1. Tema 4. Polinomios
Operacións básicas. Factorización.

2. Polinomios:
definicións e
operacións básicas
Bloques de Dienes

3. Monomios. Monomios enteiros
Chámase monomio enteiro a unha Cando a parte literal ten unha
expresión alxébrica formada por única letra diremos que temos un
produtos de números enteiros e monomio nunha indeterminada,
letras elevadas a expoñentes por exemplo: 2x, 5y3, etc…
enteiros.
Grao dun monomio
Ao número que aparece nesta Chámase grao dun monomio á
expresión chámaselle coeficiente suma dos expoñentes das
ou parte numérica e á expresión indeterminadas da parte literal.
contendo as indeterminadas parte
literal.
2 x· y2
Parte Parte O expoñente 1, O expoñente da
numérica: literal non se escribe, yé2
coeficiente por convenio
O grao de 2xy2 é 2+1=3

4. Polinomios. Polinomios nunha
indeterminada
Chámase polinomio enteiro á suma Chámase grao dun polinomio
de monomios enteiros. ao grao do monomio de maior
grao. Nos polinomios nunha
indeterminada coincide co maior
expoñente da indeterminada.
Un polinomio enteiro nunha Grao 1
indeterminada é un polinomio
formado por monomios simples: Maior grao =1
que só teñen unha indeterminada.
Grao 3
Maior grao =3
Cando contén termos de todos os graos
ata o maior decimos que o polinomio é
completo
Exemplos Completo Incompleto

5. Operacións cos polinomios
Suma e resta de polinomios:
Para sumar os polinomios so 2. Sumamos termos
poden sumarse os termos semellantes sumando os
semellantes: os que son do coeficientes e tomando
mesmo grao. común a parte literal.
Para efectuar a suma,
1. Ordenamos e completamos os
polinomios segundo a medra
do seu grao:
Sumand
o:
A resta de polinomios efectúase sumando
ao minuendo o oposto do sustraendo polo
que non ten sentido falar unha vez máis do
procedemento.

6. Produto de polinomios O produto de dous polinomios
require do produto de cada un dos
O produto de monomios monomios de cada polinomio:
efectúase multiplicando as partes
literais dunha banda e os
coeficientes por outra:
Propiedades
Que tamén pode efectuarse da
das potencias seguinte2forma:
x -x-1 Este algoritmo é
lixeiramente
2x+3
diferente do da
2x3- 2x2-2x multiplicación
numérica, que
+3x2-3x-3 podería tamén
2x3+ x2- 5x-3 empregarse na
Multiplicar un monomio por un multiplicación de
polinomio é multiplicar o monomio polinomios.
por cada un dos termos do ¿Saberías
explicar a razón
polinomio:
de que o
resultado sexa
indiferente ao
método
empregado?

7. Identidades
notables
Nicolo Tartaglia

8. Identidades notables
Chámase identidades ou Por veces adoita incluírse entre
produtos notables ás potencias estas expresións o cubo da
de expresións alxébricas simples, suma
en particular sumas e restas de
binomios.
E da resta:
As expresións máis simples son:
Cadrado da suma:
A veracidade de todas estas
expresións pode comprobarse
efectuando simplemente os
Cadrado da diferenza: produtos.
O que xa non resulta tan simple
Suma por diferenza: é obter unha expresión xeral
que permita obter o resultado da
potencia:
para calquera n,

9. Triángulo de Tartaglia
O método de Tartaglia baséase na obtención dos coeficientes mediante
unha regra simple:
binomio Coeficientes dos termos resultantes
1
+
1 1
=
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Os termos resultantes obtéñense empezando polo maior expoñente do primeiro sumando, que
vai descendendo unha unidade en cada termo, multiplicado polo segundo, que comeza con
expoñente cero e vai aumentando unha unidade en cada termo.

