1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
y
 M
N
sen 1 sen 
CEPUNS (+) (+)
A
x
Ciclo 2013-III sen sen
(-) -1 (-)
TRIGONOMETRÍA 
P
 Q
“Circunferencia Trigonométrica” Semana Nº 5
Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con circunferencia trigonométrica.
 Representar gráficamente las razones trigonométricas de arcos dirigidos en posición
normal.
 Analizar las variaciones de las razones trigonométricas de los números reales.
Definición Líneas trigonométricas
Se llama circunferencia trigonométrica a aquella Son segmentos de medida positiva, negativa o nula;
circunferencia cuyo centro coincide con el origen del que van a representar los valores numéricos de las
sistema cartesiano y su radio es igual a la unidad del razones trigonométricas de un arco, ángulo o número
sistema. En el gráfico adjunto tenemos: real, siempre que esté definido.
y
B
M
1. L.T. seno
(+) y
 M
A'  A N
 x
sen 1 sen 
R=1
(-) (+) (+)
A
N x
B'
Los arcos a ubicar en ella pueden estar expresados en sen sen
grados sexagesimales, en radianes o como números (-) -1 (-)
reales, para ello se recomienda tener en cuenta:
y  y
90º 
2 P
 Q
0 0º
 180º Variación del seno de un arco:
x x
2 360º
IC IIC IIIC IVC
3 270º    3 3
 0  2
2 2 2 2 2
sen 0 1 1 0 0 -1 -1 0
y
1,57
0<sen<1 0<sen<1 -1<sen<0-1<sen<0
0
3,14
x 2. L.T. coseno
6,28
4,71
1
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y 
Se observa que BT representa a la cotangente del
 arco trigonométrico .
cos
N cos
M
(-)  Línea Secante:
(+)
-1 A
x
Y tangente
1 P geométrica
cos
cos Q 
 (-) (+)
P 
 rad
0 A
Variación del coseno de un arco:
IC IIC IIIC IVC
   3 3
 0  2
2 2 2 2 C.T.
cos 1 0 0 -1 -1 0 0 1 En el gráfico:
0<cos<1 -1<cos<0 -1<cos<0 0<cos<1 
Se observa que OR representa a la secante del arco
3. L.T. tangente trigonométrico.
Línea Cosecante:
y T Y B(0;1)
 M
N tan

tan
O A 0
x
 rad
tan

Q tan  tangente
P P
 C.T. geométrica
T1 M
En el gráfico:

4. L.T. Cotangente Se observa que OM representa a la cosecante del
Tangente arco trigonométrico.
Geométrica
PROBLEMAS RESUELTOS
T
 1. Determine la veracidad (V) o falsedad (F) de
P c/u de las siguientes proposiciones
 rad (I) sen2 > sen1 > sen3 ( )
(II) sen 6 > sen4 > sen5 ( )
0
(III) cos 6  cos1  cos5 ( )
(IV) cos 2  cos 4  cos3 ( )
A) FFVV B) VVFF C) VVFV
C.T.
En el gráfico: D) FVFV E) VFVF
RESOLUCIÓN
2
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3. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
 RPTA.: C
 1,57
2
3. Si: sen   1-2x  "  "  IIIC ; Halle la
2
cos 2 1 3
variación de “x”
cos 1
sen 2
1 1 1
 ;2  2;
sen 1
A) B) C) ;2
3 cos 3
O
2 2 2
sen 3
  314 2  6,28
D) 2;2 E) 1;1
sen 6
sen 4
cos 6
6 RESOLUCIÓN
Si: " "  III C   1  sen   0
sen 5
cos 4
4
Como:
1  2x 1  2x
cos 5
sen    1  0
3
 4,71
5 3 3
2  3  1  2x  0
Según la C.T. las proposiciones serán: 1
(I)  (V)  4  2x  1 2x
2
(II)  (V)
(III)  (F)  " x "  1 ;2 RPTA.: C
(IV)  (F) 2
RPTA.: C
4. Del gráfico mostrado calcule el área del
2. ¿Qué valores puede tomar “x” para que se cuadrilátero sombreado.
cumpla: y
x  2 x  1 siendo  un arco del
Sen   
3 2
tercer cuadrante?
1 3 1 2 1
A) ; B) ; C) 1;
5 5 5 5 5 x
2 3 
D) 0; E) 0;
5 5
RESOLUCIÓN
x  2 x  1 5x  1
Sen    
3 2 6 A) 0,5  sen   cos   B) 0,5  sen   cos  
Como:   III C  1  Sen   0 C) 0,5  cos   sen   D) 0,5  sen   cos  
5x  1
1  0 E) 0,5sen  cos 
6
6 <5x  1 > 0 RESOLUCIÓN
5 <5x < 1
S  S1  S 2
1
1 < x < Calculamos
5
 x   1;
1
5
3
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4. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
1
S  ( sen   cos )
2
S  . 2 sen   
1
4
S1
2
3
sen  S2 Como:   
4
   3 2  
 cos 
    sen     1
2 4 4 2  4
1 2   2
 . sen    
2 2  4 2
S1 
1
(cos ) S2 
1
(sen )
 S 1 ; 2
2 2 2 2
S  0,5(sen   cos ) RPTA.: A
RPTA.: A 6. El siguiente gráfico es una circunferencia
trigonométrica. Calcule el área del triángulo
5. Si   3 EBF.
;  , de la circunferencia
4 y
trigonométrica determina la variación de la
B
región sombreada.
F

