Este documento describe diferentes tipos de rotaciones utilizadas en el análisis factorial para facilitar la interpretación de los resultados. Explica rotaciones ortogonales y oblicuas manuales, con el objetivo de seleccionar la solución más sencilla. Describe cómo las rotaciones ortogonales mantienen la ortogonalidad de los ejes y permiten interpretar los pesos como correlaciones. También explica cómo las rotaciones oblicuas permiten agrupar factores en hiperplanos para una mejor interpretación.

1. Rotaciones Ortogonales y Rotaciones Oblicuas Manuales Xaymara Pérez Rubén Quiñones

2. Introducción En capítulos anteriores se ha señalado que la matriz extraída no proporciona una solución adecuada. Para facilitar la interpretación se realizan lo que se denominan serie de rotaciones factoriales: Rotaciones ortogonales manuales Rotaciones oblicuas manuales Las rotaciones pretenden seleccionar la solución mas sencilla e interpretable.

3. Rotaciones Ortogonales Manuales

4. Las rotaciones ortogonales manuales mueven los ejes factoriales para acercar los puntos a estos de forma que mantengan su ortogonalidad. Esto permite la interpretación de los pesos factoriales de una variable con respecto a los factores ortogonales como si fueran coeficientes de correlación.

5. Múltiple Positivo Es el intento de reducir o eliminar pesos negativos. Los factores finales rotados deben ser pesos positivos para las variables de todos los factores. La idea principal para el múltiplo positivo es que todas las variables de datos de una matriz tengan intercorrelaciones que sean cero o positivas.

6. Estructura Simple Desarrollado por Thurtone (1947). Su propósito era guiar al investigador a realizar las rotaciones de los ejes factoriales a posiciones de mayor importancia.

7. Estructura Simple La matriz factorial rotada en estructura simple tendría las siguientes características: Cualquier columna de la matriz factorial debe tener en su mayor parte valores pequeños, bien cerca de cero. Entradas distintas de cero en pocas columnas, esto para encontrar la solución esperada. Cualesquiera dos columnas factoriales mostrarán un patrón diferente de pesos altos y bajos.

8. Rotación ortogonal del problema de las 12 variables

9. Primer conjunto de trazados Segunda rotación Primera rotación

10. Ejecución algebraica de la primera rotación La ejecución real de la rotación se lleva a cabo mejor algebraicamente que gráficamente, porque se generan resultados: más exactos proporciona un mejor testimonio matemático de lo que se realizó.

11. Primera rotación ortogonal del problema de doce variables Matriz Ortogonal Matriz de pesos rotados Matriz no rotada de pesos factoriales A * Λ1 = V1

12. La matriz ortogonal es determinada por la rotación que se va a ejecutar. Si el factor j va a ser rotado con el factor k, los elementos en la matriz ortogonal serán determinados como: λ jj= λ kk= cosΦ, Φes el ángulo a ser rotado. λ jk = senΦ, cuando el factor con número inferior esrotadoalejándose del factor con número superior. - senΦ, cuando el factor con número inferior esrotadohacia el factor del número superior. λ kj= - senΦ, cuandoλ jk = senΦ λ kj= senΦ, cuandoλ jk = -senΦ Las otrasentradasdiagonales de la matrizortogonal son iguales a 1. Todaslasrestantesentradas son 0.

13. Ejemplo: representa la rotación de θ grados del plano en sentido contrario a las manecillas del reloj.

14. Segunda rotación ortogonal Matriz de transformación ortogonal para la segunda rotación Matriz de pesos factoriales rotados después de una vez Matriz de pesos factoriales rotados después de dos rotaciones. V1 * Λ2 = V2

15. Segunda rotación Consiste de la rotación del factor II hacia el factor III por medio de un ángulo de 15º . El factor III fue rotado alejándose de factor II por medio del mismo ángulo y al mismo tiempo. Por ende: λ 22 = λ 33 = cos(15º) = .963 λ 23 = -sen (15º)= -.270 λ 33 = sen (15º)= .270

16. Segundo conjunto de trazados Tercera rotación

17. Tercera rotación ortogonal

18. Tercer conjunto de trazados.

19. En resumen Λ= Λ1Λ2Λ3Λ4Λ5… Λnes el producto de todaslas matrices Λi de unarotación y la matriz final se obtienecomo: V = AΛ. La matriz final V es el resultado final de la largaserie de rotaciones, modificando la matriz de pesos rotadospormedio de unarotación a la vez.

20. Rotaciones Oblicuas Manuales

21. Ejes Factoriales Oblicuos Este tipo de rotaciónpermitequegrupos de factorespuedanllevarse a hiperplanosmáscercanos a cadauno de ellos, a diferencia de la rotaciónortogonal, en donde los factoresdebían de mantenerse en ángulo recto entre si.

22. En la tabla de pesos factorialesortogonales, los pesos de 1, 2 y 3 no erangrandes, pero no eran cero en el factor II. Lo mismoocurre con las variables 4,5 y 6 respecto al factor I En la tabla de pesos factorialesoblicuos, las variables 1,2 y 3 tendránesencialmentevaloresiguales a cero en el factor II. Lo mismoocurre con las variables 4,5 y 6 respecto al factor I

23. Coordenadas y Proyecciones Las distanciasdesde el origen a las líneasperpendiculares al eje factorial oblicuo, quepasanpor los puntos de datos son conocidascomoProyecciones. Éstas son iguales a lascorrelaciones de estosvectores de datos con el vector factorial oblicuo. Los pesos factoriales son lascoordenadas de los vectores de los datosrespecto al eje factorial oblicuo.

26. Tanto F1’ como F2’ puedenexpresarsecomocombinacioneslineales de los vectores base ortogonales F1 y F2.

27. El vector P1 puedeexpresarsecomounacombinación lineal de vectoresfactoriales, oblicuos F1’ y F2’.

31. Estructura del Vector Referencia La estructura del vector de referenciaesconvenientecuandolasrotacionesoblicuas se llevan a cabopormedio de la inspección de los trazados de los factores de dos en dos. Este procesoviabiliza la obtención de las matrices de la solución final: la matrizpatrón P, la matrizestructura S y la matriz de correlaciones entre los factores. Consiste en lasproyeccionesperpendiculares de los vectores de variables. Realizarunarotaciónoblicua de un vector de referenciaimplicacambiarunacolumna de la matriz de transformación.

33. El factor II estábiencolocado, yaquesuhiperplanoestásituado a lo largo de la línea de máximadensidad de puntos.

35. Rotación del Vector Referencia Este procesopermitecambiarunacolumna de la matriz A pararotar un vector de referenciaqueesequivalente a la multiplicación de A porunamatrizidentidadexceptopara la columnaque se va a cambiar.

36. Bibliografía Andrew L. Comrey (1985) Manual de Análisis Factorial