Este documento explica cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden superior con coeficientes constantes. Explica que estas ecuaciones tienen soluciones exponenciales determinadas por las raíces de la ecuación característica o auxiliar. Luego, detalla cómo encontrar las soluciones generales para diferentes tipos de raíces de la ecuación auxiliar, incluyendo ejemplos numéricos. Finalmente, resume cómo extender este método a ecuaciones de orden superior.

1. Lic. Martín J.AlonsoCalderón
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UNAN LEON, FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA
CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS
Componente: OPTATIVA 1 (ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS)
UNIDAD II: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR
Clase: # 13
Tema: Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
Se ha visto que la ecuación diferencial lineal de primer orden 𝑑𝑦 𝑑𝑥⁄ + 𝑎𝑦 = 0, en donde
a es una constante, tiene la solución exponencial 𝑦 = 𝑐1 𝑒−𝑎𝑥
en −∞ < 𝑥 < +∞.
Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones exponenciales en
−∞ < 𝑥 < +∞, de ecuaciones de orden superior como
𝑎 𝑛 𝑦(𝑛)
+ 𝑎 𝑛−1 𝑦(𝑛−1)
+ ⋯+ 𝑎2 𝑦′′
+ 𝑎1 𝑦′
+ 𝑎0 𝑦 = 0 (1)
En donde los 𝑎𝑖 , 𝑖 = 1, 2,3, … , 𝑛 son constantes. Lo sorprendente es que todas las
soluciones de la ecuación (1) son funciones exponenciales o se construyen a partir de
funciones exponenciales. Se empezara considerando el caso particular de la ecuación de
segundo orden:
𝑎𝑦′′
+ 𝑏𝑦′
+ 𝑐𝑦 = 0 (2)
Ecuación auxiliar
Si se ensaya una solución de la forma 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥
, entonces 𝑦′
= 𝑚𝑒 𝑚𝑥
y 𝑦′′
= 𝑚2
𝑒 𝑚𝑥
de
modo que la ecuación (2) se transforma en
𝑎𝑚2
𝑒 𝑚𝑥
+ 𝑏𝑚𝑒 𝑚𝑥
+ 𝑐𝑒 𝑚𝑥
= 0
o bien
𝑒 𝑚𝑥
(𝑎𝑚2
+ 𝑏𝑚 + 𝑐) = 0
Como 𝑒 𝑚𝑥
nunca se anula para los valores reales de x, es evidente que la única manera de
que esta función exponencial pueda satisfacer la ecuación diferencial es eligiendo m de
modo que sea una raíz de la ecuación cuadrática
𝑎𝑚2
+ 𝑏𝑚 + 𝑐 = 0 (3)
Esta última ecuación se llama ecuación auxiliar o ecuación característica de la ecuación
diferencial (2). Se consideraran tres casos, según la ecuación auxiliar tenga raíces reales
distintas, raíces reales iguales o raíces complejas conjugadas.
Recordar que la solución de esta ecuación es: 𝑚 =
−𝑏±√𝑏2
−4𝑎𝑐
2𝑎𝑐

