3. El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonio de Perga, Cónicas, en el
cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al intersecar un cono cualquiera por
un plano. Previamente a este trabajo existían estudios elementales sobre determinadas
intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndose
elipses, parábolas o hipérbolas según fuese el ángulo superior del cono, agudo, recto u
obtuso, respectivamente. Si bien no disponía de la geometría analítica todavía, Apolonio
hace un tratamiento de las mismas que se aproxima mucho al de la geometría analítica.
Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta que
Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la geometría analítica,
retomaron el problema llegando a su casi total estudio, haciendo siempre la salvedad de
que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto impone.
La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en
situaciones reales:
La órbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante es una
parábola. Así, la línea que describe cualquier objeto móvil que es lanzado con una cierta
velocidad inicial, que no sea vertical, es una parábola.
Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad no es constante: depende de la
distancia del punto al centro de la Tierra. En realidad la curva que describe un objeto
móvil (si se ignora el fricción del aire) es una elipse que tiene uno de sus focos en el
centro de la Tierra.
4. Pre prueba:
1. Encuentra la ecuación de la parábola que cumple las
siguientes condiciones.
a. Foco en ( 3,0) y vértice en el origen.
1
b. Foco en 0 , − y vértice en el origen.
17
( )
c. Pasa por 5 ,10 y abre hacia arriba
y vértice en el origen.
d. La directriz es y = −2 y vértice
en el origen.
e. Pasa por el punto ( 2,3) y la directriz
es x = 3.
5. 2. Encuentra la ecuación de la gráfica ilustrada .
a. b. 4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
x 2 = 4 py y 2 = 4 px
( 4) 2
= 4 p( 2) ( 4) 2
= 4 p( 2)
p=2 p=2
6. Objetivos:
Definir la figura de una parábola.
Encontrar las ecuaciones canónicas o estandar
de las parábolas.
Trazar gráficas de las parábolas.
7. Las figuras cónicas se pueden general mediante
la intersección entre un cono y un plano.
8. Parábolas
Definición:
Una parábola es el conjunto de puntos en el plano para
los cuales la distancia desde un punto de la parábola a
un punto fijo llamado el foco es igual a la distancia
desde el punto hasta una línea fija llamada la directriz.
Ecuación: d(F, P) = d(P, D)
Directríz
11. La ecuación de la parábola será: D1 = D2
D1 = D2
( x − 0)2 + ( y − p )2 = ( x − x )2 + ( y − ( − p))2
x 2 + ( y − p )2 = ( y + p )2
x 2 + y 2 − 2 yp + p 2 = y 2 + 2 yp + p 2
x 2 − 2 yp = 2 yp
x 2 = 4 yp
x = 4 py
2
12. Teorema 1:
La ecuación de una parábola con vértice en el origen,
foco en (0, p) y directriz y = – p es,
x 2 = 4 py
La línea que divide la parábola en dos partes
simétricas se llama el eje de simetría.
De igual manera podemos encontrar la ecuación de
una parábola con vértice en el origen y foco en (p,0).
Teorema 2:
La ecuación de una parábola con vértice en el
origen, foco en (p, 0) y directriz
x = – p es, = 4 px .
y2
13. Encuentra el vértice, el foco, el eje de simetría y traza
la gráfica de cada parábola.
1. y = 2 x 2
Solución
2 . y = .5 x 2
Solución
3. x = 2 y 2
Solución
1 2
4. x = y Solución
4
4 2
5. x = y Solución
9 2
6. − 2 y = x Solución
14. 1. y = 2 x 2
Vértice V ( 0, 0 )
1
y=x 2
1
2 Foco F 0, ÷
8
1 1
4p = Directriz y=−
8
2
1 Eje de simetría
p=
8 Eje de y; x = 0
p > 0 abre hacia arriba
15. y = 2x2 4
y
x y
3
0 0
(– 1,2)
2 (1,2)
1 2
1
-1 2 1
F 0, ÷ x
-4 -3 -2
-1 8 1 2 3 4 5
(0,0)
-1
Vértice: V (0, 0)
1 -2
Foco: F 0, ÷
8
-3
1
Directriz: y=−
8 -4
Ejercicios
16. 2. y = .5 x 2
Vértice V (0, 0)
2y = x 2 1
Foco F 0, ÷
2
1
4p = 2 Directriz y=−
2
1 Eje de simetría
p=
2 Eje de y
p > 0 abre hacia arriba
17. y
y = .5 x 2 4
x y
3
0 0
2
1
1 .5 F 0, ÷
1 2
(– 1,.5) (1,.5)
–1 .5 x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
(0,0)
-1
Vértice: V (0, 0)
-2
1
Foco: F 0, ÷
2 -3
1
Directriz: y = −
2 -4
Ejercicios
18. 3. x = 2 y 2
Vértice V (0, 0)
1
x= y 2
1
2 Foco F ,0÷
8
1 1
4p = Directriz x=−
8
2
1 Eje de simetría
p=
8 Eje de x
p > 0 abre hacia la derecha
19. x = 2y 2
y
4
x y
3
0 0
2
2 1
1 (2,1)
2 -1 1
(0,0) F ,0÷ x
-4 -3 -2 -1 1
8 2 3 4 5
Vértice: V (0, 0) -1
(2, – 1)
1
Foco: F , 0 ÷ -2
8
1 -3
Directriz: x=−
8
Ejercicios -4
20. 1 2
4. x = − y
4 Vértice V (0, 0)
−4 x = y 2 F ( −1, 0 )
Foco
4 p = −4 Directriz x =1
Eje de simetría
p = −1
Eje de x
p < 0 abre hacia la izquierda
21. 1 2
x=− y y
4 4
x y
3
0 0 (– 1,2)
2
–1 2 x =1
1
–1 –2 F ( −1, 0 ) x
(0,0)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
Vértice: V (0, 0) -1
Foco: F ( −1, 0 )
-2
(– 1, – 2)
-3
Directriz: x =1
-4
Ejercicios
22. 4 2
5. x = y
9 Vértice V (0, 0)
9
x= y 2
9
4 Foco F ,0÷
16
9 9
4p = Directriz x=−
16
4
9 Eje de simetría
p=
16 Eje de x
p > 0 abre hacia la derecha
23. 4 2
x= y
9 4
y
x y
3
(4,3)
0 0
9 2
x=−
4 3 16
1
9
F ,0÷
4 -3 (0,0) 16 x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
Vértice: V (0, 0) -1
9
Foco: F ,0÷ -2
16
-3
(4, – 3)
Directriz:
9
x=− -4
16 Ejercicios
24. 6. − 2 y = x 2
Vértice V (0, 0)
−2y = x 2 1
Foco F 0, − ÷
2
1
4 p = −2 Directriz y=
2
1 Eje de simetría
p=−
2 Eje de y
p < 0 abre hacia abajo
25. −2 y = x 2
4
x y 3
0 0 2
1
–2 –2 1 y=
2
V ( 0, 0 )
2 –2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
Vértice: V (0, 0) 1
( −2, −2) F 0, − ÷ ( 2, −2)
-2 2
1
Foco: F 0, − ÷ -3
2
1
Directriz: y =
-4
2
