Materi Statistika

1. PENGUJIAN HIPOTESIS
Hipotesis statistik adalah asumsi atau pernyataan mengenai satu atau lebih populasi.
Hipotesis nol (H0) adalah hipotesis yang dirumuskan dengan harapan akan ditolak.
Hipotesis alternatif (H1) akan muncul akibat penolakan hipotesis nol. Hipotesis bisa benar
atau salah. Bila semua data mendukung hipotesis tersebut baru dapat dikatakan benar. Bila
ada satu saja yang tidak mendukung, maka hipotesis tersebut salah, sehingga kita menolak.
Penolakan suatu hipotesis berarti menyimpulkan hipotesis tersebut salah, penerimaan
hipotesis semata-mata mengimplikasikan bahwa kita tidak punya bukti untuk mempercayai
sebaliknya. Apabila kita menolak berarti hipotesis tersebut adalah salah dan apabila kita
menerima belum tentu hipotesis tersebut benar. Namun ada kalanya kita menerima
walaupun hipotesis tersebut sebenarnya salah atau menolak padahal hipotesis tersebut
ternyata benar.
Satu-satunya jalan untuk memperkecil kesalahan adalah dengan memperbanyak
contoh.  dapat ditentukan, bisa 0,05 dan 0,01 (R.A Fisher), dan yang lebih penting dalam
menentukan  adalah resiko ketelitian yang akan diperoleh.
Pengujian rerata populasi
Pengujian nilai tengah  dapat dikerjakan dengan asumsi ragam ² diketahui. Contoh
acak berukuran n, x1, x2, x3, …, xn diambil dari populasi menyebar normal X~N(,²).
Kita ingin menguji hipotesis bahwa nilai tengah populasi  sama dengan nilai tertentu 0
lawan hipotesis alternatifnya bahwa nilai tengah populasi lebih dari, kurang dari atau tidak
sama dengan 0.
Hipotesis yang akan diuji akan berupa:
a. Ho :  = 0 lawan H1 :  > 0
b. Ho :  = 0 lawan H1 :  < 0
c. Ho :  = 0 lawan H1 :   0
Dua uji hipotesis pertama disebut uji satu arah, karena hipotesis tandingan hanya ada
pada satu arah dari Ho. Pengujian hipotesis yang ketiga disebut uji dua arah, karena
hipotesis tandingan ada pada dua arah Ho yaitu  lebih kecil atau lebih besar dari 0 .

2. Langkah-langkah pengujian hipotesis rata-rata:
1. Nyatakan hipotesis nol-nya bahwa Ho :  = o
2. Pilih hipotesis alternatif H1 yang sesuai antara  < o,  > o atau  
3. Tentukan taraf nyatanya /2
4. Pilih statistik uji yang sesuai, apakah z, t, λ² atau F dan kemudian tentukan wilayah
kritiknya
5. Hitung nilai statistik uji berdasarkan contohnya
6. Keputusan : tolak Ho bila nilai statistik uji tersebut jatuh dalam wilayah kritiknya,
sedangkan bila nilai itu jatuh diluar wilayah kritiknya terima Ho. Uji dikatakan nyata bila
ditolak pada taraf nyata 0,05 dan dikatakan sangat nyata bila ditolak pada taraf nyata 0,01
Uji satu arah, (² atau ) diketahui
Contoh Soal:
Hasil pengamatan jumlah polong kacang panjang adalah 16 dengan varian 2,3.
Saudara tidak percaya dan melakukan pengamatan terhadap 20 tanaman, ternyata diperoleh
rata-rata 16,9. Patutkan hasil pengamatan tersebut dipercaya? Ujilah dengan taraf 0,05%
Jawab:
– Ho :  = 16, berarti rata-rata polong paling tinggi 16
– H1 :  > 16, berarti pengamatan lebih dari 16
– Z hit = (x - 0)/(/n) = (16,9-16)/(2,3/20) = 2,65
– Dari tabel normal diperoleh 1,64
– Karena z hit terletak diluar wilayah kritis Z tabel, maka tolak Ho atau terima H1.
Berarti pengamatan sdr layak dipercaya dan jumlah polong memang > 16

