel an der Bande AB aufschlagen,damit ein in der Mitte des Billards mu303237 stehenderKegel a) nach einmaligerReflexionan der Bande AB, b) nach Reflexionan der Bande AB und nachfolgenderReflexionan der BandeAD getroffen wird? AB = 2m; BC = 1,2m; = 0,4m; y = 0,6m; eichnung x Z im Ma303237stab 1 :20! ^Breitformat! Gan2e Heftseite! Anleitung: Spiegele Kegela) an der Bande AB b) den an der Bande AD und das Spiegelbild nochmals an ABl10.1) man Stellt einen Theodoliten an den eines Turmes, so das Fernrohr a Fu303237 da303237 Meter dem Bodenliegt, so sieht man das Gipfelkreuzeines Berges unter dem a. 303274ber H303266henwinkel Bringt man das Instrument in ein Fenster des Turmes, so das da303237 Fernrohr b Meter dem Bodenliegt, so erscheintdas Gipfelkreuzunter dem 303274ber H303266henwinkel Wie hoch liegt das Gipfelkreuz 303237. der durch den des 303274ber Fu303237punkt Turmes gehenden Horizontalebene? a = 1,32; = Me303237werte: a b = 59,82; = 32302260 17; 303237 2830226044.II.1)uf der h Meter A dem Bodengelegenen Plattform A eines Aussichtsturmes 303274ber wird ein Theodolit aufgestellt und die Spitze S eines Fernsehmastes anvisiert. Sie erscheintunter dem H303266henwinkel a. Vom F desTurmes aus ist S wegeneines Fu303237 dazwischenliegenden Baumes nicht sichtbar. Geht man aber mit dem Instrument von F aus b Meter in Richtung auf den Mast bis zum Punkt By so erscheintS unter dem H303266henwinkel Die des Fernrohrs der Plattform bzw. dem 303237. H303266he 303274ber Erdboden ist a Meter.Berechnedie des Fernsehmastes, enn angenommen w H303266he werdendarf, A, F, B und S in einer Lotebene da303237 liegen! h = 59,4; b = 160 a = 1,32 a = Me303237werte: ; ; = 19,2302260; 303237 42,6302260.12.!) Berghotelliegt h Meter dem Spiegeleines Sees. Hotel aus sieht ein Ein Vom 303274ber Beobachtereine Wolke unter dem H303266henwinkel a, ihr Spiegelbild See im unter dem Tiefenwinkel Welchesist die der Wolke dem Seespiegel ? H303266he 303274ber h = 70,2; a = 303237. Me303237werte: = 58,1302260; 303237 61,2302260.13.Ein Sandkasten hat die Form eines geraden, dreiseitigenPrismas, dessen ein gleichschenkliges Querschnitt Dreieckist mit der Basis1,2 und der m 1,0 m. H303266hel) Diese Aufgaben sollen dadurch gel303266st werden, da303237 2 Strecken als Unbekannte eingef303274hrt und 2 Gleichungen zuihrer Berechnung aufgestellt werden. 3
  6. 6. Er mit der ruht auf dem Basisfl303244che Erdboden.Eine der Seitenw303244nde wird schr303244gen von der Sonne beschienen, nd zwar so, u da303237 die unter dem Winkel gegen die 35302260 einfallenden Horizontale Sonnenstrahlendie dreieckigen gerade streifend Stirnw303244nde ber303274hren. Zwischen Sonne und Kasten steht in 0,8 m Entfernung von diesem (auf dem Boden gemessen) eine hinreichend lange Bretterwand von der 1,6 Wieviel % der m. H303266he Fl303244che der Seitenwandliegt im Schatten? Abb. 3 Zeichnung im schr303244gen 1 20 (Abb. 8)! Ma303237stab :II.SchiefwinkligesDreieck14. osinussatzmit C Me303237werten In den folgenden Aufgaben stellen die Streckenma303237zahlen gemesseneWerte mit 4 geltenden Ziffern dar. Dann beachtet werden, mu303237 auch die Quadrate dieser Ma303237zahlen nur mit 4 geltenden da303237 Ziffern