El documento describe una función que modela las ganancias o pérdidas de una empresa a lo largo del tiempo. Se determina que la empresa deja de tener pérdidas a los 2 años y que las ganancias son crecientes con el tiempo. Además, se calcula que las ganancias superan los 100.000 euros a partir de los 6 años y que el límite de las ganancias es 200.000 euros.

1. Las pérdidas o ganancias de una empresa, expresadas en centenas de miles de euros
cuando han transcurrido t años, siguen la función ( ) 2 4
2
f t t
t
−
=
+
i) Determinar el año en que la empresa deja de tener pérdidas.
Nos piden el valor de t a partir del cual la función empieza a ser positiva.
( ) 0 2 4 0
2
f t t
t
−
> ⇔ >
+
como el denominador es positivo, ya que el tiempo t es mayor que cero por tanto t+2
también es positivo, el signo de 2 4
2
t
t
−
+
, lo determina solo el numerador.
f t t t t t
( ) 0 2 4 0 2 4 0 2 4 2
2
t
−
> ⇔ > ⇔ − > ⇔ > ⇔ >
+
A los 2 años deja de tener perdida y empieza a tener beneficios.
( )
t t
2( + 2) − 2 −
4 ·1 '( ) 8 0
ft = = > ∀
t
( t + 2 )2 ( t
+
2
)2
ii) ¿Es creciente la ganancia?.
Tenemos que hallar la derivada de f y ver si es positiva.
( )
t t
2( + 2) − 2 −
4 ·1 '( ) 8 0
ft = = > ∀
t
( t + 2 )2 ( t
+
2
)2
con lo cual la ganancia es una función creciente con el tiempo.
¿En qué año la ganancia supera los 100.000 euros?.
Como la función f mide las ganancias o perdidas en cientos de miles de euros nos piden
calcular el valor de t tal que
( ) 1 2 4 1 2 4 2 6
f t t t t t
2
t
−
> ⇔ > ⇔ − > + ⇔ >
+
A partir de los 6 años la ganancia supera los 100000 euros.
iii) ¿Existe límite para la ganancia?. En caso afirmativo, ¿cuál es ese límite?.
t
2 4 4 f t 2 t − − 2 − −
lim ( ) = lim 4 = lim t t = lim t
= 2 0 =
2
t t
t →∞ t →∞ + 2 t →∞ + 2 t
→∞
1 + 2 1 +
0 t t t
Si existe límite y está en 200000 euros.

2. El número de personas que acuden a una exposición en un día viene dado por la función
f (t) = 12t − 2t2 , siendo "t" el tiempo en horas transcurrido desde la apertura. Si el
horario de exposición es de 15 a 21 horas:
i) ¿A qué hora es máximo el número de personas que acuden a la exposición?. ¿Cuál es
el número?.
f (t) = 12t − 2t2 , 0 ≤ t ≤ 6
Tenemos que resolver la ecuación
f '(t) = 0⇔12 − 4t = 0⇔t = 3
Como f ''(t) = −2 < 0 , f (t) tiene un máximo en t = 3, es decir, a las 15+3=18 horas.
f (3) = 12·3 − 2·32 = 18 , es el número máximo de visitantes.

