3. a
bc
mn
h nmh 2
mab 2
nac 2
222
cch
Teorema de la altura
Teorema de los catetos
Teorema de Pitágoras
nmh 2
9122
m 16
9
122
m
nma 25916 a
mab 2
16252
b 20cm1625b
nac 2
9252
c cm51925c
60cm152025cbaperimetro
Ejercicio: Halla el perímetro del siguiente triángulo
4. m
nmh 2
mab 2
23,04cm
25
24
a
b
m
22
n nmh 2
mab 2
nac 2
222
cch
Teorema de la altura
Teorema de los catetos
Teorema de Pitágoras
222
cba base25cm724a 22
nac 2
cm1,96
25
7
a
c
n
22
6,72cm1,9623,04nmh
2
alturabase
Areatriángulo
2
t 84cm
2
6,7225
2
ha
A
222
cch
Ejercicio: Halla el área del siguiente triángulo
6. 1cos22
sen
2
1
sen
22
1cos sen 2
1cos sen
4
1
1
2
1
1cos
2
4
3
4
14
cos
2
3
cos
Ejercicio: Calcula el resto de las razones trigonométricas sabiendo que
en un ángulo del tercer cuadrante…
Ecuación fundamental
de trigonometría
7. 2
3
cos
3
3
tag
3
1
2
3
2
1
cos
tag
sen
3
3
3
3
3
1
tag
2
1
sen 2
1
cosec
sen
3
32
3
3
3
2
cos
1
sec
3
3
33
3
3
3
31
cotag
tag
8. 1cos22
sen
1tag
1sec 2
tag 211sec
2
Ejercicio: Calcula el resto de las razones trigonométricas sabiendo que
en un ángulo del primer cuadrante…
Ecuación fundamental
de trigonometría
22
2
2
2
cos
1
cos
cos
cos
sen
22
sec1tag
2sec
2
1
sec
1
cos
2
2
2
2
11. Problema: “O Castro Tecnolóxico” es el edificio vanguardista diseñado por los arquitectos Luís M. Mansilla y
Emilio Tuñón, ganadores del concurso internacional que el Ayuntamiento de Lalín convocó para su construcción.
Este edificio, que según los expertos es una referencia arquitectónica del siglo XXI a nivel mundial, se asemeja
en su construcción a la de las antiguas edificaciones castreñas. Todo el edificio está compuesto de formas
circulares tanto en el interior como en el exterior, al igual que los castro celtas. Fue inaugurado el 20 de
septiembre de 2013, año en el que también resultó premiado por la XII Bienal de Arquitectura y Urbanismo de
España, en la sección dedicada a símbolos cívicos. Con las medidas que aparecen en la imagen vamos a
calcular la altura del módulo más alto del edificio. La altura del teodolíto es de 1,5 m
12. Vamos a calcular la altura del edificio por razones trigonométricas. Tenemos que
tener en cuenta que el teodolíto no está a nivel del suelo sino a 1,5 m de altura que
tendremos que sumar al final.
x4,31
y
22,5ºtag
x
y
27,5ºtag
xtagy
xtagy
º5,27
4,13)º5,22(
xy
xy
52,0
4,1341,0
13.
xy
xy
52,0
41,05,5
xx 52,041,05,5 xx 41,052,05,5
5,511,0 xmx 50
11,0
5,5
.265052,052,0 mxy
Resolvemos por igualación.
