1. 2o ΠΡΟΣΤΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΣΙΚΟ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟ
ΘΕ΢΢ΑΛΟΝΙΚΗ΢
«ΣΟ ΠΤΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ.
ΑΠΟ ΣΟΝ ΠΤΘΑΓΟΡΑ ΚΑΙ ΣΟΝ ΕΤΚΛΕΙΔΗ
Ω΢ ΢ΗΜΕΡΑ»
΢υνεργάςτηκαν: Γρηγοριάδησ Γεώργιοσ, Μαθηματικόσ
Πζτςασ Νικόλαοσ, Φιλόλογοσ

2. ΢υνοπτικό διάγραμμα τησ ιςτορίασ
τησ γεωμετρίασ ζωσ τον Ευκλείδη
• ΢φμφωνα με τισ μαρτυρίεσ αρχαίων
ςυγγραφζων θ γεωμετρία είναι δθμιοφργθμα
των Αιγυπτίων. Οδθγικθκαν ςτθν ανακάλυψι
τουσ αυτι από τθν ανάγκθ μζτρθςθσ τθσ γθσ
δίπλα ςτισ όχκεσ του ποταμοφ Νείλου.
• Υςτερα από κάκε πλθμμφρα του ποταμοφ και
απομάκρυνςθ των υδάτων θ γθ ζπρεπε
πάντοτε να μετριζται ξανά για λόγουσ
κτθματολογικοφσ και φορολογικοφσ.

3. • Η δθμιουργία τθσ γεωμετρίασ ωσ επιςτιμθσ για
τθν ζρευνα των ιδιοτιτων του χϊρου είναι
αποκλειςτικό ζργο του ελλθνικοφ πνεφματοσ και
αποδίδεται ςτο Θαλι το Μιλιςιο, ο οποίοσ
ςυγκαταλζγεται μεταξφ των επτά ςοφϊν τθσ
αρχαιότθτασ.
• Μετά το Θαλι μνθμονεφονται ωσ ςπουδαίοι
μακθματικοί ο Μαμζρτιοσ, ο Αναξίμανδροσ και ο
Πυθαγόρασ ο ΢άμιοσ, ο οποίοσ ζδραςε ςτθ
Μεγάλθ Ελλάδα.

4. Ήταν γνωςτό το πυθαγόρειο
θεώρημα πριν από τον Πυθαγόρα;

5. 1. Μεςοποταμία
• ΢το ςθµερινό Ιράκ, ζνασ µεγάλοσ αρχαίοσ
πολιτιςµόσ αναπτφχκθκε πριν από 4.000
χρόνια: ο πολιτιςµόσ τθσ Μεςοποταμίασ
• Μεταξφ των πινακίδων που ζγιναν
αντικείµενο ειδικισ και λεπτοµεροφσ
εξζταςθσ υπάρχει µία µε τθν απλι ονοµαςία
«YBC 7289».

6. Η πινακίδα YBC 7289
Αποδεικνφει ότι οι Βαβυλϊνιοι γνϊριηαν πϊσ να
υπολογίηουν τθν τετραγωνικι ρίηα ενόσ αρικµοφ µε
αξιοκαφµαςτθ ακρίβεια (ίςθ µε αυτι µιασ
ςφγχρονθσ αρικµοµθχανισ οκτώ ψθφίων). Άρα,
γνϊριηαν το πυκαγόρειο κεϊρθμα.

7. 2. Αίγυπτοσ
• Η κφρια πθγι πλθροφοριϊν για τα μακθματικά των
αρχαίων Αιγυπτίων προζρχεται από τον Πάπυρο
Rhind, μία ςυλλογι από 84 μακθματικά προβλιματα
αρικμθτικισ, γεωμετρίασ και ςτοιχειϊδουσ
άλγεβρασ, θ οποία γράφθκε περί το 1650 π.Χ.
• Η απουςία οποιαςδιποτε αναφοράσ ςτο
πυκαγόρειο κεϊρθμα υποδθλϊνει με αρκετι
βεβαιότθτα ότι οι Αιγφπτιοι δεν το γνϊριηαν.

