S

1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-II
TRIGONOMETRÍA
“IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
DOBLES y ÁNGULOS MITAD’’
Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez
ÁNGULOS DOBLES
Sen2x = 2SenxCosx
Cos2x = Cos2
x − Sen2
x
Tan2x =
2Tanx
1 − Tan2x
También:
Cos2x = 1 − 2Sen2
x
Cos2x = 2Cos2
x − 1
Fórmulas de degradación:
2Sen2
x = 1 − Cos2x
2Cos2
x = 1 + Cos2x
8Sen4
x = 3 − 4Cos2x + Cos4x
8Cos4
x = 3 + 4Cos2x + Cos4x
Propiedades:
I.
Cotx + Tanx = 2Csc2x
Cotx − Tanx = 2Cot2x
Sec2
x + Csc2
x = 4Csc2
2x
II.
(Senx + Cosx)2
= 1 + Sen2x
(Senx − Cosx)2
= 1 − Sen2x
III.
Tan2xTanx = Sex2x − 1
Tan2x
Tanx
= Sec2x + 1
Triángulo del ángulo doble
1+Tan2x
1-Tan2x
2Tanx
2x
Sen2x =
2Tanx
1 + Tan2x
Cos2x =
1 − Tan2
x
1 + Tan2x
ÁNGULOS MITAD
Sen
x
2
= ±√
1−Cosx
2
Cos
x
2
= ±√
1+Cosx
2
Tan
x
2
= ±√
1−Cosx
1+Cosx
Donde el signo (±) dependerá del
cuadrante donde se ubique el ángulo
𝑥
2
.
Tan
x
2
= Cscx − Cotx
Cot
x
2
= Cscx + Cotx
PROBLEMAS PROPUESTOS
1) Si
𝑐𝑜𝑡 (
𝑥
2
) + 𝑛 𝑡𝑎𝑛 (
𝑥
4
) = 2𝑐𝑠𝑐𝑥
Semana Nº 9

2. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Trigonometría.
2
Calcule 𝑠𝑒𝑐 (
𝑥
2
)
A) n –1 B) – n C) 1– n
D) n E) n+1
2) Si
𝑐𝑠𝑐 𝑦 − 𝑐𝑜𝑡 𝑦 = √2𝑥, 𝑥 > 0
calcule el mínimo valor de la expresión.
1 − 𝐶𝑜𝑠𝑦
1 + cosy
+
1
4𝑥
A) 2√2 B) 2 C) √2 D) 1 E) 5
3) De la siguiente identidad
4𝑐𝑜𝑠𝑥 −
3
cosx
=
𝑀𝑐𝑜𝑠(𝑀𝑥) − 𝑁
𝑐𝑜𝑠(𝑁𝑥)
Calcule M+N.
A) 2 B) 4 C) 5 D) 3 E) 6
4) Simplifique la siguiente expresión.
𝑐𝑜𝑠2
3𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2
3𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠2𝑥
4cos42𝑥
A) csc2 x B) sen2 x C) cos2 x
D) sec2 x E) tan2 x
5) Si
10𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 2𝑠𝑒𝑛 (
5𝜃
2
) 𝑠𝑒𝑛 (
𝜃
2
) = 0
Calcule 𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑠𝑒𝑐3𝜃
A) 11 B) 12 C) 1/12 D) 2/11 E) 1/11
6) Si
𝜃 = 56º40′
y 𝛼 = 33º20′
Calcule
2(𝑐𝑜𝑠3
𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑠𝑒𝑛3
𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝛼 ) +
𝑠𝑒𝑛4𝛼
2
A) 1 B) 0 C) – ½ D) ½ E) 3/2
7) Simplifique la siguiente expresión.
𝑠𝑒𝑛 (𝜃 +
𝜋
4
) + 𝑠𝑒𝑛 (𝜃 −
𝜋
4
) – 𝑠𝑒𝑛 (𝜃 +
3𝜋
4
) − 𝑠𝑒𝑛 (𝜃 −
3𝜋
4
)
(𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 − (𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)2
A) √2tan 𝜃 B) √2cos 𝜃 C) cot 𝜃
D)√2sen 𝜃 E) tan 𝜃
8) Simplifique la siguiente expresión.
(𝑆𝑒𝑛2𝑋 − 2)𝐶𝑜𝑠2𝑥
2𝐶𝑜𝑠𝑥(𝑆𝑒𝑛3 𝑥 + 𝐶𝑜𝑠3 𝑥 )(𝑆𝑒𝑐 x − Csc 𝑥)
A) senx B) – cosx C) cosx
D) tanx E) – senx
9) Si
𝑐𝑜𝑡2𝜃 = 3𝑐𝑜𝑠2𝜃– 𝑡𝑎𝑛𝜃
calcule 𝑠𝑒𝑛4𝜃.