3. Se estima que las ganancias de una empresa (en decenas de miles de euros) para los
próximos 10 años, sigue la función:
t t
2 2 0 4
 − ≤ ≤ 
= +  +  < ≤
 +
( ) 1
2 4 10
1
g t t
t t
t
i) ¿Cuándo es creciente la ganancia?
Tenemos que hallar la derivada de la función g(t) y ver cuando es positiva.
( t ) ( t
)
2 1 2 2·1 4 0 4
 + − −
 = ≤ ≤
 ( + 1 ) 2 ( +
1
)
2
= 
 ( + ) − ( + )
−  = < ≤ ( + ) 2  ( +
)
2
'( )
1· 1 2 ·1 1 4 10
1 1
t
t t
g t
t t
t
t t
Cono se ve claramente g '(t) es positiva para 0 ≤ t ≤ 4 , por tanto la ganancia va
aumentando durante los 4 primeros años.
ii) ¿Cuándo es máxima la ganancia?. Justificar la respuesta
Tendríamos que resolver la ecuación g '(t) = 0 y estudiar el signo de la segunda derivada en
los puntos que se obtengan. Y de esta forma obtendríamos los máximos que tuviera la
función, pero serían máximos donde la función fuese derivable. En este caso g '(t) = 0 no
tiene ninguna solución. Ahora bien si miramos la gráfica de la función
Podemos observar que en x=4 tiene un máximo, lo cual se reafirma con que a la derecha del 4
es creciente y a la izquierda del 4 es decreciente.
iii) Si en la función anterior se cambia 4 < t ≤ 10por 4 < t ¿a que valor se aproxima la
ganancia cuando t crece?. Justificar la respuesta.
Tenemos que calcular el limite cuando t tiende a infinito de la función de ganancias
t
+ 2 1 + 2 g t + +
lim ( ) = lim t 2 = lim t t = lim t
= 1 0 =
1
t t
t →∞ t →∞ + 1 t →∞ + 1 t
→∞
1 + 1 1 +
0 t t t
con el paso de muchos años las ganancias se estabilizan en 10000 euros.

4. Una empresa de transporte estima que sus ganancias (en miles de euros) durante los próximos
g ( t ) = 64000 +
5000
t
años seguirán la fórmula t
+
5 5
, en donde la variable t =1,2,3, 4,5,....representa
el tiempo en años medido a partir del presente.
.
a) Hallar las ganancias correspondientes a los años primero y quinto.
b) Determinar si las ganancias aumentan o disminuyen con el paso del tiempo. Razonar la
respuesta.
c) ¿Se estabilizan las ganancias cuando t crece? ¿Hacia qué valor? Razonar la respuesta.
Solución
g ( t ) = 64000 +
5000
t
a) t
+
5 5
, g(1) = 6900 miles de euros, (5) 8900 2966,66
g = = miles de euros.
3
( ) ( t ) ( t
)
b) + − + − = =
5000 5 5 5 64000 5000 295000 '
( 5 5 )2 ( 5 5
)2
g t
t t
+ +
Es decir, cuando t > 0 , g '(t) < 0 . Por
ello g(t) decrece cuando t > 0 aumenta.
c) lim g ( t ) = lim64000 + 5000 t
=
1000
→∞ →∞ t
+
t t 5 5

5. El precio en euros de un artículo perecedero, que empieza a venderse el primer día de un
determinado mes, varía con el tiempo (en días) según la fórmula siguiente:
 + ≤ ≤ 
=
( ) 2
8 si 0 t 4
4
2 5 si 4<t 10
4
t
P t
t t
− + + ≤ 
Se pide:
a) ¿Cuál es el precio inicial del artículo?
b) Dibujar la gráfica de P(t ) entre el día 1 y el 10.
c) ¿En qué periodo de tiempo aumenta el precio?
d) ¿Cuál es el precio máximo que alcanza el artículo y en qué día se obtiene?
Solución
a) P(0) = 8 €
b)
c) En los 4 primeros días. '( ) 1
4
P t =
d) El cuarto día. P(4) = 9 .

6. Una empresa tiene dos fábricas, los gastos, en cientos de euros, de cada fabrica en función del número
de trabajadores se obtienen según las funciones:
g(x) = x2 +18x + 2; x ≥ 2
a) Si los ingresos, en cientos de euros, en función del número de trabajadores son h(x) = 48x . ¿Con que
número de trabajadores maximiza el beneficio la primera fábrica?
Beneficios = Ingresos - Gastos
b(x) = h(x) − f (x) = 48x − (2x 2 +12x −14) = −2x 2
+ 36x +14
'( ) 4 36
'( ) 0 9
b x x
b x x
= − +
= ⇔ =
b) Si lo que se quiere es tener el mismo gasto en las dos fábricas, ¿con que número de trabajadores se
consigue?
2 2 2 2
( ) ( ) 2 12 14 18 2 6 16 0
8
x
f x g x x x x x x x
x
= − 
= ⇔ + − = + + ⇔ − − = ⇔ 
= 
f (x) = 2x2 +12x −14; x ≥ 2