8. 3. Πυθαγόρασ
• ΢φμφωνα με τθν παράδοςθ,
ο Πυκαγόρασ γεννικθκε γφρω
ςτο 570 π.Χ. ςτθ ΢άμο.
• Γφρω ςτο 530 π.Χ. ο Πυκαγόρασ εγκατζλειψε τθ
΢άμο και εγκαταςτάκθκε ςτον Κρότωνα, μία
ελλθνικι αποικία ςτθν Κάτω Ιταλία. Εκεί ίδρυςε
ςχολι, ςτθν ουςία μια μυςτικιςτικι οργάνωςθ.
• Οι πυκαγόρειοι υιοκετοφςαν τθν ανατολικι
παράδοςθ τθσ προφορικισ μεταβίβαςθσ τθσ
γνϊςθσ με αποτζλεςμα να μείνουν λιγοςτζσ ζωσ
μθδαμινζσ γραπτζσ καταγραφζσ.

9. 1θ Απόδειξθ από τον Πυκαγόρα
Ειδικι περίπτωςθ του πυκαγόρειου κεωριµατοσ
για τρίγωνο με γωνίεσ 450, 450 και 900.

10. 2θ Απόδειξθ από τον Πυκαγόρα
γ2
α2
β2

11. Μετά τον Πυθαγόρα
• Εν τω µεταξφ, µεγάλεσ πολιτικζσ αλλαγζσ
αναδιαµόρφωναν τον αρχαίο κόςµο. Η περςικι
αυτοκρατορία αποκτοφςε υπεροχι και ςφντοµα
διαδζχκθκε τθ Βαβυλϊνα, αναδεικνυόµενθ ςε
κυρίαρχθ δφναµθ τθσ ανατολικισ Μεςογείου.
• Σο 490 π.Χ. οι Ακθναίοι νίκθςαν το ςτρατό των
Περςϊν ςτον Μαρακϊνα και θ Ακινα επζβαλε
τθν πολιτικι κυριαρχία τθσ ςτισ ελλθνικζσ πόλεισ
- κράτθ.

12. • Ακολοφκθςε µιςόσ αιϊνασ ειρινθσ, κατά τθ
διάρκεια τθσ οποίασ θ Ακινα άνκθςε ωσ κζντρο
δθµοκρατίασ και µάκθςθσ. Ωςτόςο, θ περίοδοσ
θρεµίασ ζλθξε µε τον Πελοποννθςιακό Πόλεµο
(431-404 π.Χ.), ςτον οποίο θ Ακινα ςυνετρίβθ
ςτρατιωτικά από τθ ΢πάρτθ.
• Ζπειτα, το 371 π.Χ., θ ΢πάρτθ νικικθκε από τισ
πόλεισ - κράτθ που είχαν επαναςτατιςει. Σο
κζντρο τθσ µάκθςθσ µεταφζρκθκε ςτον Σάραντα
τθσ Κάτω Ιταλίασ, όπου οι πυκαγόρειοι
αναςυντάχκθκαν υπό τθν θγεςία του Αρχφτα.

13. • Αλλά θ Ακινα άρχιςε ςταδιακά να επανακτά τον
θγετικό ρόλο τθσ. Ορόςθµο αποτζλεςε το ζτοσ
387 π.Χ., όταν ο µεγάλοσ φιλόςοφοσ Πλάτωνασ
(427-347 π.Χ.) ίδρυςε τθν Ακαδθµία των Ακθνϊν,
θ οποία κα κυριαρχοφςε ςτθν ελλθvικι
διανόθςθ για τα επόµενα 1.000 xρόvια.
• Η επόµενθ µεγάλθ πολιτικι αναταραχι ιρκε το
338 π.Χ, όταν ο βαςιλιάσ τθσ Μακεδονίασ
Φίλιπποσ Β' κακυπόταξε όλθ τθ νότια Ελλάδα.
Δφο χρόνια αργότερα, ο γιοσ του Φιλίππου, ο
Αλζξανδροσ ο Μζγασ (356-323 π.Χ.) ανζβθκε ςτο
κρόνο και µζςα ςε δζκα xρόvια κατζκτθςε
ολόκλθρο ςχεδόν τον αρχαίο κόςµο.