A) 2/5 B) ½ C) 2/3 D) ¾ E) 1/3
10) Si
2𝑐𝑜𝑠2
𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 – 1 = 0
Calcule
𝑠𝑒𝑐 (
𝜋
4
+ 2𝜃) + 𝑐𝑠𝑐 (
𝜋
4
+ 2𝜃)
A) − 2 B) 2 2 C) 2 D) −2 2 E) 2
11) Calcule el valor de la siguiente
expresión.
𝑠𝑒𝑛4
3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4
3𝑥−𝑐𝑜𝑠 6𝑥
𝑠𝑒𝑛26𝑥
−
𝑠𝑒𝑐2
3𝑥
2
A) ½ B) – ¼ C) – ½ D) 4 E) – 2
12) De la siguiente identidad
𝐶𝑠𝑐2
22 º − 𝑆𝑒𝑐2
22 º
𝐶𝑠𝑐223º − 𝑆𝑒𝑐2 23º
= 𝑡𝑎𝑛 𝑛
(𝑚 )º
Calcule
𝑚 + 𝑛 𝑠𝑖 𝑚 ∈ 〈0º; 90º〉.
A) 40 B) 42 C) 36 D) 41 E) 38
13) Calcule el equivalente de
𝐴2
– 𝐵2
Si:
𝐴 = 4𝑠𝑒𝑛𝑎𝑠𝑒𝑛(45º – 𝑎)𝑠𝑒𝑛(45º + 𝑎)
𝐵 = 4𝑐𝑜𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠(45º – 𝑎)𝑐𝑜𝑠(45º + 𝑎)
A) 𝑐𝑜𝑠3
2𝑎 B) – 𝑐𝑜𝑠3
2𝑎 C) 4𝑐𝑜𝑠3
2𝑎
D) – 4𝑐𝑜𝑠3
2𝑎 E) 8𝑐𝑜𝑠3
2𝑎
14) Si
5𝑐𝑠𝑐 𝑥 − √11𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 12𝑐𝑠𝑐2𝑥
Calcule
𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 1
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + cos2x + 1
A) –
√11
5
B)
√13
5
C) –
√11
4

3. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Trigonometría.
3
D)
√15
2
E) –
√10
5
15) Calcule el valor de la expresión
(𝑡𝑎𝑛2 𝜋
24
− 𝑐𝑜𝑡2 𝜋
24
) (6 + √3)
𝑡𝑎𝑛2 𝜋
24
+ cot2 𝜋
24
A) 2 𝑐𝑜𝑠
𝜋
12
B) 4 𝑐𝑜𝑠
𝜋
12
C) − 2 𝑐𝑜𝑠
𝜋
12
D) −4 𝑐𝑜𝑠
𝜋
12
E) −8 𝑐𝑜𝑠
𝜋
12
16) Si a y b son las raíces de la ecuación
𝑎𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐
calcule 𝑡𝑎𝑛 (
𝛼
2
) + 𝑡𝑎𝑛 (
𝛽
2
) . _ _
A)
2𝑏
𝑎 +𝑐
B)
2𝑎
𝑏 +𝑐
C)
2𝑐
𝑎 + 𝑏
D)
2𝑎
𝑏 – 𝑐
E)
2𝑏
𝑎 –𝑐
17) Calcule el valor de la siguiente
expresión.
𝑙𝑜𝑔2(𝑠𝑒𝑛6º𝑠𝑒𝑛42º𝑠𝑒𝑛45º𝑠𝑒𝑛66º𝑠𝑒𝑛78º)
A) – 2,5 B) – 0,4 C) –1,2 D) – 4 E) – 4,5
18) De la siguiente igualdad;
4𝑠𝑒𝑛2
𝑥 – 3𝑡𝑎𝑛2
𝑥 + 4𝑡𝑎𝑛𝑥 = 3,
calcule sen2x.
A) 0 B) ½ C) 1 D) ¾ E)
√2
2
19) Si 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑡𝑎𝑛35º y 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑡𝑎𝑛25º,
calcule
𝑡𝑎𝑛2
(
𝜃
2
) +𝑡𝑎𝑛2
(
𝛼
2
) +
√3
3
𝑡𝑎𝑛2
(
𝜃
2
) 𝑡𝑎𝑛2
(
𝛼
2
)
A) √3 B) ½ C) √3 + 2 D)
1
3
E)
√3
3
20) Si
𝑐𝑠𝑐2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥
Calcule
𝑐𝑜𝑠2
2𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 3
A) 4 B) 5 C) ½ D) ¼ E) 6
21) Reduzca la siguiente expresión
∏ [
𝐶𝑜𝑠(2 𝑘
𝑥)
cos(2 𝑘 𝑥) + 1
]
𝑛
𝑘=1
A) 𝑡𝑎𝑛𝑥𝑐𝑜𝑡2 𝑛
𝑥 B) 𝑐𝑜𝑡𝑥𝑡𝑎𝑛2 𝑛
𝑥
C) 𝑐𝑜𝑡𝑥𝑐𝑜𝑡2 𝑛
𝑥 D) 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑐𝑜𝑡2 𝑛
𝑥
E) 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑛
𝑥
22) Si:
𝑠𝑒𝑛4
𝜃 + 𝑐𝑜𝑠4
𝜃 − 1
𝑠𝑒𝑐2 𝜃 + 𝑐𝑠𝑐2 𝜃
= −
3
32
calcule 𝑐𝑜𝑠4𝜃.
