1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
SenA  CO  a CscA  H  b
CEPUNS CosA 
H b
CA c

CO a
SecA  H  b
Ciclo 2013-II H b CA c
CA c
TanA  CO  a CotA  
TRIGONOMETRÍA CA c CO a
“RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO” Semana Nº 3
Razón Trigonométrica: Son aquellos números que Razones Trigonométricas Recíprocas
resultan de dividir dos lados de un triángulo Siendo  un ángulo agudo se cumple:
rectángulo. 1
csc    sen . csc   1 ;
sen
1
sec    cos  . sec   1 ;
cos 
1
ctg   tg .ctg  1
tg
Teorema de Pitágoras: “La suma de los cuadrados
de los catetos es igual al cuadrado de la
Razones Trigonométricas De Ángulos
hipotenusa”
Complementarios
. a2 + b2 = c2
Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su
suma es un ángulo recto.
Teorema: “Los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo son complementarios”
. A + B = 90º
Definición De Las Razones Trigonométricas Para
Un Ángulo Agudo: Dado el triángulo ABC, recto en
“C”, se establecen las siguientes definiciones:
En la figura se muestra:
 y : Son ángulos complementarios ( +  = 90º)
Cateto Opuesto a Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b
Sen = =
Hi potenusa c como  y al ángulo opuesto al cateto a como  en
Cateto Adyacente consecuencia:
Cos = = b
Hipotenusa c b a
sen   cos  ; cos    sen
c c
Cateto Opuesto a
tg = = b a
Cateto Adyacente b tg    ctg  ; ctg    tg 
a b
Cateto Adyacente b c c
Ctg = = sec    csc ; csc   sec 
Cateto Opuesto a a b
Hi potenusa c Debido a estas relaciones las co-razones son::
Sec = =  seno y coseno.
Cateto Adyacente b  tangente y cotangente.
Hi potenusa c  secante y cosecante.
csc = =
Cateto Opuesto a Teorema del complemento
RTα  co  RTcomplemento de  
1
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2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
Se llaman co–razones trigonométricas una de la
67º 30' 75º 71º 30'
otra. 4+ 2 2 10
1 4
6- 2 1
NOTA: 22º 30' 15º 18º 30'
Sen   Csc  1 2+1 6+ 2 3
 Si: 
Cos   Sec   1    
   Ctg  1 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Tg
* CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento
 Si: RT   co  RT       90º mediante el cual se determinan los lados
faltantes de un triángulo rectángulo, en
términos de un lado que sí se conoce; y de un
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
ángulo agudo que también se conoce.
60º Criterio:
45º
2 2 Lado desconocid o  R.T.( conocido)
1 1 Lado conocido
45º 30º
1 Casos:
3
1.
53º C
5
3 I) BC  Tan   BC 
L
37º AC   AC 
II)
4
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
 L
A L B
30º 37º 45º 53º 60º
2.
1 3 2 4 3 C
Sen
2 5 2 5 2
I) AB  Cot   AB 
3 4 2 3 1 L
Cos L
2 5 2 5 2 AC   AC 
II)
3 3 4
 L
Tan 1 3 A B
3 4 3
Cot 3
4
1
3 3 3
3 4 3 C
I) BC  Sen   BC 
2 3 5 5
Sec 2 2 L
3 4 3 L
5 5 2 3 AB   
II)
Csc 2
3
2
4 3  L
A B
A partir de estos se determinarán otros
adicionales como: PROBLEMAS RESUELTOS
B
63º 30' 82º 74º
5 5 2 25 1. Halle “ctg” del gráfico, si:
1 120º
1 7
AB  BC
M
26º 30' 8º 16º
2 7 24

