Criterios ESG: fundamentos, aplicaciones y beneficios
FUNCIONES REALES
1. 1
FUNCIONES REALES
FUNCIONES REALES
CAPÍTULO 1
FUNCIONES REALES
CONTENIDOS
La noción de función
Dominio y recorrido de una función
Gráfico de una función
Monotonía
Máximos y mínimos
Elementos de simetría
Operaciones con funciones
Composición de funciones
Inversa de una función
RESULTADOS DE APRENDIZAJE
Reconoce una función definida por un gráfico o por una fórmula.
Identifica el dominio y recorrido de una función.
Determina imágenes y primágenes por una función.
Representa gráficamente una función punto a punto.
Describe una situación mediante una función.
Halla la inversa de una función biyectiva.
Analiza la monotonía de una función
Halla la composición de dos funciones
INTRODUCCIÓN
A menudo utilizamos funciones sin saberlo. En la vida diaria se escuchan afirmaciones como las siguientes: La distancia recorrida por un vehículo es función del tiempo. Un termómetro indica la temperatura en función de la altura de la columna de alcohol, etc. Desde el momento en que aprendemos a contar, utilizamos una función, aquella que a un número natural hace corresponder el número natural siguiente. Aprendemos, también a adicionar dos números; esta es una función que a dos números hace corresponder un tercero. El precio del transporte depende del precio de la gasolina; el consumo de energía en una persona que hace ejercicio, depende de la intensidad de éste; la temperatura de un lugar situado en el trópico depende de su altura sobre el nivel del mar; la oferta de un producto determina el precio del mismo; el número de individuos de una población varía con el tiempo. Esa idea de que un dato depende de algo, que está en función o varía con otro aparece frecuentemente en física: el espacio
2. 2
FUNCIONES REALES
recorrido por un móvil en una unidad de tiempo depende de la velocidad y, naturalmente, en
matemáticas: el área del círculo es función del radio, el volumen de un cono de base fija
depende de la altura. Con respecto a estos dos últimos ejemplos, si denota el área y el
radio del círculo, para indicar que depende de se escribe . Si denota el volumen
del cono y su altura, para indicar que depende de se escribe V(h) . Específicamente se
tiene y donde es el área de la base del cono. Así ,
.
Estos ejemplos muestran que las funciones se encuentran en todo ámbito.
FUNCIONES REALES
Sean y dos conjuntos de números reales; es decir, y
Definición. Se define una función del conjunto en el conjunto cuando a cada
número real de se asocia un único número real en el conjunto
Para indicar que es una función de en notaremos:
El conjunto se llama conjunto de definición o simplemente el dominio de la función es
decir que:
Si asocia al elemento , el elemento diremos que es la imagen de por y
notaremos
Se dice también que es una preimagen o antecedente de
El conjunto formado con todas las imágenes se denomina el recorrido de la función.
Definición. Si es una función de en su recorrido es el conjunto
En lo que sigue consideraremos únicamente funciones de en donde y son
subconjuntos de Estas funciones se denominan funciones reales.
Notaciones:
Una función es generalmente designada por alguna de las letras
A r
A r, A(r) V
h V h,
2 A(r) = r
1
( ) =
3
V h Bh B A(3) = 9
2
(2) =
3
V B
A B A B .
f A B
x A, y B.
f A B : o .
f
f AB AB
A f ;
A Dom( f ).
f xA y, y x f
= ( ) o .
f
y f x x y
x y.
f A B,
Rec( f ) = f (x) : xA.
A B, A B
.
f , g,h,
3. 3
FUNCIONES REALES
La imagen de un real del dominio por la función es notado que
se lee: o también calculada en
En lugar de escribir es la función que a asocia se escribe:
EJEMPLO
Sea la función de en que a cada número natural le asocia su duplo 2n, es decir
Así, Se tiene que, el natural es
preimagen de el natural es preimagen de , etc.
En lugar de decir que es la función que a cada asocia , se suele decir: es
la función definida por o tal que
El conjunto de las imágenes de esta función es el conjunto de los números naturales pares
Este conjunto se llama el recorrido de
Observaciones.
Cada número real de tiene una y una sola imagen.
Cada número real puede tener varios antecedentes, o no tener antecedentes.
Una función definida en puede ser dada de tres maneras:
Algebraica Gráfica Numérica
Mediante una fór-mula
o una expre-sión
algebraica.
Ejemplo.
Mediante un pro-grama
de cálculo.
Ejemplo
Escoger un núme-ro.
Elevarlo al
cuadrado. Restarle
su triple y agregar
8.
Mediante
una nube de
puntos.
Mediante
una curva
representati
va.
Por un cuadro de valores.
En la primera fila constan los
antecedentes (abscisas).
En la segunda fila constan las imágenes
(ordenadas)
Una nube de puntos o un cuadro de valores no puede describir completamente una función. Aquello
es posible solo cuando el conjunto de definición es finito.
x Dom( f ) f f (x),
" f de x" " f x".
" f x f (x)",
f : x f (x).
f n
f (n) 2n. f (1) 2, f (5) 10, f (7) 14, f (100) 200. 1
2, 5 10
f n 2n f :
f (n) 2n f (n) 2n.
0,2,4,6, . f .
x A
y
f A
4 f x x x 2.
x 2 1 0 1 2
f x 3 1 0,5 0 3
4. 4
FUNCIONES REALES
EJEMPLO
Sea la función definida en por Sea la función definida por el cuadro de
valores:
Sea la función definida por la curva representativa siguiente:
Determinar las imágenes de 1 y 2 por cada una de las funciones y
Solución
Para calcular se reemplaza por en la expresión algebraica. De manera similar se
calcula y Así:
Cuando la función está definida por un cuadro de valores, se ubica en la fila de las los valores
y y se leen los valores asociados en la fila de las imágenes. Así, del cuadro se sigue que:
Como la función está definida de manera gráfica, se ubica los puntos de la curva que tienen por
abscisas respectivas y 2 y se leen las ordenadas de esos puntos. Así:
Representación gráfica de una función
Definición. Sea una función definida en un conjunto La representación gráfica (o curva
representativa) de en un sistema de coordenadas es el conjunto de los puntos de coordenadas
f f x x2 1. g
x 3 2 0 1 2
g x 2 1 1 3 0
h
3, f , g h.
f 3 x 3
f 1 f 2.
2 f (3) (3) 1 91 8; 2 f (1) (1) 111 0; 2 f (2) (2) 1 41 3.
x
3, 1 2
g 3 2; g 1 3; g 2 0.
h
3, 1 h3 3; h1 2;
h2 4.
f A. f C
f
5. 5
FUNCIONES REALES
donde es un elemento del conjunto Se dice que la curva tiene por ecuación
La figura siguiente muestra la curva representativa de una función en el intervalo Las
flechas indican cómo ubicar el punto de la curva que tiene por abscisa Así
Puesto que la gráfica de es un conjunto de pares de números reales, se suele representarlo en un
sistema de dos ejes coordenados (generalmente perpendiculares) como puntos del plano.
Como en general, es un conjunto infinito, se representan un número suficiente de puntos que
nos permitan tener una idea aproximada de su forma. Ésta generalmente es una curva, una recta o
combinaciones de éstas como se muestra en los siguientes ejemplos.
La representación gráfica es una curva de ecuación Ello quiere decir que los puntos de
son los puntos del plano cuyas coordenadas verifican la relación es entonces el
conjunto de los puntos de coordenadas
x; f x, x A. f C
y f x.
f A 5;4.
B a. Ba; f a.
f
XOY,
G( f )
f C y f x.
f C y f x. f C
x; f x.
EJEMPLOS
6. 6
FUNCIONES REALES
1.
3
6
2. ,
3. , .
f : , f (x) 2x.
x 2 1 0 0,5
f (x) 4 2 0 1
f : 2 f (x) x .
x 2 1 0 1 2
f (x) 4 1 0 1 4
f : 3
1
( )
3
f x
x
7. 7
FUNCIONES REALES
f (x)
No
defi-nido
4. f : , . Esta función tiene el siguiente gráfico obtenido en una
computadora.
Es necesario señalar que si el número de puntos representados es pequeño, no permite conocer con
precisión la forma del gráfico, en general se requieren muchos puntos. Otras técnicas, algunas de las
cuales se introducirán más adelante, permiten determinar el gráfico de manera bastante aproximada.
El uso de calculadoras gráficas o computadoras ayuda, gracias a la representación de un gran número
de puntos, obtener gráficos muy precisos.
Prueba de la recta vertical para determinar si un gráfico representa una función
Un gráfico representa la variable dependiente como una función de la variable independiente
solo si cualquier recta vertical corta al gráfico en un solo punto.
x 2 1 0 1 2 2.9 3 3.1 4 4.5 5
1
5
1
4
1
3
1
2
1 10 10 1 2
1
2
3 1
( ) 8
8
f x x
y x
8. 8
FUNCIONES REALES
El gráfico a) representa una función mientras que el gráfico b) no representa una función.
¿Cuáles de los siguientes gráficos representan una función?
Los gráficos a) y c) no representan una función. El gráfico b) representa una función.
Determinación del dominio de una función
Cuando hablamos de encontrar el dominio de una función, nos referimos al mayor conjunto en el cual
está definida la función. En los siguientes ejemplos determinaremos el dominio de algunas funciones.
1. Si como el denominador se anula para el único valor que no puede
tomar es justamente el valor 2. Por lo tanto el dominio es
2. Si como la cantidad subradical es mayor o igual que cero para
entonces el dominio es
Nota. Es claro que los dos casos anteriores pueden ir combinados. Veamos los siguientes
ejemplos:
3
( ) ,
2
x
f x
x
x 2,
x
Dom( f ) x : 2 x 0 2.
f (x) x 1, x 1
x 1, Dom( f ) 1;.
9. 9
FUNCIONES REALES
a. Sea En este caso debemos exigir que que
y que Se sigue entonces que
b. Sea la función definida por Debe exigirse que y que
o lo que es lo mismo, que y que es decir que se estudiará
en
3. Sea la función definida por Los números son calculables si y
solo si es decir si Por lo tanto, el conjunto de definición de esta
función es:
Curiosidad: Sea la función que a asocia el número: ¿Cuál es su
conjunto de definición?
4. Sea la función definida por: Los números son calculables si y
solamente si: es decir si Se dice que 2 es un "valor prohibido" . El
conjunto de definición de la función es: lo que también se
escribe como: .
5. En el caso de la función se tiene
6. El conjunto de definición de la función definida por es en el intervalo
.
Determinación del recorrido de una función
1. Sea la función definida por El conjunto lo
notaremos
Note que no está definida para La imagen de cada número real distinto de es
, así por ejemplo
Un mismo elemento puede tener varias preimágenes o ninguna, así y son preimágenes de
. Un número negativo no tiene preimagen pues Evidentemente el recorrido de esta
2 1
( ) .
( 4) 2
x
f x
x x x
x 0, x 4 0
x 2 0. Dom( f ) 2; 0;4.
f
1
.
x
x
x
x 0
x 1 0 x 0 x 1; f
1;0 0;.
f f (x) 2x 5. f (x)
2x 5 0;
5
.
2
x
5
( ) ; .
2
Dom f
f x
1
x x .
x
g
3 1
( ) .
2
x
g x
x
g(x)
x 2 0; x 2.
g Dom(g) ;2 2;
Dom(g) 2
2 f : x x 4 Dom f .
f f (x) x 2 x
0;
f : 0 2
1
f (x) = .
x
0
*.
f x = 0. x 0
2
1
x
2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
(2) = = , ( 2) = = , = = 4, = = .
2 4 ( 2) 4 2 1 1
2
f f f f a
a
a
2 2
1
4
f (x) 0.
10. 10
FUNCIONES REALES
función está contenido en Veamos que en realidad es igual a este
conjunto. Debemos demostrar que todo número real positivo es imagen de algún elemento del
dominio
Sea veamos que existe tal que
Esta igualdad es equivalente a: de donde se sigue que o también a
Verifiquemos que En efecto,
Se sigue que para este existe tal que
y
2. Sea la función definida por para Queremos encontrar los
números reales tales que
o lo que es lo mismo, despejando
0; y : y 0.
*.
y 0, * x
2
1
f (x) y.
x
2 1
x ,
y
1
x ,
y
1 1
x o x .
y y
1
f y.
y
2
1 1 1
.