A) 1 − √2 B) √2 − 1 C) √3 − 1
D) 1 − √3 E)
√2
3
23) Simplifique la siguiente expresión.
𝑐𝑜𝑡2
2𝑥 − 𝑡𝑎𝑛2
2𝑥 − 8𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑐𝑜𝑡4𝑥
𝑠𝑒𝑛2 (
𝜋
4
− 4𝑥)
A) 8cos4x B) 8cos2x C) 8cot4x.csc4x
D) 4cos4xsec2x E) 4cos4xcsc4x
24) Si
𝑡𝑎𝑛2𝑏 = 𝑠𝑒𝑛2
𝑎𝑐𝑠𝑐2𝑎 – 𝑐𝑜𝑡2𝑎,
calcule
𝑠𝑒𝑛2
𝑎 – 𝑡𝑎𝑛𝑎. 𝑡𝑎𝑛(2𝑏 – 𝑎)(𝑠𝑒𝑛2
𝑎 + 1)
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
25) Si
𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑐𝑠𝑐𝑦 = 7
𝑐𝑠𝑐𝑥 – 𝑐𝑜𝑡𝑦 = 3
calcule
5𝑡𝑎𝑛2
(
𝑥
2
) + 19 𝑡𝑎𝑛 (
𝑥
2
) .
A) 3 B) 5 C) 1 D) 2 E) 4
26) Calcule el equivalente de la siguiente
expresión.
[(𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)2
– 1](𝑐𝑜𝑠2
𝜃– 𝑠𝑒𝑛2
𝜃)
A) 2𝑠𝑒𝑛4𝜃 B) 𝑠𝑒𝑛2𝜃 C) 2𝑐𝑜𝑠2𝜃
D) 𝑐𝑜𝑠4𝜃 E) 𝑠𝑒𝑛4𝜃
27) Reduzca la siguiente expresión.
1 + 2𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 45º)𝑠𝑒𝑛(45º – 𝑥)
A) 2𝑐𝑜𝑠2
𝑥 B) – 2𝑠𝑒𝑛2
𝑥 C) 2𝑠𝑒𝑛2
𝑥
D) – 2𝑐𝑜𝑠2
𝑥 E) 2𝑐𝑜𝑠2
2𝑥
28) Si
𝐹(𝑥) = 4𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥
Calcule 𝐹(11°15′)

4. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Trigonometría.
4
A) ½ B) 1 C)
√2
2
D)√2 E) 2
29) Si
𝑠𝑒𝑐2
𝑥 + 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 = 5, 𝑥 ∈ 〈0º; 90º〉
calcule
𝑡𝑎𝑛2𝑥
A)−
√2
4
B)−
√2
2
C) −2√2
D)- √2 E) – 2
30) Calcule el equivalente de la siguiente
expresión.
2 cos
𝑥
2
[cos
𝑥
2
+ 𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
] − 1
𝑐𝑜𝑠𝑥
A) 𝑡𝑎𝑛𝑥 – 1 B) 1 – 𝑡𝑎𝑛𝑥 C) 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑥
D) 1 – 𝑐𝑜𝑡𝑥 E) 1 + 𝑡𝑎𝑛𝑥
31) Reduzca la siguiente expresión.
(𝑐𝑜𝑡𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃) (𝑐𝑜𝑡 + 𝑡𝑎𝑛2𝜃)
𝑐𝑠𝑐2𝜃
𝐴) 4𝑐𝑠𝑐2𝜃 𝐵) 4𝑠𝑒𝑛4𝜃 𝐶) 4𝑠𝑒𝑛22𝜃
𝐷) 4𝑐𝑠𝑐4𝜃 𝐸) 4𝑐𝑠𝑐2
4𝜃
32) Si 2𝑐𝑠𝑐2𝜃– 𝑐𝑜𝑡𝜃 = 𝑛, calcule 𝑠𝑒𝑐2
𝜃
𝐴) 𝑛2
– 1 𝐵) 𝑛2
𝐶) 1 – 𝑛2
𝐷) 2 𝑛2
𝐸) 1 + 𝑛2
33) Del gráfico, calcule 𝑐𝑜𝑡
𝜃
2
si AB=8.