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Caso I: Suponiendo que la ecuación auxiliar (3) tiene dos raíces reales distintas 𝑚1 𝑦 𝑚2 se
hallan dos soluciones:
𝑦1 = 𝑒 𝑚1 𝑥
𝑦 𝑦2 = 𝑒 𝑚2 𝑥
Ya hemos visto en la clase anterior que estas funciones son linealmente independientes en
−∞ < 𝑥 < +∞, y por lo tanto, forman un conjunto fundamental de soluciones. Se deduce
que la solución general de (2) en este intervalo es:
𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑚1 𝑥
+ 𝑐2 𝑒 𝑚2 𝑥
(4)
Caso II: Cuando 𝑚1 = 𝑚2 (raíces iguales), la solución general de (2) es:
𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑚1 𝑥
+ 𝑐2 𝑥𝑒 𝑚1 𝑥
(5)
Caso III: Cuando 𝑚1 𝑦 𝑚2 son complejas, entonces puede escribirse
𝑚1 = 𝛼 + 𝑖𝛽 y 𝑚2 = 𝛼 − 𝑖𝛽
en donde α y β > 0 son reales e: 𝑖2
= −1 ó 𝑖 = √−1 . No hay diferencia formal entre este
caso y el caso I; por ello,
𝑦 = 𝑐1 𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑥
+ 𝑐2 𝑒(𝛼−𝑖𝛽)𝑥
(6)
Sin embargo, en la práctica se prefiere trabajar con funciones reales y no con exponenciales
complejas. Ahora bien, es posible escribir (6) en una forma más práctica usando la formula
de Euler:
𝑒 𝑖𝜃
= cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃
En donde θ es un número real. La consecuencia de esta fórmula es que
𝑒 𝑖𝛽𝑥
= cos 𝛽𝑥 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 y 𝑒−𝑖𝛽𝑥
= cos 𝛽𝑥 − 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 (7)
En donde hemos empleado cos(−𝛽𝑥) = cos 𝛽𝑥 y 𝑠𝑒𝑛 (−𝛽𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥
Obsérvese que si primero sumamos y después restamos las dos ecuaciones de (7),
obtenemos respectivamente
𝑦 = 𝐶1 𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑥
+ 𝐶2 𝑒(𝛼−𝑖𝛽)𝑥
𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝛼
𝑒 𝑖𝛽𝑥
+ 𝐶2 𝑒 𝛼
𝑒−𝑖𝛽𝑥
𝑦 = 𝑒 𝛼
(𝐶1 𝑒 𝑖𝛽𝑥
+ 𝐶2 𝑒−𝑖𝛽𝑥
)
𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥[ 𝐶1{cos𝛽𝑥 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥} + 𝐶2{cos 𝛽𝑥 − 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥}]
𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥[(𝐶1 + 𝐶2)cos 𝛽𝑥 + (𝐶1 𝑖 − 𝐶2 𝑖)sen 𝛽𝑥]
Como forman un conjunto fundamental de soluciones de la E.D. dada en −∞ < 𝑥 < +∞
se puede simplemente llamar a 𝑐1 = 𝐶1 + 𝐶2 y a 𝑐2 = 𝐶1 𝑖 − 𝐶2 𝑖 y usar el principio de
superposición para escribir la solución general:

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𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝛼𝑥
cos 𝛽𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝛼𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 (8)
ó
𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥
(𝑐1 cos 𝛽𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 ) (8′)
Ejemplo 1: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) 2𝑦′′
− 5𝑦′
− 3𝑦 = 0 Solución: 𝑦 = 𝑐1 𝑒−𝑥 2⁄
+ 𝑐2 𝑒3𝑥
b) 𝑦′′
− 10𝑦′
+ 25𝑦 = 0 Solución: 𝑦 = 𝑐1 𝑒5𝑥
+ 𝑐2 𝑥 𝑒5𝑥
c) 𝑦′′
+ 𝑦′
+ 𝑦 = 0 Solución: 𝑦 = 𝑒−𝑥 2⁄
(𝑐1 cos
√3
2
𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛
√3
2
𝑥 )
Ejemplo 2: Problema de Valor Inicial
Resuelva el problema de valor inicial
𝑦′′
− 4𝑦′
+ 13𝑦 = 0, 𝑦(0) = −1, 𝑦′(0) = 2
Solución: 𝑦 = 𝑒2𝑥
(−cos3𝑥 +
4
3
𝑠𝑒𝑛 3𝑥 )

