1. Centro Preuniversitario de la UNS Ingreso Directo
S-02
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2016-I
TRIGONOMETRÍA
“Sector Circular”
SECTOR CIRCULAR
l =  . r .
Área de un Sector Circular
2
2
r
S


2
rl
S 
2
2
l
S
NÚMERO DE VUELTAS (nv):
r
n c
v
2
l
 ;
r
L
g  ;


2
g
n 
(lc : longitud descrita por el centro de la rueda).
(*) Cuando una rueda (aro, disco) va rodando sobre
una superficie curva.
 
r
rR
n


2


 
r
rR
n


2


(*) Ruedas unidas por una faja o en contacto.
Se cumple:
1r1 = 2r2 n1r1 = n2r2 L1 = L2
(*) Ruedas unidades por sus centros.
Se cumple: 1 = 2 n1 = n2
2
2
1
1
r
L
r
L

PROBLEMA DE CLASE
1) Dos ruedas de radios R y r (𝑅 > 𝑟) realizan
el mismo recorrido. Si la rueda menor da 10
vueltas y
𝑅
𝑟
=
5
2
, calcular el número de
radianes que gira la rueda mayor.
A)6𝜋 B) 8 𝜋 C) 10 𝜋 D) 4 𝜋 E) 2 𝜋
2) Se tiene un sector circular cuyo radio, ángulo
central y arco miden R cm, 𝜃 radianes y L cm
respectivamente. Si 𝑅(𝜃𝑅 + 𝐿) = 𝑘.
Determinar el área del sector.
a) 2k b) k c)
𝑘
2
d)
𝑘
4
e)
𝑘
8
3) En el gráfico, hallar el valor de
𝐸 =
2𝑥
3𝑦−2𝑧
donde: 𝐶𝐷 = 2𝐷𝐵
a) ½ b) 2 c) 3 d)
1
3
e) 1
4) Hallar el valor de M, si:
Semana Nº 2

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A)1 B)2 C) 3 D)5 E)9
5) Hallar el área de la región sombreada.
A)
180𝜋
7
+ 96 B)
370𝜋
9
+ 69 C)
370𝜋
9
− 96 D)
170𝜋
6
+𝜋 E)
11𝜋
9
6) Del gráfico adjunto O es centro de los
sectores circulares. Reduzca la expresión:
𝑬 = ∑(𝑺 𝟐𝒙 − 𝑺 𝟐𝒙−𝟏)
𝒏
𝒌=𝟏
A)
𝜃𝑎2 𝑛
2
B)
𝜃𝑎2
3
C) 𝜃𝑎2
𝑛
D) 4𝜃𝑎2
𝑛 E) 6𝜃𝑎2
𝑛
7) La figura adjunta representa sectores
circulares en el triángulo rectángulo
isósceles ABC. Calcule (en cm) la suma de
las longitudes de los arcos 𝐷𝐸̂ y 𝐸𝐹̂ si AC=1
cm.
A)
𝜋
4
B)
𝜋
2
C)
3𝜋
2
D) 𝜋 E) 2𝜋
8) Si “O” es centro y OA=12, calcular el área
de la región sombreada.
A)6𝜋 B) 8 𝜋 C) 12 𝜋 D) 16 𝜋 E) 10 𝜋
9) En la figura mostrada, las ruedas A y B dan
2n y n vueltas respectivamente (𝑛 > 2)
desde su posición inicial, hasta el instante
en que llegan a tocarse; además: 𝑟𝐴 = 1𝑢 y
𝑟𝐵 = 9𝑢. Calcule: D en u.
A) 10𝑛𝜋 B) 15𝑛𝜋 + 1 C) 20𝑛𝜋 + 2
D) 22𝑛𝜋 + 4 E) 22𝑛𝜋 + 6
10) En la figura se muestra un engranaje de 20
ruedas. Si la sexta rueda dio 76 vueltas,
¿Cuántas vueltas dio la décima rueda?
A) 44 B) 40 C) 33 D) 49 E) 39