A C
2
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3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
B
A) 2 3 B) 3 3 C) 3 D) 3 / 6 E) 3 / 9
RESOLUCIÓN
B 3a
2n 4n
60º 60º
4n n 30º D
M
a
n 3
60º 2n 
30º A C
n
  30º
A) 3 B) 3 C) 3 D) 3 E) 3
A C
2n 3 n 3 P n 3 5 6 7 8 9
RESOLUCIÓN
3n 3 B
3n 3 60º
APM : ctg 
n
 ctg  3 3 3a = 6k
RPTA.: B 8k
2. Si CD  3AD, halle: tg D
(tomar: sen37º=0,6)
60º k 3 30ºa = 2k
  60º
A 7k k C
k 3 3
tg  
53º 7k 7
RPTA.: C
A D C
A) 1 B) 1 C) 3 D) 3 E) 1 4. Siendo “” y " β" las medidas de 2
16 8 8 16 4
ángulos agudos tales que:
RESOLUCIÓN
cos11. sec  1 
 cos . csc   1
9K Halle: W  tg  37º30' sen   52º30'
. 
12K
A)1 C) 3 D) 3 E) 3
B) ½
2 3
5K 15K 53º RESOLUCIÓN
A 53º D C Datos:
4K i) cos11.sec  =111=  … (I)
3K ii) cos . csc   1
3k 3
Se pide: tg  
16k 16 sen 90º . csc   90º        90º..(II )
RPTA.: D
I en (II ) :   11  90º    15º  7 º30'
3. Si el triángulo ABC es equilátero. 2
Determine tg.
3
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4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
 15º  165º RESOLUCIÓN
" " enI :   11   82º30'
 2  2
Piden:
W  tg   37 º30'.sen   52º30'  ?
 W  tg 45º .sen 30º   1
2 
RPTA.: B a 2
2a
5. En un triángulo rectángulo si la 45º
hipotenusa es el doble de la media a 2 a 2
geométrica de los catetos. Calcule la suma
a
de las tangentes trigonométricas de los
a
ángulos agudos del triángulo.
A)2 B) 3 C) 4 D)5 E) 6 De la figura: Cot   3
RESOLUCIÓN RPTA.: D
 7. Del gráfico, halle “x”, en términos de “”.
c
a 
 3
b
Si: c  2 ab
Si pide: E  tg  tg 2
2 2
a b a b
E   x
b a ab A) 3cos   2Sen
Pero:
a² + b² = c² B) 2cos   3Sen
 E=
4ab C) 2sen  3cos
 4
ab D) 3sen  2cos
RPTA.: C
E) 2sen  3cos
RESOLUCIÓN
6. En la figura ABCD es un cuadrado, M y N 3Sen
son puntos medios. Determine "cot " .

A B
3

M

2

x
D N C 2Cos
A) 2 B) 1 C) 3 D) ½ E) 1/3
 x  3Sen  2Cos
RPTA.: D
4
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5. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
8. En la figura, halle “X” en términos de ””, A) 2r  sen  cos
“  ” y “m”.
B) r  csc  sen 
 C) r  sen  cos 
X

D) 2r csc  sec 
2
E) r sec csc
 RESOLUCIÓN
m r Csc 
B C
mctg  tg

A)
B) m  tg  ctg 
mctg  tg
1
C)
r Sec  r Sec 
mtg  ctg
1
D) r
E) m.ctg  tg 
RESOLUCIÓN 
A
 r Csc 
 Perímetro del rectángulo
csc  sec
X
OABC= 2R
RPTA.: D

PROBLEMA DE CLASE
xctg xtg
m
1) Si “” es la medida de un ángulo agudo que satisface la
Del grafico: xCtg  xtg  m igualdad:     , entonces el valor
Sec Tg   Csc Tg 
3  4 
x Ctg  tg   m
de la expresión E  2Sen  Cos , es:
 x  mctg  tg 1
Cos  Sen
RPTA.: C A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
9. En la figura, halle el perímetro del 2) Si la igualdad se verifica para un valor de 'x' en
rectángulo OABC si se conoce “  ”, y el radio

0;
2
del cuadrante MON es “r”.
B C
 x.Senx  x.Cosx. x.Cosx. x.Cosx. ...
N Indicar el valor de: E  6tg 6 x  8tg 81x
16.Ctg 61x  18.Ctg 18 x
a) 9/19 b) 7/17 c)1 d) 1/2 e) -1
3) Si A, B y C son los ángulos de un triángulo
rectángulo ABC recto en B. Calcular el valor de:
r E  cos 2 A  Cos 2C  Csc 2C Tg 2A
a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 3
A M O
5
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6. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
4) En la figura AOB es un cuadrante, tal que 2
OD = 4 DE, entonces el valor de tg es: a) 1/3 b) ½ c) 2 d) 2 e) 2 2
3º EXAMEN SUMATIVO 2009 III
8) Se sabe que:
    
Sen a. .Sec  b.   3.tg
 3 2 3 6
y que a  Csc .Csc y b  Sec  .Sec 
Entonces el valor de H       , es:
2.Sec 
 2 
A) 41  1 B) 41  3 C) 41  5 D) 1 E) 1 A) 4 B) 2 C) 6 D) 8 E) 10
4 4 4 4 2
9) Sí 2  3  m ; entonces el valor de
5) Si Sen   40 y 0     , hallar 
Ctg  
 
