経済学のための実践的データ分析2. python, R, Jupyter notebook 事始め/統計ソフトちゃんちゃかちゃん

1. 経済学のための実践的データ分析
2. python, R, Jupyter notebook 事始め/
統計ソフトちゃんちゃかちゃん
1405教室
経済学研究科
原泰史
yasushi.hara@r.hit-u.ac.jp

2. 確認事項
• 電源タップは足りているでしょうか？
• Jupyter notebook はインストールできましたでしょうか？
• 前半は座学を中心にお届けするので、頑張って(ネットワーク帯域を確
保しながら)ダウンロードを終わらせていただけるとありがたいです。

3. 今日の内容. [4/12] python, R, Jupyter notebook 事始
め (あるいは、統計分析ソフトちゃんちゃかちゃん)
• Stata や SPSS, SAS など統計分析ソフトは多数存在します。
これらのメリットや特徴について前半は説明します。
• 後半は、本講義で主に利用する jupyter notebook を用いて,
python やR の基本的なコマンドについて実習を交え説明を行
います。テーマは「サンクコスト」です。

4. 前回のリマインド

5. Jupyter notebook とは
• プログラムを実行し、実行結果を記録できるツール
• 数値計算・データ解析で広く用いられている
• 実行結果は notebook 形式で保存可能
• 便利なので使ってみましょう。

6. Jupyter Notebook のインストール(1)
• 1. https://anaconda.com にアクセスし, Python3.7 バージョン
の [Download] をクリック
Windows版 Mac版
ダウンロードが終わるまで待つ。

7. Jupyter Notebook のインストール(1)
• 2. [Download] をクリックする

8. Jupyter Notebook のインストール (3)
• “Next >” をクリックする • “I Agree” をクリックする

9. Jupyter Notebook のインストール(3)
• “Next >” をクリックする • “Next >” をクリックする

10. Jupyter Notebook のインストール (4)
• “Install” をクリックする

11. Jupyter Notebook の起動 (1)
• スタートメニューから, Jupyter Notebook を選択する

12. Jupyter Notebook の起動 (2)
• コンソールが表示される

13. Jupyter Notebook の起動 (3)
• New から Python 3 を選択する

14. Jupyter Notebook の起動(4)
• 1+1 を入力し, Run をクリック
• “2” が出力される

15. 今日の内容
(105分)
1: 統計ソフトはどれを使うべきか
aka excel は最強の統計ソフトか？
2: python を使ったデータ分析事例
の紹介
3: jupyter notebook + python でデー
タを触って, 回帰分析を回してみよう

16. 統計ソフト
ちゃんちゃかちゃん*
※. 1970年代から80年代初等にかけて流行した、落語
や歌謡曲のサビだけをつなぎあわせたメドレー/オム
ニバス形式の作品のこと

17. そもそも。
• なぜこの講義は python やR on jupyter notebook を使うのか？
• 一番の理由: 無償だから
• 有償の統計分析ソフト (ex. Stata) の場合
• 学生の間は導入コストはかなり低い
• が、社会人になると継続して最新バージョンを継続的に導入するコス
トは極めて高くなる
• 仕方ないから、マスターコースやドクターコースに行けばいいじゃな
い

18. 経済/経営学部の統計ソフトの利用状況
{一橋, 東大, 早稲田, 慶應, 東経大}
• 各大学のシラバスから、
• SPSS
• Eviews
• Stata
• SAS
• Python
というタームが含まれている講義を抽出。
※. R は exact matching できないので除外。
• 経済学部・経営学部の講義で、どういった統計ソフトが使われ
ているかを調査

19. 経済学部の統計ソフトの利用状況
{一橋, 東大, 早稲田, 慶應, 東経大}
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
経済学部 商学部 経済学 商学・経営学 経済学部 三田・経済学部
一橋大学 一橋大学 早稲田大学 早稲田大学 東京大学 慶應義塾大学 東京経済大学
SPSS Stata SAS Eviews Python

20. 経済学部の統計ソフトの利用状況
{一橋, 東大, 早稲田, 慶應, 東経大}
• Findings
• SPSS のユーザ数は減少
• Stata で統計分析を教えるシェアは未だ高い
• 早稲田謎のSAS 人気
• Python はデータサイエンス系の講義で広く登場
• 一橋大学経済学部でpython というタームが出てくるのは、本講義以外だと山田
先生の講義

