Trigonometria

1. 200AUFGABEN
AUS DER TRIGONOMETRIE
MIT L303226SUNGEN
von Karl W303266fxe
Zur Vorbereitunguf das Abitur an Gymnasien,
a
Realgymnasien, sowie
Wirtschaftsoberrealschulen f303274r
Studierendend Freunde
u derMathematik
HRISCHER
SCHULBUCH-VERLAG
M303234NCHEN

2. DiesesHeft ist ein Sonderdruckus dem im Rahmen des
a
Unterrichtswerkesdes BayerischenSchulbuchverlages
Mathematischen
erscheinenden Band Geometrie II 342200224
Trigonometrie.
Es wendet sich [in erster Linie an die Abiturienten der Gymnasien,
Realgymnasien Wirtschaftsoberrealschulen, die es
und f303274r
reichhaltigen
zur Vorbereitung auf die
303234bungsstoflF bietet, Reifepr303274fung
sowiean Studierendeder technischenWissenschaften.
Hinweise und Anregungen zur weiteren Ausgestaltung
F303274r sowie
Verbesserungsvorschl303244ge
f303274r sind Verlag und Verfasserdankbar.
1963
Verlegt im Bayerischen Schulbuch-Verlag, M303274nchen 19,Hubertusstra303237e 4,Verlags-Nr. 727
GesamthersteUung: Graphische Betriebe Dr. F. P.Datterer & Cie.- Sellier
Inh. - Freising

3. Vorbemerkungzum Rechnenmit Me303237werten
Beiden bisherigenAufgaben haben wir die Zahlenangabenals absolut genau betrachtet.
In der Praxis der Trigonometrie hat man es jedochmeist mit Me303237werten zu tun. Wird
beispielsweise Streckezu 3,64 m gemessen, o
eine s dies, die wahre hei303237t da303237
L303244nge
zwischen3,635m und 3,645m liegt. in zu
E gemessenerWinkel liegt zwischen 32302260
31,5302260
und Im ersten Fall besteht eine Unsicherheitvon 0,005m, im zweitenFall eine
32,5302260. 302261
solche von Wie sich diese Unsicherheitenauf das Ergebnisauswirken, zeigt
3022610,5302260.
folgendes
Beispiel:
In einem rechtwinkligen Dreieckist eine Kathete o zu 3,64 gemessen, der ihr anliegende
m
Winkel konnte nur auf Grad genau zu
303237
bestimmt werden. Berechne die Kathete b!Innerhalb 32302260
welcher Grenzen kann b liegen ?
L303266sung:
b = o tan/9 = 3,64
342200242
tan
342200242
32302260
logt = 0,5611 +9,7958-10
0,3569
b = 2,274[m]
Untere Grenze von b: bu
log6w = 0,5605 9,7873
+
= 2,228
-=10= 0,3478
3,635 tan
342200242
31,5302260
bu [m]
Obere Grenze von b: b0 = 3,645 tan
-10
342200242
32,5302260
log&o = 0,5617 9,8042 = 0,3659
+ Abb. 1
b0 = 2,322[m]
W303274rden wir nun das Ergebnis mit b = 2,274m angeben, so dies, b zwischen 2,2735m hie303237e da303237
und 2,2745 liegen m mit einer Genauigkeit von
w303274rde m.
0,0005 Wir erkennen, diese 302261 da303237
Genauigkeit sinnlos ist und wir, um den Schwankungsbereich einigerma303237en
da303237 zu erfassen,
runden In unserem Fall kann das Ergebnis nur mit 6 2,3m angegeben werden, wobei
m303274ssen.
=
selbst hier noch eine Unsicherheit von 1 Einheit der letzten Stelle besteht. Obwohl also die
Kathete o drei geltende Ziffern besitzt, kann das Ergebnis 303274berraschenderweise nur mit 2
Ziffern
geltenden
angegeben werden. Dies liegt daran, der Winkel nur auf Grad genau bestimmt da303237
303237
werden konnte1). Eine Genauigkeit von in der Winkelma303237zahl also offenbar in der 1302260 l303244303237t
Streckenma303237zahl nur 2 geltende Ziffern zu. Wir erkennen:
Die Genauigkeit desErgebnisseswird durch die ungenaueste, an der Rechnung beteiligte Ma303237gr303266303237e
bestimmt.