1
1
f y
y
y
y
y x
1 1
(igual a o )
y y
f (x) y.
2
1 1 1
,
1
1
f y
y
y
y
2
1 1 1
.
1
1
f y
y
y
y
f
1
( )
1
x
f x
x
x 1.
y
1
,
1
x
y
x
x :
11. 11
FUNCIONES REALES
Observamos que si para se obtiene En efecto,
Esto muestra que todo número real distinto de está en el recorrido de la función Por otra
parte, es claro que no puede tomar el valor 1 pues no existe un real tal que
Se sigue entonces que el recorrido de es el conjunto
3. Sea para De acuerdo con lo visto en el ejemplo anterior, si
para hallar el recorrido basta despejar y determinar los valores que
puede tomar
Ahora bien, como es equivalente a o que tiene
sentido para Entonces el recorrido de es el intervalo .
1. Represente cada intervalo en una recta
graduada.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
2. Traduzca mediante desigualdades:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
3. Sea la función definida en el
intervalo por la curva
representativa de abajo.
1
.
1
y
x
y
y 1,
1
1
y
x
y
f (x) y.
1
1
1 1 2
( ) .
1 1 2
1
1
y
y y y
f x f y
y y
y
1 f .
y x
1
1.
1
x
x
f 1.
2 f (x) 1 x 1 x 1.
2 y 1 x , x,
y.
y 0, 2 y 1 x 2 2 x 1 y 2 x 1 y
0 y 1. f 0,1
3 x 7
3 x 5
x 5
x 0
2 x 4
x 2
x2;1
x0;4
x1;100
x;10
x5;
x;0
f
2;4
EJERCICIOS
12. 12
FUNCIONES REALES
a. Determinar las imágenes por de
los números reales: y
b. ¿Cuáles son los reales que tienen
como imagen por ?
4. Se dan las curvas a Para cada
curva, se anota el conjunto en el cual se
encuentra la variable. Se propone:
Dar para cada curva el conjunto que le
corresponde.
Nota. Cuando una variable no puede
tomar un valor particular se dice que
el real es un valor prohibido.
5. Sea la función definida en por:
a. Determinar las imágenes por de
los números reales:
b. Determinar los antecedentes de los
números reales y por la
función
6. La curva de abajo representa una
función
a. Lea gráficamente el conjunto de
defini-ción de
b. Lea gráficamente las imágenes por
de:
i.
ii. 3
iii. 6
c. Lea gráficamente los antecedentes
por de:
i. 4
ii.
iii. 3.
7. Se considera el siguiente algoritmo de
cálculo:
Escoja un número natural
Súmele 4.
Multiplique la suma obtenida
por el número escogido.
Sume 4 a ese producto.
Escriba el resultado
a. Verificar que se define así una
función en el conjunto de los
números naturales.
b. Realizar un cuadro de valores de
para natural entre 0 y 10.
c. Observando los números
obtenidos en el cuadro, emitir una
conjetura.
d. Escribir la fórmula que define
para todo natural , luego demostrar
la conjetura emitida en el literal c).
8. Si e designan dos reales
estrictamente positivos. Un rectángulo
de dimensiones y (en centímetros)
tiene por área 25
a. Exprese en función de
b. Se define una función asociando a la
dimensión la otra dimensión
¿Cuál es el conjunto de definición de
f
2,1,0,1 2
1
f
1 C 6C .
3;3 ; 3;3 ;
3;1 1;3 ;
3;3 ; 3;3 ;
3; 1 1;3 .
a b
c
d e
f
E E
E
E E
E
a,
a
g
2 g x 3 2x .
g
3
4, 1, 0, , 2 y 5.
4
0 15
g.
f .
f .
f
5
f
1
n.
f (n).
f
f (n) n
f (n)
f (n)
n
x y
x y
2 cm
y x.
x, y.
13. 13
FUNCIONES REALES
dicha función?
9. La función está definida por el
cuadro de valores siguiente.
0 4
2 5 0 2
Para cada afirmación diga si ella es
verdadera o falsa.
a. 2 no tiene imagen por
b. 5 y tienen imágenes opuestas.
c. 0 tiene unas imagen por que es
.
10. es la función definida en por:
a. Calcule la imagen de 2.
b. Calcule .
c. ¿Es verdad que 4 no admite un
antecedente por ?
d. ¿Es verdad que 0 admite un único
antecedente por ?
e. Determine un antecedente de
11. La curva de abajo representa la altura
del agua (en metros) en un puerto en
función de la hora durante una parte de
un día.
a. ¿En qué eje podemos leer las horas?
¿Y las alturas del agua?
b. ¿A qué hora se produce la marea
alta?
c. ¿Cuál es la altura del agua a las 18
horas?
12. La curva de abajo define una función
Copie y complete cada afirmación.
a. El número 3 tiene como imagen por
b. El número 5 tiene como antecedente
por
c.
13. Entre los gráficos siguientes, ¿cuáles
representan una función?
14. Dé una expresión algebraica de la
función definida de la manera
siguiente.
a. hace corresponder a cada número
real el opuesto de los dos tercios
de su cuadrado.
b. A una temperatura expresada en
grados centígrados, hace
corresponder su temperatura en
grados Fahrenheit.
c. A la longitud de un lado de un
rectángulo de área igual a 10 ,
corresponde el ancho de ese mismo
rectángulo.
15. Entre las funciones siguientes, ¿cuál
tiene un gráfico que pasa por el punto
a.
b.
c.
d.
16. Calcule la imagen de 0 y de 8 por
las funciones siguientes.
f
x
5 2 1
f (x) 3
f .
5
f
1
f
2
f (t) 3 t 1 .
f (3)
f
f
12.
f .
f .
f .
f 0 y f 2 .
f (x)
f
f
x
x
x
2 m
(2,3)?
f (x) 2x 3.
f (x) 4(x 2) 3
f (x) 3x 2
f (x) 2(x 1) 5
2,
14. 14
FUNCIONES REALES
a.
b.
c.
d.
17. Calcule la o las preimágenes eventuales
de , y por las funciones
siguientes.
a.
b.
c.
d.
18. Determine el dominio de definición así
como la ordenada en el origen de las
funciones definidas como a continuación
se indica:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
19. Diga si cada una de las siguientes
afirma-ciones es verdadera o es falsa.
a. La función
puede estar definida en el intervalo
b. La función
puede estar definida en el intervalo
c. La función
puede estar definida en
20. Determinar el dominio de definición
para la función en cada uno de los
casos siguientes.
a. .
b.
c.
d.
e.
21. Si es un rectángulo tal que
cm y cm. y son
puntos tales que con en
y en . Se traza el
rectángulo . Se trata de buscar la
posición del punto para que el área
del dominio coloreado sea igual a la del
rectángulo
a. Realice la figura.
b. Coloque el punto Note la
longitud ¿Cuáles son los
valores posibles de ?
c. Realice una conjetura acerca de la
posición del punto
d. Trace un sistema de coordenadas
rectangulares y ubique los puntos
y
e. Muestre que el área notada es
también dada por la fórmula
Verifique que
para todo valor de
f. Muestre que la ecuación
se escribe como
Deduzca la
solución exacta al problema
planteado.
f (x) 3x 24
2 f (x) x 4
f (x) x 2
2
3
( )
1
x
f x
x
1 0 2
f (x) 8x 7
3 f (x) x
2 f (x) 2x
f (x) 2.
f (x) 3x 2
2 f (x) x 9
3 2 f (x) x 2x x
f (x) x
f (x) x 5
f (x) 7 2x
5
( )
3
f x
x
2
5
( )
12
f x
x x
2 ( )
1
x
f x
x
2
2
( )
4
x
f x
x
2 f (x) x
2
f (x) x
f (x) (x 4)(5 x).
2 f : x x 3x 4
1;4.
2 f : x x 3x 4
1;4.
2 f : x x 3x 4
.
f
f (x) x 1 x 1;
2 2 f (x) x 1 x 1;
2 f (x) x 5x 6;
3
;
5
x
f x
x
2
: .
x
f x
x
ABCD
AB 6 AD 4 H K
DH BK B
AK D AH
AKJH
H
ABCD.
H. a
DH.
a
H.
M a; y N a;24.
y
2 f (a) a 10a.
a,
2 2 a 10a (a 5) 25.
f (a) 24
2 2 (a 5) 7 0.
15. 15
FUNCIONES REALES
22. La curva de abajo representa una
función definida en el intervalo
a. Entre los puntos siguientes, ¿cuáles
son aquellos de los cuales se puede
afirmar que pertenecen a la curva
?
b. Sabiendo que definida por
decir, mediante
cálculos, si cada uno de los puntos
precedentes pertenece o no a la
curva
23. Desarrolle y luego reduzca la expresión
de la función definida en por
24. A continuación se dan varias formas de
una misma función definida en
Forma 1: 2
f (x) 4 x 5 9.
Forma 2:
Forma 3:
a. Desarrolle las formas 1 y 2.
Verifique que se obtiene la forma 3.
b. ¿Cuál es la forma factorizada de
c. En cada situación, escoja la forma
más apropiada para responder a la
cuestión planteada.
i. Resuelva la ecuación
ii. Calcule
iii. Determine los antecedentes de
iv. Calcule la imagen de .
v. Resuelva la ecuación
25. Sea la función definida en por:
a. Trace la curva representativa de
y realice una conjetura acerca de las
soluciones de las ecuaciones
y
b. Desarrolle y reduzca la expresión
de
c. Factorice la expresión de
d. Resuelva algebraicamente las
ecuaciones y
26. La base de la pirámide es un
triángulo rectángulo y la base del
paralelepípedo rectangular
es un cuadrado.
a. Exprese en función de los
volúmenes de los sólidos
y .
b. ¿Es posible escoger para que
y tengan el mismo volumen?
27. Se considera el rectángulo tal
que y . El punto
es un punto variable en el segmento
. Se considera el punto del
C
f
0;5.
C
0;0 ; 1;1 ; 2;1,4 ;
3;1,7 ; 4;2 ; 2,25;1,5 .
O A B
C D E
f
f (x) x,
C.
f
2
1
( ) 1 2 1 2 1 .
2
f x x x x
f .
f (x) 2x 132x 7.
2 f (x) 4x 40x 91.
f (x)?
f (x) 0.
f (0).
9.
2
f (x) 91.
g
2 5
( ) 2 1 1 2 1 .
2
g x x x x
g
g(x) 0 g(x) 2.
g(x).
g(x).
g(x) 0 g(x) 2.
1 S
2 S
x
1 2 V y V
1 S 2 S
x 1 S
2 S
ABCD
AB 8 AD 10 M
AB J
16. 16
FUNCIONES REALES
segmento y el punto tales que
sea un cuadrado. Se nota el
punto de intersección de las rectas
y el punto de intersección de
las rectas y . Se trata de
determinar las posiciones del punto
para las cuales la suma de las áreas de
los cuadriláteros y sea
igual a la mitad del área del rectángulo
.
28. Se nota la longitud del segmento
a. Expresar en función de la suma
de las áreas de los cuadriláteros
y que se la notará
b. ¿Cuál es el conjunto de definición
de la función ? Desarrolle y
reduzca la expresión de
c. Traduzca el problema mediante una
ecuación.
d. Desarrolle el producto
x 4 x 5 y deduzca las
soluciones del problema planteado.
29. Si y son las funciones definidas en
por: y
a. Trace las curvas representativas de
las funciones y
b. Conjeture gráficamente las
soluciones de la ecuación
c. Resuelva algebraicamente la
ecuación
d. Deduzca las coordenadas de los
puntos de intersección de las dos
curvas.
30. Se trata de encontrar los antecedentes de
0 por la función definida en por:
a. Escriba una ecuación que permita
resolver ese problema.
b. Factorice .
c. Deduzca una factorización de
así como la respuesta a la
situación planteada.
31. Las tres cuestiones son independientes.
a. La función está definida en
por: . ¿Cuál es la
imagen de 41 por ?
b. ¿Cuánto vale el producto
c. ¿Cuál es la solución de la ecuación:
?
32. Una pelota es lanzada al aire en un
instante inicial . Se establece que
su altitud (en metros) después de
segundos es
a. ¿Alcanzará la pelota una altitud de
2 metros?
b. ¿Qué altitud máxima alcanza la
pelota?
c. ¿Cuál es la altitud de la pelota
después de un segundo?