14. • Σο 323 π.Χ, ο Μζγασ Αλζξανδροσ πζκανε
πρόωρα ςε θλικία 33 ετϊν. Οι ζριδεσ των
διαδόχων του οδιγθςαν ςτθ διάςπαςθ τθσ
αυτοκρατορίασ του ςε ξεχωριςτά βαςίλεια. Η
Αίγυπτοσ περιιλκε ςτθν εξουςία του
Πτολεµαίου. Η θγεµονία του Πτολεµαίου Α'
ξεκίνθςε το 306 π.Χ., µε τθν επιλογι τθσ
Αλεξάνδρειασ ωσ πρωτεφουςασ του κράτουσ
του και τθν ίδρυςθ ςχολισ, θ οποία κα
γινόταν πνευµατικι θγζτιδα του αρχαίου
κόςµου.

15. • Η Αλεξάνδρεια διζκετε όλα τα εφόδια µιασ ςφγχρονθσ
πανεπιςτθµιοφπολθσ: µεγαλοπρεπι κτιρια, κιπουσ
και ζνα περίφθµο µουςείο. Η διάςθµθ βιβλιοκικθ τθσ
διζκετε αµζτρθτα (πάνω από µιςό εκατοµµφριο)
βιβλία (με τθ µορφι κυλίνδρων παπφρου), τα οποία
είχαν αποκτθκεί – µερικζσ φορζσ παράνοµα και
κατόπιν εξαναγκαςµοφ – από οπουδιποτε µποροφςαν
να βρεκοφν. Μελετθτζσ από κοντινζσ και µακρινζσ
περιοχζσ ζρχονταν ςτθν Αλεξάνδρεια, όπου και
διζµεναν για εκτεταµζνεσ περιόδουσ µελζτθσ. Χάρθ ςε
αυτoφσ, ο ελλθνικόσ πολιτιςµόσ διαδόκθκε ςε όλο τον
αρχαίο κόςµο και θ ελλθνικι γλϊςςα ζγινε θ διεκνισ
γλϊςςα τθσ εποχισ (ελλθνιςτικι κοινι).

16. 4. Σο Πυθαγόρειο θεώρημα ςτον
Ευκλείδη
• ΢χεδόν τίποτα δεν είναι γνωςτό
για τθ ηωι του Ευκλείδθ. Ακόµα και θ
χρονολογία και ο τόποσ γζννθςισ
του είναι αςαφι, όµωσ πικανότατα
µεγάλωςε και µορφϊκθκε ςτθν Ακινα.
• ΢τθ ςυνζχεια εγκαταςτάκθκε ςτθν Αλεξάνδρεια
και δίδαξε µακθµατικά και γεωµετρία ςτο
Μουςείο. Ήκμαςε γφρω ςτο 315-275 π.Χ.

17. • Ο Ευκλείδθσ ςυνζγραψε πολλά βιβλία
μακθματικϊν, μερικά από τα οποία ζφταςαν
μζςω αραβικϊν μεταφράςεων μζχρι τισ μζρεσ
μασ.
• Όμωσ το ζργο του που άςκθςε μακράν τθ
μεγαλφτερθ επιρροι είναι τα Στοιχεία.
Γραμμζνο ςε 13 «βιβλία» (ςιμερα κα τα
λζγαμε κεφάλαια) αποτελεί ςφνοψθ όλων
των βαςικϊν γνϊςεων αρικµθτικισ και
γεωµετρίασ τθσ εποχισ του.

