リーマン多様体へのグラフ描画アルゴリズムの実装 http://ytakano.github.io/

1. 【やってみた】
リーマン多様体上への
グラフ描画アルゴリズムの実装
【実装してみた】
情報通信研究機構
高野 祐輝
1

2. バネモデルレイアウト
2
グラフ描画アルゴリズム
エッジでつながっているノード同士
はバネで引き寄せられている
ノード同士は反発力が働いている
引き合う力
反発しあう力

3. リーマン多様体上における
バネモデルレイアウト
3
ユークリッド空間ではなく
曲がった空間上における
バネモデルレイアウト

4. 元論文
Kobourov, S. G., and Wampler, K.
Non-Euclidean Spring Embedders.
IEEE Trans. Vis. Comput. Graph. 11, 6 (2005), 757‒767.
4

5. 本発表の目的
5

6. 実装デモが主目的
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7. 数学的な厳密性や細かな解釈は
とりあえず横においておき
実装可能な段階までブレークダウンしてみる
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8. なぜなら可視化の目的は
数学でも科学でもなく
8

9. 芸術なので
美しければよかろうなのだ！
9

10. 元論文の説明（１）
リーマン多様体 M は，すべての点 x M で
接ベクトル空間を持つ
リーマン多様体上の a と b を結ぶ
連続曲線 γ: [a, b] → M の長さは
length(γ) =
b
a
¦¦γ(t)¦¦dt
となり，任意の点 a, b 間を最小とする曲線の長さが
点 a, b 間の距離と定義され d(a, b) と表す
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11. 元論文の説明（２）
1. 全ての y ∈M に対して τ−1
x (τx(y)) = y
2. ¦¦τx(y)¦¦ = d(x, y )
3. τx は原点に対する角度を維持する
4. Range(τx) = M
5. Range(τ−1
x ) = Tx M
ここで，すべての点 x M でリーマン多様体と
接ベクトル空間への写像を
τx: M → Tx M，τx
-1: Tx M → Mと定義する．
ただし，τx とτx
-1 は以下の条件を満たすとする．
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12. 元論文の説明（３）
generateinitial layout(G)
while not donedo
for n ∈G do
x := position[n]
G := τx(G)
x := force directedplacement(n, G )
position[n] := τ−1
x (x )
end
end
すると，リーマン多様体上における
バネモデルレイアウトのアルゴリズムは以下のようになる
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13. なるほど
よくわからん！
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14. 数式と実装までに
乖離がありすぎ
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15. 数式ではなく
「距離」と「力の向き」の
2つに注目して考える
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16. 考え方の基礎（１）
リーマン多様体上における2点間の距離
曲面上の2点間を最短で結べる曲線の長さ
最短曲線
A
B
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17. 考え方の基礎（２）
リーマン多様体上における2点間に働く力の向き
最短曲線
A
B
接平面における最短曲線の方向が
局所空間における力の向きとなる
接平面
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力の向き

