les doy a conocer una presentacion sobre el teorema dechebyshev

1. TEOREMA DE CHEBYSHEV
El teorema de Chebyshev “solamente” nos facilita el límite inferior;
P[ - k  < X<  + k  ]  1- 1 /k2
Este teorema nos va permitir determinar la mínima porción de valores que se encuentran a
cierta cantidad de desviaciones estándares (K) de la media.
FORMULA: 1 – 1
K²

2. Sea X una variable aleatoria con media  y varianza ² finita. Para cualquier k>0 (positiva) se
verifica:
P[ X-   k  ]  1 /k²
complementario
P[ X-  < k ]  1- 1 /k²
P[ - k  < X<  + k  ]  1- 1 /k²
Podemos expresar en términos de probabilidad la dispersión de los valores de la variable alrededor
de su media utilizando la varianza como medida de dispersión y sin necesidad de conocer la
distribución
TEOREMA DE CHEBYSHEV

3. Si en la desigualdad de Chebyshev tomamos k=3 tendremos:
 P[ X-   3 ]  1 /3²
supone que indica que la probabilidad de que una variable aleatoria difiera de su media
en al menos tres veces su desviación típica será menor o igual que 1/9, para cualquiera
que sea la distribución de probabilidad de la variable
o en el caso complementario, por lo menos 8/9 del total de la masa de la distribución de
probabilidad está comprendida en el intervalo (-3, +3)
 P[ - 3 < X<  + 3 ]  1- 1 /3²
TEOREMA DE CHEBYSHEV

4. APLICACIONES DE LA DESIGUALDAD DE
CHEBYSHEV
Dentro de las principales aplicaciones de la desigualdad de Chebyshev, podemos
mencionar las siguientes:
 Cálculo de cotas para probabilidades, lo cual es importante cuando es difícil
dar un valor exacto de la probabilidad;
 Demostración de teoremas límite en probabilidad.
 Cálculo de tamaño de muestra en la aproximación de la media de una
población.

5.  Ejemplo: obtener cuál es la probabilidad máxima de que una variable aleatoria difiera de su
media en al menos 2,3,4 y 5 veces la desviación típica
 Si k=2 P[ X-   2 ]  1 /2²
 Si k=3 P[ X-   3 ]  1 /3²
 Si k=4 P[ X-   4 ]  1 /4²
 Si k=5 P[ X-   5 ]  1 /5²
TEOREMA DE CHEBYSHEV

6. Ejemplo
 El número de periódicos vendidos diariamente en un quiosco es una variable aleatoria de
media 200 y desviación típica 10. ¿cuántos ejemplares diarios debe encargar el quiosquero
para tener seguridad de al menos un 99% de no quedarse sin existencias?
 Particularizando la expresión extendida del teorema de Chebyshev,
 para tener la seguridad de al menos el 99% k=10, por tanto,
 resultando el intervalo (100<x<300) luego 300 (extremo superior) son los periódicos que
garantizan no quedarse sin existencia con al menos un 99% de probabilidad .
  2
k
1
110k200x10k200P 
 
100
1
1100200x100200P 
TEOREMA DE CHEBYSHEV