33. Se trata de resolver la ecuación
a. Explique por qué dicha ecuación
no puede tener solución negativa.
b. Se busca entonces dos soluciones
positivas.
Explique por qué si ,
entonces
Explique por qué entonces,
resolver la ecuación
equivale a resolver la ecuación
con
Resuelva dicha ecuación.
Concluya acerca del conjunto de
soluciones de la ecuación .
AD I
AMIJ H
IJ
BC K
MI CD
M
AMIJ CKIH
ABCD
x
AM.
x
AMIJ CKIH
S(x).
S
S(x).
f g
f (x) 2x x 1
g(x) 3x 3.
f g.
f (x) g(x).
f (x) g(x).
f
2 f (x) (3x 1)(6x 9) (2x 3) .
6x 9
f (x)
f
2 f (x) 43x 42
f
999810002?
2 2 (x 2) (x 1) 1
t 0
t
2 h(t) 5t 4t 1.
2 E : x x 1 x.
x 0
2 x x 1 0.
E
2 2 x x 1 x x 0.
E
17. 17
FUNCIONES REALES
34. Si es un cuadrado de lado 6 cm
y es el punto medio del lado .
El punto es un punto cualquiera del
segmento distinto de y Se
nota (en cm). es el círculo
de centro que pasa por es el
círculo de diámetro . Se trata de
buscar si existe un punto tal que y
sean tangentes.
a. Exprese en función de
luego verificar que y son
tangentes cuando:
Sugerencia: Utilice el hecho de que
dos círculos son tangentes
exteriormente cuando la distancia
entre los centros es igual a la suma
de los radios.
b. Resuelva dicha ecuación.
c. Concluya: ¿Existe un tal punto
de tal que y sean
tangentes? Si la respuesta es
afirmativa, ¿cuál es o cuáles son?
35. Si es la ecuación
2 7x 10x 8 0.
a. Se pone
Trace la curva representativa de la
función Realice una conjetura
acerca del número de soluciones de
la ecuación
b. Una de las soluciones de la
ecuación parece ser un
número entero; ¿cuál?. Verifique
mediante cálculos que
efectivamente es así.
c. Complete: Para todo real ,
d. Deduzca los valores exactos de las
soluciones de la ecuación .
36. es un cubo de lado 8
cm. y son puntos de las aristas
y tales que
(en cm). es el punto
de la arista tal que en cm.
a. Se nota el volumen, en ,
del paralelepípedo rectangular
representado en violeta en la figura
de arriba.
i. ¿Cuál es el conjunto de
definición de la función ?
ii. Exprese en función de
.
b. Se trata de representar la función
en una hoja de papel
milimetrado.
i. Realice un cuadro de valores
con un paso de 2.
ii. En un sistema de coordenadas
rectangulares (unidades: 1 cm
en abscisas y 0,2 cm en
ordenadas), construya la nube
de puntos asociados a ese
cuadro de valores y proponer a
mano alzada un trazo de la
curva de . En la figura de
abajo se muestra la curva
obtenida con una computadora.
ABCD
E BC
I
AB A B.
AI x C
I A.
BC
I C
2 IE x,
C
2 2 2 x 3 6 x 3 .
I
AB C
1 E
2 f (x) 7x 10x 8.
f .
f (x) 0.
1 E
x
2 7x 10x 8 x 2 x .
1 E
ABCDEFGH
M N
AD AB
AM AN x P
EA EP x
V(x) 3 cm
V
V(x) x
V
V
18. 18
FUNCIONES REALES
iii. A fin de afinar el trazado de la
curva, elabore la tabla con un
paso de 1 y luego con un paso
de .
SENTIDO DE VARIACIÓN O MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN
Decir que una función es creciente en un intervalo significa que cuando la variable aumenta en el
intervalo el valor de la imagen aumenta.
Decir que una función es decreciente en un intervalo significa que cuando la variable aumenta
en el intervalo el valor de la imagen disminuye.
Definición Sea un intervalo y sea una función. Diremos que:
es creciente (en ) cuando para todo par de números reales de
si entonces
es decreciente en cuando para todo par de números reales de
si entonces
Se dice que una función creciente conserva el orden: los números reales del intervalo y sus
imágenes por la función están ordenados en el mismo orden. En cambio, una función decreciente
cambia el orden: los números reales del intervalo y sus imágenes por la función están ordenados en
un orden contrario.
Si en (1) y (2) reemplazamos por < y por > respectivamente, se dice que es estrictamente
creciente y estrictamente decreciente respectivamente.
0,5
f I
I ,
f I
I ,
I f : I
f I 1 2 x , x I ,
1 2 x x 1 2f x f x . 1
f I 1 2 x , x I ,
1 2 x x 1 2f x f x . 2
I
I
f
19. 19
FUNCIONES REALES
Definición. Una función creciente o decreciente se llama monótona.
Observación. Para demostrar que una función es monótona es conveniente tener en cuenta que:
Note que una función constante es simultáneamente creciente y decreciente.
Si para todo para todo
El sentido de variación de una función se resume mediante un cuadro de variación.
EJEMPLO
La función está definida en el intervalo por su curva representativa:
El cuadro de variación de es:
a bba 0.
Si 0, 1.
b
a a b
a
f (x) k xI , 1 2 f (x ) f (x ) 0 1 2 x , x .
f 3;4
f
20. 20
FUNCIONES REALES
1. Sea la función de en definida por Probaremos que es
estrictamente decreciente en .
En efecto, sean y en tales que Puesto que
se sigue que y por tanto es estrictamente decreciente.
2. Sea tal que
Si como
se sigue que y por tanto es decreciente.
3. Consideremos la función de en .
Para
Como es positiva si y negativa si
Concluimos que es creciente en y decreciente en
f f (x) 12x. f
1 x 2 x 1 2x x .
2 1 2 1 1 2 f (x ) f (x ) 12x (12x ) 2(x x ) 0
1 2 f (x ) f (x ) f
f : 0;
1
f (x) .
x
1 2 0 x x ,
2 2 1
1 2
1
1
( )
1,
( ) 1
f x x x
f x x
x
2 1 f (x ) f (x ) f
2
f
x x
1 2x x ,
2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 f (x ) f (x ) x x (x x )(x x ).
2 1 x x 0, 2 1 f (x ) f (x ) 1 2 x x 0 1 2 x x 0.
f 0; ;0.
EJEMPLOS
21. 21
FUNCIONES REALES
Una función que no es creciente ni decreciente en su dominio, pero éste se puede expresar como
la unión de intervalos en cada uno de los cuales la función es monótona, se llama monótona a
trozos.
El cuadro siguiente muestra la monotonía de la función del ejemplo.
Este cuadro se llama el cuadro de variación de la función.
4. Sea para Como no está definida en estudiaremos la
monotonía en el intervalo , y en el intervalo
Solución:
Si entonces y
Si , entonces y
Cuadro de variaciones:
Observe que cuando toma valores grandes en valor absoluto, toma valores pequeños y, por
tanto, el gráfico de la función se aproxima a la recta de ecuación
1
f (x) x
x
*x . f 0,
;0 0;.
1 2 x x 0, 1 2 x x 0
2 1 2 1
2 1
1 1
f (x ) f (x ) x x
x x
2 1
2 1
1 2
( )
x x
x x
x x
2 1
1 2
1
(x x ) 1 0.
x x
1 2 0 x x 1 2 x x 0
2 1 2 1
1 2
1
f (x ) f (x ) (x x ) 1 0.
x x
x
1
x
y x.
22. 22
FUNCIONES REALES
Por el contrario, para valores positivos de cercanos a cero, toma valores negativos muy
grandes en valor absoluto.
En el cuadro siguiente se presentan algunos valores de
5. Sea la función definida por Determinar el dominio y estudiar la
monotonía de la función
Solución: La función está definida para es decir para Su dominio o
conjunto de definición es entonces
Sean reales cualesquiera de tales que: . La función es
estrictamente decreciente en (por ser una función afín de coeficiente director negativo), luego
Los reales son estrictamente positivos (puesto que son elementos de
). Como la función es estrictamente creciente en , entonces:
Los reales son estrictamente positivos (puesto que lo
son). Dado que la función es estrictamente decreciente en entonces
Multiplicando por que es un número negativo:
Sumando 2:
x
1
x
x
f (x).
x 5 1 0,1 0 0,1 1 5
f (x) 4,8 0 9,9 9,9 0 4,8
f
3
( ) 2.
5 2
f x
x
f .
f 5 2x 0,
5
.
2
x
5
; .
2 f D
1 2 x y x
5
;
2
1 2 x x x 52x
1 2 5 2x 5 2x .
1 2 5 2x y 5 2x 1 2 x y x
5
;
2
x x
1 2 5 2x 5 2x .
1 2 5 2x y 52x 1 2 5 2x y 5 2x
1
x
x
0;
1 2
1 1
5 2x 5 2x
3
1 2
3 3
.
5 2x 5 2x
23. 23
FUNCIONES REALES
se sigue que Se ha mostrado entonces que para todos los reales y de
se tiene que:
Lo que nos dice que la función es estrictamente decreciente en .
6. Sea la función real definida por para todo
Solución: Sean y reales cualesquiera tales que
Se tiene:
Luego y en consecuencia la función cúbica es una
función estrictamente creciente en
7. Estudiar el sentido de variación de la función definida en por
Solución: Sean y reales cualesquiera de tales que
Sabemos que
Como por hipótesis y entonces es decir,
La función es entonces estrictamente creciente en
Por otra parte, es par (pues está definida en que es centrado en y para todo ,
, en consecuencia es estrictamente decreciente en
1. La función está definida en y no tiene otros cambios de variación que los visibles en la
curva de abajo. Se sabe además que dicha curva corta el eje de las abscisas en los puntos de
1 2
3 3
2 2.
5 2x 5 2x
1 2 f (x ) f (x ). 1 x 2 x
5
;
2
1 2 1 2 x x f (x ) f (x ).
f
5
;
2
f 3 f (x) x x .
1 x 2 x 1 2x x .
3 3 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 2
2 1 1
2 1 2 1 2
2 2
1 1
2 1 2
( ) ( )
3
4 4
3
0.
2 4
f x f x x x x x x x x x
x x
x x x x x
x x
x x x
2 1 f (x ) f (x ) 0, 2 1 f (x ) f (x ),
.
f 4 f (x) x .
1 x 2 x 0; 1 2x x .
4 4 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x (x x )(x x ) x x .
1 2 x x 0, 1 2 x x 0 2 2
1 2 x x 0, 4 4
1 2 x x 0;
1 2 f (x ) f (x ). f 0; .
f 0, x
4 4 (x) x ) f ; 0.
f
EJERCICIOS
24. 24
FUNCIONES REALES
abscisas
a. Realizar el cuadro de variación de
b. Resolver gráficamente:
i.
ii.
2. Se considera la función definida en por
a. Calcular
b. Encontrar los antecedentes del real 2 por
c. Demostrar que la función es creciente en el intervalo y decreciente en
d. Realizar el cuadro de variación de
3. Se considera la función definida en por
a. Calcular
b. Encontrar los antecedentes del real por
c. Demostrar que la función es decreciente en el intervalo y creciente en
d. Realizar el cuadro de variación de
e. Demostrar que admite un máximo que se lo precisará. ¿Para qué valor de es alcanzado?
4. Dibujar funciones cuyo cuadro de variaciones sea el que se indica en los siguientes casos.
Máximos y mínimos de una función
En diferentes problemas que se presentan en la Física, economía, ingeniería, etc, se requiere
determinar valores máximos y mínimos, Volúmenes máximos, alcance máximo, ganancias máximas o
pérdidas mínimas, la mayor resistencia de una viga, etc.
3, 0 y 3.
f .
f x 2;
f x 0.
f 2 f x x 3.
1
3 , 2 , .
2
f f f
f .
f 0; ;0.
f .
f 2 f x x 1.
2
1 , 3 , .
3
f f f
5 f .
f 0; ;0.
f .
f x
25. 25
FUNCIONES REALES
Estas situaciones se modelan mediante funciones cuyos valores máximos y mínimos es necesario
determinar.
Definición. Sean un subconjunto de , una función y . Decimos que
es el máximo de (en el conjunto ) si para todo
Definición. Decimos que es el mínimo de (en ) si para todo
El estudio de la monotonía de una función suele ser útil para determinar sus valores máximo y
mínimo.