A) 2 B) 4 C)
3
2
D)
5
2
E)
5
4
34) Reduzca la siguiente expresión.
𝑐𝑠𝑐𝜃 – 𝑐𝑠𝑐2𝜃– 𝑐𝑜𝑡2𝜃
A)𝑡𝑎𝑛 (
𝜃
2
) B)cot(
𝜃
2
) C) tan𝜃D) cot𝜃 E) 1
35) Simplifique la expresión.
𝑐𝑠𝑐4𝜃 + 𝑐𝑠𝑐8𝜃 + 𝑐𝑜𝑡8𝜃
𝑐𝑜𝑡2𝜃
𝐴) 1 𝐵) 𝑐𝑜𝑡2
2𝜃 𝐶) 𝑡𝑎𝑛2𝜃 𝐷) 𝑡𝑎𝑛2
2𝜃 𝐸) 𝑐𝑜𝑡2𝜃
36) Simplifique la siguiente expresión.
1 − 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑡 (
𝜃
2
)
1 + 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑡𝑎𝑛 (
𝜃
2
)
A) 1 B) 𝑡𝑎𝑛2
(
𝜃
2
) C) – 1
D)−𝑡𝑎𝑛2 (
𝜃
2
) E) – 𝑐𝑜𝑡𝜃
37) Si 𝑐𝑠𝑐2𝑥 = 1,5, calcule 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 + 𝑐𝑠𝑐2
𝑥.
A) 3 B) 9 C) 7 D) 6 E) 8
38) Calcule el equivalente de la siguiente
expresión.
(𝑐𝑜𝑡𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃)𝑠𝑒𝑛2
2𝜃𝐶𝑜𝑠2𝜃
𝐴) 𝑐𝑜𝑠4𝜃 𝐵) 𝑠𝑒𝑛4𝜃 𝐶) 𝑐𝑜𝑠22𝜃 𝐷) 𝑠𝑒𝑛8𝜃 𝐸) 𝑠𝑒𝑛2𝜃
39) Si
𝑐𝑠𝑐2𝑥 + 𝑐𝑠𝑐2𝑦 + 𝑐𝑠𝑐2𝑧 = 𝑐𝑜𝑡2𝑥 + 𝑐𝑜𝑡2𝑦 + 𝑐𝑜𝑡2𝑧
calcule
𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑦
𝑡𝑎𝑛𝑧
A) 1 B) 2 C) – 2 D) ½ E) – 1
40) Si 𝑐𝑠𝑐2𝛼 + 𝑐𝑠𝑐2𝛽 + 𝑐𝑠𝑐2𝜃 + 𝑐𝑜𝑡2𝛼 +
𝑐𝑜𝑡2𝛽 + 𝑐𝑜𝑡2𝜃 = 0,
Calcule
𝑐𝑜𝑡𝛼+𝑐𝑜𝑡𝛽
cotθ
+
𝑐𝑜𝑡𝛽+𝑐𝑜𝑡𝜃
𝑐𝑜𝑡𝛼
+
𝑐𝑜𝑡𝜃+𝑐𝑜𝑡𝛼
𝑐𝑜𝑡𝛽
A) – 1 B) – 2 C) – 3 D) 3 E) 2
41) Si 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
√5
3
, además 𝜃 ∈ 𝐼𝐼𝐼 𝐶,
calcule 𝑡𝑎𝑛 (
𝜃
2
)
A) −
√3
3
B) −√5 C) −√3 D) −
√5
5
E) −√6
42) Si
𝑆𝑒𝑛𝜃 =
1
3
; 𝜃𝜖〈0º; 90º〉
Calcule 𝑡𝑎𝑛 (45º −
𝜃
2
)
A)
1
√3
B)
1
√2
C)
1
2
D)
1
√5
E)
1
√6
43) Reduzca la siguiente expresión.
𝑐𝑠𝑐𝜃 + 𝑐𝑠𝑐2𝜃 + 𝑐𝑠𝑐4𝜃 + 𝑐𝑠𝑐8𝜃 + 𝑐𝑠𝑐16𝜃
A)𝑐𝑜𝑡
𝜃
2
+ 𝑐𝑜𝑡16𝜃 B) 𝑐𝑜𝑡
𝜃
2
− 𝑐𝑜𝑡16𝜃
C) 𝑐𝑜𝑡𝜃 + 𝑐𝑜𝑡16𝜃 D) 𝑐𝑜𝑡𝜃 − 𝑐𝑜𝑡16𝜃
E) 𝑡𝑎𝑛
𝜃
2
− 𝑐𝑜𝑡16𝜃