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EXERCICE N°1
La parabole ci-contre est la courbe représentative d’une fonction
polynôme du second degré f dans un repère orthogonal.
( 1i = ; 5j = )
Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une courbe ne représente pas une primitive de la
fonction f . Laquelle ? (justifier la réponse)
Figure 1 Figure 2 Figure 3
EXERCICE N°2
Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalle I.
1°)
)²1x²x(
1x2
x:f
++
+
֏ ; I = R
2°) )1x²x)(1x2(x:f +++֏ ; I = R
3°)
1x²x
1x2
x:f
++
+
֏
4°) )1x²xsin()1x2(x:f +++֏ ; I = R
5°) xcosxxsinx:f +֏ ; I = R
6°)
²x1
x
x:f
−
֏ ; I = ]-1,1[
7°)
x²sin
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x:f ֏ ; [,0]I π=
8°) f : x ֏ cosx.cos2x ; I = R
9°)
²x
xsinxcosx
x:f
+
֏ ; [,0]I +∞=
10°)
( )3
x2²x
1x
x:f
+
+
֏ ; [0,2]I −=
EXERCICE N°3
1°)Déterminer trois réels a, b et c tels que : x2 = a.(x - 1)2 + b.(x - 1) + c.
2°) En déduire les primitives de f sur R tel que ( )20092
1xx)x(f −=
EXERCICE N°4
Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x.cos x.
1°)Déterminer la dérivée de la fonction g définie sur R par : g(x) = x.sin x.
2°)En déduire une primitive de f sur R
EXERCICE N°5
Soit la fonction f définie sur R par : f(x) = acosx +bcos3x où a et b deux réels .
1°)Calculer )x(f ′ et )x(f ′′
2°)Comparer f(x) et )x(f ′′ En déduire les primitives de f dans R .
EXERCICE N°6
Soit la fonction f définie par : f(x) =
)²4²x(
x8
−
1°)Prouver qu’il existe deux réels a et b telles que : pour tout x de { }2,2R −− : on ait : f(x) =
)²2x(
a
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2°)Déduire les primitives sur ] [2,2− de f .
Séries d’exercices 4ème Maths
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2
EXERCICE N°7
Soit f la fonction définie sur l’intervalle I = ]-∞ ; 2[ par :
( )2
2x
)4x(x
)x(f
−
−
=
1°) Déterminer les réels a et b, tels que pour tout réel x de l’intervalle I = ]-∞ ; 2[ :
( )2
2x
b
a)x(f
−
+=
2°) En déduire la primitive de f sur l’intervalle I = ]-∞ ; 2[ qui s’annule en x = 1.
EXERCICE N°8
1°)Déterminer une primitive sur 





4
,0
π
de la fonction :
x²cos
1
x ֏
2°)On considère le fonction G, définie sur 





4
,0
π
par :
xcos
xsin
)x(G 3
= .
Montrer que G est dérivable sur 





4
,0
π
, et que :
x²cos
2
xcos
3
)x(G 4
−=′
3°)En déduire une primitive, sur 





4
,0
π
, de la fonction :
xcos
1
x:f 4
→
EXERCICE N°9
Soit F la fonction définie sur ]-∞ ; 1] par : x1x)x(F −=
1°) a) Montrer que F est dérivable sur ]-∞ ; 1[ et étudier la dérivabilité de F en 1.
b) Calculer F’(x) pour tout x de ]-∞ ; 1[.
2°) Déterminer une primitive de la fonction g définie sur ]-∞ ; 1[ par :
x1
1
)x(g
−
= .
3°) Soit h la fonction définie sur ]-∞ ; 1[ par :
x1
x
)x(h
−
=
a) Exprimer h(x) en fonction de F’(x) et de g(x).
b) En déduire une primitive H de h sur ]-∞ ; 1[.
c) Déterminer la primitive H0 de h s’annulant en x = -3.
EXERCICE N°10
Soit la fonction f définie sur 





∞−
2
3
, par : f(x) = ( ) x231x²x −++
1°)Montrer que : x² =
4
9
2
)x23(3
4
)²x23(
+
−
−
−
2°)Déterminer alors le primitive de f dans 





∞−
2
3
, qui s’annule en 1
EXERCICE N°11
1°)Montrer que la fonction
²x1
1
x:f
+
→ admet des primitives sur R.
On notera alors F la primitive de vérifiant F(0)=0.
2°)Etudier la parité de F et préciser le sens de variations de F sur R.
3°)Etudier les variations de la fonction sur ] [+∞,0
4°)En déduire qu’il existe une constante c telle que, pour tout x > 0 , on ait : ( ) 