Mit der Berechnung der Fehler und Schwankungen sich ein besonderer weig
Z befa303237t
der Mathematik, in den wir mit unserenbisherigenKenntnissenjedochnicht eindringen
Wir werden aber den Verh303244ltnissen
k303266nnen.
einigerma303237en gerecht, wenn wir folgende
Faustregelbeachten:
Es entsprechen:
2 geltendeZiffern der Streckenma303237zahl einer Winkelgenauigkeit von ^ 1 302260
und umgekehrt
3 geltendeZiffern der Streckenma303237zahl einer Winkelgenauigkeit von ^ und umgekehrt
^ 1'
03022731302260
4 geltendeZiffern der Streckenma303237zahl einer Winkelgenauigkeit von und umgekehrt
5 geltendeZiffern der Streckenma303237zahl einer Winkelgenauigkeit von ^5" und umgekehrt
l) Hier liefert nicht nur die 48tellige Tafel, sondern sogar der Rechenstab ein zu genaues Ergebnis I
1

4. Beispiel:
Die H303266he einer Stange wurde zu 1,72m, die L303244nge
ihres Schattens zu 1,42 gewessen.
m Wie hoch
steht die Sonne ?
L303266sung:
Mit der 4stelligen Tafel man a = Dieser ert ist zu genau. Wir geben nach der
W erh303244lt
50,45302260.
Faustregel alsErgebnis an: a = womit wir uns der Genauigkeit desRechenstabes angepa303237t
50,5302260,
haben. der Schatten, etwa wegen unscharfer Konturen, nur auf Dezimeter genau gemessen
H303244tte
werden k303266nnen, so der Winkel a auf ganze Grad zu runden gewesen.
w303244re
Bei allen folgenden Aufgaben, in denen aus dem Text eindeutig zu
Zur Beachtung:
erkennen die beteiligten
ist, da303237
sind, ist die Genauigkeit,falls nicht mit Gr303266303237en
Me303237werte
dem Rechenstabgerechnetwurde, nach obigerFaustregelsinnvoll zu begrenzen.
AUFGABEN
I. Rechtwinkliges
Dreieck
1.Wie lang ist die Winkelhalbierende wa im rechtwinkligen Dreieck den Katheten
mit
a = 5 cm und 6=7cm?
2.Ein DreieckABC ist beiB rechtwinklig. Es ist a = und AB = c = 6,5 cm. Wie 35302260
lang ist das der Mittelsenkrechten Hypotenuse,das durch die Schenkel
zur St303274ck
von a begrenzt wird ?
3.a) In einem gleichseitigenDreieckwird eine Seitein 3 gleiche Teile geteilt. Die
Teilpunkte werden mit der gegen303274berliegenden Ecke verbunden. In welche
Teilwinkelwird dadurch der zerlegt? 60302260-Winkel
b) In einem gleichschenkligen Dreieck,dessenBasiswinkel doppeltso sind gro303237
wie der Winkel an der Spitze,wird die Basis 3 gleicheTeile geteilt. Die
in
Teilpunkte werden mit der gegen303274berliegenden Ecke verbunden. In welche
Teilwinkel dadurch der Winkel an der Spitze?
zerf303244llt
4.Die Grundlinie a eines gleichschenkligenDreiecksmit dem Basiswinkel wird 303237
beiderseitsm den Schenkel esDreiecks
u d Die Endpunkte werden mit verl303244ngert.
der Spitzeverbunden.Wie lang sind die Seitendesneuen Dreiecks a = 35 mm; ?
0=69302260
18'.
5. Von einem stumpfwinkligen Dreieckist die Grundlinie c und der Winkel a
Der
bekannt. F der hc liegt auf der Verl303244ngerung von AB so, H303266he da303237
des Dreiecks c = 6 cm; =
Fu303237punkt
BF= AB. Berechnedie fehlenden
302243
I St303274cke oc 35302260.