3. Uji satu arah, (² atau ) tidak diketahui
 Bila ² tidak diketahui, maka diduga dari simpangan baku contoh (s)
 Gunakan uji t
- t = (x - 0)/(s/n)
 t berdistribusi Student dgn db n-1
 Gunakan tabel t
Contoh Soal:
Penyemprotan GA3 dapat menambah bobot mentimun 4,5 g. Dari contoh 31 buah mentimun
mempunyai rata-rata 4,9 g dan simpangan baku 0,8 g. Dengan taraf 0,01, layakkah sdr
menerima pernyataan bahwa pertambahan rata-rata bobot mentimun minimal 4,5 g?
Jawab:
– Ho :  = 4,5, berarti GA3 menambah bobot rata-rata 4,5 g
– H1 :  > 4,5, berarti GA3 meningkatkan bobot minimal 4,5 g
– t hit = (x - 0)/(s/n) = (4,9-4,5)/√(0,8/31) = 2,78
– Dari t tabel pada db=30 diperoleh 2,46
Karena t hit terletak diluar wilayah kritis t tabel, maka tolak Ho atau terima H1. Berarti
pemberian GA3 sungguh dapat bobot minimal 4,5
Uji Dua Arah satu populasi, varian pop (² atau ) diketahui
Rerata hasil panen pertama duku adalah 8 kg tanaman dengan simpangan baku 0,5 kg.
Ujilah hipotesis bahwa µ = 8 kg lawan alternatifnya µ≠ 8 kg, apabila dari contoh acak 50
tanaman duku diperoleh rerata hasil panen sebesar 7,8 kg. Gunakan taraf nyata 0,01.
Jawab:
1. Ho :  = 8 kg, berarti rerata hasil panen adalah 8 kg
2. H1 :   8 kg, berarti rerata hasil panen kurang atau lebih dari 8 kg
3. Taraf nyata  = 0,01

4. 4. Karena α = 0,01, maka 1-α = 0,99 sehingga apabila dilihat di tabel normal, (Ztabel) /
Z0,495 = 2,545. Dengan demikian wilayah kritik adalah -2,545 s/d 2,545. Karena uji
hipoesis dua arah.
5. Karena (σ2) diketahui, maka gunakan uji Z, dengan rumus z = ( x bar - µ0 )/ (σ/√n ).
Apabila x bar = 7,8 kg dan n = 50, maka z= (7,8-8)/ (0,5/√50) = -2,83
6. Nilai -2,83 ternyata terletak disebelah kiri batas kiri wialyah kritik -2,545, maka
keputusan yang tepat adalah menerima H0. Dengan kata lain rerata hasil panen memang
≠ 8.
Uji Dua Arah satu populasi, varian pop (² atau ) tidak diketahui
Masa pakai lampu adalah 800 jam. Uji terhadap 50 lampu, diperoleh rata-rata 792 jam dan
simpangan baku contoh 55 jam. Ujilah dengan taraf 0,05 apakah kualitas lampu berubah?
Jawab:
 Ho :  = 800 jam, berarti masa pakai lampu 800 jam
 H1 :  ≠ 800 jam, berarti masa pakai berubah bukan 800 jam
 t hit = (x - 0)/(s/n) = (792-800)/(55/√50) = - 1,029
 Lihat tabel t dengan taraf 0,05 dan db=49 dan diperoleh t =2,01.
 Karena uji 2 arah maka, maka apabila t hitung terletak antara -2,01 sampai 2,01, maka
H0 akan diterima.
 Ternyata t hit terletak didalam wilayah kritis, maka H0 diterima atau rata-rata masa pakai
lampu memang 800 jam.
UJI BEDA 2 RATA-RATA
Sering dipakai untuk penelitian. Untuk membedakan rata-rata 2 populasi (atau 2
perlakuan). Karena ada 2 populasi, maka juga ada 2 simpangan baku. Pengujian juga bisa dua
arah dan satu arah. Apabila 1= 2 dan nilainya diketahui, (misal = ), gunakan statistik Z.
Apabila 1= 2 dan nilai tidak diketahui, gunakan statistik t. Apabila 1≠ 2 dan nilainya
tidak diketahui, gunakan statistik t’ (atau statistik untuk simpangan baku tidak sama).