1. Sea una función cuadrática cualquiera definida por: con
El real lo podemos expresar en la forma:
Si , puesto que se tiene y
en consecuencia alcanza su mínimo valor cuando . Este valor es
A f : A aA f (a)
f A x A, f (a) f (x).
f (a) f A x A, f (a) f (x).
f : 2 f (x) ax bx c,
a 0.
f (x)
2 2
2 2
2
2 2
( )
4 4
4
.
2 4
b b b
f x ax bx c a x x c
a a a
b ac b
a x
a a
a 0
2
0,
2
b
a x
a
2 2 2 4 4
( )
2 4 4
b ac b ac b
f x a x
a a a
f (x)
2
b
x
a
2 4
.
2 4
b ac b
f
a a
EJEMPLOS
26. 26
FUNCIONES REALES
Similarmente, si , entonces pues
y alcanza su máximo valor en
Definición. Sea una función definida en un intervalo Decir que el número es un máximo
de en significa que para todo real de
Observaciones:
Existen funciones sin máximo (es el caso de la función cuando se la
considera en ).
La noción de máximo está ligada al intervalo considerado.
Definición. Sea una función definida en un intervalo Decir que el número es un mínimo
de en significa que para todo real de
Observaciones:
Existen funciones sin mínimo (es el caso de la función cuando se la
considera en ).
La noción de mínimo está ligada al intervalo considerado.
1. El mínimo en el intervalo de la función representada en la figura siguiente es
Dicho valor es obtenido cuando En efecto, es el punto "más bajo" de la curva. El
máximo en el intervalo es Dicho valor es obtenido cuando . En efecto, es
el punto "más alto" de la curva.
2. Sea la función definida por . Demostremos que admite un máximo
a 0
2 2 2 4 4
( ) ,
2 4 4
b ac b ac b
f x a x
a a a
2
0,
2
b
a x
a
f .
2
b
x
a
f I. f (a)
f I x I , f (x) f (a).
2 f : x x 4
f I. f (a)
f I x I , f (x) f (a).
2 f : x 4 x
5;6 f
2.
3
.
2
x A
5;6 4. x 3 B
f f (x) x1 x f
EJEMPLOS
27. 27
FUNCIONES REALES
igual a en . (Se puede utilizar un gráfico para conjeturar ese resultado).
Se estudia, para todo , el signo de la diferencia:
Y como, para todo , se deduce que:
, para todo .
Además: Se tiene entonces, para todo
La función admite entonces un máximo, en , igual a que es alcanzado para .
3. Sea la función definida en por
De acuerdo a la representación gráfica, parecería que admite un mínimo en Es eso lo
que vamos ahora a demostrar. Para todo real , determinemos el signo de
Puesto que todo cuadrado es siempre positivo o nulo, entonces y por tanto
admite un mínimo de en pues
4. Sea la función definida en por De acuerdo a su representación
gráfica, parece que es estrictamente decreciente en y que es estrictamente
1
4
x
2
2 1 1 1 1
( ) 1 .
4 4 4 2
f x x x x x x
2
1
0
2
x
x
1
( )
4
f x x
1 1
.
2 4
f
1
: ( ) .
2
x f x f
f
1
4
1
.
2
x
f 2 x x 4x 2.
f x 2.
x f (x) f (2).
2 2
2
2
2
( ) (2) 4 2 (2 4 2 2)
4 2 ( 2)
4 4
( 2)
f x f x x
x x
x x
x
f (x) f (2) 0, f
2 2, f (2) 2.
f 2 x x 4x 2.
f ; 2
28. 28
FUNCIONES REALES
creciente en . Esto es justamente lo que vamos a demostrar a continuación.
a. Variaciones en .
Cualesquiera que sean tales que determinemos el signo de
Puesto que si entonces y dado que y se sigue que
es decir que Luego y por tanto
lo que nos dice que es estrictamente decreciente en .
b. Variaciones en .
Cualesquiera que sean tales que determinemos el signo de
Puesto que entonces y dado que y se sigue que
es decir que Luego y por tanto
lo que nos dice que es estrictamente creciente en
c. Cuadro de variaciones: Se tiene la costumbre de siempre concluir el estudio de las
variaciones de una función por un cuadro de variaciones.
1. Sea la función definida en por
a. Calcule
b. ¿Qué puede decir de en ? ¿Y
de ?
c. Concluya respecto a la existencia de
un mínimo para la función
2. Sea la función definida en por
a. Con ayuda de una calculadora
realice una conjetura acerca de la
2;
; 2
1 2 x , x 1 2 x x 2,
1 2 f (x ) f (x ) :
2 2
1 2 1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ) 4 2 ( 4 2)
( ) 4( ) 2 2
( )( ) 4( )
( )( 4)
f x f x x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x
1 2 x x 1 2 x x 0 1 x 2 2 x 2
1 2 x x 4, 1 2 x x 4 0. 1 2 f (x ) f (x ) 0
1 2 f (x ) f (x ), f ; 2
2;
1 2 x , x 1 2 2 x x ,
1 2 f (x ) f (x ),
2 2
1 2 1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ) 4 2 ( 4 2)
( ) 4( ) 2 2
( )( ) 4( )
( )( 4)
f x f x x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x
1 2 x x 1 2 x x 0 1 x 2 2 x 2
1 2 x x 4, 1 2 x x 4 0. 1 2 f (x ) f (x ) 0
1 2 f (x ) f (x ), f 2;.
f
2 f (x) x 4.
f (0).
2 x
2 x 4
f .
g
2 g(x) x 4x.
EJERCICIOS
29. 29
FUNCIONES REALES
existencia de un máximo para
b. Calcule y factore
c. Determine el signo de
d. Concluya.
3. Para cada una de las funciones
siguientes:
a. Trace su representación gráfica.
b. Conjeture la existencia de un
máximo o de un mínimo así como
el valor para el cual éste es
alcanzado.
c. Demuestre esa conjetura estudiando
el signo de o el de
i. está definida en por
.
ii. está definida en
por .
iii. está definida en
por
4. Se da el cuadro de variaciones de una
función definida en
a. Determine el máximo y el mínimo
de en así como
también los valores en los cuales
son alcanzados.
b. Determine el máximo y el mínimo
de en así como
también los valores en los cuales
son alcanzados.
c. Determine el máximo y el mínimo
de en así como también
los valores en los cuales son
alcanzados.
5. Se considera la función definida por
Demuestre que la
función es estrictamente creciente en
el intervalo
6. Demuestre que la función definida
por para
es estrictamente
decreciente en el intervalo
7. Se considera la función definida en
por:
a. Calcular
b. Encontrar los antecedentes del
número real por
c. Demostrar que la función es
decreciente en el intervalo
y creciente en
d. Demostrar que admite un
máximo que se lo precisará. ¿Para
qué valor de es alcanzado?
8. La función está definida en y no
tiene otros cambios de variaciones que
aquellos que son visibles en la curva
indicada abajo. Se sabe además que esta
curva corta el eje en los puntos de
abscisas
a. Realizar el cuadro de variación de
b. Resolver gráficamente:
i.
ii.
c. Determinar el conjunto de
g.
g(2) g(x).
g(2) g(x).
a
f (x) f (a)
f (a) f (x).
f
2 f (x) x 8x 3
g 1;
g(x) 2 x 1
h 3;
4
( ) 8 .
3
h x x
x
f 2; 5,5.
f 2; 5,5.
f 2; 4,5.
f 1; 4
f
2 f (x) 3(1 x) 2.
f
1;.
f
1
( ) ,
1
f x
x
x;11;,
; 1.
f
2 f x x 1.
2
1 , 3 , .
3
f f f
5 f .
f
0;
;0.
f
x
f
OI
3, 0 y 3.
f .
f x 2;
f x 0.
30. 30
FUNCIONES REALES
definición de la función
d. Responda por verdadero o falso a
las afirmaciones siguientes:
i. El real tiene tres imágenes
por
ii. Los antecedentes de por
son y
iii. admite un máximo en
iv. admite un mínimo en
Paridad de una Función. Elementos de Simetría
Función par
EJEMPLO.
Sea la función definida en por Para todo de se observa que
Se dice que esta función es par.
Observación: Si estuviese definida solo en el intervalo no sería una función par. ¿Por qué?
En efecto, mostrar que es par, es mostrar que para todo de se tiene: y
Puesto que si se observa que pertenece a pero no . No se puede
entonces ni siquiera calcular ni escribir
Se ve entonces que el conjunto de definición de una función par debe estar centrado en 0; es decir que
para todo de dicho conjunto, su opuesto debe también pertenecer a dicho conjunto.
Definición. Cuando para todo de centrado en se tiene: se dice que
es una función par.
Es suficiente entonces estudiar las variaciones de en la mitad de su dominio para poder
deducirlas en todo
En un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, la curva es simétrica con respecto al eje
de las ordenadas.
EJEMPLO
1
.
f
0
f ;
2 f
1 2;
f
2;0;
f .
f 3;3 2 2 x x 2 x . x 3;3
2 2 2 2 f (x) (x) 2 (x ) x 2 x f (x).
f 1;3
f x Dom f , xDom( f )
f (x) f (x).
Dom f 1;3, 2 Dom f , 2
f (2) f (2) f (2).
x x
x Dom f , 0 f (x) f (x),
f
f Dom f
Dom f .
f C
31. 31
FUNCIONES REALES
Sea la función definida en por es una función par, pues
Función impar
Sea la función definida en por Para todo de se observa que
Tal función se dice impar.
Definición. Cuando para todo x de centrado en0 se tiene: se dice que
es una función impar.
EJEMPLOS.
1. Sea la función definida en por es una función impar, pues
2. La función real definida por no es ni par ni impar pues
3. La función real definida por no es ni par ni impar. En efecto:
y por tanto Para demostrar que una función no es ni par ni
impar, es suficiente dar un contraejemplo que muestre que la definición no se verifica.
Observación. En un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, la curva es simétrica con
respecto al origen del sistema de coordenadas.
1. Sea la función definida en por
Para todo de centrado en se tiene:
por tanto, es par.
2. Sea la función definida en por
Para todo de centrado en se tiene:
f f (x) 3 x 2 x ,
f (x) 3 x 2 3 x 2 f (x).
f * 1
x x .
x
x *
1 1 1
f ( x) x x x f (x).
x x x
Dom f , f (x) f (x),
f
f *
5
1
f (x)
x
x ,
5 5 5
1 1 1
f ( x) f (x).
x x x
g g(x) x Dom(g) 0;.
h 2 h(x) 4x 3x h(1) 7
h(1) 1, h(1) h(1).
f C
f 1;1 2
1
.
1
x
x
x 1;1 0,
2 2
1 1
( ) ( )
( ) 1 1
f x f x
x x
f
f 3 x x x.
x 0,
3 3 3 f (x) (x) (x) x x (x x) f (x).
EJEMPLOS
32. 32
FUNCIONES REALES
Por tanto es impar.
3. Sea la función definida en por
no es centrado en por tanto no es ni par ni impar.
4. Sea la función definida en por
Se observa que y por lo tanto con lo cual no es par y
como se sigue que no es impar.
EJERCICIOS
1. Estudiar la paridad de las funciones siguientes:
a. b. c.
d. e. f.
g . h.
2. ¿Existe una función que sea par e impar a la vez?
3. Se considera la función definida por
a. ¿Cuál es el dominio de la función ?
b. Estudiar la paridad de
c. Expresar en función de ¿Qué se constata?
d. Estudiar la monotonía de Primero en utilizando la tasa de variación y
luego en utilizando la simetría de la curva representativa de
e. Determinar los extremos de
f. Realizar la gráfica de la función.
4. Se considera la función real definida por
a. ¿Cuál es el dominio de la función ?
b. Estudiar la paridad de
c. Estudiar la monotonía de y determinar los extremos de
d. Completar el cuadro de imágenes de
e. Realizar la gráfica de la función
f. Resolver gráfica y algebraicamente la ecuación
g. Discutir según los valores de el número de soluciones de la ecuación
f
f 2
5
.
2
x
x
x
2 0, f
f 3;3 2 x x x.
f (1) 0 f (1) 2, f (1) f (1), f
f (1) f (1), f
4 2
6
1
( ) 3 2 ;
2
f x x x
x
2 5 f (x) x x 2x ; 3 ( ) ;
4
x
f x
x x
2 f (x) 4x 9; ( ) ;
3
x
f x
x
f (x) 1 x 1 x ;
f (x) 2x 3; f (x) x x.
f 2
4
( ) .