10. Binomio de Newton
Chámase binomio de Newton a
todo binomio da forma:
Chámase factorial do número n, Propiedades
ao produto:
Por definición: 0!=1
Exemplos:
Defínense os números
combinatorios como o
resultado da seguinte serie de Propiedades
operacións:
Exemplos:

11. A factorial e os números NOTA:
BINOMIO DE NEWTON combinatorios resumen o No exemplo empregáronse os
procedemento do triángulo de resultados:
Tartaglia mediante a expresión:
Suma desde k=0 ata
n
Exemplo:

12. División de
Polinomios
Paolo Ruffini

13. División de polinomios
Sexan os polinomios:
Efectuando o cociente Que deberán
P(x) Q(x) cumprir a
p(x) entre q(x) teremos
un cociente e un resto. propiedade
R(x) C(x) fundamental:
P(x)=Q(x)·C(x)+R(x)
Ordenamos e completamos os
polinomios x3 +0x2- 3x + 2 x2 - 2x
Multiplicamos e -x3 +2x2
restamos: x + 2
2x2 – 3x
Buscamos o monomio que ao
Multiplicamos e -2x2 +4x multiplicar polo maior do
restamos: cociente sexa idéntico ao de
x maior grao do dividendo

14. Resulta conveniente analizar o
x3 +0x2- 3x + 2 2x2 - 2x
caso:
x3 +0x2- 3x + 2 2 x2 - 2x
-x3 +x2 O problema reside en atopar o número que
½ x +½
x2 – 3x multiplicado por 2 dá 1, que non é outro
que o seu inverso
-x2 + x
-2x
Neste outro caso Aplicamos fraccións:
x3 +0x2- 3x + 2 2 x2 - 3x
-x3 +3/2 x2
½ x + 3/4
3/2 x2 –3x
-2/3 x2 – 3/2 x
-2x

15. P(x) x-a
Algoritmo de Ruffini R C(x)
O algoritmo de Ruffini emprégase na división dun polinomio p(x) entre
un polinomio da forma x-a
p ( x ) an x n an 1 x n 1 an 2 x n 2
.... a1 x a0
Coeficientes do
an an-1 an-2 a2 a1 ao dividendo
x- a + + + + +
a aCn-1 aCn-2 aC2 aC1 aC0
Cn-1 Cn-2 Cn-3 C1 Co R
Resto
Coeficientes do cociente
c ( x ) cn 1 x n 1
cn 2 x n 2
.... c1 x c0

16. Exemplo
División dun polinomio p(x) entre un polinomio da forma x-a
p ( x) 3 x 4 2 x 3 7 x 2 x 5
x a x 2
Coeficientes
3 2 -7 1 5 do dividendo
+ + + +
2 6 16 18 43
por 3 8 9 19 48
Resto
Coeficientes do cociente
c( x) 3x 3 8 x 2 9 x 19

17. Teoremas do resto
e do factor. Raíces
Teorema do resto

18. Teorema do resto
O resto da división dun polinomio p(x) entre un polinomio da forma x-a é
igual ao valor numérico do polinomio para x=a
Noutras palabras p(x) x a
R P(a)
APLICACIÓN: R c(x)
Tomando o polinomio anterior:
p ( x) 3 x 4 2 x 3 7 x 2 x 5
Tomando como divisor:
x 2 3x 4 2 x 3 7 x 2 x 5 x 2
Podemos calcular o resto sen R c(x)
efectuar a división:
R P(a) R P(2) 3·24 2·23 7·2 2 2 5 43

19. Teorema do factor
Se o valor numérico P(a) para un
deteminado número real “a” do
polinomio p(x) é nulo, entón x-a é un
factor de p(x)
Demostración
p(a) R Polo teorema do resto, e polo tanto, se dividimos:
Factor
p(x) x a p ( x) (x 2
a)·c( x)
R 0 c(x) Factor
Exemplo 1
x 3 3x 2 x 1 p ( x) ( x 1)·c( x)
R 0 c(x) Factor Factor
1 2

20. Raíces dun
polinomio
Raíz de mangle

21. Raíces dun polinomio
Chámase raíz dun polinomio p(x) VOCABULARIO MATEMÁTICO:
ao número real “r” que anula o Anular o polinomio ou calquera
polinomio. outra expresión significa facer
nulo o seu valor numérico
O valor x 1 Proposición
É raíz do polinomio: Se “a” é unha raíz de p(x) entón x-
a é un factor de p(x)
P( x) x3 3x 2 Demostración
Xa que: a / p( x a) 0 p( x) : x a / R p(a) 0
P(1) 13 3·1 2 0 R 0 p( x) ( x a)·c( x)
Consecuencia
Factorizar un polinomio equivale a
buscar as raíces do polinomio.