5. Contoh Soal:
Hasil pengamatan jumlah buah dari 2 varietas tomat adalah sbb. Varietas A terdiri 11
tanaman dan varietas B 10 tanaman. Dalam taraf α=0,05, tentukan apakah kedua populasi
(varietas) tersebut sama atau tidak?
Jawab :
– Hitung rata-rata XA =3,22 dan XB=3,07
– Hitung ragam contoh S²A= 0,1996 dan S²B =0,1112
– Hitung s gabunga s = 0,397
– Setelah ketemu semua, masukkan kedalam rumus uji t.. Setelah dihitung ketemu t
=0,862
– Nilai t0,975 dengn db 19 dari t student adalah 2,09, sehingga wilayah penerimaan Ho
adalah antara -2,09 sampai 2,09
Kesimpulan terima H0 atau kedua varietas tersebut tidak berbeda nyata.
(11 – 1) 0,1996 + (10 – 1) 0,1112
S2 = ------------------------------------------------- = 0,1576
11 + 10 - 2
s = 0,397
(3,22 – 3,07)
t = ------------------------------------ = 0,862
[ 0,397 √ (1/11 + 1/10) ]
A 3,1 3 3,3 2,9 2,6 3,0 3,6 2,7 3,8 4,0 3,4
B 2,7 2,9 3,4 3,2 3,3 2,9 3 2,6 3,7 3,7

6. Uji Varian
Pengujian tentang ragam populasi
Pengujian hipotesis nol bahwa ragam populasi ² sama dengan nilai tertentu 0²
lawan salah alternatif ² < 0², ² > 0², ²  0². Jika sebaran populasi yang dimbil
contohnya menghampiri normal, nilai khi-kuadrat bagi pengujian ² = 0² diberikan menurut
rumus :
(n-1) s²
 χ² = -------------
0²
Sebagaimana uji rata-rata, pada uji varian juga terdapat uji dua arah dan satu arah.
Digunakan statistik Chi-kuadrat (χ²).
Contoh Soal:
Sebuah perusahaan benih mengatakan bahwa masa viabilitas benih yang diproduksinya
mempunyai simpangan baku 0,9 tahun. Bila suatu contoh acak 10 benih menghasilkan
simpangan baku s = 1,2 tahun, apakah menurut sdr  >0,9 tahun? Gunakan taraf nyata 0,05.
Jawab:
 Ho : ² = 0,81
 H1 : ² > 0,81
  = 0,05
 Dari gambar, Ho ditolak bila χ² > 16,919
 Perhitungan s² = 1,44 dan n = 10, maka
χ² = (9) (1,44)/0,81 = 16,0
 Keputusan : terima Ho , tidak ada alasan untuk meragukan bahwa simpangan
bakunya adalah 0,9 tahun.