1
x
f x
x
f
f .
1
f
x
x.
f . 0;
;0 f .
f .
f 3 f (x) x 3x.
f
f .
f f .
f .
x 0 0,25 0,5 0,75 1 1,5 2 2,5 3
f (x)
f .
f (x) 0.
a f (x) a.
33. 33
FUNCIONES REALES
1. Determinar si las funciones siguientes definidas en el conjunto son pares, impares o ni lo
uno ni lo otro.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
2. Sea la función definida en por
a. Mostrar que para todo
b. ¿Puede calcular las imágenes de , de de
c. ¿Cuál es el máyor conjunto en el cual la función puede ser definida?
d. Mostrar que la función es impar.
3. Se considera la función real definida por Sea la curva
representativa de la función
a. Determinar el dominio de y mostrar que para todo
b. Estudiar la monotonía de la función
c. Trazar la gráfica de la función.
d. Resolver algebraicamente las inecuaciones: Dar
una interpretación gráfica.
f A
A 3;3;
2
2
1
( ) .
2
x
f x
x
A 3;5;
2
2
1
( ) .
2
x
f x
x
A ; 2
4
( )
1
x
f x
x
A ; 2 f (x) x 1
A 1;1;
1 1
( )
1 1
f x
x x
A 3;4;
3
( )
5
f x
x
A ; 2 f (x) x x 4.
f A ;1 1;
2 1 2 1
( ) .
2 1
x x x x
f x
x x
1
( )
2
f x
x
xA.
1? 0?, 2?
f
f
f
2 4
( ) .
3
x
f x
x
f C
f .
A f x A,
2
( ) 2 .
3
f x
x
f .
f (x) 0; f (x) 4 y f (x) x 5.
EJERCICIOS
34. 34
FUNCIONES REALES
e. Se considera los puntos de la curva de abscisas respectivas
Determinar una ecuación de la recta y deducir la resolución de la inecuación
f. Resolver gráficamente el sistema
g. La curva corta el eje de las abscisas en Determinar el área del triángulo
Comparación de Funciones
Igualdad de funciones
Definición. Sea una parte de y y dos funciones definidas en Se dice que las
funciones y son iguales en si para todo Se escribe en
EJEMPLO
Consideremos las funciones y definidas por:
; y .
Se tiene en en y en .
Atención: No se debe hacer simplificaciones abusivas en las expresiones que definen una función.
Las funciones y definidas por:
;
no son iguales en (puesto que no está definida en ). Sin embargo ellas son iguales en
, puesto que si se puede simplificar por en la expresión de
B y C f C 1 y 4.
BC
1
( ) 2.
2
f x x
2 4 0
( ) .
3
x y
y f x
x
f C D. BCD.
D f g D.
f g D f (x) g(x) xD. f g D.
f , g h
2
f :
x x
g :
x x
h :
x x
f g , f h 0; g h 0;
f g
: 5
5 2
5
f
x x
x
x
:
2
g
x x
f
5 x 5, x 5 f (x).
35. 35
FUNCIONES REALES
Ejercicio. Estudiar el sentido de variación de la función definida por para todo
Sugerencia: Se podrá demostrar que y discutir
según que y estén en o en
Resolución gráfica de ecuaciones e inecuaciones
EJEMPLO
Sea la función definida en por
Resolver gráficamente
Resolver gráficamente
Solución: A continuación se muestra una parte del gráfico de dicha función.
Las soluciones de la ecuación son las abscisas de los puntos de intersección de con la
recta de ecuación Se tiene:
Las soluciones de la inecuación son las abscisas de los puntos de situados arriba de la
recta de ecuación En este caso:
Posiciones relativas de y (para positivo)
Aproximación gráfica.
f
1
f (x) x
x
x0;. 2 1 2 1
1 2
1
f (x ) f (x ) (x x ) 1
x x
1 x 2 x 0;1 1;.
f 3 3 x x 3x 2x 1.
f (x) 1.
f (x) 1.
f (x) 1, f C
y 1. S 2; 1; 0.
f (x) 1, f C
y 1. S 2;1 0;.
x, 2 x 3 x x
36. 36
FUNCIONES REALES
En el gráfico se muestran las representaciones gráficas de las funciones: y
Escribir arriba de cada curva su ecuación. Para cada curva, precisar en función de la ordenada del
punto de la curva de abscisa Ayudándose del gráfico, comparar y cuando es positivo
(se distinguen dos casos).
Demostración algebraica
Primer caso:
Segundo caso:
Por tanto
Resumen:
Si entonces
Si entonces
Operaciones entre Funciones
Así como los números reales se suman, restan, multiplican y dividen, también lo hacemos con las
funciones. Se obtienen nuevas funciones operando directamente con las imágenes, las mismas que
representan números reales.
Definición. Dadas funciones y se definen:
la suma de y por
la resta o la diferencia de y por
el producto de un escalar por una función f por f (x) f (x).
el producto de y
el cociente de y si
Para determinar sus dominios notemos que al definir la imagen de deben estar definidas tanto
como y que en el caso del cociente, debe ser distinto de Así, si o
simplemente denota el dominio de la función entonces
x x, 2 x x , 3x x .
x,
x. 2 x, x 3 x x
2 3 2 0 x 10 x x0 x x x 1.
2 2 3 1 xx x x x . 2 3 1 x x x .
0 x 1 3 2 0 x x x 1.
1 x 2 3 1 x x x .
f g
f g ( f g)(x) f (x) g(x).
f g ( f g)(x) f (x) g(x).
f g : ( f g)(x) f (x) g(x).
f g :
( )
( )
( )
f f x
x
g g x
g(x) 0.
x,
f (x) g(x) g(x) 0. Dom( f )
f D f
f g f g f g f g D D D D D
: ( ) 0. f f g
g
D D D x g x
37. 37
FUNCIONES REALES
1. Sean y Entonces:
Como y
Como caso particular del producto tenemos y más generalmente
Así, para tenemos que y
2. Sean y Entonces,
Ahora bien, En
consecuencia,
Gráficas de las funciones y
f (x) 4 2x 2 g(x) 16 x .
2 2 ( f g)(x) (42x) (16 x ) 202x x .
2 2 ( f g)(x) (42x) (16 x ) x 2x 12.
2 2 3 ( f g)(x) (42x)(16 x ) 6432x 4x 2x .
2
4 2
( ) .
16
f x
x
g x
, f D , g D f g f g f g D D D
f
g
D 2 2 x :16 x 0 4;4.
2 2 f (x) ( f (x))
2 ( ) ( ( )) . n f x f x f (x) 4 2x 2 2 2 f (x) (42x) 1616x 4x
4 4 2 2 2 3 4 f (x) (42x) (1616x 4x )(1616x 4x ) 256512x 384x 12x 16x .
f (x) 4 2x 2 g(x) 16 x .
2 ( f g)(x) 4 2x 16 x
2 ( f g)(x) 4 2x 16 x
2 ( f g)(x) 4 2x 16 x
2
4 2
( )
16
f x
x
g x
: 4 2 0 ;2, f D x x 2 :16 0 4;4 . g D x x
;2 4;4 4;2. f g f g f g D D D
/ 4;2 . f g D
f g :
EJEMPLOS
38. 38
FUNCIONES REALES
3. Consideremos las funciones definidas por y La suma de las
funciones notada es la función definida por:
Se tiene además que y
4. Si tenemos que:
Propiedades.
Como hemos visto, las operaciones definidas sobre poseen ciertas propiedades. Estas son
heredadas por la suma y el producto de funciones. Así tenemos :
1. La asociatividad de la suma pues, dadas y funciones,
Puesto que y representan números reales, esta última suma es igual a
Así:
1
( )
1
f x
x
1
( ) .
2
g x
x
f y g, f g,
1 1
( ) ( ) ( )
1 2
2 1
1 2
2 1
.
1 2
f g x f x g x
x x
x x
x x
x
x x
Dom( f ) 1, Dom(g) 2
Dom( f g) 1,2 Dom( f ) Dom(g).
f (x) 4 2x
2
2 f (x) 4 2x 4 2x.
4
4 2 2 f (x) 4 2x (4 2x) 1616x 4x .
f , g h
(( f g) h)(x) ( f g)(x) h(x) ( f (x) g(x)) h(x).
f (x), g(x) h(x)
f (x) (g(x) h(x)) f (x) (g h)(x).
( f g) h f (g h).
39. 39
FUNCIONES REALES
De manera similar se prueba la asociatividad del producto.
2. La conmutatividad del producto pues y representan
números, entonces este producto es igual a: Así De
manera similar se prueba la conmutatividad de la suma.
3. La función se define por y, para aquellos para los cuales es
diferente de se define por
1 1
( ) .
( )
x
f f x
Se tiene entonces
f f (x) f (x) ( f )(x) f (x) f (x) 0
y,
1 1
( ) ( ) 1.
( )
f x f x
f f x
EJERCICIOS
1. Dadas las funciones definidas por y determinar las funciones
siguientes:
a. b. c. d. e. f.
2. Dadas las funciones definidas por y encontrar:
a. b. c.
3. Dadas las funciones definidas por y encontrar:
a. b. c.
4. Dadas y encontrar:
y
5. Si y entonces es igual a:
a. b. c. d.
6. Dadas las funciones definidas por y encontrar:
a. b. c.
7. Dadas las funciones definidas por y encontrar:
a. b. c.
( f g)(x) f (x)g(x), f (x) g(x)
g(x) f (x) (g f )(x). f g g f .
f ( f )(x) f (x) x f (x)
0
1
f
f (x) 1 x 2 g(x) x ,
fg; 2g; 2 f g;
3
;
f
g
1
3 ;
2
f g
3
2.
5
f
f
f y g f (x) 8x 13 2 g(x) x 5x,
f g (x) f g (x) g f (x)
f y g 2 f (x) 2x 2x g(x) x 1,
fg (x) ( )
f
x
g
( )
g
x
f
2 2 f (x) 2x 8, g(x) x 5x 6 h(x) 2x 4, f g (x),
f g (x), f h (x), g h (x), f g (x), ( ),
f
x
g
( ),
h
x
f
g h (x) ( ).
g
x
h
f (x) 2x 1 g(x) 5x 2, f g (5)
253; 53; 47; 13.
f y g f (x) 8x 13 2 g(x) x 5x,
f g (x) f g (x) g f (x)
f y g 2 f (x) 2x 2x g(x) x 1,
fg (x) ( )
f
x
g
( )
g
x
f
40. 40
FUNCIONES REALES
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Existe otra manera de obtener una función a partir de dos funciones dadas y es haciendo actuar una
función después de la otra: se define la función compuesta de las funciones y denotada con
así:
Esta función se puede aplicar a los números reales para los cuales están definidas tanto como
así:
1. Sean y las funciones que se indican.
a. Encontrar
b.
Solución:
a. Para encontrar como primero encontramos Del
gráfico se tiene Luego
b. Calculemos ahora
Se tiene:
f g,
f g,
( f g)(x) f (g(x)).
x g(x)
f (g(x)), : ( ) . f g g f D xD g x D
f , g f g
f g1
f g5
f g1, f g1 f g(1), g(1).
g(1) 4. f g1 f g(1) f (4) 8.
f g5
f g5 f g(5) f (8) 16.
EJEMPLOS
41. 41
FUNCIONES REALES
2. Dadas las funciones y definidas por y encontrar:
a.
b.
Solución:
a. Como y se sigue que
b. y luego
3. Sean y Se tiene:
4. Dadas y encontrar:
a. b. c. d.
Solución:
a. Como se sigue que
b. luego
c.
d.
5. Dadas y calcular así como el dominio de
el de
Solución: El dominio de es
y el de es porque y no está
definido.
6. Dadas y encontrar:
a.
b.
c. el dominio de
d. el dominio de
e. el dominio de
f. el dominio de
Solución:
a.
b.
f g f (x) 3x 1 3 g(x) x ,
f g(2)
g f (2)
3 g(2) 2 8 f 8 25, f g(2) f (8) 25.
f (2) 32 1 7 3 g(7) 7 343, g f (2) 343.
f (x) 4 2x 2 g(x) 16 x .