27,5m.
xy
xy
52,0
4,1341,0
A este dato hay que sumarle la
altura del teodolíto, entonces…
.1,5m26AlturaEdificio ,5m.72
14. Joaquín Loriga Taboada fue un aviador y militar lalinense. Llevó a cabo, junto con otros dos pilotos y tres
mecánicos, el vuelo Madrid-Manila de la Escuadrilla Elcano. En el aeródromo de Cuatro Vientos Loriga pilotó el
autogiro de Juan de la Cierva en su prueba inaugural hasta Getafe. El 23 de junio de 1927 aterrizó con su avión
en el Monte do Toxo (Lalín), era el primer avión que tomaba tierra en Galicia. El monumento, obra del escultor
Francisco Asorey fue inaugurado el 27 de agosto de 1933 en un céntrico parque de Lalín. La obra reproduce un
avión clavado en la tierra, que simboliza una cruz, que preside el aviador. En la base, las palabras "España-
Filipinas". A partir de los datos de la imagen la altura del Monumento. El teodolito esta a una altura de 1,5 m.
4,21
Y
24,7ºs en
hipotenusa
cateto
senα
opuesto
4,2124,7ºsalturaestatua en
Utilizamos la razón trigonométrica
del seno que nos relaciona el cateto
opuesto con la hipotenusa…
4,21418,0 8,9m.
Para calcular la altura de la estatua tenemos que sumarle al cateto opuesto la altura del teodolito…
5,19,8alturaestatua 10,4m.
15. Problema.- El sacerdote que miraba para las estrellas, D. Ramón María Aller Ulloa, sacerdote, matemático y
astrónomo, es una de las figuras más relevantes de la capital dezana. Sus trabajo en el estudio de las estrellas
dobles y el desarrollo de instrumental para la observación astronómica dieron fama mundial a este humilde
lalinense. Nacido en Lalín en 1878 fue catedrático de astronomía en la Universidad de Santiago, cuyo observatorio
lleva su nombre. Hoy, su casa y observatorio son el Museo de Lalín que lleva su nombre. Calcula la altura de la
estatua de D. Ramón a partir de los datos de la imagen. Ten en cuenta que el teodolíto está a una altura de 1,5 m.
18,7
Y
34,7º tag
contiguo
opuesto
cateto
cateto
tagα
18,734,7ºtagY
Utilizamos la razón trigonométrica de la
tangente que nos relaciona el cateto
opuesto con la hipotenusa…
18,769,0 m.97,4
Para calcular la altura de la estatua tenemos que sumarle al cateto opuesto la altura del teodolito.
5,15alturaestatua m.5,6
5m.
16. Problema.- Calcula los ángulos que forman tres de las cuatro Torres de Madrid
sabiendo que entre la Torre Cepsa y la Torre de Cristal hay una distancia de
303 m, entre la Torre Cepsa y la Torre Espacio 418 m y entre la Torre de Cristal
y la Torre Espacio 144 m. Aplica Teorema del coseno.
cosαcb2cba 222
Aplicamos el Teorema del coseno
418 m.
Siendo…
a= 418 m.
cosα2413032241033184 222
222
184241033cosα2413032
2413032
184241033
cosα
222
90,0 (-0,90)cos0,90)arcoseno(-α 1
º154
Planteamos el problema
17. a= 418 m.
b
cosba2bac 222
Y para finalizar
a= 418 m.
cos3034182303418124 222
222
124303418cos3034182
3034182
124303418
cos
222
99,0 (0,99)cos,99)arcoseno(0 1
º5,7
bcosca2cab 222
Ahora…
bcos2414182241418303 222
222
303241418cos2414182 b
2414182
303241418
cos
222
b 95,0 (0,95)cos,95)arcoseno(0 1
b º5,18
º180º5,7º5,18º154 b
18. Problema.- La estructura de la Gran Torre Santiago, ubicada
en Santiago de Chile, alcanzó en 2012 una altura de 300 m,
convirtiéndose así en el edificio más alto construido en
América Latina. Calcula la longitud de la sobra cuando los
rayos del sol inciden sobre este edificio con un ángulo de 47º
sobre la horizontal.
contiguo
opuesto
cateto
cateto
tagα
X
300
47ºtag
300m.
