(1) El documento habla sobre sucesiones y progresiones, en particular la sucesión de Fibonacci y progresiones aritméticas. (2) Explica que una sucesión es un conjunto de números ordenados y define el término general de una sucesión. (3) Una progresión aritmética es una sucesión donde la diferencia entre términos consecutivos es constante, y presenta la fórmula para calcular el término general de una progresión aritmética.

1. Tema – Progresiones
Fibonacci
Recursos subvencionados por el…
Profesor Juan Sanmartín
Matemáticas

2. Se llama sucesión a un conjunto de números dados de forma ordenada. De modo
que se puedan numerar: primero (a1), segundo (a2), tercero(a3), etc…
,...a,a,a,a
,...27,9,3,1
4321
Los elementos de una sucesión se llaman términos y se suelen designar mediante
una letra con un subíndice a1. El subíndice de cada elemento indica el lugar que
ocupa en la sucesión: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , …. an
,...b,b,b,b
,...8,6,4,2
4321 ,...c,c,c,c
,...14-,11-,8-,-5
4321
Se puede designar una sucesión con cualquier letra
del abecedario: b , c , d, t, z , r , ….

3. Término general de una sucesión
Se llama término general de una sucesión a, y se representa como an, a la
expresión que representa un término cualquiera de esta.
50n220an 
En este caso, el término general puede
expresarse mediante una fórmula, an =f(n),
en la cual, dando a n un cierto valor, se
obtiene el término correspondiente a la
posición que indica ese valor. Es decir, para
obtener a1 se sustituye n por 1.
  170150220a1 
  120250220a2 
  70350220a3 
  20450220a4 

4. Ejemplos sucesión a partir del término general
 
 
 
 
 
...
53352a
35342a
21332a
11322a
5312a
32na
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
2
n





    
     
     
     
     
     
...
12342)(515b
6232)(414b
2122)(313b
0012)(212b
0102)(111b
2n1nb
5
4
3
2
1
n






Para obtener cada uno de los términos, se sustituye la n por el valor correspondiente a
la posición del término, es decir, en a5 se sustituye n por 5

5. Las sucesiones cuyos términos se obtienen a partir de los anteriores se dice que
están dadas en forma recurrente.
,...13,8,5,3,2,1,1
Famosa Sucesión de Fibonacci, donde se obtiene cada término
de la suma de los dos anteriores y por lo tanto su expresión seria.
2n1nn fff  
1223133 fffff  
Sucesión recurrente

6. Ejemplos sucesión recurrente
2n1nn t3t2t  
En este tipo de sucesión, al comenzar recurriendo a los
anteriores debemos conocer de antemano dichos términos,
en este caso n-1 y n-2, es decir los dos anteriores.
 1t1 
 2t2 
23133 t3t2t   12 t3t2     1322  34 1
24144 t3t2t   23 t3t2     2312  62 4
25155 t3t2t   34 t3t2     1342  38 11
26166 t3t2t   45 t3t2     43112  1222 10
...
2n1nn t3t2t  

7. Ejemplos sucesión recurrente
2n1nn fff  
En este tipo de sucesión, al comenzar recurriendo a los
anteriores debemos conocer de antemano dichos términos,
en este caso n-1 y n-2, es decir los dos anteriores.
0f1   1f2 
23133 fff   12 ff    01  1
24144 fff   23 ff     11  0
25155 fff   34 ff     1-0  1
...

8. Sucesiones – progresión aritmética
Una progresión aritmética es una sucesión en la que para pasar de un término al
siguiente se suma una cantidad fija y siempre la misma (positiva o negativa) a la
que se denomina diferencia d de la progresión
,...17,14,11,8,5,2
diferencia
3 3
El término general de una progresión aritmética, conociendo el primer término a1
y la diferencia d, viene dado por la siguiente expresión:
  d1naa 1n 

9. Ya que para obtener el término an tenemos que sumarle (n-1) veces a a1 (primer
término) la diferencia d.
  d1naa 1n 
Ejemplo:
,...17,14,11,8,5,2
3 3
1a 3a 4a 5a 6a2a
Es decir, para obtener el término a6=17 debemos sumarle a a1=2 la diferencia +3 un
número de veces (n-1=6-1=5), es decir cinco veces.
  17532a6 

10. Teniendo en cuenta esto, para la sucesión anterior, el término general será.
    44n1641n16bn 
Otros ejemplos de sucesiones aritméticas…
4,0,4,8,12,16 
4 4
1b 3b 4b 5b 6b2b
  31-n2an 
13nan 
4n20bn 
5´7,7,5´6,6,5´5,5
5´0 5´0
1c 3c 4c 5c 6c2c    0´5n5´05´55´01n5´5cn 
n5´05cn 
  d1naa 1n  33n2an 