6.Auf eine a Meterhohe Bretterwand fallen die Sonnenstrahlenunter dem Winkel a
gegen die Horizontale, d Meter vor der
Wand steht eine h Meterhohe Stange. Um
wie vieleMeter ragt der Schattender Stange
aus dem Schlagschattender Bretterwand
heraus, wenn die durch die Sonnenstrahlen
und die Stange bestimmte Ebene auf der
Wand senkrecht steht (Abb.2) ? a = 2;
h= 5 ; d =
Abb. 2 Ma303237stab
a=
1:3;
Zeichnung im
100.
32302260.
2

5. 7. Von einem h Meterhoch gelegenen
Fenster eines Hauses
sieht man die Spitzeeines
Turmes unter dem H303266henwinkel a, den desTurmes unter demTiefenwinkel Fu303237
303237.
Wie hoch ist der Turm und wie weit ist er vom Haus entfernt, wenn er mit diesem
auf der gleichenwaagrechtenEbenesteht ?
h = 9,95 m; a =
Me303237werte: ; = 19,2302260 303237
3,9302260.
8.1)Von einem Punkt A des Talgrundes aus erscheint ein Berghotel H unter dem
H303266henwinkel a, vom Punkt B desTalgrundes unter dem H303266henwinkel Wie hoch
dem Tal, wenn AB = s horizontal
303237.
liegt das Berghotel Ay By H in
303274ber
verl303244uft,
einer Lotebene liegen und die Augenh303266he des Beobachtersh betr303244gt?
s
Me303237werte:
= 295 m; = ; = h = m. <x 32,6302260 303237
23,4302260; 1,1
9.1)Ein Billard hat die Form eines Rechtecks ABCD.Eine Kugel K hat von der
BandeAB den Abstand x, von der BandeBCden Abstand y. Unter welchemWinkel
die Kugel an der Bande AB aufschlagen,damit ein in der Mitte des Billards
mu303237
stehenderKegel
a) nach einmaligerReflexionan der Bande AB,
b) nach Reflexionan der Bande AB und nachfolgenderReflexionan der BandeAD
getroffen wird?
AB = 2m; BC = 1,2m; = 0,4m; y = 0,6m; eichnung
x Z im Ma303237stab 1 :20!
^Breitformat! Gan2e Heftseite!
Anleitung: Spiegele Kegela) an der Bande AB b)
den an der Bande AD und das Spiegelbild
nochmals an ABl
10.1) man
Stellt einen Theodoliten an den eines Turmes, so das Fernrohr a Fu303237 da303237
Meter dem Bodenliegt, so sieht man das Gipfelkreuzeines Berges unter dem
a.
303274ber
H303266henwinkel Bringt man das Instrument in ein Fenster des Turmes, so das da303237
Fernrohr b Meter dem Bodenliegt, so erscheintdas Gipfelkreuzunter dem
303274ber
H303266henwinkel Wie hoch liegt das Gipfelkreuz
303237.
der durch den des 303274ber
Fu303237punkt
Turmes gehenden Horizontalebene?
a = 1,32; =
Me303237werte:
a b = 59,82; = 32302260
17'; 303237
2830226044'.
II.1)uf der h Meter
A dem Bodengelegenen Plattform A eines Aussichtsturmes
303274ber
wird ein Theodolit aufgestellt und die Spitze S eines Fernsehmastes anvisiert. Sie
erscheintunter dem H303266henwinkel a. Vom F desTurmes aus ist S wegeneines Fu303237
dazwischenliegenden Baumes nicht sichtbar. Geht man aber mit dem Instrument
von F aus b Meter in Richtung auf den Mast bis zum Punkt By so erscheintS unter
dem H303266henwinkel Die des Fernrohrs der Plattform bzw. dem
303237.