angegeben werden k303266nnen. Zu ihrer Berechnung benutzt man die Quadratwurzeltafel von rechts nach links, gegebenenfalls mit Interpolation Beispiel: x2 = 6,0732+ 4,9182 2 6,073 4,918 cos - 342200242 - 342200242 4330226012 6,0732= 36,88(Tafel!) log 2 0,3010 = 4,9182 24,19 (Tafel!) log 6,073 = 0,7834 ~~Y = 61,07 = log 4,918 0,6918 P = 43,54 log = 9,8627-10 cos.. x2 = 17,53 logP =-1,6389 x = 4,187 (TafelI) P = 43,54 Berechnedie fehlenden wenn gegeben ist: St303274cke, a) b = 5,128km; c= 3,918 a=km; 6230226023 b) a = 7,425km ; b = 6,203km; y = 47 102302260 c) a = 63,32m; c= 79,46m; 303266l0^ d)6= 2,728km; c = 3,155m; <x= 303237= k 52,33302260 e) a = 3,245km; b = 4,375km; c = 5,514 km f) a= 52,54m; b= 29,85m; c = 65,38m g) a = 548,8m; b = 235,2m; c = 712,4m15. In einem Kreis sind von einem Punkt P seinesUmfangs aus 2 Sehnen von der 7 cm und 5 cm eingetragen,welcheeinen Winkel von L303244nge einschlie303237en. Wie 23302260 ist der Radius desKreises gro303237 ?16.n einem Dreieckist a = 58,5mm, b = 73,5mm und I y = 76,3302260. Wie lang sind die Abschnitte, in welchedie Seitec durch die Winkelhalbierende wy zerlegt wird ?17. (Vorpr303274fung 1962) Von einem Feldweg zweigt in P ein unter einem Winkel von nach Fu303237weg 20302260 vorne rechts ab und nach 173 zu einem Punkt A. 141 nach der m m f303274hrt in P geht von dem Feldweg im Punkt Q ein zweiter Abzweigung unter einem Fu303237weg Winkel von nach vorne links ab zu dem von Q 60m entfernten Punkt B.Alle 503022604
  7. 7. drei Wege verlaufen geradlinig und befindensich in einer Ebene.Wie ist die gro303237 Entfernung d der beidenPunkte A und B ? (Winkel sind auf Minuten zu runden!)18.n Abb.4 ergibt sich die rot gezeichneteStreckex durch eine leicht ersichtliche I Konstruktion aus den c, und Gr303266303237en oc 303237. a) Stelle x als Funktion der gegebenen dar! Gr303266303237en b) Berechnex c = 5 cm; = = f303274r oc 70,5302260; 303237 39,5302260. c) Untersuchedie La =60302260, Spezialf303244lle 303237=30302260; IL a=90302260; III. oc = 303237. Abb. 519.n Abb.5 ergibt sich die Streckex durch Konstruktion I aus den Gr303266303237en a und a. a) Stellex als Funktion von a und dar! oc b) Berechnex a = 5,25 cm! = f303274r oc 37302260 12. c) Untersuchedie = sowie = Spezialf303244lle oc 30302260 oc 45302260!20.DerTangenssatz a) Zeige, da303237 zwischen2 Seitena und b und ihren Gegenwinkeln oc und 303237 die Beziehung besteht a+b a b 342200224 tan -^ a+ a-303237 303237 tan342200224/ ._ Anleitung: Benutze die Sehnenbeziehungen o = 2 r sina und b = 2 r sin/9! 342200242 342200242 Bemerkung: DerTangenssatz eignet sich die Berechnung eines Dreiecks aus 2 Seiten und f303274r dem eingeschlossenen Winkel. Ist beispielsweise o, 6 und y gegeben, so ist a + = 90 Y 342200224-342200224 303237 342200224 342200224 . Mithin sich (a und weil (a + bekannt ist, l303244303237t a und berechnen. Der 342200224 303237), 303237) schlie303237lich 303237 hat gegen303274ber Tangenssatz dem Cosinussatz den Vorteil, durchgehend logarithmisch gerechnet da303237 werden kann. Seine Anwendung ist insbesondere dann am Platz, wenn lediglich nach den Winkeln, nicht aber nach der fehlenden Seitegefragt ist. b) Berechneein Dreieck