21. SPSS is dying
Source: http://lindeloev.net/spss-is-dying/

22. SPSS is dying (cont.)
• “I predict that R overtakes SPSS in yearly citations by 2020.
The implications are clear:
• If you use SPSS in your business or research, move to R now rather
than later.
• Do not ask for SPSS competences in job postings. You will scare
away the good candidates.
• We are doing students a disservice by teaching SPSS. Switch
to JASP for simple one-off analyses and R for complex or repeated
analyses. Rstudio Desktop is a highly recommended interface to R.”
Source: http://lindeloev.net/spss-is-dying/

23. Data Analytics Job Market
The number of data science jobs for the more
popular software (those with 250 jobs or more,
2/2017).
Jobs trends for R (blue & lower) and Python (orange &
upper).
http://r4stats.com/articles/popularity/

24. 各統計ソフトの比較
1. Stata
2. SPSS
3. EViews
4. (Microsoft) Excel
幸いなことにどのソフトウェアも持っているので、実機をお見せ
しながら説明します

25. 1. Stata
• 事実上のデファクトスタンダー
ド(だった)
• (重)回帰分析やパネルデータ分
析, 主成分分析など, 経済学・経
営学での多変量解析はほぼ網羅
している
• 大学の経済学・（定量分析を行
う）経営学の先生の使用率も高
い
• ゼミによっては基本的な分析ソ
フトとして指定されている場合
も
• 主なテキストブック

26. 1. Stata
・右下のインターフェースにコマンドを打ち込む
・データはexcel 経由またはsql で流し込む

27. 2. SPSS
• Stata 以前のデファクトスタ
ンダード
• 12年前に一橋大でマーケティ
ングサイエンスの講義を受講
したときは、SPSS が指定さ
れていました
• 現在はIBM が保有
• GUI ベースでデータの処理お
よび解析が行えることが特徴

28. 2. SPSS

29. 2. SPSS

30. 3. EViews
• やはり一世代前に主力の統計
分析ソフト
• ファイナンス・時系列分析
(ARCH, GARCH, MR, AR,
VAR) などに特化
• 詳しくは関連するファイナン
ス・計量経済学の講義で
• 回帰分析など、行える分析は
Stata/SPSS とほぼ同じ

31. 3. EViews
・変数をExcel or SAS or Stata
or SPSS 経由で取り込み
・変数の長さを最初に指定して
・コマンドを上のウインドウに
打ち込んで、解析を行う

32. 4. Excel
• Microsoft Office 365 で現在は
主に提供
• 生協で買うパソコンや Surface
に必ず入ってるやつ
• 某省庁のデータ分析はだいたい
Excel で完結してたりする(で
ビックデータの時代とか言いが
ち)
• 記述統計や、基本的なデータの
分析であればExcel で十分
• 一昔まえの「定量的な」卒論とか

33. 4. Excel

34. まとめ
名称 Stata SPSS EViews Excel
販売・提供母体 Stata IBM ライムストーン マイクロソフト
インターフェース GUI (コマンドベー
ス)
GUI GUI (コマンドベー
ス)
GUI
主なメリット (経済学・経営学周
りの)ユーザーが多
い
クリックだけで
データ解析ができ
る
時系列解析をする
ときに、コマンド
を書く必要がない
すぐに手に入る。
情報基盤センター
のPCやスマホから
扱える
コスト(学生編)
・イニシャルコス
ト
86,400円 (キャン
ペーン中)
124,000円 63,720円 0円 (一橋大学生は
office 365 サブス
クリプションあり)
・アップグレード
コスト
101,520円 136,600円 49,680円 0円(一橋大学生は
office 365 サブス
クリプションあり)
コスト(社会人編) 262,440円 310,000円 206,280円 12,744円
・アップグレード
コスト
172,,800円 54,900円 97,200円 12,744円