−=
x
1
FcxF
5°)Montrer que ( ) cxFlim
x
=
+∞→
6°)On pose, pour tout x de 





−
2
,
2
ππ
, xtan)x(g = .
a- Montrer que la fonction x)x(gFx: −֏φ est dérivable sur 





−
2
,
2
ππ
, et calculer )x('φ .
3
b- En déduire que, pour tout x de 

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
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,
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ππ
, x)x(gF = .
c- Déterminer alors ( ) ( ) 
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etF3F,1F
d- Montrer que
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π
=
EXERCICE N°12
Soit la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
1xx
1x
)x(f 2
2
++
+
= .
1°) a) Calculer la limite de f en +∞.
b) Etudier les variations de f sur [0 ; +∞[ et dresser son tableau de variations.
2°) Soit F la primitive de f sur [0 ; +∞[ telle que F(0) = 0. On ne cherchera pas à exprimer F(x).
a) Pourquoi peut-on affirmer l’existence de F sur [0 ; +∞[ ?
b) Quelles sont les variations de F sur [0 ; +∞[ ?
3°) On définit sur [0 ; +∞[ les fonctions H et K par H(x) = F(x) – x et K(x) = F(x) –
3
2
x.
a) Etudier, sur [0 ; +∞[, les variations de H et K.
b) En déduire que, pour tout x ≥ 0, on a :
3
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x ≤ F(x) ≤ x.
c) En déduire la limite de F en +∞.
4°) a) Démontrer que l’équation F(x) = π admet une solution unique α sur [0 ; +∞[.
b) Montrer que l’on peut préciser : π ≤ α ≤
2
3
π.
EXERCICE N°13
Soit f la fonction définie sur ]-1 ; 1[ par :
2
x1
1
)x(f
−
= , F la primitive de f sur ]-1 ; 1[ qui s’annule en 0, et g
la fonction définie sur 





−
2
;
2
ππ
par : g(x) = F(sin x).
Démontrer que g’(x) = 1 sur 





−
2
;
2
ππ
et en déduire que F(sin x) = x pour tout x de 

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−
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Exercice primitives

