Dokumen tersebut membahas tentang integral fungsi rasional. Secara singkat, dibahas bahwa untuk menghitung integral fungsi rasional yang sebenarnya, fungsi tersebut harus diubah menjadi bentuk pecahan sederhana terlebih dahulu, dengan mempertimbangkan bentuk penyebutnya. Kemudian diberikan contoh perhitungan integral fungsi rasional tertentu beserta penjelasan langkah-langkah penyelesaiannya.

1. INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
2009
INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
Jika deketahui suatu fungsi F ( x) =
f ( x)
dimana f(x) dan g(x) merupakan polinom (suku
g ( x)
banyak) maka fungsi F(x) disebut sebagai fungsi pecahan rasional. Jika derajat dari f(x)
lebih kecil daripada derajat g(x), maka F(x) disebut fungsi rasional sebenarnya (proper
rational function), sebaliknya jika derajat dari f(x) lebih besar daripada derajat g(x), maka
F(x) disebut fungsi rasional tak sebenarnya (improper rational function).
Suatu fungsi rasional tak sebenarnya selalu dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari
suatu polinom dan suatu fungsi yang sebenarnya dengan melakukan operasi pembagian
biasa.
Misalnya,
x
x3
x( x 2 + 1) − x
x( x 2 + 1)
x
=
=
− 2
= x− 2
2
2
2
x +1
x +1
x +1
x +1
x +1
Untuk menghitung integral fungsi pecahan rasional yang sebenarnya, harus diusahakan
fungsi tersebut sebagai fungsi penjumlahan pecahan sederhana (partial fraction), dimana
penyebutnya berbentuk (ax + b)n atau (ax2 + bx + c)n, dengan n bilangan bulat positif.
Bentuk dari pecahan sederhana tersebut tergantung pada faktor g(x), penyebut fungsi
tersebut.
Beberapa bentuk kasus g(x) adalah sebagai berikut :
1. Faktor-faktor linier yang berbeda
Bentuk g(x) adalah :
g(x) = (a1x + b1)(a2x + b2)…(anx + bn).
dengan bentuk g(x) tersebut, maka F(x) dapat dibentuk seperti berikut :
F ( x) =
An
A1
A2
+
+ ... +
a1 x + b1 a 2 x + b2
a n x + bn
2. Faktor-faktor linier yang berulang
Jika pada g(x) terdapat (ax + b) berulang sebanyak m kali, misalnya
g(x) = (ax + b)m, maka
Writing by FIDA@T.Informatika ‐ UMP
Halaman 1

2. INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
F ( x) =
2009
Am
A1
A2
+
+ ... +
2
ax + b (ax + b)
(ax + b) m
3. Faktor kuadrat yang berbeda
Dalam kasus ini, g(x) berbentuk
g(x) = (a1x2 + b1x + c1) (a2x2 + b2x + c2) ... (anx2 + bnx + cn)
maka F ( x) =
An x + Bn
A1 x + B1
A2 x + B2
+
+ ... +
2
2
a1 x + b1 x + c1 a 2 x + b2 x + c 2
a n x 2 + bn x + c n
4. Faktor kuadrat yang berulang
Jika terdapat faktor kuadrat yang berulang m kali pada g(x), misalnya g(x) = (ax2
+ bx + c)m, maka :
F ( x) =
Am x + Bm
A1 x + B1
A2 x + B2
+
+ ... +
2
2
2
(ax + bx + c) (ax + bx + c)
(ax 2 + bx + c) m
Contoh :
1. I = ∫
x3
dx
x2 +1
Pada inregral ini, integrand merupakan fungsi rasional tak sebenarnya, dan
berdasarkan pada yang telah dibahas di atas, maka
x ⎞
x3
x
1 2
x
⎛
∫ x 2 + 1 dx = ∫ ⎜ x − x 2 + 1 ⎟ dx = ∫ x dx − ∫ x 2 + 1 dx = 2 x − ∫ x 2 + 1 dx
⎝
⎠
untuk menyelesaikan
∫x
2
x
dx digunakan metode substitusi, yaitu misalnya
+1
u = x2+1, maka du = 2x dx, sehingga dx =
dengan demikian,
=
∫x
2
x
dx
+1
x du
=∫ .
u 2x
du
2x
=∫
du
2u
=
1 du
2∫ u
=
1
ln u + C
2
1
ln x 2 + 1 + C
2
1
1
x3
1
x
dx = x 2 − ∫ 2
dx = x 2 − ln x 2 + 1 + C
Jadi ∫ 2
2
2
2
x +1
x +1
Writing by FIDA@T.Informatika ‐ UMP
Halaman 2

3. INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
2. I =
∫x
(x + 1)
2
− 4 x − 12
2009
dx
bentuk g(x) pada integral di atas sesuai dengan bentuk kasus 1, karena
x 2 − 4 x − 12 = (x – 6)(x + 2) adalah 2 faktor linier yang berbeda.
Dari
bentuk
tersebut,
maka
F ( x) =
(x + 1)
x − 4 x − 12
2
A1 ( x + 2) + A2 ( x − 6)
( x − 6)( x + 2)
=
x +1
( x − 6)( x + 2)
A1 x + 2 A1 + A2 x − 6 A2
( x − 6)( x + 2)
=
A1
A
+ 2
x−6 x+2
=
( A + A2 ) x + (2 A1 − 6 A2 )
A1 x + A2 x + 2 A1 − 6 A2
x +1
=
= 1
( x − 6)( x + 2)
( x − 6)( x + 2)
( x − 6)( x + 2)
=
=
Dengan demikian, ( A1 + A2 ) x + (2 A1 − 6 A2 ) = x + 1 sehingga :
A1 + A2 = 1 dan 2A1 – 6A2 = 1
⇔ A1 =1 - A2
2A1 – 6A2 = 1
2(1 - A2) – 6A2 = 1
2 – 2A2 – 6A2 = 1
2 – 8A2 = 1
2 – 1 = 8A2
A1 +
A1 + A2 = 1
Jadi I = ∫
=∫
1
=1
8
(x + 1)
x − 4 x − 12
2
8A2 = 1
A1 = 1 −
dx = ∫ (
A2 =
1
8
1 7
=
8 8
A1
A
A1
A2
+ 2 ) dx = ∫
dx + ∫
dx
x−6 x+2
x−6
x+2
7
1
dx + ∫
dx , dengan menggunakan substitusi u = x – 6 dan v
8( x − 6)
8( x + 2)
= x + 2, maka du = dx dan dv = dx.
Sehingga
=
7
1
∫ 8( x − 6) dx + ∫ 8( x + 2) dx
=
7 du 1 dv
7
1
∫ u + 8 ∫ v = 8 ln u + 8 ln v + C
8
7
1
ln x − 6 + ln x + 2 + C
8
8
Writing by FIDA@T.Informatika ‐ UMP
Halaman 3

4. INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
2009
Soal :
1. I = ∫
( x + 4)
dx bentuk g(x) sesuai dengan kasus (2) yaitu mengandung faktor
x − 4x 2 + 4x
3
linier yang berulang.
x 3 − 4 x 2 + 4 x = ( x − 2) 2 .x = x( x − 2) 2
⎛A
A3
A
x+4
( x + 4)
dx = ∫
dx = ∫ ⎜ 1 + 2 +
∫ x3 − 4x 2 + 4x
⎜ x x − 2 ( x − 2) 2
x( x − 2) 2
⎝
⎞
⎟dx
⎟
⎠
=∫
A1 ( x − 2) 2 + A2 ( x − 2) x + A3 x
A x 2 − 4 A1 x + 4 A1 + A2 x 2 − 2 A2 x + A3 x
dx = ∫ 1
dx
x( x − 2) 2
x( x − 2) 2
=∫
( A1 + A2 ) x 2 − (4 A1 + 2 A2 − A3 ) x + 4 A1
dx
x( x − 2) 2
Untuk menyelesaikan integrasi di atas perlu dicari faktor A1, A2, dan A3 seperti
berikut :
( A1 + A2 ) x 2 − (4 A1 + 2 A2 − A3 ) x + 4 A1
x+4
=
2
x( x − 2)
x( x − 2) 2
(A1+ A2) = 0
-(4 A1 + 2A2 - A3) = 1 ↔ -4 A1 - 2A2 + A3 = 1
4 A1 = 4
Dengan demikian diperoleh A1 = 1, A2 = -1, dan A3 = 3
Sehingga
∫x
3
⎛A
A3
A
( x + 4)
dx = ∫ ⎜ 1 + 2 +
2
⎜ x x − 2 ( x − 2) 2
− 4x + 4x
⎝
⎛1
1
3
= ∫⎜ −
⎜ x x − 2 + ( x − 2) 2
⎝
= ln x − ln x − 2 + 3∫
⎞
⎟dx
⎟
⎠
⎞
dx
dx
dx
⎟dx = ∫
−∫
+ 3∫
⎟
x
x−2
( x − 2) 2
⎠
dx
dengan menggunakan substitusi u = x-2, maka
( x − 2) 2
du = dx sehingga
dx
∫ ( x − 2)
Jadi
∫x
2
3
=∫
du
1 −1
1
1
= ∫ u − 2 du =
u + C = −u −1 + C = − + C = −
+C
2
−1
u
x−2
u
( x + 4)
dx
3
= ln x − ln x − 2 −
+C
dx = ln x − ln x − 2 + 3∫
2
2
x−2
− 4x + 4x
( x − 2)
Writing by FIDA@T.Informatika ‐ UMP
Halaman 4