35. まとめ(2)
• ランニングコストやサンクコストを考えると, 実は Excel でな
んでも出来るようになるのが最適コースの可能性
• Stata や SPSS など統計ソフトは、学生の身分だと比較的安価
に導入出来る。が、最新の機能をキャッチアップするのは辛い。
• （会社で稟議書が通るかというと、関連部局でも割と怪しい。）
• ちなみに、IT スタートアップで働いていたときは、大学生の身分で
買った Eviews やSPSS を用いて解析をしていました
• ということで、Excel + 無償で導入できる R and/or Python が
2019年現時点での最適解！
• 会社によっては, Jupyter Notebook やR Studio が自由にインストール
できるPC が供給されない可能性も (2019年現在は)

36. 2. Python を使った解析の
具体例

37. はじめに
• 研究ユースでの Python 活用のユースケースをご紹介
• いろいろな研究プロジェクトにコミットしていますが
• SPSS オンリー
• Stata + Excel (これが一番多い)
• Stata + Python + Excel
• Stata + SQL + Excel
など, 組む先生によって使う統計ソフトは異なります.

38. 研究プロジェクト
• 日本企業とアメリカ企業の研究開発パフォーマンスの比較
• 特許データ、財務データ、研究開発投資データを接合すること
で、企業のROA, ROI が研究開発パフォーマンスによってどう
説明付けられるか定量的に分析
• 一橋大学イノベーション研究センターの Working Paper として
昨年発表
• Yamaguchi, Nitta, Hara, and Shimizu (2018) Staying
Young at Heart or Wisdom of Age: Longitudinal. Analysis of Age
and Performance in US and Japanese Firms., IIR Working Paper,

39. Firm Age And Profitability
United States
Japan

40. 東証上場企業（連結、事業会社）の平均年齢（2012年時点）
40
企業数
年齢
0
20
40
60
80
100
120
1
6
11
16
21
26
31
36
41
46
51
56
61
66
71
76
81
86
91
96
101
106
112
118
124
平均は60.5歳、中央値は63歳

41. NYSE上場企業（連結、事業会社）の年齢分布（2012年時点）
41
企業数
年齢
0
5
10
15
20
25
30
35
1
8
14
20
26
32
38
44
50
56
62
68
74
80
86
92
98
104
110
116
123
129
135
142
148
155
162
168
179
206
268
平均は60.95歳、中央値は51歳
• 実は平均年齢は日本と同じ、但し中央値は12歳若い

42. 総特許出願数推移(東証上場企業)
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000

43. 総特許出願数推移(新興市場企業)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
1964 1966 1968 1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012

44. 0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
160000
180000
総特許出願数推移(東証上場企業; 企業別top30)
パナソニック 日立製作所 東芝 日本電気 キヤノン
三菱電機 富士通 ソニー リコー トヨタ自動車
シャープ セイコーエプソン 富士フイルムホールディングス パナソニック電工 三洋電機
日本電信電話 富士電機 三菱重工業 デンソー 日産自動車
新日本製鐵 本田技研工業 コニカミノルタホールディングス 住友電気工業 クボタ
オリンパス 沖電気工業 東レ 川崎製鉄 大日本印刷

45. 0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
総特許出願数推移(新興市場企業; 企業別top30)
ユニバーサルエンターテインメント オンキヨー 藤商事 ニスカ タイヨーエレック
シチズン電子 大井製作所 元旦ビューティ工業 キヤノン化成 ミヨタ
エムケー精工 エスケー化研 日本マイクロニクス マーレテネックス ジャストシステム
デジタル ミマキエンジニアリング フクダ電子 日本アンテナ 桂川電機
シーシーアイ 松本油脂製薬 新コスモス電機 高見沢サイバネティックス サン電子
マキ製作所 ハーモニック・ドライブ・システムズ 綜研化学 ユタカ技研 ケーブイケー

46. ソニーの特許分類推移
2019/4/11 46

47. 技術距離の計測
• We used technological distance as an indicator of R&D
rigidity.
• The technological distance construct, proposed by Jaffe
(1986), was originally intended as a measure of the degree of
similarity between technological investment portfolios (which
Jaffe called ‘technological positions’) of two different firms.
• Thus, we estimated R&D rigidity by calculating the similarity
between a firm’s current and previous technological
investment portfolio. The more similar a firm’s current and
previous portfolios, the more rigid its R&D resource allocation.
Technological distance was calculated as follows.