18. 考え方がわかったところで
具体的に球面幾何上での
レイアウトを考えてみる
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19. 球面幾何上へのグラフレイアウト（１）
極座標表記
x
y
z
φ
θ
a
半径１の単位球面を考えると
球面上にある任意の点 a (x, y, z)は
θ [0, 2π) とφ [0, π)
で表せる
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20. 球面幾何上へのグラフレイアウト（２）
極座標・直交座標変換
x
y
z
φ
θ
a
極座標から直交座標への変換は
(cosθcosφ, sinθsinφ, cosθ)
で行える
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21. 球面幾何上へのグラフレイアウト（３）
接ベクトル空間
x
y
z
a
ua
va
任意の点 a の接ベクトル ua, va は
ua = (­cosθcosφ, sinθsinφ, sinθ)
va = (sinφ, cosφ, 0)
と表わせ，点 a に及ぼす力は
この接ベクトル空間で考えることができる
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22. 球面幾何上へのグラフレイアウト（４）
２点間に及ぼす力
x
y
z
a
b
いま点 a, b があり
点 a が b へ，ある力 F(a, b)で
引き寄せられているとする
このときの
F(a, b)について考える
引き合う力
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23. 球面幾何上へのグラフレイアウト（５）
接ベクトル空間への写像と力の向き
まず，点 b から 点 a の
接ベクトル空間への写像 b
について考える
ベクトル a b が
局所空間で
点 b が 点 a に 及ぼす力の向きとなる
x
y
z
a
b
b
力の向き
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24. 球面幾何上へのグラフレイアウト（６）
直線 b b
点 b を通りベクトル a と
平行な直線 b b を考えると
この直線 b b は
x
y
z
a
b
b
x −bx
ax
=
y −by
ay
=
z −bz
az
と表せ，媒介変数 t を使うと
x = bx + ax t
y = by + ay t
z = bz + az t
となる
aと平行な直線
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25. 球面幾何上へのグラフレイアウト（７）
点 a の接平面
点 a の接平面は
x
y
z
a
b
b
ax (x - ax) + ay (y - ay) + az (z - az)
となる
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26. 球面幾何上へのグラフレイアウト（８）
b の導出（A）
x
y
z
a
b
b
ax (x - ax) + ay (y - ay) + az (z - az)
x = bx + ax t
y = by + ay t
z = bz + az t
を
へ代入すると t が求まる
t を
x = bx + ax t
y = by + ay t
z = bz + az t
へ代入すると b が求まる
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27. 球面幾何上へのグラフレイアウト（９）
b の導出（B）
x
y
z
a
b
b
ax (bx + ax t −ax ) + ay (by + ay t −ay ) + az (bz + az t −az ) = 0
(a2
x + a2
y + a2
z )t = a2
x + a2
y + a2
z −ax bx −ay by −az bz
t =
a2
x + a2
y + a2
z −ax bx −ay by −az bz
a2
x + a2
y + a2
z
すなわち t は
となる．ただし単位球面なので
t = 1 −ax bx −ay by −az bz
となり，b つまり力の向きが求まる
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28. 球面幾何上へのグラフレイアウト（10）
力の大きさ
点 a, b 間の力の大きさは
点 a, b の球面上の距離 d(a, b)
で表される
x
y
z a
bψ
ただし，球面幾何なので d(a, b)は
点 a, b のなす角ψで表される
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29. 球面幾何上へのグラフレイアウト（11）
点 a, b のなす角ψ
点 a, b のなす角ψは
球面三角法の余弦定理より
となる
x
y
z a
b
N
ψ
cosψ= cosθa cosθb+ sin θa sinθbcos(φa −φb)
ψ= cos−1
(cosθacosθb+ sinθa sinθb cos(φa −φb))
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30. 球面幾何上へのグラフレイアウト（12）
力の向きと大きさ
力の向き b - a と
力の大きさψ
が得られた
x
y
z
a
b
b
ψ
力の向き
力の大きさ
あとは点 a を実際に動かすのみ
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31. 球面幾何上へのグラフレイアウト（12）
点 a の動き
x
y
z
a
b
b
ψ
力の向き
力の大きさ
点 a の球面幾何上の動きは，
ベクトル (b - a) と a の外積
(b - a)☓a
を軸として
角度cψだけ回転させれば良い
（cは定数）
b - a
外積（回転軸）
(b - a)☓a
任意軸の回転はクォータニオンで
実現可能
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32. 球面幾何上へのグラフレイアウト（13）
力の合成
力の合成は，接ベクトル空間で
ユークリッド空間と同じように考えれば良い
a
F1
F2
F1+F2
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33. 球面幾何上へのグラフレイアウト（14）
バネモデルレイアウト
力の計算方法がわかったので
あとはバネモデルレイアウトの手順を
そのまま適用すれば終了
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34. ね？簡単でしょう？
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35. ソースコード
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https://github.com/ytakano/rinne

36. デモ
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37. まとめ
• 数式ではなく考え方を理解する
• 一見難しそうな数式でも，背景にある考え方を理解すれば実装できる
• 考え方がわかれば，数式も理解できる
• とにかく実装してみる
• 数学的な厳密性はあとでじっくり考える
• Try and Errorを繰り返す．たくさん失敗してみる．何度も何度も．
• 美しいは大正義
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