11. Ejemplos obtención término general
de una progresión aritmética
Ejemplo ,...22,17,12,7,2na
 






5d
2a
d1naa 1
1n
    35n55n2a51n2a n
resolvemos
n  
  2235535na 5
ejemplo
n   a
Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los
términos de la sucesión
   51n2an 

12. Ejemplo ,...5,3,1,1,3,5,7,9 nb
 






2d
9b
d1nbb 1
1n
    2n1122n9b21n9b n
resolvemos
n  
  314117211211b 7
ejemplo
n   bn
Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los
términos de la sucesión
   21n9bn 

13. Desde muy pequeño Gauss mostró su talento para los
números y para el lenguaje. Aprendió a leer solo, y sin que
nadie lo ayudara aprendió muy rápido la aritmética desde
muy pequeño.
En 1784 a los siete años de edad ingresó en la escuela
primaria de Brunswick donde daba clases un profesor
llamado Büttner. Se cuenta la anécdota de que a los dos
años de estar en la escuela, durante la clase de Aritmética el
profesor propuso el problema de sumar los números de una
progresión aritmética.Gauss halló la respuesta correcta casi
inmediatamente diciendo «Ligget se'» (ya está). Al acabar la
hora se comprobaron las soluciones y se vio que la solución
de Gauss era correcta mientras muchas de las de sus
compañeros no.
Anécdota de gauss
Carl Friedrich Gauss

14. “…Tenía Gauss 10 años cuando un día en la escuela el
profesor manda sumar los cien primeros números
naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad…
pero transcurridos pocos segundos Gauss levanta la mano y
dice tener la solución: los cien primeros números naturales
suman 5.050. Y efectivamente es así. ¿Cómo lo hizo Gauss?
Pues mentalmente se dio cuenta de que la suma del primer
término con el último, la del segundo con el penúltimo, etc.,
era constante:
1011011011011011011011011011012
12345...979899100
10099989796...4321



n
n
n
S
S
S
1001012Sn 
La suma de la sucesión de los cien números naturales con la misma sucesión
invertida da 101 cada término, es decir, sumaríamos 100 veces 101.
2
100101
Sn


Carl Friedrich Gauss
5050
2
10100


15. Suma de los términos de una
progresión aritmética
nn-nn ,a,a,...,a,a,a,aaa 124321 
Entonces obtenemos la siguiente expresión general para la suma de los
términos de una progresión aritmética.
   nnn
nnnn
nnnnn
aaaaS
aaaaaaaS
aaaaaaaS





11
123421
123321
()()()()()()2
...
...
  naaS nn  12
 
2
1 naa
S n
n



16. Ejemplo: Calcula el término general de la siguiente sucesión, el
término 7 y la suma de los 12 primeros términos
,...220,200,180,160,140,120nc
 






20d
801c
d1ncc 1
1n
    nn 201602020180c201n801c nn 
  300140160720160c7 n20160cn 
Obtenemos el término general de la sucesión y con este obtenemos el término 7, es
decir b7.
   201n801cn 

17.     2400
2
10360120
2
10101
10 




cc
S
 
2
ncc
S n1
n


Para obtener la suma de los 10 primeros términos, sustituimos n en la fórmula de la
suma de los términos de una sucesión aritmética
No tenemos el término 10, por lo que lo tenemos que calcular…
  3602001601020160c10 
Entonces…
 
2
10101
10


cc
S

18. Sucesiones - progresión geométrica
Una progresión geométrica es una sucesión en la que para pasar de un
término al siguiente se multiplica por una cantidad fija, y siempre la misma, a la
que se denomina razón r de la progresión.
...243,81,27,9,3,1
razón
3x 3x
El término general de una progresión geométrica, conociendo el primer
término a1 y la razón r, viene dado por la siguiente expresión:
1-n
1n raa 

19. Ya que para obtener el término an tenemos que multiplicar el primer término a1 por
la razón r un numero de veces igual a n-1.
Ejemplo:
,...30000,3000,300,30,3
10x 10x
1a 3a 4a 5a2a
Es decir, para obtener el término a5=30000 debemos multiplicar a1=3 por la razón
r=10 un número de veces (n-1=5-1=4), es decir cuatro veces.
  30000103103 415


