2. Introducción:
La recta es una de las curvas de mayor estudio
realizado en las matemáticas por la enorme
cantidad de aplicaciones que presenta y por estar
vinculada a una ecuación de primer grado o
lineal, dentro de sus aplicaciones se tienen:
problemas de costos-ingresos y ganancia, la
oferta y demanda, la valoración de un activo a lo
largo del tiempo, etc.
P. E.
20 40 60 80
3. Definición:
Existen varios intentos por definir a la
línea recta, el más común es el que
establece que la línea recta es la
distancia más corta entre dos puntos.
4. Nosotros diremos que una línea recta es el lugar
geométrico de todos los puntos, tales que si
tomamos dos cualesquiera de ellos satisfacen la
ecuación,
y 2− y 1
m=
x 2− x 1
donde m es una constante, la pendiente de la
recta.
5.
6. y
L1 • ¿Cuál de las rectas
está más
inclinada?
• ¿Cómo medimos
L2 esa inclinación?
0 x
La pendiente m de la recta l es:
elevación cambio en y ∆y
m= = =
recorrido cambio en x ∆x
7. Cálculo de la pendiente de una recta
Sea l una recta no vertical que pasa por los
puntos P1(x1;y1) y P2(x2; y2).
y P2(x2; y2)
∆y=y2 - y1
P1(x1;y1)
∆x=x2 - x1
y2 - y1
m=
x2 - x1
0 x
8. Ubique los puntos en el plano y determine
la pendiente de estos segmentos:
1. A(-6; 1) y B(1; 2)
2. C(-1; 4) y D(3; 1)
3. E(3; 2) y F(8; 2)
4. G(2; 1) y H(2; -3)
10. 1. Si m>0 la recta l es creciente
2. Si m<0 la recta l es decreciente
3. Toda recta horizontal tiene m = 0
4. Las rectas verticales no tienen
pendiente definida.
11. Si la línea recta Y
con pendiente m m
cruza al eje Y en
el punto P(0,b) P(o,b)
está descrita por X
la ecuación,
y =mx +b
12. La ecuación de la recta de pendiente m, y
punto de paso (x1, y1) es:
Y
(x1, y1) y - y1 = m(x - x1)
X
13. Ecuación de la recta 2.
La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada en el origen b, es:
Y
b
y = mx + b
X
14. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Ax + By + C = 0
La gráfica de una ecuación lineal:
Ax + By + C = 0, es una recta, y
recíprocamente, toda recta es la gráfica
de una ecuación lineal.
16. Solución:
La pendiente de la recta estará dada por,
m = tan ( 45) = 1
y la ordenada al origen es 10, por lo que la
ecuación de la recta será,
y = 1x +10
y = x +10
17. Encontrar la ecuación de la recta que pasa
por los puntos, P(-3,-2) y P'(1,4).
4
-3 1
-2
18. Solución;
La pendiente de la recta está dada por,
y 2 − y 1 −2−4 −6 3
m= = =
x 2 − x 1 −3−1 −4 2
3
y − 4 = ( x − 1)
2
así que la ecuación de la recta será,
2( y − 4 ) = 3( x −1)
2y−8=3x −3
− 3x + 2y − 8 + 3 = 0
− 3x + 2y − 5 = 0
3x − 2y + 5 = 0
19. RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL
recta recta // ecuación
horizontal al eje X y=b
5
b y=b
4
3
2
1
a
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
−2
x=a
−3
−4
−5
−6
recta recta // ecuación
vertical al eje Y x=a
20. En resumen:
Formas de la ecuación de una recta:
• Forma punto pendiente: y-y1=m(x-x1)
• Forma pendiente ordenada y = mx+b
al origen
• Forma general Ax + By + C = 0
• Recta vertical x=a
• Recta horizontal y=b
21. La recta cuyas
inter-secciones con
los ejes X y Y son
(a,0) y (0,b)
respectivamen-te,
tiene por ecuación,
x y
+ =1
a b
22. Dadas las ecuaciones de dos líneas
rectas cualesquiera,
Ax + By + C = 0
A' x + B' y + C ' = 0
es posible saber si exite alguna relación
entre ellas.
23. Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son
m 1 y m 2 , son paralelas ( l1 // l2 ) si y sólo
si tienen la misma pendiente o si
ambas son ver ticales .
Es decir:
m1 = m2
24. Dos rectas l 1 y l 2 cuyas pendientes son
m 1 y m 2 , son perpendiculares (l 1 ⊥l 2 ) si y
sólo si el producto de sus pendientes es
-1.
m1 . m2 = -1
Es decir:
Además, una recta horizontal y una
ver tical son perpendiculares entre sí.