a 59,23 aus b = 48,43m; y = m; = 42302260 54. c) Ebenso: a = 31,75 ; c = 53,20m; m = 4130226038. d) Ebenso: b= 1,638 c= 2,635km; = 303237 km; oc 10730226020. e) Auf den Schenkeln des Winkels = werden vom Scheitel S aus zwei oc 35302260 Strecken und SBso abgetragen, SA = 2 SB.Wie SA sind die Winkel da303237 342200242 gro303237 SABund SBA ? f) Von einem Punkt P aus sieht man den Kirchturm K in der Richtung N E1) 53,5302260 und den trigonometrischen Punkt T in der Richtung S W. In welcher 12,2302260 Richtung erscheint von T aus der Kirchturm K, wenn PK =2,19 und km PT= 3,05 km gemessen wurden?l) E = Osten (von engl. east). 5
  8. 8. g) An einem Hang, dessenNeigung zu 16,5302260 wurde, steht ein 41,5 gemessen m hoher Turm. Wie hoch steht die Sonne,wenn der genau hangaufw303244rts gerichtete SchattendesTurmes zu 32,2 m bestimmt wurde ?21. er Halbwinkelsatz D a) Best303244tige zun303244chst, Abb. 6 AD = s a und weiter tan 2 =s a da303237 in -302243- 342200224-342200224 342200224 . Zeige da303237 sich mit Benutzung der Formel F = g - s und der Heronischen Formel schlie303237lich ergibt: a-(8-a)2 V tanl^^--^7^ 2 r 8-(s-b) -C) tan^V303226-^ 2 V 8 342200242 (302253 Abb. 6 Bemerkung: Der Halbwinkelsatz kann bei der Berechnung des schiefwinkligen Dreiecks im Fall IV an die Stelle des Cosinussatzes treten, wenn die gegebenen Zahlenwerte eine logarithmische Durchf303274hrung der Rechnung als ratsam erscheinen lassen. b) Zeichne ein Dreieckmit den Seitenc = 5 cm; a = 3cm; b = 4,5cm! Konstruiere den Inkreisund die 3 Ankreise 1 Berechnedie Radien der vier Kreise sowiedie Winkel des Dreiecks! (Ganze Seite!) c) Berechnedie Winkel eines Dreiecks den Seitena = 248,4m, b = 315,7 mit m und c= 286,9m! d) Berechnedie Winkel eines Dreiecks,wenn bekannt ist, a b = 4 und : 3: b:c=3:41 da303237 Anleitung: Stelle eine fortlaufende Proportion her! e) Leiteden Halbwinkelsatz rechnerisch,ohne jede Figur, aus dem Cosinussatzab! Anleitung: Zeige zuerst, tan = cosg und ersetze cosa durch &2 + c2-a2 , *342226240 2bc da303237 342200224 2 f 1 + cosa f) Um die EckendesDreiecks ABC sind Kreisegezeichnet,die sich paarweise Berechnedie ber303274hren. desvon ihnen gebildetenKreisbogendreiecks Fl303244che f303274r a) a = 51 mm; b = 41 mm ; c = 58 mm; b) a = 35 mm ; b = 53 mm; c = 66 mm.22.Dier-Formeln In den folgenden Formeln sind wichtige Dreiecksgr303266303237en durch den Radius desUmkreises r und die Winkel des Dreiecks ausgedr303274ckt. DieAusgangsbeziehungen die Ableitung dieser Formeln f303274r sind die Sehnenbeziehungen a = 2 r sina 342200242 b = 2r sin/9 342200242 c=2r siny 342200242 Beweise: a) ha = 2 r sin/? siny; hb = ?; 342200242 hc = ? b) F = 2 r2 sina sin/? siny; 342200242 a c) s = Ar cos cos-j-cos ; a y -y 342200224 3032376