2 2 2
2
( ) ( ( )) (16 ) 4 2(16 ) 4 32 2
2 28.
f g x f g x f x x x
x
2 2 (g f )(x) g( f (x)) g(42x) 16(42x) 16x 4x .
2 f (x) x g(x) x 1,
f g(3) g f (3) f g(x) g f (x)
g(3) 31 2, 2 f g(3) f (2) 2 4.
2 f (3) 3 9, g f (3) g(9) 91 8.
2
f g(x) f x 1 x 1 .
2 2 g f (x) g x x 1.
f (x) 5x 2
2
( ) ,
1
g x
x
f g(x), g f (x)
f g g f .
10 2 1
( ) 2, 1; ( ) , .
1 5 1 5
f g x x g f x x
x x
f g
x : x 1 g f
1
:
5
x x
1
1
5
f
g 1
f (x) x 1 g(x) x 1,
f g (x)
g f (x)
f
g
f g
g f
f g(x) f g(x) f x 1 x 11
g f (x) g f (x) g x 1 x 11 x
42. 42
FUNCIONES REALES
c. Si debe ser un número real, el dominio de es
d. El dominio de la función es el conjunto de los números reales.
e. Como debemos tener es decir Luego el
dominio de es el conjunto
f. Como debemos tener luego el dominio de es el
conjunto
Verifique que el único valor para el cual en este ejemplo es
7. Encontrar dos funciones tales que donde
Solución:
Si hacemos y se sigue:
8. Sean y Se tiene:
Observación: En general
9. Sean y las funciones
Es claro que podemos determinar únicamente
Como la función
está definida por: es decir que es la función
10. Sean y las funciones de en definidas por
donde y son constantes reales no nulas. Calcular y
Solución
a.
f (x) x 1 f x : x 0.
g
f g(x) x 11, x 1 0, x 1.
f g, x : x 1.
g f (x) x, x 0, g f ,
x : x 0.
f g(x) g f (x),
x 1.
f y g h(x) f g(x) 8
h(x) 5x 2 .
g(x) 5x 2 8 f (x) x
8
f g (x) f g(x) f 5x 2 5x 2 h(x).
f (x) 4 2x 2 g(x) 16 x .
2 2 ( f g)(x) f (g(x)) f 16 x 4 2 16 x .
2
( ) ( ( )) 4 2 16 4 2
16 (4 2 ) 12 2 .
g f x g f x g x x
x x
f g g f .
f g
2
: 0; :
y
( ) ( ) 1
f g
x f x x x g x x x
g f .
2
(g f )(x) g( f (x)) g x x x 1 x x 1, h g f
h(x) x x 1, x0;, h
: 0;
( ) 1.
h
x h x x x
f g f (x) ax b, 3 g(x) (x b) ,
a b g f , f g f f .
43. 43
FUNCIONES REALES
De acuerdo a la definición de composición de funciones,
es decir, con lo cual
b.
de donde,
Observe que más adelante haremos referencia a este ejemplo ya que por lo
general
c.
Sea
Luego:
11. Juan importa cuadrones de Italia. El precio de los cuadrones está dado en euros. El precio total
de cada cuadrón incluye un 10% de recarga más 75 euros por mercadeo.
a. Escriba una composición de funciones para representar el precio de venta total de cada
cuadrón si el precio de cada uno de ellos es de euros.
b. Encontrar el precio de venta de cada cuadrón si su precio en euros es de 1200.
Solución:
a. Una función del precio en euros es Una función del costo en
dólares basada en el costo en euros es
b. Si cada cuadrón vale euros, su precio en dólares es
( ) ( ( )).
f g
x f x g f x
(g f )(x) g( f (x)) (ax b b)3 (ax)3, 3 (g f )(x) (ax)
3
:
( )
g f
x ax
( ) ( ( )).
g f
x g x f g x
3 3 ( f g)(x) f (g(x)) f ((x b) ) a(x b) b,
3
:
( ) .
f g
x a x b b
f g g f ,
f g g f .
( ) ( ( )).
f f
x f x f f x
x , ( f f )(x) f ( f (x)) f (ax b) a(ax b) b.
:
( ) .
f f
x a x b b
c
E(c) 1.1c 75.
( ) .
0,77
c
D c
( ) 1,1 75
( ( )) .
0,77 0,77
E c c
D E c
1200
44. 44
FUNCIONES REALES
12. Dadas las funciones y definidas por
y cuyas representaciones gráficas se indican en la siguiente figura. Hallar
Solución
Sea entonces
Puesto que si entonces determinemos los valores de para los cuales
Así:
a. Si y en ese caso es equivalente a de donde se
sigue que y como entonces con lo cual
esto es: si
b. Si se tiene y en consecuencia es equivalente
a de donde es decir o bien y como
resulta consecuentemente:
1,11200 75
(1200) 1811,69.
0,77
D E
f g
, si 1 , si 2
( ) ; ( )
1 1, si 1 4, si 2
x x x x
f x g x
x x x x
g f .
( ) ( ( )).
f g
x f x g f x
y f (x),
( ) , si ( ) 2 , si 2
( ( ))
( ) 4, si ( ) 2 4, si y 2
f x f x y y
g f x
f x f x y
g(y) y y 2, x
f (x) 2.
x 1, f (x) x f (x) 2 x 2,
x 2x 2 x 1, 2 x 1,
g( f (x)) g(y) y x x, g( f (x)) x 2 x 1.
g( f (x)) x si 2 x 1.
x 1 y f (x) 1 x 1 f (x) 2
1 x 1 2, x 1 3, x 1 9 x 8 x 1,
1 x 8
45. 45
FUNCIONES REALES
c. Además, como si entonces veamos para qué valores
de se verifica que
i. Si entonces y en ese caso es equivalente a
de donde y como hemos supuesto que resulta que con lo
cual Es decir:
ii. Si es y la inecuación es equivalente a
o lo que es lo mismo de donde y teniendo
además en cuenta que resulta que Luego:
si
Es decir que:
si
De los resultados anteriores se sigue que es la función definida por:
Propiedad de la composición de funciones: La composición de funciones es asociativa.
En efecto:
g( f (x)) x 11 si 1 x 8.
g( f (x)) g(y) y 4, y 2
x f (x) 2.
x 1 f (x) x, f (x) 2 x 2,
x 2 x 1 x 2,
g(y) g( f (x)) g(x) (x) 4 x 4.
g( f (x)) x 4 si x 2.
x 1 f (x) x 11 f (x) 2
x 11 2 x 1 3 x 8
x 1, x 8.
g( f (x)) g x 11 1 x 1 4 x 15, x 8.
g( f (x)) x 15, x 8.
g f
4, si 2
, si 2 1
( )( )
1 1 , si 1 8
1 5, si 8
x x
x x
g f x
x x
x x
( f g) h)(x) ( f g)(h(x)) f (g(h(x)))
46. 46
FUNCIONES REALES
Así
Nota. En general, no se verifica la conmutatividad de la composición de funciones.
1. Sean los conjuntos y funciones de
en y de en respectivamente. Hallar en cada uno de los siguientes casos.
a.
b.
c.
d.
2. Dadas y encontrar cada valor.
a. b. c. d. e. f.
3. Dadas las funciones definidas por y encontrar:
4. Dadas y encontrar:
a. b. c.
5. Si ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a.
b.
c.
d.
6. Si y entonces es igual a:
7. Si y encontrar
8. Si y encontrar
( f (g h)(x)) f (g(h(x)))
f g h f (g h).
A a,b,c,d, B m,n,o, p, C 1,2,3,4,5, f g A
B B C g f
f (a,m), (b,m), (c,m), (d,o); g (m,1), (n,2), (o,3), ( p,5).
f (a, p), (b,o), (c,n), (d,m); g (m,3), (n,2), (o,1), ( p,4).
f (a,n), (b, p), (c,m), (d,o); g (m,2), (n,1), (o,3), ( p,5).
f (a,o), (b,n), (c, p), (d,m); g (m,5), (n,4), (o,2), ( p,3).
f (x) 2 x 3 g(x) 3x 1,
f g(1) g f (1) f g(4) g f (6)
4
3
f g
9
.
7
g f
f y g 2 f (x) 3x g(x) 7 x, f g(5)
g f (5) f g(2)
( ) 4 3, ( )
3
x
f x x g x
x
2 h(x) x 2,
f g x; g f x; f h x.
2
f g (x) 3x 4 ,
2 f (x) 3x 4 y g(x) x .
2 f (x) x y g(x) 3x 4.
2 2 f (x) 3x y g(x) 4 .
f (x) 3x 4 y g(x) x.
2 f (x) 4 x
1
( ) 2,
2
g x x f g (x) 2 1
( ) ;
2
f g x x
2 1
( ) 2 ;
4
f g x x x 3 2 1
( ) 2 2 8;
2
f g x x x x 2 1
( ) 2.
2
f g x x x
f (x) 2x 6 2 f g(x) 3x 4, g(x).
f (x) 3x 8
2 , si 0
( ) ,
5 2, si 0
x x
g x
x x
g( f (x)).
EJERCICIOS
47. 47
FUNCIONES REALES
9. Calcular en cada caso cuando la composición tenga sentido.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
p.
10. Si y son las funciones reales definidas por:
Determinar y
(g f )(x)
2 f (x) x x 2; g(x) 3x 6
2 1
( ) 5; ( ) 4 25
2
f x x g x x
2
1
f (x) x 1 si x 1; g(x) , si x 0
x
2 ( ) si 1; ( )
1
x
f x x g x x
x
2 2 1
f (x) x , si x 0; g(x) 3x 10.
x
2 1 1
f (x) x , si x 0; g(x) x , si x 0.
x x
f (x) ax 1, con a ; 2 ( ) , con . n g x x n
f (x) 1 x ; g(x) x 2, x 2.
2 , si 1
( ) ; ( )
1, si 1
x x
f x x x g x
x
2
1
, si 1
( ) ;
1
, si 1 0
x
x
f x
x
x
g(x) 3x 1.
2 , si 1
( ) , si 1 0;
, si 0
x x
f x x x
x x
2 2 , si 1
( ) 1
, si 1 0
u u u
g u
u
u
2
3
1
, si 0 , si 1
( ) ( )
, si 0
, 1
x x v
f x g v v
x x
v v
2
2
( 4), si 4
( 2), si 2 1
( ) ; ( ) 2, si 4 0.
2, si 2 2
2, si 0
v v
x x
f x g v v v
x x x
v v
2 f (x) 4x 4x 3 ; g(t) 3t 2 .
f (x) x 1 x 1 ; g(t) 3t 2 .
f (x) x 1 x 1 ; g(t) 2t 1 t 3 .
f g
2
, si 0
( ) , ; ( ) .
2 , si 0
x x x x
f x x g x
x x
f g g f .
48. 48
FUNCIONES REALES
11. Calcular y en los siguientes casos:
a.
b.
FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS
Definición. Sea una función de dominio La función es inyectiva o uno a uno si para todo
y en implica es decir, valores distintos de la variable
independiente tienen imágenes distintas. Esto equivale a implica
Observación: Usando la gráfica podemos decir que una función es inyectiva si y solo si ninguna
recta horizontal intersecta la gráfica de en más de un punto. Este es el criterio de la recta horizontal.
1. Si se tiene que es una función inyectiva pues:
2. Para el caso de si y no puede concluirse que puesto
que también para se tiene con
3. Sea Si es un número que está en el recorrido de existe tal que
En efecto, Así, si es diferente dos valores
distintos de la variable independiente satisfacen la condición y no es
inyectiva.
4. Sea y supongamos que esto es, se sigue entonces
que
f g g f
1 1
2 , si
2 4
1 1
( ) , si 4 ; ( ) ( ).
4
15
, si 4
4
x x
f x x g x f x
x
x x
2
, si 1
1 2, si 2
( ) , si 1 ; ( ) .
2 2, si 2
1
, si 1
x x
x
f x x g x
x x
x
x
f . f D f
1 x 2 x , f D 1 2 x x 1 2 f (x ) f (x ),
1 2 f (x ) f (x ) 1 2x x .
f
f
f (x) 3x 1, f
1 2 1 2 1 2 1 2 f (x ) f (x )3x 1 3x 13x 3x x x .
2 f (x) x , 2 2
1 2 x x 0 i x 1 2x x ,
2 1 x x 2 2
1 2 x x 1 2x x .
2 f (x) x 3x 1. y f , x
2 y x 3x 1.
3 5 4
.