H303266he 303274ber
Erdboden ist a Meter.Berechnedie des Fernsehmastes, enn angenommen
w H303266he
werdendarf, A, F, B und S in einer Lotebene
da303237
liegen!
h = 59,4; b = 160 a = 1,32 a =
Me303237werte: ; ; = 19,2302260; 303237
42,6302260.
12.!) Berghotelliegt h Meter dem Spiegeleines Sees. Hotel aus sieht ein
Ein Vom 303274ber
Beobachtereine Wolke unter dem H303266henwinkel a, ihr Spiegelbild See im unter dem
Tiefenwinkel Welchesist die der Wolke dem Seespiegel ? H303266he 303274ber
h = 70,2; a =
303237.
Me303237werte:
= 58,1302260; 303237
61,2302260.
13.Ein Sandkasten hat die Form eines geraden, dreiseitigenPrismas, dessen
ein gleichschenkliges
Querschnitt Dreieckist mit der Basis1,2 und der
m 1,0 m. H303266he
l) Diese Aufgaben sollen dadurch gel303266st werden, da303237 2 Strecken als Unbekannte eingef303274hrt und 2 Gleichungen zu
ihrer Berechnung aufgestellt werden.
3

6. Er mit der ruht auf dem Basisfl303244che
Erdboden.Eine der Seitenw303244nde wird schr303244gen
von der Sonne beschienen, nd zwar so,
u da303237
die unter dem Winkel gegen die 35302260
einfallenden
Horizontale Sonnenstrahlendie
dreieckigen gerade streifend
Stirnw303244nde ber303274hren.
Zwischen Sonne und Kasten steht in 0,8 m
Entfernung von diesem (auf dem Boden
gemessen) eine hinreichend lange Bretterwand
von der 1,6 Wieviel % der
m. H303266he Fl303244che
der Seitenwandliegt im Schatten?
Abb. 3 Zeichnung im
schr303244gen
1 20 (Abb. 8)! Ma303237stab :
II.SchiefwinkligesDreieck
14. osinussatzmit
C Me303237werten
In den folgenden Aufgaben stellen die Streckenma303237zahlen gemesseneWerte mit 4 geltenden Ziffern
dar. Dann beachtet werden,
mu303237 auch die Quadrate dieser Ma303237zahlen nur mit 4 geltenden
da303237
Ziffern angegeben werden k303266nnen. Zu ihrer Berechnung benutzt man die Quadratwurzeltafel von
rechts nach links, gegebenenfalls mit Interpolation
Beispiel:
x2 = 6,0732+ 4,9182 2 6,073 4,918 cos - 342200242
-
342200242
4330226012'
6,0732= 36,88(Tafel!) log 2 0,3010
=
4,9182 24,19 (Tafel!) log 6,073 = 0,7834
~~Y = 61,07 =
log 4,918 0,6918
P = 43,54 log = 9,8627-10 cos..
x2 = 17,53 logP =-1,6389
x = 4,187 (TafelI) P = 43,54
Berechnedie fehlenden wenn gegeben ist: St303274cke,
a) b = 5,128km; c= 3,918 a=km; 6230226023'
b) a = 7,425km ; b = 6,203km; y = 47' 102302260
c) a = 63,32m; c= 79,46m; 303266l0^'
d)6= 2,728km; c = 3,155m; <x=
303237=
k 52,33302260
e) a = 3,245km; b = 4,375km; c = 5,514 km
f) a= 52,54m; b= 29,85m; c = 65,38m
g) a = 548,8m; b = 235,2m; c = 712,4m
15. In einem Kreis sind von einem Punkt P seinesUmfangs aus 2 Sehnen von der
7 cm und 5 cm eingetragen,welcheeinen Winkel von
L303244nge
einschlie303237en. Wie 23302260
ist der Radius desKreises
gro303237
?
16.n einem Dreieckist a = 58,5mm, b = 73,5mm und
I y
= 76,3302260. Wie lang sind die
Abschnitte, in welchedie Seitec durch die Winkelhalbierende wy zerlegt wird ?