48. 技術距離の計測
• technological position of firm i in year t
• 𝐹𝑖𝑡 =
𝑁𝑃𝑖1𝑡
𝑁𝑃𝑖𝑡
,
𝑁𝑃𝑖2𝑡
𝑁𝑃𝑖𝑡
, ⋯ ,
𝑁𝑃𝑖𝑗𝑡
𝑁𝑃𝑖𝑡
• Fit is 1 ☓ j vector, NPit denotes the number of patents obtained by firm i in
year t and NPijt is the number of patents obtained by firm i in field j in year
t
• Technological distance (Pit) between firm i’s technological
position in year t (Fit) and year t-1 (Fit-1) is obtained from
• 𝑃𝑖𝑡 = ൗ𝐹𝑖𝑡 ∙ 𝐹𝑖𝑡−1
′
𝐹𝑖𝑡 ∙ 𝐹𝑖𝑡
′
𝐹𝑖𝑡−1 ∙ 𝐹𝑖𝑡−1
′ 1/2
• Technological distance assumes a value between 0 and 1, and it is unity if
the two vectors are identical, which implies that the firm did not changes
its investment profile at all between t-1 and t, and zero if the two vectors
are orthogonal, which implies that the firm changed its technological
position completely.

49. 計算をするには…
• 日本企業だと数千社, アメリカ企業でも数百社の, 複数年度間の
特許数を, 技術分野 (IPC 分類) ごとに解析することが必要
• Excel でも超絶がんばれば可能だけど, たぶん徒労
• vlookup とマクロを組み合わせる
• そこで, Python でデータを処理
• 先程与えられた数式を, Python でコード化をして, Panda パッ
ケージを用いてデータを取り込み. 取り込んだ, 企業IDと出願年
ごとの特許数と特許分類データに基づき, 技術距離を算出して
csv ファイルに保存

50. 技術距離の計測
Source: PatentsView and Derwent Innovations Index for
USPTO patents, and IIP Patent Database for JPO patents.
R&D Rigidity by Age (t-3, 3-year average)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
4
10
16
22
28
34
40
46
52
58
64
70
76
82
88
94
100
106
112
118
124
130
136
142
148
154
160
166
172
178
184
190
196
202
208
US JPN

51. 技術距離の計測(2)
• R&D Rigidity by Age (t-5, 3-year average)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
7
13
19
25
31
37
43
49
55
61
67
73
79
85
91
97
103
109
115
121
127
133
139
145
151
157
163
169
175
181
187
193
199
205
US JPN
Source: PatentsView and Derwent Innovations Index for
USPTO patents, and IIP Patent Database for JPO patents.

52. ということで。
• 数式が与えられたときに, それに基づいてコーディングして分
析出来るようになると, かなりデータサイエンスの勘所を抑え
た感じにはなります。
• 千里の道も一歩から。
• 今日の残りの時間は, サンプルデータを使って Jupyter
Notebook で重回帰分析までをやってみましょう。

53. 3: jupyter notebook +
python でデータを触っ
て, 回帰分析を回してみ
よう

54. Exercise 1: 1+1 = 2 を計算する
• Jupyter notebook の in: に, 1+1 をタイプする
• 2 がout: に出力される

55. Exercise 2: 3*9-12+14/3 を計算する
• Jupyter notebook の in: に, 3*9-12+14/3 をタイプする
• 19.66666… がout: に出力される

56. Exercise 3(1): sin(1)+cos(2)+tan(3) を計算する
Exercise 3(2): 円周率を確認する
• Math パッケージをインポートする
• python の場合, データ処理 etc… を円滑を行うためにはパッケージを
インポートします.
• ここでは, 数学関数の含まれる math パッケージをインポートして, 続
いて三角関数を計算してみます
• Sin(1)+cos(2)+tan(3)を計算する
• ついでに, 円周率を確認する
• Out に以下の通り出力されます

57. Numpy パッケージを利用してみる
• NumPy
• 数値の配列・行列などを効率的に処理するパッケージ
• http://www.numpy.org
• インポートの方法
• 先程の数学関数と同じく
import numpy as np とタイプし, ライブラリをインポートする