18. Αιτήµατα
1. Δοκζντων δφο ςθµείων, δφναται να άγεται ευκεία
µε άκρα τα δφο ςυγκεκριµζνα ςθµεία.
2. Κάκε ευκφγραµµο τµιµα δφναται να προεκτείνεται
επ’ αόριςτον προσ αµφότερεσ τισ κατευκφνςεισ.
3. Με δεδοµζνο οποιοδιποτε ςθµείο και µε
οποιαδιποτε ακτίνα, δφναται να γραφεί κφκλοσ.
4. Όλεσ οι ορκζσ γωνίεσ είναι µεταξφ τουσ ίςεσ.
5. Εάν ευκεία τζµνουςα δφο ευκείεσ ςχθµατίηει εντόσ
και επί τα αυτά µζρθ γωνίεσ ακροίςµατοσ
µικρότερου των δφο ορκών, τότε οι δφο ευκείεσ
προεκτεινόµενεσ επ’ άπειρον κα ςυµπζςουν προσ το
µζροσ όπου ςχθµατίηονται οι µικρότερεσ των δφο
ορκών γωνίεσ.

19. Κοινζσ ζννοιεσ
1. Τα τω αυτώ ίςα είναι µεταξφ τουσ ίςα.
2. Και εάν ςε ίςα προςτεκοφν ίςα, τα
προκφπτοντα είναι µεταξφ τουσ ίςα.
3. Και εάν από ίςα αφαιρεκοφν ίςα, τα
υπόλοιπα είναι µεταξφ τουσ ίςα.
4. Και τα εφαρµόηοντα επ άλλθλα είναι ίςα
µεταξφ τουσ.
5. Και το όλον είναι µεγαλφτερο του µζρουσ.

20. Η απόδειξη του Ευκλείδη
Πρόταςn I47
Σε ορκογώνια τρίγωνα, το
τετράγωνο µε πλευρά
αυτι που αντίκειται ςτnν
oρκι γωνία (υποτείνουςα)
είναι ίςο µε τα τετράγωνα
που ςχnµατίηονται µε
πλευρζσ αυτζσ τnσ ορκισ
γωνίασ.

21. Γιατί τόςο πολφπλοκθ απόδειξθ;
• Ζνασ αρικµόσ νοοφνταν ωσ το µικοσ κάποιου ευκφγραµµου
τµιµατοσ.
• το γινόµενο δφο αρικµϊν νοοφνταν ωσ το εµβαδόν ενόσ
ορκογωνίου µε πλευρζσ τα ευκφγραµµα τµιµατα που
αντιςτοιχοφν ςτουσ δφο αρικµοφσ.
• Σο τετράγωνο ενόσ αρικµοφ α νοοφνταν ωσ το εµβαδόν
τετραγϊνου πλευράσ α (εξ αυτοφ θ ποςότθτα α2 αποκαλείται
«τετράγωνο του α»).
Ζτςι, ιταν φυςικό οι Ζλλθνεσ µακθµατικοί να κεωροφν το
πυκαγόρειο κεϊρθµα ωσ µια ςχζςη µεταξφ εµβαδών.
Από αυτι τθν οπτικι, ιταν απολφτωσ λογικό για τον Ευκλείδθ
να αποδείξει το κεϊρθµα µε τον ςυγκεκριµζνο τρόπο.

22. Σο αντίςτροφο του Πυθαγορείου
Σε ζνα τρίγωνο, αν το τετράγωνο µε
πλευρά µία από τισ πλευρζσ του
τριγώνου είναι ίςο µε τα τετράγωνα
που ζχουν πλευρζσ τισ άλλεσ δφο
πλευρζσ του τριγώνου, τότε n
περιεχόµενn ςτισ δφο αυτζσ
πλευρζσ γωνία είναι oρκι.