22. Raíces enteiras
Para buscar as raíces enteiras
PROPOSICIÓN:
dun polinomio comprobamos os
As raíces enteiras dun polinomio
valores numéricos do polinomio
son divisores do termo
para os divisores do termo
independente.
independente: os que o anulen
TEOREMA FUNDAMENTAL DO serán raíces, os outros non
ÁLXEBRA.
O número máximo de raíces dun p ( x) x3 3x 2
polinomio é igual ao seu grao Divisores e valores numéricos
p ( x) x3 3x 2 3 p(1) 13 3·1 2 0
q( x) x4 3x 3 2x2 x 5 4 p( 1) ( 1) 3 3·( 1) 2 4
r ( x) x2 5x 3 2 p(2) 23 3·2 2 2
s ( x) x7 8x3 5 7 p( 2) ( 2) 3 3·( 2) 2 16
t ( x) 3x 1 1 A ùnica raíz de p(x) é x =1.
Isto non é incompatible co
teorema fundamental, xa que
Grado do polinomio = nº este establece unicamente un
máximo de raíces número máximo de raíces, non
o mínimo.

23. Factorización de
polinomios

24. Factorización de polinomios
A factorización de polinomios EXEMPLO:
consiste en expresar un polinomio Como xa vimos, o polinomio:
arbitrario p(x) como produto de
outros máis simples, de menor p ( x) x3 3x 2
grao. Pode descompoñerse como
O polinomio máis simple é o produto de dous factores:
polinomio x forma
da a
x3 3x 2 x 1
De maneira que o noso obxectivo R 0 c(x)
será expresar un polinomio
xenérico:n a x n 1 a x n 2 .... a x
p ( x ) an x a0
n 1 n 2 1
p ( x) ( x 1)·c( x)
Como produto de factores:
x a/a Factor Factor
Esto é, buscamos a igualdade: 1 2
E sendo neste caso
p( x) an x n an 1 x n 1 an 2 x n 2 .... a1 x a0
os :
( x a1 ) k1 ( x a2 ) k2 ( x a3 ) k3 ...( x al ) kl ai = raices de p(x)
onde k1 k 2 k3 .... kl n ki = multiplicidade de

25. Método a seguir na factorización de polinomios
Imos estudar a descomposición dun polinomio nunha indeterminada
mediante exemplos.
EXEMPL p( x) x 3 3 x 2 6 x 8
RAÍCES ENTEIRAS: O:
Os factores da forma x-a da Divisores do termo independente:
descomposición dun polinomio p(x) x 1; 2; 4; 8
onde a é un número enteiro deben
buscarse entre os divisores do Valores numéricos de p(x)
termo independente. x p(x)
Dos valores 1 0
numéricos temos -1 10
Outro método consiste en dividir
tres raíces e polo 2 -8
sucesivamente:
teorema -2 0
fundamental do 4 0
1 -3 -6 8
-4 -80
álxebra non pode
(X-1) 1 1 -2 -8 8 280
haber máis
FACTORES
-8 -648
1 -2 - 0
(X+2) -2 8
-2 +8
1 -4 0 p ( x) x 3 3x 2 6 x 8 ( x 1)( x 2)( x 4)
(X-4) 4 4
1

26. EXEMPLO Tamén pode empregarse a veces,
2
Cando o número de raíces enteiras é para determinar raíces reais non
menor có grao do polinomio: enteiras, a descomposición da
ecuación de segundo grao:
q ( x) 2 x3 5x 2 4x 1
3 2
EXEMPLO 3: q( x) x 3x 2
2 5 4 1
1 - 0 2
(X+1) -1 -2 -3 -1 3 -2
FACTORES
(X+1) 1 1 -2
2 3 1 0
1 -2 -2 0
(X+1) -1 -2 -1
E non volve dar exacto con
2 1 0
ningún divisor de 2
(2X+1
) q ( x) x 3 3x 2 2 ( x 1)( x 2 2 x 2)
q ( x) 2 x3 5x 2 4 x 1 ( x 1) 2 (2 x 1) 2
Usando : ax bx c a( x x1 )( x x2 )
Intentamos a descomposición do
x
2 ( 2) 2 4·1·( 2) polinomio de segundo grao:
2
2 12 2 2 3
x1 1 3 q ( x) x 3 3x 2 2 ( x 1)( x (1 3 ))( x (1 3 ))
2 2
2 12 2 2 3
x2 1 3
2 2