7. 2
El coste de producción de x unidades diarias de un determinado producto es 1 5 25
4
x + x + y el precio
 x 
 
de venta de una de ellas está en función de la producción total es 50 -
4
euros por cada unidad.
a) Haya el precio de venta si se producen 12 unidades.
b) Haya los ingresos de producir 12 unidades.
c) Haya los beneficios de producir 12 unidades.
d) Haya el número de unidades que deben venderse diariamente para el beneficio sea máximo.
a) 50 - 12 47
  =  4

b) 47*12=564
c)
b x x x x x x x
( ) 50 - 1 5 25 1 45 25
=     − 2 + + = − 2
+ −  4   4 
2
= − + − =
(12) 112 2
45*12 25 443
b x
2
d)
( ) 1 2 45 25
b x x x
b x x
b x x
b
= − + −
2
= − +
= ⇔ =
=
'( ) 45
'( ) 0 45
(45) 987.5

8. Los beneficios, en cientos de miles de euros, estimados para una empresa durante los
próximos 5 años, vienen dados por la función:
2 ( ) 6 , si 0 5
b t t t
4
t
−
= ≤ ≤
+
siendo t el tiempo en años.
i) ¿Cuándo la empresa deja de tener pérdidas?
Nos preguntan a partir de que valor de “t” se tendrá que b(t) > 0
2 En
b ( t ) t 6 , si 0 t
5
4
t
−
= ≤ ≤
+
, el denominador es siempre positivo, con lo cual se
reduce a estudiar cuando t2 − 6 > 0⇔t2 > 6⇔t > 6 = 2,45 ; ya que la función está
definida para 0 ≤ t ≤ 5 .
ii) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que los beneficios sean iguales a 125000
euros?
Los función de beneficios mide en cientos de miles, 125000€ es 1,25 veces 100000
euros.
2
t − = ⇔ t − = t + ⇔ t − t −  t
= t +  t
= −
t = -2,75 se descarta ya que 0 ≤ t ≤ 
→5 .
6 1,25 2 6 1,25 5 2 1,25 11 4
4 2,75
iii) ¿Para qué valores la derivada de la función beneficio es positiva? Justificar la
respuesta.
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
t t t t t b t
2 + 4 − − 6 1 + +
'( )
= =
8 6 t t
4 4
+ +
En esta expresión el denominador es siempre positivo, y el numerador también ya que
no tiene raíces reales, y el término independiente es positivo. En consecuencia la
función es siempre creciente.

9. Una empresa fabrica, entre otros, un tipo de artículo que vende a 520 € la unidad. Los
costes de producción que tiene la empresa en la fabricación de dicho artículo vienen dados
por la fórmula C(x) = x2 + 20x + 40000 , en donde x representa las unidades producidas.
Sabiendo que el beneficio que obtiene la empresa, con este artículo, es la diferencia de los
ingresos menos el coste, se pide:
a) Expresar, en función de las unidades de fabricación, el beneficio que obtiene la empresa
con dicho artículo. Representar gráficamente dicho beneficio.
La función de beneficos es ingresos menos gastos, es decir,
B(x) = 520·x − C(x) = 520x − (x2 + 20x + 40000) = −x2 + 500x − 40000
b) ¿Cuántas unidades de dicho artículo se deben producir para que el beneficio sea
máximo?
En el gráfico, al ser una parábola, su máximo lo alcanza en el punto medio de sus dos raíces,
no obstante, vamos a calcularlo.
Derivamos la función de beneficios e igualamos a cero
f '(x) = −2x + 500; f '(x) = 0; − 2x + 500 = 0⇒ x = 250
f ''(x) = −2 < 0 , por tanto, x = 250 es un máximo

10. En una potabilizadora se pueden producir P( x) toneladas de agua potable si se emplean un
número x de trabajadores. Si la producción de las toneladas de agua viene dada por la
fórmula P( )x x (60= − )x , se pide:
a) ¿Cuántos trabajadores tienen que contratar para que la potabilizadora produzca lo
máximo posible?
Tenemos que derivar e igualar a cero la función de producción P(x) = −x2 + 60x
P'(x) = −2x + 60⇒ P'(x) = 0⇒−2x + 60 = 0⇒ x = 30
P''(x) = −2 , quiere decir que en x = 30 hay un máximo.
b) Hacer la gráfica de la producción y averiguar a partir de cuántos trabajadores la
empresa tiene que dejar de producir.
A partir de 60 trabajadores la empresa tiene que dejar de producir.