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11) En la figura, la 𝑚∡𝐴𝐵𝐶 = 120°; 𝐵𝑀 = 1 𝑚 y
𝐴𝑀 = 𝑀𝐶 = 2 𝑚 . Calcule 𝑆1 + 𝑆2
A)
5𝜋
3
𝐶𝑚2
B)
3𝜋
2
𝐶𝑚2
C)
5𝜋
6
𝐶𝑚2
D)
5𝜋
2
𝐶𝑚2
E)
3𝜋
5
𝐶𝑚2
12) Del siguiente esquema, calcula la longitud de
la curva mayor APCV, si 𝑟 = 7 cm (si 𝜋 =
22
7
)
A) 22cm B)33cm C)45cm D)56cm E) 66cm
13) Calcule el área del sector circular AOB, si
se cumple que:
𝑅
𝜃
+
𝑅2
𝐿
+
𝐿
𝜃2 = 𝑅3
A)
2
3
B)2 C)
1
3
D) ½ E)
3
2
14) Del gráfico calcule
𝑎2
𝑏2 +
𝑟2
𝑅2, si AOB es un sector circular.
A)
1
3
B)
1
2
C)
1
4
D)
1
6
E) 2
15) Si el área de la región sombreada es
5𝜋
3
.
Calcule x, si AOB es un sector circular.
A)
𝜋
6
B)
𝜋
2
C)
𝜋
3
D)
2𝜋
15
E)
𝜋
4
16) Calcule el perímetro de la región
sombreada, si AOB es un sector circular.
A) 9 B) 10 C) 12 D) 8 E) 16
17) Calcule el número de vueltas que da una
rueda de radio r=0,5 cm, al rodar (sin
resbalar) en un arco circular 𝐴𝐵̂ de radio
𝑅 = 6 𝑐𝑚 y ángulo central 60°.
A)1 B)2 C) 3 D)5 E)4
18) En la figura mostrada, O es el centro de la
semicircunferencia de radio 12 cm y O’ es el
centro de la circunferencia de radio 4 cm. Si
la circunferencia es tangente en A y B a la
semicircunferencia, calcule AB en cm.
A) 2√6 B) 3√3 C) 4√2 D) 4√3 E) 6√2

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19) Del siguiente sistema de polea, la polea de
radio 𝑟3 gira 240°. Calcule el número de
radianes que gira la polea de radio r.
𝑟3.𝑟1
𝑟2.𝑟
= 3
A)𝜋 B)
3𝜋
2
C) 2𝜋 D) 3 𝜋 E) 4𝜋
20)Del gráfico mostrado, calcule el
perímetro de la región sombreada si
𝑂1 y 𝑂2 son centros
A) 𝑟 (
5𝜋
3
+ 2) B) 𝑟 (
5𝜋
3
+ 2√3) C) 𝑟 (
2𝜋
3
+ 3√3)
D) 2𝑟(2𝜋 + 1) E) 2𝑟 (
𝜋
3
+ √3)
21)En la siguiente figura 𝑆1 + 𝑆2 = 16𝜋
Calcular R.
A) 2𝑐𝑚 B) 2√2𝑐𝑚 C) 4cm D) 6cm E) 8cm
22) Calcule la longitud recorrida por el centro
de la rueda de 𝑟 = 1𝑚 de radio, cuando
recorre, por primera vez, el interior del
circuito mostrado sobre un mismo plano.
A)
26𝜋
3
𝑚 B)
22𝜋
3
𝑚 C)
20𝜋
3
𝑚
D) 6 𝜋 𝑚 E)
25𝜋
3
𝑚
23) Del gráfico POM es un sector circular con
centro en O, luego el área del trapecio
circular en función de a y b es
A) 𝑎𝑏 B) 2𝑎𝑏 C)
𝑎𝑏
3
D)
𝑎𝑏
2
E)
𝑎𝑏
4
24) Del gráfico mostrado, calcule 𝜋(6𝑛 − 1)
siendo n el número de vueltas que genera la
rueda (𝑟 = 30𝑐𝑚) al recorrer de M a P, sin
resbalar. Si 𝑀𝑁 = 𝑁𝐿 = 𝐿𝑃
A) 360 − √3 B) 180 − 2√3 C) 360
D) 180 E) 90 + 2√3

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