23. Ονομαςίεσ του Πυθαγορείου
Είναι γνωςτό με πολλζσ ονομαςίεσ:
• Ευκλείδnσ Ι 47, διότι απαρικμείται ωσ Πρόταςθ
47 του Βιβλίου Ι των Στοιχείων του Ευκλείδθ
• Θεώρnμα τησ υπoτείνoυςασ
• Θεώρnμα του Πυθαγόρα
• Aνεμόμυλοσ, επειδι θ ςχθματικι του
αναπαράςταςθ μοιάηει με τα τρία ιςτία ενόσ
μφλου
• Kαρζκλα τnσ νφφnσ, για λόγουσ που γνωρίηει
μόνο αυτόσ που πρότεινε αυτι τθν ονομαςία!

24. Μεταφραςτζσ και ςχολιαςτζσ
• Σο 641 μ.Χ. οι Άραβεσ κατζλαβαν τθν Αλεξάνδρεια και
με διαταγι του χαλίφθ κάθκε και πάλι ό,τι είχε
απομείνει ςτθ βιβλιοκικθ μετά τθν καταςτροφικι
πυρκαγιά ςτθ διάρκεια εξζγερςθσ των χριςτιανϊν
εναντίον των εκνικϊν το 389 μ.Χ.
• Παραδόκθκε ςτισ φλόγεσ θ ανεκτίμθτθσ αξίασ ςυλλογι
των 500.000 παπφρων – ςχεδόν όλθ θ λογοτεχνικι και
επιςτθμονικι κλθρονομιά του αρχαίου κόςμου.
Ωςτόςο, μερικοί ςτοχαςτζσ διατιρθςαν ηωντανι αυτι
τθν παράδοςθ τθσ μάκθςθσ· ανάμεςά τουσ ξεχωρίηουν
δφο ονόματα: ο Θζων και ο Πρόκλοσ.

25. • Ο Θζων ο Αλεξανδρεφσ ζηθςε ςτο τζλοσ του 4ου αιϊνα µ.Χ.
Περίπου το 390 ςυνζγραψε µια ανακεωρθµζνθ εκδοχι των
Στοιχείων, θ οποία κα αποτελοφςε τθ βάςθ για τισ
περιςςότερεσ από τισ µεταγενζςτερεσ εκδόςεισ τουσ· επίςθσ,
ζγραψε ζνα Υπόµνnµα (ςε ζντεκα βιβλία) ςτθν Αλµαγζςτn
του Πτολεµαίου.
Σο όνοµά του κα ςχετίηεται για πάντα µε τθν κόρθ
του, τθν Τπατία (περίπου 370 - 415), θ οποία
ζγινε και θ ίδια µακθµατικόσ.
Η Τπατία ιταν ζξυπνθ, ευφραδισ και όµορφθ.
Αυτά τα χαρακτθριςτικά – και κυρίωσ θ διδαςκαλία
τθσ – ςυγκζντρωςαν επάνω τθσ τθν οργι ενόσ εξαγριωµζνου
όχλου χριςτιανϊν· κατθγορικθκε ότι δίδαςκε τον παγανιςµό
και κανατϊκθκε άγρια.

26. • Ο Πρόκλοσ (περίπου 412 - 485 µ.Χ.)
γεννικθκε ςτο Bυηάvτιo, ςποφδαςε ςτθν
Αλεξάνδρεια, αργότερα δε ζγινε επικεφαλισ
τθσ πλατωνικισ Ακαδθµίασ των Ακθνϊν. Είναι
κυρίωσ γνωςτόσ για το Υπόµνnµα, ζνα ζργο
που περιλαµβάνει τα ςχόλιά του ςτο Βιβλίο Ι
των Στοιχείων και µια ιςτορικι επιςκόπθςθ
τθσ ελλθνικισ γεωµετρίασ µζχρι τθν εποχι
του Ευκλείδθ

27. Σο Πυκαγόρειο κεϊρθμα ςε
αραβικό κείμενο
ΣΕΛΟ΢ ΠΑΡΟΤ΢ΙΑ΢Η΢!