R = tg7º30` - Ctg 7º 30`, en términos de m es:
41 2 4 a) m/3 b) m/2 c) m d) 2m e) 3m
a) 41  5 b) 41  5 c) 41  3
4 4 4 10) En un triángulo ABC, AC = 10m, <A = 2<B y la
d) 41  3 e) 3 longitud desde el pie de la altura trazada
4 4 desde el vértice C hasta el punto B es igual a
3º EXAMEN SUMATIVO 2010 III 15m, luego el ángulo C mide:
a) 3 b) 3 c)  d) 2 e) 3
6) En la figura mostrada AOD es un cuadrante, M 8 4 2 5 7
y P son puntos de tangencia. Determinar
E=(1 – tg)2. 11) Dada las relaciones:
A Sen(a+b)º=cos(a-b)º
Tg (2a-b).ctg(a+2b) = 1
Calcular el valor de : Tg2 (a+b) + Csc (a-b)
P
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
12) En un triángulo AB, se tiene:
 2m<BCA = m<BAC
  Cos(2C) = 1/8 ; c = 4u
0 M B La medida de los lados a y b, respectivamente,
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 son:
a) 6u y 7u b) 6u y 4u c) 6u y 5u
d) 6u y 6u e) 6u y 3u
7) En el gráfico mostrado, calcular "tg ".
Si: O y O' son centro y P, Q y T son puntos de 13) Siendo "" angulo agudo, además
tangencia. Csc (40º -2) = Sec(50º+2).tg(20º+)
Calcular el valor de:
5sen (    10 º ) 
k 
cos(    50 º ). sec(  20 º )
a) 5 2 b) 5 2 c) 3 2 d) 5 3 e) 5 2
3 2 2 3
14) De la figura mostrada, determine la longitud
del segmento BD en términos de m, y 
siendo AC=m.
6
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7. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
B
D  

A C
A) m sen.ctgB) m cos.tg
C) m sen.tg  D) m[tg – ctg
E) m cos.ctg
a)5 b) 1/5 c) 1 d) 7/2 e)7/3
15) Siendo ABCD un cuadrado, además 5) Del gráfico halle:
  <26º30', 45º>. Hallar la variación de tgx. W  sen  cos 
A x B
127º
9 10


C) 23 D)  7 E)  23
D C
A)1 B) 7
A) <1/2; 3/4> B) <3/4; 1> 17 17 17 17
C) <1; 2> 6) Si csc2x cos4x=1, calcular el valor de:
V=sen(x+15º)+ctg3x+csc(4x – 30º).
D) <2; 3> E) <3; > A) 2,0 B) 2,5 C)3,0 D) 3,5 E)4,5
7) En la figura mostrada ABCD es un cuadrado,
PROBLEMA DE REPASO calcular csc, DO=OE.
A B
1) Si: sen2x - cos15x = 0 
Calcular el valor de:
E = sen13x.sec4x + tg10x - ctg7x
E
a) -2 b)-1 c)0 d) 1 e) 2
O
37 °
2) Calcular aproximadamente el valor de: D C
 37 º   53º 
2ctg 
 4   3ctg  4 
  
4 41 41
    A) 41 B) 41 C) 4
a) 10 b) 10  5 c) 5 d) 3 10  2 5 41 4 41
e) 2 10  3 5 D) 5 E) 5
3) Si: E  x 2  y 2sen 20 ºxy (cos 70 º1) . 8) Se tiene la región triangular ABC, si AC=a,
2
x  y cos 70 ºxy (sen 20 º1)
2 m ACB  m BAR   .
Reducir: 1  E M
AB
1E Halle: sen cos 
a) x b) y c) y d) e) 3y
B
2x
R
y x 2x y x

4) Del gráfico. Halle: W  sec2   tg2 C
A
7
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8. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
A) a sec2 B)a sen2 C)a cos2 A) 2tgC B) TgB + TgC C) 2tgB
2 2 D) tgC + ctgC E) 2(tgC + tgB)
D) a tg E) a ctg
14) Del gráfico que se muestra encontrar el valor
9) En la figura mostrada M es punto medio de
de 6x+4y, si se sabe que BC=12m y BM es
AC , m BCD  60º , AM=MD=2u. Hallar 4BN.
mediana relativa a la hipotenusa.
D
B
A
M °
37
B N C y
x
 6  2
6
2
A) 2 B) 6 2 C)
4 6  2 A M C
D) 2 2  6 E) A) 20 B)21 C) 24 D)25 E) 28
10) En la figura mostrada ABCD es un rectángulo, 15) Con los datos de la figura si tg 76º =4,
AM=PC=a, MB=3a, BP=2a y m MPD  xº . entonces el valor de “x” es:
Halle E=tgx – 1.
A M B
P
D C
A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5
A) 6 B) 8 C) 12 D) 18 E) 24
11) En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado y
M es un punto medio del lado AB. Hallar ctg . 
sen   cos    0
D C
16) Si:
2
 
tg    cot  0
 3   2 

Calcular:
   
sen    cos   tg36º .tg  
 22   2 
A M B 2 3
A) 5 B)4 C) 3 D) 2 E) 1 a) 0 b ) ½ c) 1 d) 2 e) 3
12) Halle el valor aproximado de: 17) Si los catetos de un triángulo rectángulo son
 53º   37º  como 3 es a 5, el coseno del ángulo agudo
E  Ctg    Ctg    5  10
 4   4  mayor Es:
A) 2 B)3 C) 4 D)5 E) 6 1 3 34
a) 1 b) c) d) 3 e)
43 34 34 43 3
13) En un triángulo BAC, recto en A, la mediana BM
y el cateto AC forman un ángulo x; luego tgx es
igual a:
8
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