1-n
1n raa 

20. Entonces para la sucesión anterior, el término general será....
Otros ejemplos:
,...5,10,20,40,80
5,0
2
1
x 
1b 3b 4b 5b2b
1-n
1n raa 
1-n
n
1-n
1n 013araa 
5,0
2
1
x 
1
1-n
n
1-n
1n 5,080
2
1
08brbb 






 n
x3
1c 3c 4c 5c2c
x3
,...243,81,27,9,3n1n11-n
n
1-n
1n 3333crcc  

21. Ejemplos obtención término general de una
progresión geométrica
Ejemplo ,...96,48,24,12,6,3 na
  1
n 23a


n
      48232323a
415
5
ejemplo1
n  

a
n
Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los
términos de la sucesión





 
2
3a
aa 11
1n
r
r n

22. Calcula el término general de la siguiente sucesión
1n
1n rbb 

  1n
n 0,20001b


Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular
cualquiera de los términos de la sucesión
6,1;8;40;200;1000
2,0x 2,0x
Dividir entre 5 es igual
a multiplicar por 0,2
2,0
5
1








0,2r
1000b1
    32,00,200010,20001b
516
6
ejemplo
 


23. Suma de los términos de una
progresión geométrica
La suma de una progresión geométrica es.
raaSrS
aaaaaaS
raaaaaarS
nnn
nnnn
nnnnn





1
12321
1232
...
...
nnnn aaaaaaS   12321 ...
raaaaaaa
rararararararS
nnnn
nnnn




12432
12321
...
...
Si multiplicamos dicha suma de la sucesión por r (la razón de una sucesión
geométrica)nos queda…
Ahora restamos ambas sucesiones… nn SrS 

24. Es por lo que, podemos deducir que la suma de los n primeros términos de una
progresión geométrica de razón r es:
1araSrS nnn 
    1
n
11
1n.
1n
1n.r1ana
1nn araarra1rSara1rS   
 
1r
1ra
S
n
1
n



Tras las anteriores operaciones obtenemos…
Con lo que obtenemos que…
  11 ararS nn 
   1raara1rS n
11
n
1n 

25. Calcula el término general de la siguiente sucesión, el término 10 y la suma de los
10 primeros términos
0,...0,1250,6252,10,50,25en 






 
5r
2e
ree
11n
1n
  1n
n 52e


Obtenemos la siguiente expresión con la
que podemos calcular cualquiera de los
términos de la sucesión
  3.906.2505252e 9110
10 


26. Para obtener la suma de los 10 primeros términos, sustituimos n en la fórmula de la
suma de los términos de una sucesión geométrica.
Entonces…
 
1r
1re
S
10
1
10



 
1r
1re
S
10
1
10



  4.882.812
15
152 10




 
1r
1re
S
n
1
n




27. Calcula el término general, el término 7 y la suma de los 10 primeros términos de las
siguiente sucesión geométrica: b1=2 ; r= 3
.






 
3r
2b
rbb
11n
1n
  1n
n 32b


Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los
términos de la sucesión
  45813232b 617
7 


28. Para obtener la suma de los 10 primeros términos, sustituimos n en la fórmula de la
suma de los términos de una sucesión geométrica.
Entonces…
 
1r
1rb
S
n
1
n



 
1r
1rb
S
10
1
10



 
1r
1rb
S
10
1
10



  59.048
13
132 10





29. Ejemplo.- Halla el término general de una progresión aritmética sabiendo que a2=17 y
a5=50.
  d1naa 1n 
1750d4d 






d450
d17
1
1
a
a
61117a1 
511nan 
 
 






4dad15a50a
1dad12a17a
115
112







d450
d17
1
1
a
a
d450d17 
333d 11
3
33
d 
  111n6an  1111n6 

30. Ejemplo : Halla el término general de una progresión aritmética sabiendo que c5=8 y
c11=17. ¿Qué lugar ocupa el término que vale 152?.
 
 
 






d10cd111c17c
d4cd15c8c
d1ncc
1111
115
1n
2
3
6
9
d817d4d10 
d1017d48
d1017c
d48c
d10c17
d4c8
1
1
1
1















31. 268
2
3
48
2
3
1
481






  
cd dc
  






2
3
12 ncn
    1
3
22152
2
3
12152152 







 nncc nn
1011100n1n100 
Un vez que obtenemos el término general de la sucesión aritmética, podemos
obtener la posición que ocupa el término 152.

32. En una progresión geométrica su término tercero es a3 = 50 y el quinto es a5= 2.
Calcula la razón, el término general de la progresión, el término 8 y la suma de los 7
primeros términos









4
1
15
15
2
1
13
13
ra50ra2a
ra50ra50a









41
4
1
21
2
1
r
2
ara2
r
50
ara50
42
r
2
r
50

50
2
r
r
2
4

0,20,04r0,04r2

1n
1n raa 

1n
n 2,02501a 

21
r
50
a  2
2,0
50
 1250
04,0
50
 término general de la progresión

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