11. El precio de un artículo (en miles de pesetas), que ha estado 8 años en el mercado, se
expresa en función del tiempo t (en años) según la siguiente función:
 + ≤ ≤
= 
3 2 4 0 2
t si t
P t t si t
( ) 5 21 2 8
− < ≤ 
2
Se pide:
a) Representar la función precio en el intervalo dado.
b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función precio.
Hayamos la primera derivada de P(t)
t si t
6 0 2
≤ ≤ 
= 
'( ) 5 2 8
2
P t
si t
− < ≤ 
Es positiva en el intervalo (0,2) y por tanto P(x) es creciente en ese intervalo, por otra parte,
P'(x) es negativa en el intervalo (2,8) y por tanto P(x) es decreciente en ese intervalo.
c) ¿Cuál fue el precio máximo que alcanzó el artículo?. ¿Cuándo?
El precio máximo como se puede observar en el recta de crecimiento lo alcanzó al segundo año y fue
P(2) = 3·22 4+ = 16 .
Obsérvese que la función es continua en x = 2 ya que los límites laterales coinciden, y
además que a la derecha de 2 es creciente y que a la izquierda es decreciente, por tanto es un
máximo.

12. En un día desapacible, la temperatura (T) en grados centígrados varió con el tiempo t
(en horas) según la función T(t) = t2 - 9t + 8 para 0 ≤ t ≤ 12 . Se pide:
a) ¿Qué temperatura hacía a la dos de la mañana?
Nos piden calcular T (2) = 22 − 9·2 + 8 = −6grados
b) ¿Cuál fue la temperatura máxima? ¿A qué hora se produjo?
Calcular T '(t) = 2t − 9 y T ''(t) = 2 > 0, como la derivada segunda es positiva quiere decir
que T no tiene ningún máximo en el interior del intervalo (0,12). Por tanto Hay que evaluar
la función en los extremos del intervalo y ver en que punto de ellos se alcanza el máximo.
(0) 8
(12) 44
T
T
=
=
La temperatura máxima se alcanzó a las 12 horas y se alcanzaron 44 grados.
c) ¿A qué hora hubo una temperatura de cero grados?
Hay que resolver la ecuación 2 1
( ) 0 9 8 0
8
t
T t t t
 =
= ⇔ − + = ⇔  
t
= d) ¿Cuál fue el intervalo de variación de la temperatura desde las 6 a las 12 horas?
(6) 10
(12) 44
T
T
= − 
= 
La temperatura varió de –10 a 44 grados

13. Una empresa de bebidas refrescantes sabe que, si x es el precio (en décimas de euros) de
una botella de refresco, los beneficios de la empresa (en miles de euros) vienen dados por
la expresión b(x) = 10x - x2 - 21. Se pide:
a) ¿Entre qué valores de x el beneficio es positivo?
Las raíces de la ecuación (b x ) > 0 son 3 y 7, entre ellas la función es positiva.
b) ¿Cuál es el precio de la botella que da el beneficio máximo.
Tenemos que derivar e igualar a cero la función de beneficios b(x) = 10x - x2 - 21
b'(x) =10 − 2x⇒b'(x) = 0⇒10 − 2x = 0⇒ x = 5
b''(x) = −2 , quiere decir que en x = 5 hay un máximo.
c) ¿Cuál es ese beneficio?.
Para el precio de 5 décimas de euros (0,5 euros) el beneficio es
b(5) = 10·5 − 52 - 21 = 4
Cuando el precio es 0,5 euros el beneficio es 4000 euros