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Ecuaciones de orden superior
En general, para resolver una ecuación diferencial de orden n como
𝑎 𝑛 𝑦(𝑛)
+ 𝑎 𝑛−1 𝑦(𝑛−1)
+ ⋯+ 𝑎2 𝑦′′
+ 𝑎1 𝑦′
+ 𝑎0 = 0 (11)
En donde las 𝑎𝑖, 𝑖 = 1, 2, 3,… , 𝑛 son constantes reales, debemos resolver una ecuación
polinomial de grado n:
𝑎 𝑛 𝑚 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑚(𝑛−1)
+ ⋯ + 𝑎2 𝑚2
+ 𝑎1 𝑚 + 𝑎0 = 0 (12)
Si todas las raíces de la ecuación (12) son reales y distintas, la solución general de la
ecuación (ll) es
𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑚1 𝑥
+ 𝑐2 𝑒 𝑚2 𝑥
+ ⋯+ 𝑐 𝑛−1 𝑒 𝑚( 𝑛−1) 𝑥
+ +𝑐 𝑛 𝑒 𝑚 𝑛 𝑥
(13)
Es más difícil resumir los análogos de los Casos II y III porque las raíces de una ecuación
auxiliar de grado mayor que dos pueden presentarse en muchas combinaciones. Por
ejemplo, una ecuación de quinto grado podría tener cinco raíces reales distintas, o tres
raíces reales distintas y dos complejas, o una real y cuatro complejas, cinco reales pero
iguales, cinco reales pero dos iguales, etcétera. Cuando m1 es una raíz de multiplicidad k de
una ecuación auxiliar de grado n (esto es, k raíces son iguales a m1), se puede demostrar que
las soluciones linealmente independientes son
𝑒 𝑚1 𝑥
, 𝑥𝑒 𝑚1 𝑥
, 𝑥2
𝑒 𝑚1 𝑥
, ⋯ , 𝑥 𝑘−1
𝑒 𝑚1 𝑥
y que la solución general debe contener la combinación lineal
𝑐1 𝑒 𝑚1 𝑥
+ 𝑐2 𝑥𝑒 𝑚1 𝑥
+ 𝑐3 𝑥2
𝑒 𝑚1 𝑥
⋯+ 𝑐 𝑘 𝑥 𝑘−1
𝑒 𝑚1 𝑥
Por ultimo, recuérdese que cuando los coeficientes son reales, las raíces complejas de una
ecuación auxiliar siempre aparecen en pares conjugados. Así, por ejemplo, una ecuación
polinomial cúbica puede tener dos raíces complejas cuando mucho.
Ejemplo 3: Ecuación diferencial de tercer orden
Resolver: 𝑦′′′ + 3𝑦′
− 4𝑦 = 0
Solución: 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥
+ 𝑐2 𝑒−2𝑥
+ 𝑐3 𝑒−2𝑥

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Ejemplo 4: Resolver: 3𝑦′′′
− 19𝑦´´ + 36𝑦´ − 10𝑦 = 0
Solución: 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥 3⁄
+ 𝑒3𝑥
(𝑐2 cos 𝑥 + 𝑐3 𝑠𝑒𝑛 𝑥)
Ejemplo 5: Ecuación diferencial de cuarto orden
Resuelva:
𝑑4
𝑦
𝑑𝑥4
+ 2
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑦 = 0
Solución: 𝑦 = 𝑐1 cos 𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐3 𝑥 cos 𝑥 + 𝑐4 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
Cuando 𝑚1 = 𝛼 + 𝑖𝛽 es la raíz compleja de orden de multiplicidad k de una ecuación
auxiliar con coeficientes constantes reales, su conjugada, 𝑚2 = 𝛼 − 𝑖𝛽 es también raíz de
orden de multiplicidad k. En este caso, solución general de la ecuación diferencial
correspondiente debe contener una combinación lineal de las soluciones linealmente
independientes:
𝑒 𝛼𝑥
cos 𝛽𝑥, 𝑥𝑒 𝛼𝑥
cos 𝛽𝑥, 𝑥2
𝑒 𝛼𝑥
cos 𝛽𝑥, . . . , 𝑥 𝑘−1
𝑒 𝛼𝑥
cos 𝛽𝑥,
𝑒 𝛼𝑥
sen 𝛽𝑥, 𝑥𝑒 𝛼𝑥
sen 𝛽𝑥, 𝑥2
𝑒 𝛼𝑥
sen 𝛽𝑥, . . . , 𝑥 𝑘−1
𝑒 𝛼𝑥
sen 𝛽𝑥,
Bibliografía: Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. Segunda Edición. Autor Dennis
Zill. (Páginas 136 a la 143), Ejercicios 4.3 (páginas 1443 y 144). Resolver los ejercicios
impares.