17. (Vorpr303274fung 1962)
Von einem Feldweg zweigt in P ein unter einem Winkel von nach Fu303237weg
20302260
vorne rechts ab und nach 173 zu einem Punkt A. 141 nach der
m m
f303274hrt
in P geht von dem Feldweg im Punkt Q ein zweiter
Abzweigung
unter einem Fu303237weg
Winkel von nach vorne links ab zu dem von Q 60m entfernten Punkt B.Alle
50302260
4

7. drei Wege verlaufen geradlinig und befindensich in einer Ebene.Wie ist die gro303237
Entfernung d der beidenPunkte A und B ? (Winkel sind auf Minuten zu runden!)
18.n Abb.4 ergibt sich die rot gezeichneteStreckex durch eine leicht ersichtliche
I
Konstruktion aus den c, und Gr303266303237en oc
303237.
a) Stelle x als Funktion der gegebenen dar! Gr303266303237en
b) Berechnex c = 5 cm; = = f303274r oc 70,5302260; 303237
39,5302260.
c) Untersuchedie
La =60302260,
Spezialf303244lle
303237=30302260;
IL a=90302260; III. oc = 303237.
Abb. 5
19.n Abb.5 ergibt sich die Streckex durch Konstruktion
I aus den Gr303266303237en a und a.
a) Stellex als Funktion von a und dar! oc
b) Berechnex a = 5,25 cm! = f303274r oc 37302260 12'.
c) Untersuchedie = sowie = Spezialf303244lle
oc 30302260 oc 45302260!
20.DerTangenssatz
a) Zeige, da303237 zwischen2 Seitena und b und ihren Gegenwinkeln oc und 303237
die
Beziehung besteht
a+b
a b 342200224
tan
-^
a+
a-303237
303237
tan342200224/
._
Anleitung: Benutze die Sehnenbeziehungen o = 2 r sina und b = 2 r sin/9! 342200242 342200242
Bemerkung: DerTangenssatz eignet sich die Berechnung eines Dreiecks aus 2 Seiten und f303274r
dem eingeschlossenen Winkel. Ist beispielsweise o, 6 und y gegeben, so ist
a + = 90 Y 342200224-342200224
303237
342200224
342200224
.
Mithin sich (a und weil (a + bekannt ist,
l303244303237t a und berechnen. Der
342200224
303237), 303237)
schlie303237lich 303237
hat gegen303274ber
Tangenssatz dem Cosinussatz den Vorteil, durchgehend logarithmisch gerechnet da303237
werden kann. Seine Anwendung ist insbesondere dann am Platz, wenn lediglich nach den
Winkeln, nicht aber nach der fehlenden Seitegefragt ist.
b) Berechneein Dreieck a 59,23 aus b = 48,43m; y = m; = 42302260 54'.
c) Ebenso: a = 31,75 ; c = 53,20m;
m = 4130226038'.
d) Ebenso: b= 1,638 c= 2,635km; =
303237
km; oc 10730226020'.
e) Auf den Schenkeln des Winkels = werden vom Scheitel S aus zwei oc 35302260
Strecken und SBso abgetragen, SA = 2 SB.Wie
SA sind die Winkel da303237
342200242
gro303237
SABund SBA ?
f) Von einem Punkt P aus sieht man den Kirchturm K in der Richtung N E1) 53,5302260
und den trigonometrischen Punkt T in der Richtung S W. In welcher 12,2302260
Richtung erscheint von T aus der Kirchturm K, wenn PK =2,19 und km
PT= 3,05 km gemessen wurden?
l) E = Osten (von engl. east).
5

8. g) An einem Hang, dessenNeigung zu 16,5302260 wurde, steht ein 41,5
gemessen m
hoher Turm. Wie hoch steht die Sonne,wenn der genau hangaufw303244rts gerichtete
SchattendesTurmes zu 32,2 m bestimmt wurde ?
21. er Halbwinkelsatz
D
a) Best303244tige zun303244chst, Abb. 6 AD = s a und weiter tan
2
=s a
da303237 in -302243-
342200224-342200224
342200224
.