 A
x
C.T.
E
A) cos  2 cos 
B) C) sen
A) 1 B) 2 C) 1 D)  1 2 E) 1 3
2 0; 0;  ; ; 1
2 sen E) sen 
;
2 2 2 2 2 2 2 2 D)

RESOLUCIÓN 2
RESOLUCIÓN
 cos ;sen   1
sen  Área EBF  (2) cos
 sen  ;  cos   2
Área EBF  cos
cos 
S
1
1 sen   cos  
2
4
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5. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
II. Tgx1  Tgx2  Tgx3
B
cos  F
III. Cosx1  Cosx2  Cosx3

1 A) VVV B) VFV C) FFF D) FVF E) VFF

Si    y Cos 2 x  2n  1 ,
 3 ; 3 
4)
 
E Determine la extensión de “n”
A) 8  n  1
5 B) 5  n  1 C)
4
5
4  n 1
D) 5
 n 1 E) 5
 n 1
RPTA.: A 8 7
PROBLEMA DE CLASE 5) En la circunferencia trigonométrica de la
figura mostrada, mAM = , determinar el
1) Ordene en forma decreciente las siguientes área de la región sombreada.
razones trigonométricas:
 
Sen  ; Sen 2; Cos 1; Cos 6; Tg 1.
4
A) Cos 6; Sen 2; Cos 1; Sen   ; Tg 1.
 
4
B) Sen 2; Tg 1 ; Sen    ; Cos 1; Cos 6.
 
4
C) Tg 1 ;Sen 2; Sen   ; Cos 1; Cos 6.
 
4 a) 0,51  sen  cos   b) 0,51  sen  cos  
D) Tg 1 ;Cos 6 ;Sen 2; Sen   ; Cos 1. c) 0,51  sen  cos   d) 0,51  sen  cos  
 
4 e) 0,81  sen  cos  
E) Tg 1; Cos 1; Sen   ; Sen 2; Cos 6.
 