58. Exercise 4(1): ベクトル計算をやってみる
• まずはnumpy をインポート
• ベクトルaとベクトルbを定義
• ベクトルaとベクトルbの
中身を確認

59. Exercise 4(2): ベクトル計算をやってみる
• ベクトルa の2乗を求める
• ベクトルa+bの要素ごとの積
を求める
• ベクトルの内積を求める

60. Exercise 5: 行列演算をやってみる
• 5x5 の行列cをランダムな値で
作成する
• 出力してみる

61. Exercise 5(2): 行列演算をやってみる
• 逆行列C-1を求める
np.linalg.inv(c)
• 行列C*C-1 して, 単位行列E になることを確認する
c.dot(np.linalg.inv(c))

62. Panda パッケージを利用してみる
• pandas
• Python でデータ解析を行うためのパッケージ
• Excel の表やSQL を直接取り込んで処理するのにピッタリ
• データ構造
• 一次元: Series
• 二次元: DataFrame (※. 個人的にはよく使います)
• 行タイトルや列タイトルがつけられる
• 文字列と数字を excel みたいに混在出来る
• インポートの方法
• import pandas as pd

63. Exercise (6): Pandas パッケージで行列を
DataFrame に変換する
• Pandas パッケージをイン
ポートする
• import pandas as pd
• 先程作成した行列c を
DataFrame に変換する
• Data “F”rame になってるよう
にチェック
• 出力する
• 行番号と列番号が付いているこ
とが確認できる

64. Exercise (6-2): 行番号と列番号を名称変更する
• Pandas パッケージをイン
ポートする
• import pandas as pd
• 先程作成した行列c を
DataFrame に変換する
• Data “F”rame になってるよう
にチェック
• 出力する
• 行番号と列番号が付いているこ
とが確認できる

65. Exercise (6-3): 行番号と列番号を名称変更する
• 行番号を変更する
• df1.columns で指定
• (データフレーム名).変更箇所
• 列番号を変更する
• df1.index で指定
• (データフレーム名).変更箇所
• 出力して確認

66. Exercise (7): DataFrame 内の要素を指定する
• 行と列の位置を指定して, 値
を取り出す
• 特定の列の値を取り出す
• at を用いて, 単一要素を取り
出す
• 特定の行の値を取り出す

67. 単回帰分析を廻してみる
• Y=αX+β をベタに求めてみましょう
• 決定係数や係数を求める
• 使うデータ
• 落合博満(ロッテ, 中日, 巨人, 日本ハム) の打率(X)と年俸(Y)
• データソース
• https://nipponbaseball.web.fc2.com/personal/batter/ochiai_hiromitsu.html

68. Excercize (8): 単回帰のために必要なライ
ブラリを取り込み, データを入れ込む
• matplot.lib.pyplot と scipy.stats をインポートする
• avg 変数と salary 変数を作成する

69. Exercise (8-2): 単回帰分析を回す
• avg とsalary をそれぞれ, Numpy x, yに変換する
• 回帰分析を lingregress で実施する
• 回帰分析の結果を出力する (p値的に, 打率は年俸を説明できて
いない可能性)

70. Exercise (8-3): 単回帰分析を回す
• x,y の散布図と回帰曲線を
プロットして表示する
• どうやら、打率は年俸を説
明出来ていない様子
• Self Exercise
• 打率ではない、別の変数
(Ops やホームラン数) を
引っ張ってきて, 同じように
単回帰を廻してみましょう

71. Exercise (8-4);
単回帰を回す alternative バージョン
• statsmodels.api モ
ジュールを使う
• add_constatnt によって
定数項を追加する
• Excel やStata で解析し
たのと似たような表が出
力される

72. 重回帰分析を行う
• サンプルデータ
• Scikit-learn の住宅価格データ
• ボストンの506地区について, 犯罪率や固定資産税率, 教師あたりの生
徒数などの属性値と, 住宅平均価格をテーブルに
• 目的変数を target, 説明変数を boston に振り分ける

73. 重回帰分析を行う
CRIM 町ごとの人口一人あた
りの犯罪率
AGE 1940年以前に建てられ
た、所有者が住む建物
の割合
ZN 宅地の比率。25,000平
方フィート以上のゾー
ンで数えた値
DIS ボストンの5つの雇用中
心からの距離
INDUS 町ごとの非小売業の面
積比
RAD 放射状幹線道路からの
距離
CHAS チャールズ川に道がつ
ながっているか
TAX 固定資産税率
NOX NOx 濃度 PTRATIO 町ごとの教師あたりの
生徒数
RM 住宅あたり部屋数 B 町ごとの黒人比率
LSTAT 低階層人口の比率 MEDV 所有者が住む住宅の価
値の中央値

