Presentasi Matematika bab transformasi, SMA kelas XI tahun 2008

1. Sawitri Agustrianti
XII IPA 1

3. MATEMATIKA
Bab : Transformasi
Standar Kompetensi : Menggunakan konsep matriks, vektor, dan
trasformasi dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar : Menentukan komposisi dari beberapa
transformasi geometri beserta matriks
transformasinya.
Indikator :
Komposisi dua refleksi berurutan terhadap dua
sumbu yang saling tegak lurus.
Komposisi dua refleksi berurutan terhadap dua
sumbu yang saling berpotongan.

4. Indikator 5-6-3 :
Komposisi Dua Refleksi Berurutan Terhadap Dua
Sumbu yang Saling Tegak Lurus

5. Bangun geometri berbentuk huruf P
pada gambar 5-37a direfleksikan
terhadap garis KL sehingga diperoleh
bangun geometri bayangan P1
sebagaimana diperlihatkan pada gambar
5-37b.
Kemudian P1 direfleksikan
terhadap garis MN sehingga diperoleh
bayangan akhir P2, sebagaimana
diperlihatkan pada gambar 5-37c.
Perhatikan bahwa sumbu refleksi KL dan
sumbu refleksi MN saling tegak lurus
dan berpotongan dititik O.
Gambar 5-37

6. Dengan mengacu pada Gambar 5-37, tampak
bahwa transformasi yang memetakan bangun geometri P
ke bangun geometri P2 adalah rotasi setengah putaran
yang berpusat di O (titik O adalah titik potong antara
sumbu KL dengan sumbu KN. Fakta ini mengarah pada ke
simpulan berikut :
Pengerjaan dua refleksi terhadap dua
sumbu yang saling tegak lurus ekuivalen dengan
rotasi setengah putaran yang berpusat di titik
potong antara kedua sumbu refleksi.

7. Sekarang pandang gambar 5-38.
bangun geometri berbentuk huruf P
direfleksikan terhadap garis MN
terlebih dahulu, kemudian direfleksikan
terhadap garis KL.
Perhatikan bahwa bayangan
akhir yang di hasilkan sama apabila
bangun geometri P direfleksikan
terhadap garis KL kemudian
direfleksikan terhadap garis MN. Fakta
ini mengarah pada kesimpulan
sebagai berikut :
Gambar 5-38

8. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang saling tegak
lurus bersifat komutatif.

9. Refleksi Terhadap Sumbu-Sumbu Koordinat Secara Berurutan
Misalkan : X menyatakan refleksi pada
sumbu X, dan
Y menyatakan refleksi terhadap
sumbu Y.
Pada gambar 5-39(A), titik P(a,b)
direfleksikan terhadap sumbu X
diperoleh titik bayangan P’ (a, -b).
Kemudian titik P’ (a, -b) direfleksikan
terhadap sumbu Y diperoleh titik
bayangan P” (-a, -b). Komposisi dua
refleksi ini dapat ditulis dalam bentuk :

10. Pada gambar 5-39(B), titik P(a, b) direfleksikan terhadap sumbu Y
diperoleh titik bayangan P’ (-a, b). Kemudian titik P’(-a,b)
direfleksikan terhadap sumbu X diperoleh titik bayangan P”(-a, -b).
Komposisi dua refleksi ini dapat ditulis dalam bentuk :

11. Berdasarkan hasil-hasil perhitungan tersebut, dapat disimpulkan
bahwa :
1. Pengerjaan dua refleksi secara berurutan terhadap
sumbu X dan sumbu Y ekuivalen dengan rotasi
setengah putaran yang berpusat di O(0,0).
2. Pengerjaan dua refleksi secara berurut terhadap
sumbu X dan sumbu Y bersifat Komutatif.
ditulis :

12. Tentukan koordinat bayangan titk P(4, 2) oleh transformasi – transformasi
berikut ini
a. Refleksi terhadap sumbu X dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu Y
b. Refleksi terhadap sumbu Y dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu X.
Jawab :
a. Titik P(4, 2) direfleksikan terhadap sumbu X:
Titik P’(4, -2) direfleksikan terhadap sumbu Y:
Jadi, koordinat bayangan P(4, 2) oleh refleksi terhadap sumbu X
dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu Y adalah P’’(-4, -2).
Ditulis :

13. b. Titik P(4,2) direfleksikan terhadap sumbu Y :
Titik P’(-4, 2) direfleksikan terhadap sumbu X :
Jadi, koordinat bayangan titik P(4, 2) oleh refleksi terhadap sumbu Y
dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu X adalah P’’(-4, -2).
Ditulis :

14. Indikator 5-6-4 :
Komposisi Dua Refleksi Berurutan Terhadap Dua
Sumbu yang Saling Berpotongan

15. Pada gambar dibawah ini, titik A direfleksikan terhadap garis OP
sehingga diperoleh bayangan A’. Kemudian titik A’ direfleksikan terhadap garis
OQ sehingga diperoleh bayangan A’’. Perhatikan bahwa titik A direfleksikan
terhadap dua sumbu (OP & OQ), dan kedua sumbu ini berpotongan dititik O.
Transformasi ini dinamakan komposisi dua refleksi berurutan terhadap dua
sumbu yang saling berpotongan.

16. Misalkan titik K adalah titik potong antara AA’ dengan OP dan titik L adalah
titik potong antara A’A’’ dengan OQ.
Dengan mengacu pada gambar di atas dengan menggunakan sifat refleksi,
jelas bahwa :
 OA = OA’
 OA’ = OA’’
 OA = OA’ = OA’’
Oleh karena OA = OA’’ dan sudut AOA’’ = 2 x sudut POQ, maka dapat
disimpulkan bahwa refleksi berurutan terhadap OP dan OQ ekuivalen dengan
sebuah rotasi tunggal, dimana :
 Titik O bertindak sebagai titik pusat rotasi,
 Besar sudut rotasi AOA’’ = 2 x sudut POQ, dan
 Arah rotasi dari sumbu OP ke sumbu OQ.

17. Selanjutnya, hasil tersebut dapat diungkapkan secara
umum sebagai berikut :
Refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang saling berpotongan
ekuivalen dengan sebuah rotasi tunggal, di mana :
Titik potong kedua sumbu refleksi bertindak sebagai titik
pusat rotasi,
Besar sudut rotasi sama dengan dua kali besar sudut antara
kedua sumbu refleksi, dan
Arah rotasi dari sumbu refleksi pertama ke sumbu refleksi
kedua.

18. a. Gambarlah bayangan titik A(3,2) oleh refleksi berikut ini
 Refleksi terhadap sumbu X dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis
y = x
b. Dengan menggunakan aturan transformasi yang sesuai, tentukan
koordinat bayangan titik A(3,2) oleh refleksi pada soal a.
Jawab :
a. Hasil gambar

19. b. Untuk menentukan koordinat bayangan dari titik A(3,2) digunakan aturan
refleksi.
 A(3,2) direfleksikan terhadap sumbu X, diperoleh :
 A’(3, -2) direfleksikan terhadap garis y = x, diperoleh :
Jadi, koordinat bayangan titik A(3, 2) oleh refleksi terhadap sumbu x
dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = x adalah titik A’’(-2, 3).

20. Secara Umum :
Berbeda dengan pengerjaan dua refleksi secara
berurut terhadap sumbu X dan Y yang bersifat
KOMUTATIF
Komposisi dua refleksi berurutan terhadap dua
sumbu yang saling berpotongan, pada umumnya
TIDAK KOMUTATIF

21. Bye…bye…