Zeige da303237 sich mit Benutzung der Formel F = g - s und der Heronischen
Formel schlie303237lich
ergibt:
a-(8-a)2 V
tanl^^--^7^
2 r 8-(s-b)
-C)
tan^V'303226-^
2 V 8 342200242
(302253
Abb. 6
Bemerkung: Der Halbwinkelsatz kann bei der Berechnung des schiefwinkligen Dreiecks im
Fall IV an die Stelle des Cosinussatzes treten, wenn die gegebenen Zahlenwerte eine
logarithmische Durchf303274hrung der Rechnung als ratsam erscheinen lassen.
b) Zeichne ein Dreieckmit den Seitenc = 5 cm; a = 3cm; b = 4,5cm!
Konstruiere den Inkreisund die 3 Ankreise 1 Berechnedie Radien der vier Kreise
sowiedie Winkel des Dreiecks! (Ganze Seite!)
c) Berechnedie Winkel eines Dreiecks den Seitena = 248,4m, b = 315,7
mit m
und c= 286,9m!
d) Berechnedie Winkel eines Dreiecks,wenn bekannt ist, a b = 4 und : 3:
b:c=3:41
da303237
Anleitung: Stelle eine fortlaufende Proportion her!
e) Leiteden Halbwinkelsatz rechnerisch,ohne jede Figur, aus dem Cosinussatzab!
Anleitung: Zeige zuerst, tan = cosg und ersetze cosa durch &2 + c2-a2 , *342226240
2bc da303237
342200224
2 f 1 + cosa
f) Um die EckendesDreiecks ABC sind Kreisegezeichnet,die sich paarweise
Berechnedie
ber303274hren. desvon ihnen gebildetenKreisbogendreiecks Fl303244che f303274r
a) a = 51 mm; b = 41 mm ; c = 58 mm;
b) a = 35 mm ; b = 53 mm; c = 66 mm.
22.Dier-Formeln
In den folgenden Formeln sind wichtige Dreiecksgr303266303237en
durch den Radius desUmkreises r und die
Winkel des Dreiecks ausgedr303274ckt. DieAusgangsbeziehungen die Ableitung dieser Formeln
f303274r
sind die Sehnenbeziehungen
a = 2 r sina 342200242
b = 2r sin/9
342200242
c=2r siny
342200242
Beweise:
a) ha = 2 r sin/? siny; hb = ?; 342200242
hc = ?
b) F = 2 r2 sina sin/? siny; 342200242
a
c) s = Ar cos cos-j-cos ;
a y
-y
342200224
303237
6

9. * f-^= ?
d) s a = 4 r cos sin
j a y
sin -y; ?;
342200242
303237
342200224 342200224 -302243-
3422262406=
e) ^ = 4 r sin y sin y sin ; -302243-
a
f) Qa = 4 r sin Y cos 2 cos 2 342200224
342204242
-302243-
Qb
= ?; Qc=?
sin/9 siny
g) wa=2r cosJ (0-y) = W303237
?342200242
Wy
= P
1 J_ J_
23 Zeige: ) F2 = q
a ga gb' 342200242
b) 1_
24. Dreiecksberechnungen
Die kann einer eventuell m303266glichen Konstruktion folgen. Eine rein rechnerische
L303266sung
ergibt sich meist durch Benutzung der r-Formeln von Aufgabe 22.
Behandlung
Berechnedie fehlenden Seiten und Winkel sowie die Fl303244che des Dreiecks, enn w
gegebensind:
a) r = 4 cm; a= 65302260
j
b) r = 3,5 cm ;
/S=54302260
hb = 4,5 cm;
c) ha :h = 4 :3 ;
y=59302260
= 2<x; =
d) c = 5,8 cm;
303237
r = 3,5 cm;
r
a - 4cm
= 303237
32302260
a+
Hinweis:
e) a : r = 3 :2 ;
Es l303244303237t sich y und damit
ha
a=
= 6cm;
303237
berechnen.