  • 1. 1 EXERCICE N°1 La parabole ci-contre est la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré f dans un repère orthogonal. ( 1i = ; 5j = ) Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une courbe ne représente pas une primitive de la fonction f . Laquelle ? (justifier la réponse) Figure 1 Figure 2 Figure 3 EXERCICE N°2 Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalle I. 1°) )²1x²x( 1x2 x:f ++ + ֏ ; I = R 2°) )1x²x)(1x2(x:f +++֏ ; I = R 3°) 1x²x 1x2 x:f ++ + ֏ 4°) )1x²xsin()1x2(x:f +++֏ ; I = R 5°) xcosxxsinx:f +֏ ; I = R 6°) ²x1 x x:f − ֏ ; I = ]-1,1[ 7°) x²sin 1 x:f ֏ ; [,0]I π= 8°) f : x ֏ cosx.cos2x ; I = R 9°) ²x xsinxcosx x:f + ֏ ; [,0]I +∞= 10°) ( )3 x2²x 1x x:f + + ֏ ; [0,2]I −= EXERCICE N°3 1°)Déterminer trois réels a, b et c tels que : x2 = a.(x - 1)2 + b.(x - 1) + c. 2°) En déduire les primitives de f sur R tel que ( )20092 1xx)x(f −= EXERCICE N°4 Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x.cos x. 1°)Déterminer la dérivée de la fonction g définie sur R par : g(x) = x.sin x. 2°)En déduire une primitive de f sur R EXERCICE N°5 Soit la fonction f définie sur R par : f(x) = acosx +bcos3x où a et b deux réels . 1°)Calculer )x(f ′ et )x(f ′′ 2°)Comparer f(x) et )x(f ′′ En déduire les primitives de f dans R . EXERCICE N°6 Soit la fonction f définie par : f(x) = )²4²x( x8 − 1°)Prouver qu’il existe deux réels a et b telles que : pour tout x de { }2,2R −− : on ait : f(x) = )²2x( a − + )²2x( b + 2°)Déduire les primitives sur ] [2,2− de f . Séries d’exercices 4ème Maths PrimitivesPrimitivesPrimitivesPrimitives Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** AlAlAlAli AKIRi AKIRi AKIRi AKIR Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/ O O O O
  • 2. 2 EXERCICE N°7 Soit f la fonction définie sur l’intervalle I = ]-∞ ; 2[ par : ( )2 2x )4x(x )x(f − − = 1°) Déterminer les réels a et b, tels que pour tout réel x de l’intervalle I = ]-∞ ; 2[ : ( )2 2x b a)x(f − += 2°) En déduire la primitive de f sur l’intervalle I = ]-∞ ; 2[ qui s’annule en x = 1. EXERCICE N°8 1°)Déterminer une primitive sur       4 ,0 π de la fonction : x²cos 1 x ֏ 2°)On considère le fonction G, définie sur       4 ,0 π par : xcos xsin )x(G 3 = . Montrer que G est dérivable sur       4 ,0 π , et que : x²cos 2 xcos 3 )x(G 4 −=′ 3°)En déduire une primitive, sur       4 ,0 π , de la fonction : xcos 1 x:f 4 → EXERCICE N°9 Soit F la fonction définie sur ]-∞ ; 1] par : x1x)x(F −= 1°) a) Montrer que F est dérivable sur ]-∞ ; 1[ et étudier la dérivabilité de F en 1. b) Calculer F’(x) pour tout x de ]-∞ ; 1[. 2°) Déterminer une primitive de la fonction g définie sur ]-∞ ; 1[ par : x1 1 )x(g − = . 3°) Soit h la fonction définie sur ]-∞ ; 1[ par : x1 x )x(h − = a) Exprimer h(x) en fonction de F’(x) et de g(x). b) En déduire une primitive H de h sur ]-∞ ; 1[. c) Déterminer la primitive H0 de h s’annulant en x = -3. EXERCICE N°10 Soit la fonction f définie sur       ∞− 2 3 , par : f(x) = ( ) x231x²x −++ 1°)Montrer que : x² = 4 9 2 )x23(3 4 )²x23( + − − − 2°)Déterminer alors le primitive de f dans       ∞− 2 3 , qui s’annule en 1 EXERCICE N°11 1°)Montrer que la fonction ²x1 1 x:f + → admet des primitives sur R. On notera alors F la primitive de vérifiant F(0)=0. 2°)Etudier la parité de F et préciser le sens de variations de F sur R. 3°)Etudier les variations de la fonction sur ] [+∞,0 4°)En déduire qu’il existe une constante c telle que, pour tout x > 0 , on ait : ( )       −= x 1 FcxF 5°)Montrer que ( ) cxFlim x = +∞→ 6°)On pose, pour tout x de       − 2 , 2 ππ , xtan)x(g = . a- Montrer que la fonction x)x(gFx: −֏φ est dérivable sur       − 2 , 2 ππ , et calculer )x('φ .
  • 3. 3 b- En déduire que, pour tout x de       − 2 , 2 ππ , x)x(gF = . c- Déterminer alors ( ) ( )         3 3 etF3F,1F d- Montrer que 2 c π = EXERCICE N°12 Soit la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : 1xx 1x )x(f 2 2 ++ + = . 1°) a) Calculer la limite de f en +∞. b) Etudier les variations de f sur [0 ; +∞[ et dresser son tableau de variations. 2°) Soit F la primitive de f sur [0 ; +∞[ telle que F(0) = 0. On ne cherchera pas à exprimer F(x). a) Pourquoi peut-on affirmer l’existence de F sur [0 ; +∞[ ? b) Quelles sont les variations de F sur [0 ; +∞[ ? 3°) On définit sur [0 ; +∞[ les fonctions H et K par H(x) = F(x) – x et K(x) = F(x) – 3 2 x. a) Etudier, sur [0 ; +∞[, les variations de H et K. b) En déduire que, pour tout x ≥ 0, on a : 3 2 x ≤ F(x) ≤ x. c) En déduire la limite de F en +∞. 4°) a) Démontrer que l’équation F(x) = π admet une solution unique α sur [0 ; +∞[. b) Montrer que l’on peut préciser : π ≤ α ≤ 2 3 π. EXERCICE N°13 Soit f la fonction définie sur ]-1 ; 1[ par : 2 x1 1 )x(f − = , F la primitive de f sur ]-1 ; 1[ qui s’annule en 0, et g la fonction définie sur       − 2 ; 2 ππ par : g(x) = F(sin x). Démontrer que g’(x) = 1 sur       − 2 ; 2 ππ et en déduire que F(sin x) = x pour tout x de       − 2 ; 2 ππ .