4 6) En la circunferencia trigonométrica de la
Sean
 figura mostrada, si mAp = , determinar la
2) x1 , x2    ; y x1  x2 , suma de las áreas de las regiones BOP y PQA.
2
Indique verdadero (V) o falso (F) en las
siguientes proposiciones:
I. Senx1  Senx2
II. Tgx1  Tgx 2
III. Cosx2  Cosx1
A) VVV B) VFV C) VFF D) FVF E) FVV
3 a) cos   sen  tg b) cos   sen  tg
3) Sabiendo que:   x1  x2  x3   , 2 2
2 c) cos   sen  Ctg d) cos   sen  Ctg
Indique el valor de verdad de las siguientes 2 2
proposiciones: e) sen   cos   tg 
I. Senx1  Senx2
5
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6. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
7) En la circunferencia trigonométrica de la 10) En la figura mostrada se tiene la
figura mostrada; si mAB´P = , determinar el circunferencia trigonométrica, mABM es ,
área de la región sombreada. determinar el área de la región sombreada.
a) 0,5 b) 1 c) 2
tg   1 tg   1 tg   1 a) 1 b) 1
.sen . cos  .tg . csc
2 2
d) 0,5 e) 2
c) 1 d) 1
tg   1 tg   1  .tg . sec  .Ctg . csc 
2 2
e) 1
 .Ctg . sec
8) En la figura mostrada se tiene la 2
circunferencia trigonométrica, la medida del
arco ABM es , determinar el área de la 11) En la figura mostrada se tiene la
región sombreada. circunferencia trigonométrica, mABP es ,
determinar el área de la región sombreada.
a) ctg  cos  b) ctg  cos  c) cos   ctg
2 2 2 a) 2sen  . cos  2 cos 2   1 b) 3sen  . cos  cos 2   1
d)  ctg  cos  e) tg  cos  c) 2sen  . cos  4 cos 2   1 d) 2sen  . cos  2 cos 2   1
2 2
e) 2sen  . cos  4 cos 2   3
9) En un triángulo rectángulo ABC, B = 90º, el
ángulo A es el menor , determine la variación 12) En la figura mostrada se tiene la
de k , Si 4k - √ . SenA = 4 circunferencia trigonométrica, mAB´P = ,
A) 1 5 B) 1 C) 1 5 determinar el área de la región triangular
; ;2 ;
2 3 3 4 2 A´TP.
D) 6 E) 5
1; 1;
5 4
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7. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
A) Sen .Cos B) Sen - Cos
C) Cos - Sen D) Sen + Cos
E) (Sen .Cos
PROBLEMA DE REPASO
1. Si: analice la
veracidad de lo siguiente:
√

a) 1  sen   cos  . cos  b) 1  sen   cos  . cos 
 s
21  sen   21  sen  
c) 1  sen   cos  .sen  d) 1  sen   cos  .sen   n
2sen   1 2sen   1  n
e) 1  sen   cos  .sen 
2sen   1 a) VFFV b) VFFF c) VVVF
d) VFVF e) FVVF
13) En la figura mostrada se tiene la
circunferencia trigonométrica, mAB´M = , 2. Hallar la extensión de:
determinar el área de la región sombreada.
| | n ||
a)[ ] b)[ ] c) [ ]
d) 〈 ] e) 〈 ]
3. Indicar verdadero(V) o falso(F) según
corresponda:
a) 1
ctg sen  1
b) 1
ctg 1  sen 
Si –
2 2
Entonces:
c) 1 d) 1
tg 1  sen  tg sen  1
2 2
e) 1  n
tg sen  1
2  | n | | n |
 n| | | |
14) En la circunferencia trigonométrica, determine
(a–b)
a) FFV b) FVV c) VVF
d) FFF e) VVV
4. Si: Hallartodos los valores que
tom ‘‘k’’ p r qu v rifiqu l igu ld d
ot |k|
a) 〈– 〉 b) — [ ] c) 〈 〉
d) 〈 〉 e) [ ]
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8. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
5. Si: , Hallar la extension de:
s n
a) 〈 〉 b) 〈– 〉 y
c) 〈 〉 d) 〈 〉 e)
P
2
6. Indicar verdadero (V) o falso(F) segun x
corresponda.
 n os
 n n C.T
 os n
a) n os
a) VVV b) VFV c) VFF
b) n os
d) FVV e) FFV c) n os
d) n
7. Calcule el área de la región sombreada: e) n os
y
C.T.
α
x
a) b)
c) d)
e)
8. H ll r l m yor v lor d ‘‘k’’p r qu s
cumpla:
a) -8 b) -3 c) 0
d) 3 e) 8
9. Calcule el área de la región triangular
indicada(P punto de tangencia)
8
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