14. Un comercio abre sus puertas a las nueve de la mañana, sin ningún cliente, y las cierra cuando se
han marchado todos. La función que representa el número de clientes, dependiendo del número de
horas que lleva abierto, es C(h) = −h2 +8h . El gasto por cliente decrece a medida que van pasando
horas desde la apertura y sigue la función g(h) = 300 − 25h
a) ¿En que hora se produce la mayor afluencia de clientes?
b) ¿Cuánto gasta el último cliente?
c) ¿Cuando hay mayor recaudación, en la cuarta o en la quinta hora?
Solución
a) Derivamos la función que representa el nº de clientes e igualamos a cero y se obtiene h = 4
luego como abre a las 9, es a las 13 horas
b) Como el comercio cierra después de 8 horas de abierto, g(8) = 200 es el gasto del último cliente
c) La recaudación en la cuarta hora es (nº de clientes) por (gasto por cliente), es decir,
C(4)·g (4) = (−42 + 8·4)(300 − 25·4) = 16·200 = 3200
La recaudación en la cuarta hora es
C(5)·g (5) = (−52 + 8·5)(300 − 25·5) = 15·175 = 2625
Luego se recauda más en la cuarta hora.

15. El número de flexiones por minuto que es capaz de hacer una persona que empieza su
entrenamiento en un gimnasio, viene dado por la función:
= +
( ) 36 8
2
f x x
x
+
siendo x = “días de entrenamiento” y f (x) = “número de flexiones”.
a) ¿Es f (x) una función creciente? ¿Por qué??
b) ¿Cuántos días de entrenamiento son necesarios para hacer 28 flexiones por minuto?
c) ¿Hacia qué valor se aproxima el número de flexiones cuando crece el número de días de
entrenamiento?
Solución
a) Tenemos que estudiar el signo de la derivada de f (x) .
( x + )
− x
−
( )2 ( )2
36 2 36 8 '( ) = = 64 >
0
2 2
f x
x x
+ +
. Por tanto, la función es creciente.
b) Tenemos que resolver la ecuación f (x) = 28
36 8 28 36 8 28 56 8 48 6
x x x x x
x
+ = ⇒ + = + ⇒ = ⇒ =
+
2
x
+ =
+
c) lim 36 8 36
→∞ x
x 2
flexiones

16. La producción de una empresa (en unidades de un determinado producto), en función del número
de trabajadores, “x”, es p(x) = 800x − 5x2 ; 0 ≤ x ≤120 . El precio de venta de cada unidad, en
función de la producción, es ( ) 400
h p = − p
100
a) ¿Con que número de trabajadores se alcanza la producción máxima?
b) Si hay 50 trabajadores, ¿cuál es el precio de venta de cada unidad producida?
c) Que número de trabajadores es necesario para que el precio de venta de cada unidad sea 205.
d) ¿Cuáles serían los ingresos con 100 trabajadores?
Solución
a) Tenemos que derivar la función de producción e igualar a cero
p '(x) = 800 −10x = 0⇒ x = 80
p ''(x) = −10⇒ x = 80 es un máximo
b) p(50) = 800·50 − 5·502 = 27500
Con 50 trabajadores se producen 27500 unidades y el precio de venta de estas unidades será:
(27500) 400 27500 125
h = − =
100
h p = − p = , entonces se habrán producido p =19500 unidades.
c) Si ( ) 400 205
100
Esto hace que 800x − 5x2 =19500 ; es decir:
x x
⎧ = ≤ ≤
30
0 120
5 x 2 800 x 19500 0 x
30
− + = ⇒ ⎨ ⇒ = ⎩ x
=
130
trabajadores.
d) p(100) = 800·100 −5·1002 = 30000
h(30000) = 400 − 30000 =100
100
Ingresos = (unidades producidas) x (precio de venta) = 30000 x 100 =3000000