  9. 9. * f-^= ? d) s a = 4 r cos sin j a y sin -y; ?; 342200242 303237 342200224 342200224 -302243- 3422262406= e) ^ = 4 r sin y sin y sin ; -302243- a f) Qa = 4 r sin Y cos 2 cos 2 342200224 342204242 -302243- Qb = ?; Qc=? sin/9 siny g) wa=2r cosJ (0-y) = W303237 ?342200242 Wy = P 1 J_ J_23 Zeige: ) F2 = q a ga gb 342200242 b) 1_24. Dreiecksberechnungen Die kann einer eventuell m303266glichen Konstruktion folgen. Eine rein rechnerische L303266sung ergibt sich meist durch Benutzung der r-Formeln von Aufgabe 22. Behandlung Berechnedie fehlenden Seiten und Winkel sowie die Fl303244che des Dreiecks, enn w gegebensind: a) r = 4 cm; a= 65302260 j b) r = 3,5 cm ; /S=54302260 hb = 4,5 cm; c) ha :h = 4 :3 ; y=59302260 = 2<x; = d) c = 5,8 cm; 303237 r = 3,5 cm; r a - 4cm = 303237 32302260 a+ Hinweis: e) a : r = 3 :2 ; Es l303244303237t sich y und damit ha a= = 6cm; 303237 berechnen. y -= 303237 30302260 f) 303237=2cm; 0=62302260 = 49302260; g) 2?= 1dm2; y 58302260 h) = 5 cm;wy a= 302243=65302260; 32,5302260; y = = 4 cm; a= 63,5302260 i) Aa 40302260 k) a 4- b = 9 cm; 0=45302260 a= 45302260 1) c a = 1,5cm; /?=56302260 342200224 80302260 y = 64302260 m)a 4- 6 4- c = 12cm; /? = 303237= a=78302260 46302260 n) c = 6cm; a b = 2cm; a-/3= - 342200224 30302260 o) a = 5cm; p) c = 6cm; q) a :6 = 7 :3 ; y a:b= 60302260; 5:3; g:r=2:5 = cm a-/?=26302260 2,5 302253:/J-3:l; hc r) Beweise Mollweideschen Formeln1) die COS~ 302253-/? . *-303237 a+6 a ~b _ Sm~^~ "5 c C y sin -302243- cosy und benutze eine dieserBeziehungenin Verbindung mit dem Tangenssatzzur Berechnungder Seitec, wenn b = 3,225km; a = 5,575km und y = 481 70302260 s) 1961, (Vorpr303274fung Von einem Dreieck ABC ist gegeben: = 10,5cm, = c y gek303274rzt.) 60302260, : a b = 3 8. : a) Berechnedie Seitena und 6, die ha, den Winkel a H303266he und die Entfernung des Inkreismittelpunktes vom Punkt A1 b) Berechnedie des Umkreisbogens zwischenA L303244nge und C, der B nicht enth303244lt!0 Mollweide, Astronom, 17753422002241825. 7
  10. 10. 25.Durch den Mittelpunkt desInkreises esDreiecks d ABC ist zu AB = c die Parallele SieschneidetAC in X und BCin Y. Zeige, gezogen. die z der da303237 f303274r L303244nge Transversalen XY gilt: 2 ~ _ 1. 2 cos342200224-342200224 2 cos2 cos 0 2 <x 342200224 342200224 Berechnesodannz a) c = 6cm;a = = b) c = 5cm;a = /? = f303274r 303237 60302260; 74302260; 59302260.26.Gegebendas gleichschenklige DreieckABC mit der Grundlinie AB = c und dem Winkel y an der Spitze.Durch den Mittelpunkt der hc wird zur Grundlinie H303266he AB die Parallelegezogen. schneidetden Umkreis des Dreiecks Sie ABC in den Punkten X und Y. Zeige, die s der SehneXY gilt: da303237 f303274r L303244nge + tV302273 sinV/2 Berechnesodann s f303274r a) ein gleichseitiges Dreieck AB = 6 cm! mit b) c = 4 cm; y = 40302260.27. In einem gleichschenkligen Trapez sind die Schenkel ebensolang wie die a. Au303237erdem ist Winkel BAC = a. Grundlinie a) Berechnedie desTrapezes! Fl303244che b) Zeige, der prozentuale Anteil der an der des Fl303244che -^! da303237 Trapezfl303244che umbeschriebenen Kreises sin3a % 1 welches Trapez nimmt dieser betr303244gt F303274r Prozentsatzseinen Wert an und wie ist dieser ? gr303266303237tm303266glichen gro30323728.Die Seitenhalbierende im Dreieck Beweise, da303237 f303274r die L303244nge der Seitenhalbierendenc einesDreiecks den Seiten s mit a, b und c gilt: Sc = ^y2a2+ 2&2-c2 Anleitung: Setzein den beiden Teildreiecken f303274r o und b jeweils den Cosinussatz an und addiere beide Gleichungen!29.Die Winkelhalbierende im Dreieck a) Beweise it Hilfe des Sinussatzes, eine Dreiecksseite der Halbierenden m von