74. Exercise(9) 重回帰分析を行う
• データセットをsklearn から
取り込む
• データを dset に放り込む
• boston に説明変数を放り込
む
• target に被説明変数を放り込
む
• 結果をアウトプットする

75. Exercise(9-2) 重回帰分析を行う
• 出力結果

76. Exercise(10): VIF 値を確認する
• 多重共線性のチェッ
ク
• statsmodels.stats.ou
tliers_influence から
variance_inflation_fa
ctor を使って
VIF(Variance
Inflation Factor) を
チェックする

77. レポートのお知らせ+
成績評価の方法

78. 次回の講義. [4/15]データの可用性とプラ
イバシー
• インターネットには様々な情報が掲載されています。あるいは、
大学の図書館からデータベースにアクセスすれば、様々な情報
を得ることが出来ます(一橋大学の場合は特に！)。
• しかしながら、データには個人情報や企業の機密情報などが含
まれており、これらの適切に管理し運用することは極めて重要
です。テキストブックの内容に基づき、説明を行います。

79. 来週火曜日の講義
• 最初にレポートをアナウンスします
• レポートの評価方法は以下の通り
• Excellent
• データおよび適切な分析手法に基づき、独自の視点で十分に考察がなされている
• Good
• データおよび適切な分析手法に基づき、独自の視点で考察がなされている
• Fair
• データに対して分析が行われているが、一般的な範囲での考察にとどまる
• Bad
• 考察がなされていない，あるいはデータの解析が十分に行われていない
• Failed
• 断りなく他者の見解を引用している，その他不正行為に相当する

80. 成績評価(1)
• 平常レポート (40パーセント; 必須)
• 講義計画に示したように、複数の回で学生にはレポートを課します。
レポートは Word/PowerPoint形式のメールあるいは, github 経由で
の提出が求められます(どの方法を採用するかは、初回の講義で決定し
ます)。
• レポートには、(A.) 利用したデータセットとその内容, (B.) 分析の問
い, (C.) 分析手法, (D.) 分析結果 を明記する必要があります。ページ
数や文字数は問いませんが, これらの内容が含まれており, 講義中にア
ナウンスする評価手法を満たす場合, 高い得点を得ることが出来ます。
• 平常点 (10パーセント)
• 本講義は実習が多く含まれており, また取り扱うデータセットや内容も
多彩です。そのため、受講者同士が協力する必要があります。こうし
た受講者の態度を評価するために、平常点を設けます。

81. 成績評価(2)
• 最終レポート (40パーセント; 必須)
• 講義の最終回では最終レポートの報告会を行います。受講者は3名から4名か
ら構成されるグループで、最終レポートの報告を行う必要があります(人数は
受講者の人数により変更される可能性があります)。最終レポートでは、プレ
ゼンテーションの方法を学生は自由に選ぶことが出来ます。PowerPoint 以
外にも、Prezi などのアクティブプレゼンテーションツールや、他のプレゼ
ンテーション手法を用いることが出来ます(プレゼンテーションツールについ
ては、必要であれば講義内で説明する機会を設けます)。最終レポートでは、
以下の点について評価を行います。
(A.) グループ内の役割分担
(B.) データセットのユニークさおよび、それが適切に処理されているか
(C.) 分析手法のユニークさおよび、それが適切に解析されているか
(D.) プレゼンテーションのユニークさ
(E.) 質疑応答にうまくリプライすることが出来ているか
• 最終レポートの360°グループ評価 (10パーセント)
• 3. の最終レポートについて、グループの自己評価および他のグループからの
評価を行います。3. で挙げた評価ポイントに基づき、グループメンバーおよ
び他のグループは評価を行います。

82. References (for today’s lecture)
• 『Pythonによるデータ解析入門』, オーム社
• NumPyで逆行列を求めるlinalg.invの使い方
• https://deepage.net/features/numpy-inv.html

83. THANKS
yasushi.hara@r.hit-u.ac.jp