2
y
x
y
5
,
4
y f (x) f
3 f (x) x , 1 2 f x f x , 3 3
1 2 x x ,
3 3 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 0 x x x x x x x x .
EJEMPLOS
49. 49
FUNCIONES REALES
El segundo factor es solo si Para valores de y distintos de cero, la igualdad
solo se tiene si es decir, si y solo si En consecuencia es inyectiva.
Definición. Sea una función de en con La función es sobreyectiva si para
todo existe tal que
1. Determinar si la función real definida por es sobreyectiva.
Solución:
Sea un elemento cualquiera del conjunto de llegada. Veamos si existe (conjunto
de partida o dominio) tal que En efecto, se tiene:
Como el número real existe cualquiera que sea el valor que tome el real se sigue
que la función es sobreyectiva.
2. Determinar si la función real definida por con es
sobreyectiva.
Solución:
Sea un elemento cualquiera del conjunto de llegada. Veamos si existe
(conjunto de partida o dominio) tal que En efecto, se tiene:
Como el número real existe cualquiera que sea el valor que tome el real pues el
conjunto de llegada es se sigue que la función es sobreyectiva.
3. Determinar si la función real definida por con es
sobreyectiva.
Solución:
0 x1 x2 0. 1 x 2 x
1 2 x x 0, 1 2x x . f
f A B, A,B . f
yB xA y f (x).
f f (x) 3x 1
y , x
y f (x).
1
( ) 3 1 .
3
y
y f x y x x
1
,
3
y
x
y,
f
* * f :
1
f (x) ,
x
x 0
*y , * x
y f (x).
1 1
y f (x) y x .
x y
1
x ,
y
y,
*, f
f : 1 ( ) ,
1
x
f x
x
x 1
EJEMPLOS
50. 50
FUNCIONES REALES
Sea un elemento cualquiera del conjunto de llegada. Veamos si existe
(conjunto de partida o dominio) tal que En efecto, se tiene:
Como el número real no existe cuando (conjunto de llegada), se sigue
que la función no es sobreyectiva.
Note que la función definida por con es sobreyectiva.
Definición. Una función real con se dice que es biyectiva si es inyectiva y
sobreyectiva.
1. Sea la función de en definida por donde y son números
reales, con
Veamos que es una función inyectiva. En efecto, si entonces
y como se sigue que Luego es inyectiva.
Veamos ahora que es sobreyectiva; es decir, que dado un elemento cualquiera en el
conjunto de llegada existe al menos un elemento del dominio tal que
En efecto:
y como el número existe cualquiera que sea se concluye que la función es
sobreyectiva.
Finalmente, siendo la función inyectiva y sobreyectiva, la función es biyectiva.
2. Sea una función biyectiva. Demostrar que la función
es una función biyectiva de un intervalo en un intervalo que se
los determinará.
Solución.
En primer lugar, la función está definida cuando es decir cuando
y , x 1
y f (x).
1
( ) (1 ) .
1 1
y
y f x y y x x y xy x x
x y
,
1
y
x
y
y 1
f
g : 11 ( ) ,
1
x
g x
x
x 1
f : AB, A,B ,
f f (x) ax b, a b
a 0.
f 1 2 f (x ) f (x )
1 2 ax b ax b, a 0, 1 2x x . f
f 0 y
0 x 0 0 f (x ) y .
0
0 0 0 0 0 ( ) ,
y b
f x y ax b y x
a
0 y b
a
0 y ,
f
f :3;32;5
g : x 2 f (x 1) I ' J '
g 3 x 1 3, 2 x 4.
EJEMPLOS
51. 51
FUNCIONES REALES
Por lo tanto tenemos que
Veamos ahora que es una función inyectiva:
es decir que es inyectiva.
Nos falta probar que es sobreyectiva. Determinemos en primer lugar el intervalo
Como es biyectiva, tal que y además,
Igualmente, existe tal que y
Consecuentemente:
y
Veamos que toma los valores y para algún
Consecuentemente:
Finalmente, sea entonces y como es sobreyectiva se sigue que
tal que Como entonces:
Luego es sobreyectiva y como es inyectiva, se sigue que la función:
es una biyección.
3. Sea una función definida por Probar que es
biyectiva.
Solución
Dom(g) 2;4 I '.
g
( ) ( ') 2 ( 1) 2 ( ' 1)
1 ' 1, pues es inyectiva
'
g x g x f x f x
x x f
x x
g
g J '.
f :3;32;5 0 x 3;3 0 f (x ) 2
x3;3, f (x) 2. x '3;3 f (x ') 5 x3;3,
f (x) 5.
g(x) 2 f (x 1) 10 g(x) 2 f (x 1) 4.
g 4 10 x.
0 0 0 ( 1) 2 (( 1) 1) 2 ( ) 4
( ' 1) 2 (( ' 1) 1) 2 ( ') 10.
g x f x f x
g x f x f x
Rec(g) J ' 4;10.
0 y 4;10 , 0 2;5
2
y
f
0 x 3;3 0
0 ( ) .
2
y
f x 0 x 1 2;4
0 0 0 0 g(x 1) 2 f ((x 1) 1) 2 f (x ) y .
g g
: 2;4 4;10
( ) 2 ( 1)
g
x g x f x
f :3;53;1
3
( ) .
2
f x
x
f
52. 52
FUNCIONES REALES
a. es inyectiva. En efecto se sigue que o
también y finalmente que
b. es sobreyectiva. En efecto: veamos que existe un tal que
Notemos primero que si existe tal debe verificar la ecuación
de donde se sigue que:
Veamos ahora que En efecto
como se sigue que Es decir que dado podemos
encontrar tal que
4. Como es inyectiva y sobreyectiva, se concluye que es biyectiva.
Sea y la función definida por Tenemos que no es
inyectiva ni sobreyectiva; sin embargo, podemos construir en este caso a partir de una nueva
función que sea biyectiva.
Solución.
En efecto, hemos visto que la función definida por es
sobreyectiva. Pero esta función tampoco es biyectiva, pues no es inyectiva ya que si
es tal que entonces:
que nos dice que el elemento tiene dos preimágenes; éstas son:
f x, x'3;5, f (x) f (x')
3 3
,
2 x 2 x '
63x' 63x x x'.
f 0 y 3;1 0 x 3;5
0 0 f (x ) y . 0 x
0
0
3
,
2
y
x
0
0
0 0
2 3 3
2 .
y
x
y y
0
0
3
x 2 3;5 .
y
0 0 0
0 0
0
3;1 3 1 3 1
1 1 3
1 1 3
3
3
3 2 5
y y y
y y
y
0
0
3
2 x
y
0 3 x 5. 0 y 3;1
0
0
3
x 2 3;5
y
0 0 f (x ) y .
f f
a f : 2 f (x) x ax. f
f
2
: ;
2
a
g
2 g(x) x ax
g
2
;
4
a
y
2 y x ax
2 4
2
a a y
x
y
53. 53
FUNCIONES REALES
Para obtener una nueva función que sea inyectiva hemos de restringir el conjunto de partida.
Sea con entonces:
Para obtenemos y para cualquier obtenemos dos raíces distintas
de la ecuación esta situación sugiere que consideremos los intervalos
y en cada uno de los cuales hay exactamente una raíz de la ecuación.
Por consiguiente, si definimos una función de en resulta que es
inyectiva. Es decir que la función de en definida por
es una función biyectiva.
Así mismo, la función de en definida por es también
una función biyectiva.
Note que a partir de la función
hemos definido dos nuevas funciones que son biyectivas.
5. Considere la función de en definida por ¿Es biyectiva?
Solución.
Para responder a la pregunta hemos de comprobar si es inyectiva y sobreyectiva. Escribamos
Sean tales que esto es, tales que: Elevando al
cuadrado ambos miembros obtenemos: de donde Puesto que
entonces Luego es inyectiva.
2 2
1 2
4 4
, .
2 2
a a y a a y
x x
y g(x), 2 y x ax
2
4
a
y
2
a
x
2
4
a
y
1 2 x , x
2 2
;
4 2
a a
y x
;
2
a
;
2
a
h ;
2
a
2
;
4
a
h
h :
2
a
2
:
4
a
2 h(x) x ax,
j ;
2
a
2
:
4
a
2 j(x) x ax,
2
f :
x x ax
f 0;1 0;1 2 f (x) 1 x . f
f
2 f (x) 1 x .
1 2 x , x 0;1 1 2 f (x ) f (x ), 2 2
1 2 1 x 1 x .
2 2
1 2 1 x 1 x , 2 2
1 2 x x .
1 2 x , x 0;1 , 1 2x x . f
54. 54
FUNCIONES REALES
Probemos ahora que la función es sobreyectiva. Sea supongamos que
entonces o también con lo cual
Como entonces Es decir, dado existe tal que
que nos dice que es sobreyectiva.
Siendo una función inyectiva y sobreyectiva se concluye que es biyectiva. Su inversa está
dada por
Propiedades. Sean y funciones.
1. Si y son inyectivas entonces es inyectiva.
2. Si y son sobreyectivas entonces es sobreyectiva.
3. Si y son biyectivas entonces es biyectiva y además
1. Dados los conjuntos
Indicar cuáles de los
siguientes subconjuntos de
representan una función biyectiva.
a.
b.
c.
d.
e.
2. Indicar cuáles de las siguientes
funciones son inyectivas, cuáles
sobreyectivas y cuáles biyectivas y en
este último caso, determinar su inversa.
(En aquellos casos en que no se indica el
conjunto de llegada, tomar dicho
conjunto igual a ).
a.
b.
c. definida por
d. definida por
e.
f.
g.
h. definida por
i. definida por
j. definida por
f y0;1,
2 f (x) y 1 x , 2 2 y 1 x 2 2 x 1 y , 2 x 1 y .
x0;1, 2 x 1 y . y0;1, 2 x 1 y
2
2 2 f (x) f 1 y 1 1 y y, f
f
1 2 f (y) 1 y .
f : AB g : BC
f g g f
f g g f
f g g f 1 1 1 (g f ) f g .
A a,b,c,d,e,
B 1,2,3,4,5.
AB
(a,1), (b,2), (c,3), (d,3), (e,1).
(a,2), (b,1), (c,3), (d,5), (e,2).
(a,5), (b,1), (c,3), (d,5), (e,2).
(a,3), (b,5), (c,2), (d,4), (e,1).
(a,4), (b,3), (c,5), (d,1), (e,2).
3 2 f (x) x .
f (x) x .
f :
f (x) x.
f :
2 f (x) x 1.
3 f (x) x .
2 f (x) x x 1.
1
, si 0
( )
0, si 0
x
f x x
x
f : 2;22:
2
1
( ) .
4
f x
x
f : 2 1
2
( ) .
2
x
f x
x
f : 1
EJERCICIOS
55. 55
FUNCIONES REALES
k. .
l.
m.
3. Demostrar que las funciones o
aplicaciones siguientes son biyectivas.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g. .
4. Sea una función biyectiva de en
Demostrar que
donde es un número real, es una
función biyectiva de en
5. Sea una biyección de en
Determinar y tales que la función
sea una biyección
de en con:
a.
b.
c.
6. Sea una función biyectiva del
intervalo en el intervalo
Demostrar entonces que la función
es una biyección del intervalo en un
intervalo que se determinarán en
cada uno de los siguientes casos:
a. y
b. y
donde
FUNCIÓN INVERSA
Definición. Una función de dominio se dice invertible si existe una función tal que
el rango de el rango de entonces Si es
invertible, la función es la inversa de y se denota con
Usando esta notación, también es invertible y Esto es
( ) .
1
x
f x
x
2 4
, si 2
( ) 2
0, si 2
x
x
f x x
x
1
, si 1
1
( ) 1, si 1
1, si 1
x
x
f x x
x
2 f (x) x 2x 3.
: 3;1 1;1
2
( )
3
f
x
x f x
x
: 1 2
2 3
( )
1
f
x
x f x
x
: 3;1 3;5
2 3
( )
f
x
x f x
x
:
( ) 2 1
f
x f x x x
: 1;1
( )
1
f
x
x f x
x
:
( )
1
f
x
x f x
x
: 2 3
3 1
( )
2
f
x
x f x
x
f
. g : x f (x a),
a
.
f 1;1 .
a b
g : x f (ax b),
I
I 0;4,
I 1000;1000,
I ; .
f
I J.