X
47ºtag
300
X
1,07
300
.m280,4
Planteamos el esquema
Foto: Miguel
Sanmartín
19. Problema.- La Fragata Méndez Núñez
después de navegar 45 millas rumbo al
norte, vira y navega 23 millas a un rumbo
que cae a 35º al Este del Sur. ¿A qué
distancia se encontrará del punto de
partida?. Aplica teorema.
45millas.
X
Planteamos el esquema
Foto: Jesús
Paz
35º
cosαcb2cba 222
Aplicamos el Teorema del coseno
35ºcos324523245x 222
235910242025x2
690x millas26,3
20. Problema.- La pirámide de cristal del museo
del Louvre (Paris) tiene una base cuadrada de
35 metros de lado. Y las aristas que forman la
cúpula forman un ángulo de 51º con los lados
de la base. Calcula la superficie acristalada de
dicha pirámide.
Planteamos el esquema
Foto: Miguel
Sanmartín
78º
senC
c
senB
b
senA
a
Aplicamos el Teorema del seno
51º
35 metros
º51º51º180 º78
Sabiendo que la suma de los tres ángulos de un
triángulo es 180º…
51º
a =
bc
B
A
C
º51sen
b
º78sen
35
78ºsen
º51sen35
b
98,0
78,035
.m927,
=27,9 m.
21. Foto: Miguel
Sanmartín
51º
35 metros
Por trigonometría calculamos la altura…
51º
a =
bc
B
A
C
27,9
h
51ºsen
=27,9 m.
h=alturatriángulo
51ºsen27,9h .m21,7
2
alturabase
Áreacara
2
m379,75
2
7,2135
4379,75Total caras4 2
m1519
22. Problema: Calcula la altura del árbol con los datos de la figura.
x25
y
23ºtag
x
y
41ºtag
xtagy
xtagy
º41
25)º23(
xy
xy
87,0
2542,0
24. x x-40
y
x
40
y
30ºtag
x
y
60ºtag
xtagy
xtagy
º60
40)º30(
xy
xy
73,1
4058,0
Problema: La antena de radio situada en el ayuntamiento de Gondomar está
sujeta al suelo mediante dos cables a ambos lados de la misma.
La distancia entre los anclajes de
dichos cables es 40 m., y si se
observa la parte más alta de la
antena desde cada uno de ellos, los
ángulos de elevación son de 30º y
60º, respectivamente. Halla la altura
de la antena.
26. x x-82
82º
x
82
h
8ºtag
x
h
12ºtag
xtagh
xtagh
º8
82)º12(
xh
xh
14,0
8221,0
Problema: Un avión está
volando entre dos ciudades
Ourense y Santiago que distan
82km. Los ángulos de
depresión desde el avión a
cada una de las ciudades son
de 12º y 8º respectivamente.
Calcula la altura a la que está
volando el avión y la distancia
a ambas ciudades desde el
punto sobre el que vuela.
78º
12º 8º
28. Problema: La Torre de control avista un Boing 747 con un ángulo de 25º. Sabiendo que el
avión está a 3500 m. de altura, y que la torre mide 45 m. Calcula la distancia desde el pie
de la torre al avión.
3500m.
25º
45
3455m.453500
x
3455
25ºtag
7351m.
0,47
3455
25ºtag
3455
x
x
x
7351m.
7351m.
222
cch 8142m.73513500cch 2222
Aplicando Pitágoras…
31. º90
º60
º90
º40
º40
º80
º60
Problema: Si QR es igual a 15 m.
¿Cuál es la altura de la torre PQ?.
P
R
Q
Aplicamos teorema del seno…
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
80ºsen
PQ
40ºsen
15
23m.
40ºsen
80ºsen15
PQ
32. xx-50
y
x
50
y
42ºtag
x
y
53ºtag
xtagy
xtagy
º53
50)º42(
xy
xy
33,1
5090,0
Problema: Observa las medidas
que ha tomado Javier para
calcular la anchura del ría. ¿Cómo
la hallará con esos datos?.