7. HUBUNGAN ANTAR SIFAT
Hubungan antara dua atau lebih sifat (variabel) sering dipelajari dengan analisis
regresi dan korelasi. Regresi adalah bentuk hubungan antar variabel, sedang korelasi adalah
keeratan hubungan antar variabel. Antara analisis regresi dan korelasi sebenarnya merupakan
dua hal yang terpisah, namun karena ada kesamaan rumus-rmusnya, maka dibicarakan
bersama.
• Regresi : hubungan antara 2 (atau lebih) peubah x dan y, y merupakan fungsi x, y
sebagai peubah tak bebas dan x sebagai peubah bebas.
• Korelasi : hubungan antara 2 peubah (atau lebih), dimana yang dibicarakan berupa
derajad asosiasi (kesesuaian) linier. X dan y merupakan peubah bebas
REGRESI
an + b Xi = Yi
a Xi + b Xi² = XiYi
Dari dua persamaan normal diatas akan diperoleh koefisien regresi b
XiYi -[(Xi)( Yi)]/n
b = --------------------------------- atau
Xi² - (Xi)²/n
(Xi -X)(Yi-Y) xi yi
b = ------------------------ = ---------------
(Xi -X) xi

8. Dari rumus itu pula diperoleh nilai intersep a
a = Y - bX
Dengan demikian a dan b masing-masing telah diketahui dan persamaan regresinya menjadi
y = a + bx
X (Dosis pupuk
dlm 50 kg/ha)
Y(Produksi padi) X2 XY Y2
0 2 0 0 4
1 4 1 4 16
2 7 4 14 49
3 9 9 27 81
4 8 16 32 64
Jumlah : 10 30 30 77 214
Berdasarkan rumus koefisien regresi
XiYi -[(Xi)( Yi)]/n 77-{(10)(30)}/5
b = --------------------------- = ------------------ = 1,7
Xi² - (Xi)²/n 30 - (10)2/5
dan a = 30/5 - 1,7 (10/5) = 2,6
Jadi penduga untuk persamaan regresinya adalah y = 2,6 + 1,7x

9. KORELASI
Sebagaimana pada analisis regresi, pada korelasi juga terdapat pasangan data (xi , yi)
dimana i = 1, 2, 3, …, n.Bedanya y dan x tak ada hubungan sebab akibat atau saling bebas
sesamanya. Dengan demikian korelasi hanyalah merupakan keeratan hubungan antara y dan
x.
Rumus koefisien Korelasi:
XiYi -[(Xi)( Yi)]/n
• r = ---------------------------------------------
√ [Xi² - (Xi)²/n] [Yi² - (Yi)²/n]
Besarnya reliabilitas r sangat tergantung pada besarnya contoh n. Jadi untuk r = 0,6 dari
contoh n =10 tidak sama dengan r = 0,6 dari contoh n = 100. Reliabilitas ataupun presisi r
makin bertambah dengan makin bertambahnya ukuran contoh.
Uji Hipotesis r adalah:
Ho : r = 0, (berarti tak ada hubungan linier antaya x dan y)
H1 : r  0, (berarti ada hubungan linier)
t hitung dihitung dengan rumus :
r √n-2
• t hit = ----------------
√ (1-r2)
Hasilnya dibandingkan dengan ttabel (α/2, n-2), bila I t hit I ≥ t tabel Ho ditolak yang berarti
ada korelasi nyata antara x dan y.
Contoh Soal:

10. X (Dosis pupuk
dlm 50 kg/ha)
Y (Produksi
padi)
0 2
1 4
2 7
3 9
4 8
5 10
6 10
7 11
Hitung nilai korelasinya. Uji tingkat nyata pada taraf 5 % dan 1% .Cara : hampir sama
dengan regresi. Dari rumus dibawah diperoleh
XiYi -[(Xi)( Yi)]/n
• r = -------------------------------------------- = 0,9321
√ [Xi² - (Xi)²/n] [Xi² - (Xi)²/n]
Jawab:
Dari rumus uji hipotesis korelasi diperoleh
r √n-2
• t hit = -------------- = 6,3035
√(1-r2)

11. Untuk db = 6 nilai t0,05 = 1,943 dan t0,01 = 1,440 t hitung lebih besar dari t tabel, maka
terdapat korelasi sangat nyata antara dosis pupuk dengan hasil padi.