XY,
I '
J '
I 0;2, J 3;3
g(x) f (2x).
I 1;1, J
:
x
g x f
0.
f f D g
g f D R f , , f g D R g g f I , f g I. f
g f 1f .
g 1 g f .
56. 56
FUNCIONES REALES
Las ecuaciones y toman la forma y
En el primer caso, actúa sobre los elementos de en el segundo caso sobre los elementos de
Debe quedar claro que la notación no significa designa una nueva función cuyo conjunto de
salida es y el conjunto de llegada es
Sean y dos subconjuntos de y una biyección de en entonces, en un mismo sistema de
coordenadas cartesianas rectangulares, las curvas y son simétricas con
respecto a la recta de ecuación
Demostración: Por definición: y
Como existe tal que se tiene que: lo cual
establece el resultado, puesto que; los puntos y son simétricos con
respecto a la recta de ecuación El punto medio del segmento de extremos tiene por
coordenadas
que pertenece a la recta de ecuación
Una función es invertible si y solo si es inyectiva.
1. La función es inyectiva y sobreyectiva entonces es invertible. Si
para todo es decir, luego
Como y se sigue que es la inversa de
es decir,
1
1 f f .
f g I g f I 1 f f I 1 f f I.
I , f D
1 . f f
D R
1 f 1
,
f
B A.
:
;
( )
f A B
x y f x
1
1
:
.
y ( )
f B A
f y x
A B f A B,
C : y f (x) 1 C' : y f (x),
y x.
C M (x, f (x)) : xA 1 C' M ' y, f (y) : y B .
yB, xA y f (x), C' M ' ( f (x), x) : xA,
M (x, f (x)) M ' ( f (x), x)
y x. MM '
( ) ( )
,
2 2
x f x x f x
y x.
f f
f (x) 3x 1 f g I ,
f (g(x)) x x , 3g(x) 1 x,
1
( ) .
3
x
g x
1
( ( )) 3 1
3
x
f g x x
(3 1) 1
( ( )) ,
3
x
g f x x
g
f , 1 1
( ) .
3
x
f x
EJEMPLOS
57. 57
FUNCIONES REALES
2. En general, toda función de la forma con es invertible y además
3. La función definida por es inyectiva y, puesto que se sigue
que luego es invertible y
Más generalmente toda función tal que dondem es impar, es inyectiva y
(la única raíz m ésima real de ).
En cuanto a la gráfica de la función inversa, notemos que si una pareja pertenece a la
gráfica de una función inyectiva entonces y, en consecuencia
es decir, la pareja pertenece a la gráfica de En el plano
cartesiano, los puntos de coordenadas y están simétricamente dispuestos con
respecto a la recta En consecuencia, trazadas en el mismo plano, las gráficas de y
están simétricamente dispuestas con respecto a esa recta o, expresado de otra manera, la gráfica
de se obtiene reflejando la gráfica de en la mencionada recta.
Consideremos por ejemplo las funciones (identidad), Sus
gráficas en un mismo sistema de coordenadas cartesianas rectangulares se muestran a
continuación:
h(x) mx b m 0
1( ) .
x b
h x
m
f 3 f (x) x 1 f f x x
3
1f (x) x, f 1 3 f (x) x.
h ( ) m h x x
1( ) m h x x x
(a;b)
f f (a) b
1 1 a f ( f (a)) f (b), (b,a) 1f .
(a,b) (b,a)
y x. f 1 f
1 f f
x y f (x) 3x 1, 1 1
( ) .
3
x
f x
58. 58
FUNCIONES REALES
4. Sea la función de en definida por con y La
función es biyectiva, hallemos su inversa.
Sea si entonces La función inversa de está definida por
Se acostumbra a designar el argumento de la función inversa con el mismo argumento que es
utilizado en la función directa, entendiéndose por función directa la función Según este
convenio, puede escribirse
5. Consideremos la función biyectiva definida por
Determinemos la inversa de
Sea si entonces
La función inversa está definida por
o lo que es lo mismo, cambiando la variable por donde
y
6. Sea la función definida por
¿Existe la función inversa
Solución:
Para determinar si existe, debemos analizar a la función esto es, debemos comprobar si
es biyectiva.
a. ¿ es inyectiva?
Sean tales que tres son las posibilidades que se presentan:
f f (x) ax b, a,b a 0.
f
y , y ax b .
y b
x
a
f
1( ) .
y b
f y
a
f .
1( )
y b
f y
a
1( ) .
x b
f x
a
2
: ; ;
2 4
a a
f
2 f (x) x ax, a . f .
y , 2 y f (x) x ax,
2 4
.
2
a a y
x
1 f
2
1 4
( )
2
a a y
f y
y x,
2
1 4
( ) ,
2
a a x
f x
2
;
4
a
x
1( ) ; .
2
a
f x
f :3;23;4
2
, si 3 0
( )
, si 0 2
x x
f x
x x
1 f ?
1 f f ,
f
f
1 2 x , x 3;2 1 2x x ,
59. 59
FUNCIONES REALES
i. Si entonces
ii. Si entonces Luego
iii. Si y entonces pues y luego
Por tanto es inyectiva.
b. ¿ es sobreyectiva?
Sea con Tenemos dos posibilidades:
i. Si entonces
ii. Si es decir, de donde y como
entonces
De i) y ii) se concluye que a cada le corresponde una sola preimagen.
De a) y b) deducimos que es biyectiva y en consecuencia existe su inversa la cual está
definida por
o también
La representación gráfica de las funciones y se indican en la siguiente figura.
1 2 x , x 3;0 1 1 2 2 x f (x ) f (x ) x .
1 2 x , x 0;2 , 2 2
1 2 x x . 1 2 f (x ) f (x ).
1 x 3;0 2 x 0;2 , 2
1 2 x x 1 x 0 2
2 x 0,
2
1 1 2 2 x f (x ) f (x ) x . f
f
y3;4, y f (x).
y3;4, y f (x) x.
y0;4, 2 y f (x) x , x y x0;2
x y.
y3;4,
f 1f ,
1
, si 3 0
( )
, si 0 4
y y
f y
y y
1
, si 3 0
( )
, si 0 4
x x
f x
x x
f 1 f
EJERCICIOS
60. 60
FUNCIONES REALES
1. ncuentre la regla para la inversa de
cada función. Determine su dominio
y su recorrido.
a.
b.
c.
d.
e.
2. En cada gráfico, determine qué par de
funciones son inversas una de la otra.
a.
b.
c.
3. La fórmula para convertir de grados Centígrados
a grados Fahrenheit es ¿Cuál
de las siguientes fórmulas convierte grados
Fahrenheit a grados centígrados?
a.
b.
c.
4. La inversa de es:
a.
b.
c.
d.
5. Para una cierta función, y
¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es verdadera?
a.
b.
c.
d.
6. Demuestre que las funciones siguientes son
biyectivas y además halle su inversa
a. f : 1;1 definida por
b. definida por
c. definida por
d. definida por
e.
7 8
( ) .
3
x
f x
5
( ) .
4
f x
x
2
f (x) 5 x 6 .
3 f (x) x 12.
3 5
( ) .
12
x
f x
9
32.
5
F C
9
32.
5
C F
9
32 .
5
C F
5
32.
9
C F
5
32 .
9
C F
f (x) x 1,
1 2 f (x) x 1, x 0.
1 2 f (x) x 1 , x 0.
1 2 f (x) x 1, x 0.
1 2 f (x) x 1 , x 0.
f (0) 2
1f (4) 1.
1f (0) 2.
1f (2) 0.
f (4) 1.
f (2) 0.
( ) .
1
x
f x
x
f : 0;0;
1
f (x) .
x
8
: 3;5 1;
3
g
1
( ) 1.
3
f x x
h :1;1;
1
f (x) x .
x
2
2 , si 2
( )
2, si 2
t t
f t
t t t
61. 61
FUNCIONES REALES
PRUEBA DE BASE ESTRUCTURADA
1. ¿Qué situación puede ser representada por el gráfico?
a. El área de un círculo en función de su radio
b. El volumen de una esfera en función de su radio
c. El área de la superficie de una esfera en función de su radio
d. La circunferencia de un círculo en función de su radio
2. ¿Qué gráfico representa mejor la función definida por ?
3. ¿Qué ecuación describe una relación en la cual a todo número real no nulo le corresponde un
número real negativo ?
a. b. c. d.
4. ¿Para qué función no es elemento de su recorrido?
a. b. c. d.
5. Dadas las funciones definidas por y encontrar:
a. b. c.
6. Dadas las funciones definidas por y
encontrar cada composición que se indica así como su dominio.
a. b. c.
7. Dadas y encontrar:
y
8. Si ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a.
b.
2 f (x) 2x 2
x
y
3 y x 2 y x 2
y x y x
1
y 1 2
y x y x 3 y x
f y g 2 f (x) 3x g(x) 7 x,
f g(5) g f (5) f g(2)
f , g y h 2 f (x) x , g(x) 2x 3 h(x) x 1,
f g(x) g f (x) f h(x)
2 2 f (x) 2x 8, g(x) x 5x 6 h(x) 2x 4, f g (x),
f g (x), f h (x), g h (x), f g (x), ( ),
f
x
g
( ),
h
x
f
g h (x) ( ).
g
x
h
2
f g (x) 3x 4 ,
2 f (x) 3x 4 y g(x) x .
2 f (x) x y g(x) 3x 4.
62. 62
FUNCIONES REALES
c.
d.
9. Si y entonces es igual a:
a. b. c. d.
10. Si y entonces es igual a:
a. b. c.
d.
11. Si y encontrar
12. Si y encontrar
13. Mathematics in English. When a ball is thrown up a hill, the height of the ball is given by the
function where x is the horizontal distance from the thrower. The hill is
represented by the linear function
a. Find the maximun height of the ball above the ground.
b. Find the height of the ball it hits the ground.
14. Dada f (x) x 6 y
18
( ) ,
4
g x
x
encontrar g f x. Establecer su dominio. Respuesta:
18
.
10
g f x
x
Domg f x : x 10 0 10.
15. Sea f (x) x 2 y
8
( ) .
1
g x
x
a. Encontrar g f 2 y f g 2.
b. Encontrar g f 1 y f g 1.
c. Encontrar g f x y determinar su dominio.
2 2 f (x) 3x y g(x) 4 .
f (x) 3x 4 y g(x) x.
f (x) 2x 1 g(x) 5x 2, f g (5)
253; 53; 47; 13.
2 f (x) 4 x
1
( ) 2,
2
g x x f g (x)
2 1
( ) ;
2
f g x x 2 1
( ) 2 ;
4
f g x x x
3 2 1
( ) 2 2 8;
2
f g x x x x 2 1
( ) 2.
2
f g x x x
f (x) 2x 6 2 f g(x) 3x 4, g(x).
f (x) 3x 8
2 , si 0
( ) ,
5 2, si 0
x x
g x
x x
g( f (x)).
y
2 y 0.12 x 2.8x,
2
.
5
y x
63. 63
FUNCIONES REALES
d. Encontrar f g x y determinar su dominio.
16. Math in English. Because of high fuel costs, an airline begins adding a fuel surcharge of $30 to
the price of each airline ticket the airline sells. Also, the airline must add 9% to the price for
airport and sales taxes. Write a composite functions for how much a person would pay for a
ticket with this airline that is x dollars before surcharges and taxes.
17. ¿Cuál de los siguientes gráficos es el de f (x) x 1 2?
18. El volumen V de un gas varía inversamente con la presión P y directamente con la temperatura T.
Cierto gas tiene un volumen de 30 litros, a una temperatura de 345 grados kelvin, y a presión de una
atmósfera. Si el gas es comprimido a un volumen de 20 litros y calentado a 375 grados kelvin, cuál es la
nueva presión?
a. 0,72 atmósferas. b. 0,72 litros c. 1,5 atmósferas d.1,63 atmósferas.
19. ¿Qué función corresponde al siguiente gráfico?
a. b.
c. d.
20. Al evaluar en la función definida a trozos por se obtiene:
2 4, si 0
( )
2 4, si 0
x x
f x
x x
4, si 2
( )
2 , si 2
x x
f x
x x
2 4, si 2
( )
2 4, si 2
x x
f x
x x
2 , si 2
( )
2 4, si 2
x x
f x
x x
x 1, f
2
3 2
4 8, si 1
( ) ,
5, si 1
x x x
f x
x x x