y
-= 303237
30302260
f) 303237=2cm; 0=62302260
=
49302260;
g) 2?= 1dm2; y 58302260
h) = 5 cm;wy a=
302243=65302260;
32,5302260; y
=
= 4 cm; a=
63,5302260
i) Aa 40302260
k) a 4- b = 9 cm;
0=45302260
a= 45302260
1) c a = 1,5cm;
/?=56302260
342200224
80302260
y
= 64302260
m)a 4- 6 4- c = 12cm; /? =
303237=
a=78302260 46302260
n) c = 6cm; a b = 2cm; a-/3=
-
342200224
30302260
o) a = 5cm;
p) c = 6cm;
q) a :6 = 7 :3 ;
y
a:b=
60302260;
5:3; g:r=2:5
= cm
a-/?=26302260
2,5
302253:/J-3:l; hc
r) Beweise Mollweideschen Formeln1)
die
COS~ 302253-/? . *-303237
a+6 a ~b _ Sm~^~
"5 c
C y
sin
-302243- cosy
und benutze eine dieserBeziehungenin Verbindung mit dem Tangenssatzzur
Berechnungder Seitec, wenn b = 3,225km; a = 5,575km und y = 48'1 70302260
s) 1961,
(Vorpr303274fung
Von einem Dreieck ABC ist gegeben: = 10,5cm, =
c y
gek303274rzt.)
60302260,
:
a b = 3 8. :
a) Berechnedie Seitena und 6, die ha, den Winkel a H303266he und die Entfernung
des Inkreismittelpunktes vom Punkt A1
b) Berechnedie des Umkreisbogens
zwischenA L303244nge
und C, der B nicht
enth303244lt!
0 Mollweide, Astronom, 17753422002241825.
7

10. 25.Durch den Mittelpunkt
desInkreises esDreiecks
d ABC ist zu AB = c die Parallele
SieschneidetAC in X und BCin Y. Zeige,
gezogen. die z der da303237 f303274r
L303244nge
Transversalen XY gilt:
2 ~
_ 1.
2
cos342200224-342200224
2
cos2 cos 0 2
<x
342200224 342200224
Berechnesodannz a) c = 6cm;a = = b) c = 5cm;a = /? = f303274r
303237
60302260; 74302260;
59302260.
26.Gegebendas gleichschenklige DreieckABC mit der Grundlinie AB = c und dem
Winkel y an der Spitze.Durch den Mittelpunkt der hc wird zur Grundlinie H303266he
AB die Parallelegezogen. schneidetden Umkreis des Dreiecks
Sie ABC in den
Punkten X und Y. Zeige, die s der SehneXY gilt: da303237 f303274r
L303244nge
+
tV302273
sinV/2
Berechnesodann s f303274r
a) ein gleichseitiges Dreieck AB = 6 cm!
mit
b) c = 4 cm; y = 40302260.
27. In einem gleichschenkligen Trapez sind die Schenkel ebensolang wie die
a. Au303237erdem ist Winkel BAC = a.
Grundlinie
a) Berechnedie desTrapezes! Fl303244che
b) Zeige, der prozentuale Anteil der an der des Fl303244che
-^!
da303237
Trapezfl303244che
umbeschriebenen Kreises sin3a % 1 welches Trapez nimmt dieser betr303244gt
F303274r
Prozentsatzseinen Wert an und wie ist dieser
? gr303266303237tm303266glichen gro303237
28.Die Seitenhalbierende im Dreieck
Beweise, da303237 f303274r die L303244nge
der Seitenhalbierendenc einesDreiecks den Seiten
s mit
a, b und c gilt:
Sc =
^y2a2+ 2&2-c2
Anleitung: Setzein den beiden Teildreiecken f303274r o und b jeweils den Cosinussatz an und addiere
beide Gleichungen!
29.Die Winkelhalbierende im Dreieck
a) Beweise it Hilfe des Sinussatzes, eine Dreiecksseite der Halbierenden
m von da303237
des Gegenwinkelsim der anliegendenSeitengeteilt wird! Verh303244ltnis
b) Berechnedie Teilabschnittem und n aus den SeitendesDreiecks 1
c) Zeige, die der Winkelhalbierenden wY gilt:
da303237 f303274r
L303244nge
wY
= b (a 4- b 4- c) (a 4- b c)
-
Anleitung: Setzein den beiden Teildreiecken o und b jeweils den Cosinussatz an und f303274r
eliminiere das Glied mit wy durch Addition der beiden Gleichungen nach vorhergehender
o!