da303237 des Gegenwinkelsim der anliegendenSeitengeteilt wird! Verh303244ltnis b) Berechnedie Teilabschnittem und n aus den SeitendesDreiecks 1 c) Zeige, die der Winkelhalbierenden wY gilt: da303237 f303274r L303244nge wY = b (a 4- b 4- c) (a 4- b c) - Anleitung: Setzein den beiden Teildreiecken o und b jeweils den Cosinussatz an und f303274r eliminiere das Glied mit wy durch Addition der beiden Gleichungen nach vorhergehender o! Multiplikation d) Beweise ie Formel d mit b bzw. wv = a Y , lab cos-^- +br y 2 _ Anleitung: Setze f303274r m und n jeweils den Cosinussatz an und beachte, da303237 wegen m:n= b:a die Beziehung o2 m2 = b2 n2 besteht!8
  11. 11. e) Auf dem einen Schenkeleines 60302260-Winkels wird die StreckeSA = 6 cm, auf seiner Winkelhalbierenden die Strecke = 4 cm abgetragen.AB schneidetden SB freien Schenkeln C.Zeige, SC = (2 + 3 y3~)! i da303237 f30324430.Das Sehnenviereck a) Zeige, da303237 f303274r die Diagonale e = AC einesSehnenvierecks gilt: 2_ (ad + bc) (ac+ bd) ab + cd Anleitung: Setze f303274r die Diagonale e zweimal den Cosinussatz an und eliminiere 303237 b) Berechne die Winkel einesSehnenvierecksaus den vier Seiten a = 104 mm; b = 56mm; c = 49mm; d = 39mm I c) Beweise Satz des den Ptolem303244us: Im Sehnenviereck ist das Rechteck aus den Diagonalen gleich der Summe der Rechtecke aus je%wei Gegenseiten. d) Zeige, da303237 f303274r die Fl303244che des Sehnenvierecks gilt: F -V(7^i = 302273)(302253- -&)(302273- -c)(302253- -<*) wobei 2s=a+b+c+dy und berechne 2? f303274r a = 60mm ; b = 33mm; c= 25mm; d = 16 mm. Anleitung: Wende auf die Diagonale e wieder zweimal den Cosinussatz an und eliminiere diesmal el Welcher Ausdruck ergibt sich cos/9? etzesodann die S desVierecks additiv aus f303274r Fl303244che zweier Teildreiecke zusammen und beachte, den sin/9 Fl303244chen = yl - cos2/? = |/(i+cosjS)(l-cos/5) da30323731. Das H303266henfu303237punktdreieck DieSeiten eines Dreiecks BC sind a, 6,c,seine Winkel a, A 303237t yt seine Fl303244che F.A B C seien die Fu303237punkte der H303266hen hat hf302273 hc (Abb. 7). a) Berechne jede SeitedesDreiecks BC die A f303274r beidenAbschnitte, in diesiedurch den H303266hen- zerlegt wird 1 fu303237punkt b) Zeige, jedes der DreieckeACB BCA da303237 CABzum DreieckABC ist! 303244hnlich A C c) Berechne Winkel und Seiten des H303266henfu303237- Abb. 303237 punktdreiecksund den Satz: best303244tige Die Dreiecks die Winkelhalbierenden seines sind H303266hen eines d) Zeige, die FdesH303266henfu303237punktdreiecks gilt: da303237 f303274r Fl303244che H303266henfu303237punktdreiecks. F = 2 F cosacos/S cosy32.Auf dem einen Schenkel esWinkels a mit dem ScheitelS wird die Strecke = s d SA abgetragen. Derandere Schenkel ird vom Kreis um S mit dem Radius SA in B w und vom Halbkreis SA als Durchmesser C geschnitten.Es entsteht einevon in 303274ber der StreckeCBund den beidenBogenAB und AC begrenzte Figur. klauenf303266rmige Zeige, den Umfang u und die da303237 f303274r / dieserFigur gilt: Fl303244che u = s (2 arca cosa +1) / = 82 (2 arca sin 2a) 342200224 342200224 342200224 o Berechneu und / speziell s = 6cm und a = f303274r 70302260! 9

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