17. Se espera que, en los próximos diez años, l a s gananci a(esn millones de euros) de una
empresa, vengan dadas por la función P t ( ) = − 2 t 2 + 2 0 t + 5 .
a) Determinar cuándo las ganancias son iguales a 5 millones de euros.
b) Determinar en qué años decrecen las ganancias ¿Cuándo son máximas?
c) ¿Cuáles son las ganancias acumuladas durante los cinco primeros años?
Solución
a) P(t) = −2t2 + 20t + 5 = 5 cuando t = 0 y t =10 .
b) P′(t) = −4t + 20 = 0⇒t = 5 y P′′(5) = −4 < 0 . Por tanto las ganancias son máximas cuando t = 5
y decrecen entre los años 5 y 10.
c) Ganancias acumuladas ( ) 5
( ) 2 20 5 2 10 5 515
= ∫ 5 P t dt = ∫
5 − t 2 + t + dt = ⎛⎜ − t 3 + t 2
+ t⎤⎥ = 0 0
⎝ ⎦ 3 3
0

18. 4.- Una empresa quiere producir c(t) = 200 +10t unidades de un producto que quiere vender
a p(t) = 200 − 2t euros cada unidad, siendo t el número de días transcurridos desde el inicio de
la producción.
a) Hallar, dependiendo de t, la función beneficio B(t) .
b) Determinar el intervalo de decrecimiento para B(t) hasta que su valor sea cero.
Solución
a) B(t ) = p(t)c(t) = (200 − 2t )(200 +10t ) = 40000 +1600t − 20t2
b) B'(t ) =1600t − 40t . B'(t ) = 0⇒t = 40 . El máximo se alcanza para t = 40.
El intervalo de decrecimiento es [40,100]

19. 3.- Se ha observado que, para velocidades comprendidas entre 25 y 175 km/hora, el consumo
en litros de gasolina de un vehículo cada 100 km, realizados a la velocidad constante de x
km/hora, se puede aproximar por la función C(x) = 7.5 − 0.05x + 0.00025x2 .
a) ¿A qué velocidad se obtiene el mínimo consumo? ¿Cuál es dicho consumo mínimo?
b) Haga un estudio del crecimiento y decrecimiento de la función C(x) en el intervalo
[25,175]. Determine las velocidades que corresponden a consumo máximo.
Solución
a)C '(x) = - 0,05 + 0,0005x
'( ) 0 -0,05 0,0005 0 0.05 100
C x = ⇒ + x = ⇒ x = =
0.0005
C ''(x) = 0,0005 > 0 por lo que en x=100 hay un mínimo
C(100) = 7.5 − 0.05·100 + 0.00025·1002 = 5 litros es el consumo mínimo.
b) C(x) es creciente cuando C '(x) > 0 ⇔ −0.05 + 0.005x > 0⇔ x > 100 , es decir, x∈(100,175]
C(x) es decreciente cuando C '(x) < 0 ⇔ −0.05 + 0.005x < 0⇔ x < 100 , x∈[25,100)
Al no tener máximos relativos en el intervalo [25,175] el máximo hay que buscarlo en los
extremos del intervalo:
C(25) = 7.5 − 0.05·25 + 0.00025·252 = 6.40625
C(175) = 7.5 − 0.05·175 + 0.00025·1752 = 6.40625

20. 4.- La velocidad (en metros por segundo) que alcanza cierto atleta en una carrera de 200
metros, viene dada en función de los metros recorridos, x, por la función
f (x) = 0.00055x(300 − x) . Deducir de forma razonada:
a) ¿Qué distancia ha recorrido el atleta cuando alcanza su velocidad máxima?¿Cuál es esa
velocidad máxima?
b) ¿Entre qué distancias su velocidad va aumentando?¿Y disminuyendo?
c) ¿A qué velocidad llega a la meta?
Solución
a)
f '(x) =0,165 - 0,0011x
'( ) 0 0,165 - 0,0011 0 0.165 150
f x = ⇒ x = ⇒ x = =
0.0011
f ''(x) = 0,0011 > 0 por lo que en x=150 hay un máximo
f (150) = 0.00055·150(300 −150) = 12.375 m/s
b) f (x) es creciente cuando f '(x) > 0 ⇔ 0.165 + 0.0011x > 0⇔ x > 150 , Entre 0 y 150 va
aumentando y entre 150 y 200 va disminuyendo ya que f '(x) < 0
c) f (200) = 0.00055·200(300 − 200) = 11 m/s