' Multiplikation
d) Beweise ie Formel
d
mit b bzw.
wv = a
Y
,
lab cos-^-
+br y 2
_
Anleitung: Setze f303274r m und n jeweils den Cosinussatz an und beachte, da303237
wegen m:n= b:a
die Beziehung o2 m2 = b2 n2 besteht!
8

11. e) Auf dem einen Schenkeleines 60302260-Winkels wird die StreckeSA = 6 cm, auf
seiner Winkelhalbierenden die Strecke = 4 cm abgetragen.AB schneidetden
SB
freien Schenkeln C.Zeige, SC = (2 + 3 y3~)!
i da303237
f303244
30.Das Sehnenviereck
a) Zeige, da303237 f303274r die Diagonale e = AC einesSehnenvierecks
gilt:
2_ (ad + bc) (ac+ bd)
ab + cd
Anleitung: Setze f303274r die Diagonale e zweimal den Cosinussatz an und eliminiere 303237
b) Berechne die Winkel einesSehnenvierecksaus den vier Seiten a = 104 mm;
b = 56mm; c = 49mm; d = 39mm I
c) Beweise Satz des
den Ptolem303244us:
Im Sehnenviereck ist das Rechteck aus den Diagonalen gleich der Summe der Rechtecke
aus je%wei Gegenseiten.
d) Zeige, da303237 f303274r die Fl303244che des Sehnenvierecks
gilt:
F -V(7^i =
302273)(302253- -&)(302273- -c)(302253- -<*)
wobei 2s=a+b+c+dy und berechne 2? f303274r a = 60mm ; b = 33mm;
c= 25mm; d = 16
mm.
Anleitung: Wende auf die Diagonale e wieder zweimal den Cosinussatz an und eliminiere
diesmal el Welcher Ausdruck ergibt sich cos/9? etzesodann die
S desVierecks additiv aus f303274r Fl303244che
zweier Teildreiecke zusammen und beachte,
den
sin/9
Fl303244chen
= y'l - cos2/? = |/(i+cosjS)(l-cos/5)
da303237
31.
Das H303266henfu303237punktdreieck
DieSeiten eines Dreiecks BC sind a, 6,c,seine Winkel a,
A
303237t yt seine Fl303244che F.A B C seien die Fu303237punkte der
H303266hen hat hf302273 hc (Abb. 7).
a) Berechne jede SeitedesDreiecks BC die
A f303274r
beidenAbschnitte, in diesiedurch den H303266hen-
zerlegt wird 1
fu303237punkt
b) Zeige, jedes der DreieckeAC'B BC'A
da303237
CA'B'zum DreieckABC ist! 303244hnlich
A C
c) Berechne Winkel und Seiten des H303266henfu303237-
Abb.
303237
punktdreiecksund den Satz: best303244tige
Die Dreiecks die Winkelhalbierenden seines
sind
H303266hen eines
d) Zeige, die F'desH303266henfu303237punktdreiecks gilt:
da303237 f303274r Fl303244che
H303266henfu303237punktdreiecks.
F' = 2 F cosacos/S cosy
32.Auf dem einen Schenkel esWinkels a mit dem ScheitelS wird die Strecke = s
d SA
abgetragen. Derandere Schenkel ird vom Kreis um S mit dem Radius SA in B
w
und vom Halbkreis SA als Durchmesser C geschnitten.Es entsteht einevon
in 303274ber
der StreckeCBund den beidenBogenAB und AC begrenzte Figur. klauenf303266rmige
Zeige, den Umfang u und die
da303237 f303274r
/ dieserFigur gilt: Fl303244che
u = s (2 arca cosa +1) / = 82 (2 arca sin 2a) 342200224 342200224 342200224
o
Berechneu und / speziell s = 6cm und a = f303274r 70302260!
9